論 文
クラック群を有する材料の弾性パラメータに関する研究
平嶋健一 水谷弘次（平成6年8月31日受理）
Elastic Parameters of Elastic Solids Containing Cracks
Ken-ichiHIRASHIMA KojiMIZUTANI Abstract The present study focuses on the derivation of effective elastic properties for two−dimensional or− thotropic elas七ic continuum containing several different distributions of cracks． The emphasis of the study is placed on the crack−induced anisotropy and comparison of the results derived using the class of mean field theory． 1． 緒言 クラック群の方位、大きさ、形状およびそれらの分 布などの影響を受ける材料の平均的な弾性パラメータ を決定することは、材料力学の重要な問題である。な ぜなら、実際に自然界における岩盤材料は不均質かつ 不連続であり、多くのクラックを有しており、そのた め、クラック群の影響によりその力学的性質の定量的 把握は非常に複雑となるからである。したがって、最 近20年間にわたり多くの研究者がこの問題に対して 取り組んでいるが、これらすべての研究において取り 扱われている弾性パラメータは、いわゆる平均化した 場の理論（MFT：Mean Field Theory）によって推定され るのが普通である。 本論文の主要な目的は材料の弾性パラメータに及ぼ すクラック群の影響の問題を考える。特に、クラック 群の方位による材料の弾性パラメータの挙動を研究す ることにする。 本論文では、クラック群を有する材料の弾性パラメー タを求めるために、平均化した場の理論を基礎とした 解析理論の提示を行い、解析式を導く。また、材料が 具体的なクラック群を有する場合の弾性パラメータに ＊土木環境工学科， Department of Civil and Environmen・ tal Engineering ＊＊蜉w院博士前期課程，Graduate Student 関する数値計算例を示す。なお、ここでは一定の巨視 的応力が2次元弾性体材料の外部境界で与えられた場 合に限定する。 なお、本論文はSumarac，KrajcinovicおよびMallick の論文（1）を参考にしたが、そこでは、平均化した場の 理論を用いて、材料が等方性材料の場合の直線クラッ ク群による各方向の弾性係数の減少率の算定式を求め ている。本論文では、材料を直交異方性材料まで拡張 し、各直線クラック群（クラック群が直線になる場合、 2つの系に分割される場合および扇状系になる場合） についての算定式を導き、クラック群による直交異方 性材料の弾性係数比を定量的に検討する。 2．従来までの解析理論（2） 2・1平均化した場の理論 クラック群がそれ程多くなく媒体中にまばらに希釈し た集中度をもつ材料の場合、一般には巨視的に等質で あると仮定される。したがって、材料の弾性パラメータ は平均化した場（有効連続体）の理論（MFT：Mean Field Theory）を使って推定することができる。このMFTは 混合した微小組織をもつ材料のひずみエネルギー保存 の仮定ならびに適切に定義された有効連続体の仮定を 基本としている。MFTでよく用いられる理論として、自己整合モデルの理論（SCM：Self−Consistent Model）と 微分スキームモデルの理論（DSM：Differential Scheme Model）がよく知られており、それらは次のような仮定 を基本としている。 （a）マイクロクラック間の場は外部（無限遠）の場と同 じ性質をもつ。 （b）最大のクラックの大きさは材料の大きさに比べ十 分小さい。 これらの仮定を条件として等質の有効連続体内に埋設 されている互いに孤立したクラック群を考えて、より 単純な問題の重ね合わせとする。 有効連続体の全体（平均）コンプライアンスは、した がって、上述の近似ならびにn個のクラックすべての 影響を重ねることにより次式のように得られる。 s（x，ω）＝s（x）＋s＊［s（￠，ω）］． （1） ここに、S（x）はクラックのないマトリクスのコンプラ イアンスであり、一方、ωは履歴（微小組織の変更でき ない変化）を記憶するパラメータ群の式を表す。また、 n s＊［s（・，ω）］＝Σs（t）［9（・，ω）］・ （2） i＝1 はクラック群によるコンプライアンスである。式（2） 中において、S（i）はi番目のクラックによるコンプライ アンスである。解析的なモデルを用いるため、単一ク ラックによるコンプライアンスS（i）はクラックのない マトリクスのコンプライアンスS＝Sまたは有効なコ ンプライアンスS＝Sの関数として決定される。 一般に有効なコンプライアンスSは応力拡大係数に よる式S（り＝LS’（t）（K）から得られる。 2・2 Taylorモデルの理論 最も簡単で基本的なモデルは互いのクラック間にお いて他のクラックの存在を無視できる、すなわち、ク ラック間の相互作用はないと仮定することである。こ の場合、すべてのクラックは一般に等方性と仮定され るクラックのないマトリクスに埋設されている。本論 文において用いる応力拡大係数（簡単な形状の単一ク ラックを有する弾性材料に対する瓦と弾性エネルギー 解放率）については破壊力学関連の文献に譲り、ここ では触れない。Taylorモデル（TM）はほとんどの場合、 閉じた型の解析解によって処理することができる。こ の理論はマトリクスの剛性により隣接のクラックによ る影響を無視するので、テンソルS＊とSの下限値を与 えることになる。 式（1）と式（2）においてS＝Sを代入し、またマトリ クスは等方等質であると仮定すると、テンソルS＊（S） の構成要素はほとんどの場合、解析的に決定すること ができる。 2・3 自己整合モデルの理論 クラックの分布密度が増すにつれてモデル中の隣接 したクラック間における相互作用の影響を組み入れる ことが必要である。簡単な方法として、すべてのマイ クロクラックは有効連続体内に埋設されていると仮定 する。したがって、自己整合モデル（SCM）の弾性パラ メータに対する推定は式（1）と式（2）においてSの代わ りにSを用いて得られることになる。
3．直交異方性材料に対する解析理論
3・1 単一クラックを有する場合 クラック群を有する材料の弾性パラメータを決定す るために、まず第一に単一クラックを有する材料のひ ずみエネルギーの式を得る必要がある。任意荷重下 で、無限に拡がった等質な2次元異方性弾性体に埋設 されている単一直線クラックによるひずみエネルギー 解放率の式は、Sihらにより次式のように与えられて いる（3）。ll：乏㌫鴬i蕊｝（3）
式（3）中の，J1と」2はそれぞれモード1とモード皿の荷重 下でのクラックによるひずみエネルギー解放率である。 また、％はクラック座標系（’で表される）における異方 性マトリクスのコンプライアンスである（図1参照）。さ −：rlらに、λ；＝ア1十isl・，λi・＝ア；−isl−，（i＝1，2， r；≧0，81≧0） はクラック座標系における特性方程式の複素根である。 ここに、特性方程式はLekhnitskiiにより次式のように 与えられる（4）。 Sl，（λ’）4−2S｛，（λ’）3−←（2S｛2十Sg，）（λ’）2−2S》，λ’十SS 2＝0．（4） ひずみエネルギー解放率GはJlと」2により次式のよ うに表される。 G＝」＝Jl＋」2＝c雰91でρ1（9・ （5） ここに、式（5）中の2次マトリクス（溜（上指標aは異 方性を表す）は次式のように定義される。Cf2＝−
Sl， 図1全体座標系とクラック座標系．％一
m謬：］，
段一
?m嚇顯〆蹴L
2［（rl）2十（sl）2］［（rS）2→一（sS）2］’誌：：1∵肪
（6） 一般的な異方性材料に対して、式（4）の4次代数方 程式は代数式としての解析解をもたない。したがって、 式（6）中のパラメータ〆とslに対する解析式は利用で きない。しかし、直交異方性材料に対しては全体座標 系におけるコンプライアンスは簡単になり次式のよう になる。 特性方程式（4）は式（7）と式（8）によって定義され、 全体座標系で書くと次式のようになる。 λ4一ト24λ2−Fm＝0． （9） s・」一 miii iii iii］ （7） ここで、本論文では直交異方性材料の弾性特性を以下 のように仮定する。 1 1：1：鷲蕊∵＝E2’
1 2 1 S6「㌃＝石＝9（S・rS・2）， El Go＝ 2（1＋u、2）’ （8） 一般に自然界に存在する岩盤のような異方性材料にお いては、せん断弾性係tw G，2（＝gGo）はGoよりも小さ な値（i．e．g＜1．0）となる。本論文ではg＝0．01∼5．0 というパラメータをもちいることによりGoの関数と して取り扱い、gの変化による全体（有効）弾性係数の 挙動を研究する。 ここに、 e＝刀{蒜，m一爵・
（10） 式（9）の4次方程式の根は次式のように求められる。 （λ2）1，，＝−e±A． m＜42のとき、根［式（11）］は次式のようになる。ll：tt°it， b，，．−e＋⊂｝
m＞ψ2のとき、式（9）の根は次式のようになる。 λ、，（λ、）＝r、±・is・，λ2，（λ2）＝r2 ± is2・ （11） （12） （13） パラメータrとsは式（13）を式（9）に代入することに より次式のように得られる。：：lll∵劉 （14）
上記のパラメータrとsの値は全体座標系の一つの座 標軸に平行なクラックの場合の結果である。したがっ て、直交異方性材料の全体座標系に対して角度θだけ 傾いているクラックに対するクラック座標系における パラメータ〆とsノを求める必要がある。すでに全体座 標系における根は式（13）と式（14）から得られており、 したがって、任意のクラック座標系に対する特性方程 式（4）の根は次の変換を使うことにより得られる。λ‘一鷲譜，Xl一曇篇ii鵬 （15）
したがって、クラック座標系におけるパラメータ〆と s’は次式のようになる。 ：慧i｝：1：：lll：：ll：：：1二1：：｝ ここに、 ω1，2＝（∨／：mT sin2θ十cos2θ±rsin 2θ）−1． （16） （17） 式（16）と式（17）を式（6）に代入すると、マトリクスの 係数（潟は次式のようになる。cα；P9 Of1＝ C巴＝ ノ C；1； ノ c82； 1十2（ゼー1）cos2θ十（m−2ψ十1）cos4θ，
A堕
2
（Viii 一 1）sin 2θ ×・［跳刻，
s62 1十（∨t：m：T−1）cos2θ × 1十2（￡−1）sin2θ十（m−24−F 1）sin4θ’ ここに、 m−2（m＿必）cos2θ十（m−2老！十1）cos4θ A＝ 1十2（4−1）cos2θ一ト（m−2⑫一ト1）cos4θ’ S｛i （∨7E−1）sin 2θ 21十（m−1）sin4θ， s｛1 1→一（W偏一1）sin2θ × よって、単一直線クラックを有する異方性体のひずみ エネルギーは次式のようになる。ヅ；㍑血一2￡一ズα嚇輌（25）
ここで、巨視的に直交異方性材料の未知な全体コンプ （18） ライアンスに対する近似解析解を得るために・5｛1≠ SS，を仮定すると係数（鞠は次式のようになる（Quasi− Orthotropic近似と呼ばれる）。 m−2（m−1）cos2θ十（m−1）cos4θ また、コンプライアンスに対する変換法則は次式のよ うに与えられる。 （19） S；ゴ ＝9；m9；ηSmn・ （20） ここに、変換マトリクスglゴはHorii＆Nemat−Nasserに より次式のように与えられる（5）。 垢一s；㌧劃 （21）
クラック座標系におけるコンプライアンスS｛iとSl2 に対する式は、式（7），式（8），式（20）および式（21）から 次式のようになる。：1：1難1：：き：1叫②
式（22）を式（18）に代入することにより、係数0；に対 する最終的な式が次式のように導かれる。牛両［：；｛：園，
Of；’＝1＋（Pt−1）・・s2θ， C巴＝C身：＝弓（」ii−1）・i・2θ， C；；’＝1＋（．后一1）・i・2θ． （23） 上記の結果を用いて、単一直線クラックを有する異方 性体のひずみエネルギーを求める。まず、経路積分M は」に対する式から次式のように与えられる。 M＝2α」＝2α（写q1ζρ1ζ9・ （24） 0；g＝S62δ1∫，δ1g一トS；1δ21）δ2g、 （26） ここに、砺はKrOneckerのデルタである。また、最後 の単純化として材料は等方性であると仮定すれば、次 式が希釈したクラック分布に対して次式が一般に用い られる（Isotropic近似と呼ばれる）。 1 s；1＝s；・一ア ここに、 Et＝o1三1蕊1：惣1け
（27） （28） この場合、式（26）の係数C品は極めて簡単な次式と なる。 1ρ・＝万・P・・ （29）
2次元異方性弾性体内に埋設されている単一直線ク ラック（図1）に対する応力拡大係数は、クラック座標系 に対して、Sihらにより次式のように与えられている。 K1；κ∫＝ア1∼后，1ζ2＝Ku；τ6 ViFEi． （30） 単一直線クラックを有する材料のひずみエネルギーの 式は、式（29）と式（30）を式（25）に代入し次式のよう になる。 ψ・＝（Tl）2G（T6）2・a・・ （31）
式（30）と式（31）において、次式のVoigtの表記法を用 いた。1に蕊：蕊惣｝
（32） 一般に異方性はマトリクスの固有な性質またはク ラックの存在により生じるが、以下において、コンプ ライアンスと弾性係数は全体（有効）特性として扱わ れる。それゆえ、この章で得られた式をS＝百および S’＝S’のように使う。3・2 クラック群を有する場合 MFT近似において、巨視的応力は全体コンプライ アンスの平均化によって巨視的ひずみと次式のように 結ばれる。 ε＝s：a＝（s十s＊）：σ． （33） 全体コンプライアンスに関する式と補足的な弾性ひず みエネルギーの導関数は、Krajcinovicらにより次式の ように与えられている。
可＝sバ⑪
z器暢（34）
2次元弾性体内に埋設されている単一直線クラックを 有する材料のコンプライアンスは、式（25）を式（34）に 代入し次式のようになる。ギ爺瓢』 ｝（35）
単一直線クラックを有する2次元直交異方性弾性体に 対するコンプライアンスの最終的な式は、式（23）と式 （30）を式（35）に代入すれば、次式のようになる。s罪＝
y瓢霊lc＋66’62」）｝（36）
Quasi−Orthotropic近似［式（26）］とIsotropic近似［式（29）］ において、コンプライアンスはそれぞれ次式のように 推定される。 Slゴ（h）＊＝2・・2（Sl，δ，，δ，ゴ＋31、δ、、δ，ゴ），（i，」＝1，2，6）．（37） S；、（’）’一？．s，2（δ・，δ・、＋δ・，δ・」）7（i，」−1，2，6）．（38） 全体座標系におけるコンプライアンスの式は変換法則 を使って、次式のようになる。 s・、（k）’＝s㌫。（㌦編ゴ． （39） 式（39）中の変換マトリクスgl；はHorii＆Nemat−Nasser により次式のように与えられる（5）。 ％一ﾛ轟劃 （4・）
単一直線クラックを有する材料の全体座標系における 最終的なコンプライアンスの式は、式（36）と式（39）か ら次式のようになる。 s’」’（’e）’＝2・・2［Cf、・繊＋Cf、（・繊＋9繊@ 十C＞29畿9脇］・）
p（41） Quasi・・Orthotropic近似およびIsotropic近似において は、それぞれ次式のようになる。 錫（’e）寧＝2・・2（百；，9繊＋言；、9繊）． （42） Si」 （k）．一ｾ働＋繊）． （43）
単一直線クラックを有する材料のコンプライアンスは、 式（40）を式（41）に代入し式（23）を使うことにより得 られ、最終的に次式のようになる。 511（k）申＝＝ 2πα25百11 ×｛1十（2∼／ヲ万一3）cos2θ一4（v／石一1） ×cos4θ一←2（砺一1）cos6θ 十ノ4［一2（∼后一1）cos2θ十4（〆−1） ×cos4θ一2（∨砺一1）cos6θ］｝， S22（k）．@＝ 2πα25苫『11 ×｛∼／㌃cos2θ一2（∼／涜一1）cos4θ ＋2（∨／：m「−1）…6θ＋A［2（〆−1） ×cos4θ一2（∨／：m＝T−1）cos6θ］｝， （44） Quasi−Orthotropic近似におけるコンプライアンスは式 （22）を式（42）に代入し変換法則［式（40）］を使うことに より次式のようになる。 S、、（k）’＝2・・2｛言、1［1＋2（e−2）…2θ 一2（24−3）cos4θ十（2Z−3）cos6θ］ 十S22（cos2θ一2cos4θ十cos6θ）｝， S22（k）’ ・・2πα2｛豆、1［（2e＋1）・・s4θ 一（24十1）cos6θ］ 十S22（cos2θ一3cos4θ十3cos6θ）｝． （45） クラック群を有する材料に対する全体コンプライアン スは、式（1）と単一直線クラックに対する式（44）1（45） から求められる。 3・3 クラック群が2つの系に分割される場合 2次元問題において、すべてのクラックが2つの系 に分割される場合を考える。これらの2つの系は互い にN／2個の平行（直線）なクラックで等しい長さ2αを もつと仮定する。これらの2つの系のクラックはz1軸 に対してそれぞれ角度＋θoおよび一θo傾いているとす る（図2参照）。MFT近似において、上記のようなク ラック群を有する材料のコンプライアンスは次式のよ うに推定できる。 S寿一；［場θ申（θ。）＋s、ゴ（k）＊（一θ・）］． （46）灘饗総織蕪慰
…＞X1 図2クラック群が2つの系に分割される場合 Quasi−Orthotropic近似は式（45）を式（46）に代入して 次式のようになる。難
〆
一繋
鶴翁麟鍵難
＞X1 1；：：惣｛；ll：：1工；：：Sl：｛：｝ 式（47）を式（1）に代入すると次式のようになる。∵隠）∵麗：；誉選｝
ここに、 ω＝Na2． （47） （48） （49） はBudianskyおよび0℃onnellのクラック濃度である （6）。式（49）中の」Vは単位面積当たりのクラック数であ る。また、式（48）中のパラメータB（e，θo）は次式のよ うになる。 Bn＝ 1十2（ψ一2）cos2θo−2（2必一3）cos4θo 十（2乏一3）cos6θo， B12＝ cos2θo−2cos4θo一トcos6θo， B21 ＝ （24十1）cos4θo−（2必一ト1）cos6θo， B22＝ cos2θo−3cos4θo−F 3 cos6θo． （50） 他方、Isotropic近似に対するコンプライアンスは、式 （1）と式（47）で、Sll＝ S22＝1／E’と置くことにより、 次式のように得られる。蓼lll：；；：i；；二；；；｝ （51）
3・4 クラック群が扇状系になる場合 クラックの方向が一様に扇状系に角度一θo≦θ≦＋θo 中を分布する場合を考える（図3参照）。このようなク ラック群を有する材料のコンプライアンスは、MFT近 似では、次式のように推定できる。 図3クラk）tク群が扇状系になる場合s；一蹴批θ・ （52）
Quasi−Orthotropic近似では、全体コンプライアンスは 代数方程式を解くことにより得られ次式のようになる。：＝）∵惣1ご顯｝（53）
ここに、係数bijは式（42）を式（52）に代入することに より次式のように得られる。 bll＝ b12＝ b21＝ b22＝ え［k（2e＋5）θ・一晶（2e＋13）曲2θ・ 一詣（2e−3）・i・4θ・＋量（2e・−3）・i・6θ・］， 1 11 砺（πθ・一砿sin 2θ・ 1 1 一苗・i・4θ・＋而・i・6θ・）， 晶8ゼー5）θ・＋晶（18e−15）皿2θ・ ÷i・4θ・一吉（2e＋1）・i・6θ・］， 13訂（Ei6 e・＋颪sin 2θ・1 5 ＋妾・i・4θ・＋晶・i・6θ・）・ （54） 他方、Isotropic近似では、式（1）と式（52）で、 Sll＝ S22＝1／E’と置くことにより、次式のようになる。≒；；li；；；；；：1｝
4． 一般的な直交異方性材料に対する
解析理論 4・1 解析理論 （55）X2
／ ぷ弐 f 評 ｰ ⊃z ` 灘 バ F 、 C、 P∨ 〆 c “v 〆 沙 揮 」 @ ∨ p ／ ﾉ〆 ⊃ f ＼’ 年 ∀ @＼ 躍 籔 、 @ v Y 丁 ト @ ヘ m て 、 @ う A戸 z ﾘ ． @ 孕 @ 帖 @ヤ ･ ノ @ リ @ 、 ㌣ ぐ久 m ト ’ A s w ㍉ ン ● ン ヤ w 《 へ 】 g ば 》へ 7 ぐ @ト q 、 @！ A 丁 ，担 下 ↑ ／ ／ @ ∀ wX1
図4全体座標系と弾性主軸 前章までは材料の弾性主軸と全体座標軸とが一致 した直交異方性材料について考えてきた。ここでは、 より一般的な直交異方性材料について考えることに する。 一般的な直交異方性材料においては、材料の弾性主 軸と全体座標軸とは一致しない。したがって、クラック のない直交異方性材料の弾性主軸におけるコンプライ アンスを次式のように仮定し、変換法則を使うことに より全体座標系におけるコンプライアンスを求める。 （56） 特性方程式（4）は式（57）を変換したコンプライアン スにより全体座標系で書けは、次式のようになる。 λ4＋αλ3＋βλ2＋γλ＋δ＝0． （57） ここに、 ・＝−2早Cβ＝2完＋漂，・一一2爵，δ一雲・（58） 式（58）の根は計算機により数値的に求めることがで きる。 計算機による結果を用いて第3章と同様の計算を行 うことになるが、一般的な直交異方性材料の場合、第 3章で用いたマトリクスの係数0茜に対しての近似式 （Quasi−Orthotropic近似およびIsotropic近似）は用いる ことができず、よって、係数C；qに対しては式（6）を直 接用いることにより全体弾性係数比の解析式を導き出 すことになる。 国 ＼ lm 1．0 0．0 tm2 sc1 ω一9＝10
9＝0105
図5クラック群が2つの系に分割される場合で
θo＝±π／6のときのg＝1，0とg＝01の場合の各 推定法による比較． 国 ＼ lm 1．0 0．0 sc2 t皿2 ω 一9＝1．0 9＝O．105
図6クラック群が扇状系になる場合でθo ：士π／6のと きのg＝1．0とg；01の場合の各推定法による比較5．数値計算例
5・1 直交異方性材料に対する数値計算例 第3章で得られた式を用いて数値計算を行う。例とし て、〃12；0．25のときg（；G12／Go）＝0．01，0．05，01，05， 10，2．0，5．0と変化させ数値計算を行った。また、図中に おける記号は次のことを表す。tm→TM推定（Isotroplc 近似），sc→SCM推定（Quasl−Orthotroplc近似），tml→ −＝tm tm sc −＝＝ぷcE1 ／五7， tm2 −→ E2 ／E， sc1 → E1 ／E， sc2 −→ E2 ／E ここには代表的な図のみを示し、考察を述べる。図5および図6より、TM推定およびSCM推定双方
がX1軸方向の全体弾性係数比E1／Eの方がX2軸方向の 全体弾性係数比E2／Eよりも大きくなることを示して いる。これはクラックの方位が全体弾性係数比に影響 を与えていることを示唆している。また、TM推定は蚕 ＼ EII 1．0 O．0 9＝0．1 ＝0．05 9iQ．．QY ω 9＝5．0 ＝2．0 ＝1．0 ＝O．5 0．5 算を行っ’たが、ここではその一部を示す。例として、直 交異方性材料の弾性係数比をe＝E2／E1＝2．0とし、 〃12＝O．25のときの数値計算を行い、考察する。 図7および図8より、一般的な直交異方性材料の 場合、φの大きさが全体弾性係数比に対して大きく影 響することがわかる。φNπ／36よりも小さい場合、 g←G12／Go）の値が大きくなるにつれて全体弾性係数 比も大きくなるが、φの値がそれ以上になると、逆に gの値が大きくなるにつれ全体弾性係数比は小さくな ることがわかる。
