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(1)初等関数. 矢崎. 目次 . . 関数関数関数次関数有理関数（特に、次分数関数）指数関数対数関数ベキ関数三角関数双曲線関数関数の特性逆三角関数. 注問題

(2) これだけは！（初級）問題

(3) 脳みそに汗が；（中級）問題

(4) むむ、御主只者でないの。（上級）. . .

(5) 関数 . . 定数一定の値を表す数。通常、 . . . 変数定数でない数。通常、 . 関数

(6) つの集合に間にある対応する規則。. かつて函数と書いた。. はの関数変数を決めると、それに対応して変数の値が定まるような規則。通常、 .

(7) . などとかく。を独立変数、を従属変数という。例等速度

(8) で運動している物体が秒間に進む距離を

(9) とすると、という関係式が成り立つ。は定数、は独立変数、は従属変数である。はの関数であるから

(10) とおいて、

(11) と書ける。文字の倹約で、

(12) と書くこともある。この場合、左辺のは従属変数、右辺

(13) のは関数の意味となる。例理想気体の状態方程式

(14) において、温度が一定の状態の下では、圧力を独立変数とみれば、体積はの関数となり、体積を独立変数とみれば、圧力はの関数となる。どちらも独立変数になり得る。関数の定義域

(15) 独立変数の取り得る値の範囲。通常、 . . . 区間. . などと表す。例.

(16) . . . の定義域は . . 注区間の記号について。

(17) 開区間半開区間

(18) 半開区間閉区間. . . 詳しくは、右半開区間詳しくは、左半開区間. 関数の値域

(19) !

(20) において、独立変数が定義域の中をくまなく動いたときの、従属変数の取り得る値の範囲。通常、.

(21)

(22) . . . . . などと表す。例問題. . . 関数

(23) の定義域は Ê 値域は

(24) . 知っている関数の定義域と値域を確認せよ。. . . . Ê .

(25) 関数 . . 価関数例. 多価関数例. . を決めるとの値が一つ定まる関数。. . . . を決めるとの値が複数（有限個）定まる関数。. . . 無限多価関数例. . . . . ならば、 . 値がつ定まるので価関数。. を決めるとの値が無数に定まる関数。. . . ならば、

(26) . 単調関数関数の定義域に属する . . . . . について、. ならば、

(27) 単調減少ならば、

(28) 単調は単調増加か単調減少広義の単調増加ならば、広義の単調減少ならば、単調増加. 例. 通常、関数といえば価関数を指す。.

(29). . もしくは、狭義の単調増加.

(30). . もしくは、狭義の単調減少. . . . . . . . . .

(31) は、 . .

(32). . . . . . . .

(33). . で単調増加、

(34) . .

(35). . もしくは、単調非減少.

(36). . もしくは、単調非増加. . で単調増加。. 例記号でを超えない最大の整数を表すことにする（" 記号）。例えば、このとき

(37) ならばはの整数部分に等しい。関数

(38) は

(39) で広義の単調増加である。. . . 問題. . 単調な関数の例をつ挙げよ。. . .

(40). 関数 . 逆関数をの定義域とする。任意の

(41) に対して、

(42) となるがただ一つ存在するとき、対応をの逆関数といい、. .

(43). の値域は. ½. と表す：

(44) . 注 . . . . . . . . は.

(45) . の定義域は

(46) 値域はである。. 注

(47) の逆関数

(48) のグラフは、

(49) をを軸として対称に折り返したグラフである。注. 単調な関数は逆関数を持つ。. 例. .

(50) は、.

(51) #

(52) の逆関数 . について解いて、

(53) 例. 逆関数と逆数は違う. . の逆数。. とを入れ替えるとわかりやすい： . . . . . . . # を . . 上の例で、

(54)

(55)

(56)

(57) である。実際、.

(58). . . . . .

(59) .

(60)

(61) .

(62) # .

(63) . . . . . . . . . . . # . . # . これは一般に成り立つ。. 定義から当たり前！. 問題単調な関数

(64) とその逆関数

(65) の例を挙げよ。また、

(66)

(67)

(68) を確認せよ。

(69) . . . .

(70) . . 次関数. 解析学で最も基本的な関数は . # .

(71) 定数、 . で、これを次関数という。グラフは直線 $!% & である。軸上の点を切片、軸上の点を切片と呼ぶ。の係数はグラフの傾きを表し、を定数項と呼ぶ。のとき、. . . . となるが、これを定数関数（

(72) 次関数）という。次関数と定数関数で平面内のあらゆる直線を表すことができる。ただし、 . 軸は . . 軸に平行な直線は定数. という形になる。. 次関数. . # # . 次関数. . # # # . 次関数. . . . #.

(73) 定数、 . . .

(74) 定数、 . #. #.

(75) . . . 定数、 . 次関数から次関数までの代表的なグラフの形状は以下のようである。山と谷が交互に一つずつ増えていくのがわかるであろう。. . . 注. . 次数を特に問わないとき、多項式関数という。. 問題.

(76) . . 以下の各関数のグラフを代表的な点や切片と共に図示せよ。. 軸、及び軸に平行な直線をそれぞれ本ずつ描き、それぞれの式を書け（計つ）。 .

(77) つの次関数 . . .

(78) つの次関数 . . .

(79) つの次関数 . .

(80) .

(81) つの次関数 . . .

(82) つの次関数描け。問題. . . . . . . . . . を描け。. を描け。.

(83) # を描け。

(84) #

(85) # を描け。

(86)

(87)

(88)

(89) # を . . . . . . . . . 以下の各関数のグラフを代表的な点や切片と共に図示せよ。.

(90) 原点を通る次関数の一般式を書き、その典型的なグラフを図示せよ。

(91) 原点を通る次関数の一般式を書き、その典型的なグラフを図示せよ。

(92) 原点を通る次関数の一般式を書き、その典型的なグラフを図示せよ。 . 次＝線型（線形）＝リニア .

(93) 有理関数（特に、次分数関数）.

(94) と

(95) を多項式関数としたとき、その分数関数. が共にき、これをと呼ぶ. . .

(96)

(97) . . . 次関数のと次分数関数. を有理関数と呼ぶ。典型的な例は、反比例の関数 . . . であろう。これは軸、軸を漸近線とする双曲線を表す。問題. . . 対し、問題. . . . . . に対し、 . . を描け。. . . . . のとき、双曲線 . を描け。また、 . . を、原点を相似の中心として. '. に . . は、 . 倍に拡大. したものである。なぜか。問題. . . 問題. . . . . . . . . . を描け。一般に、 . . 軸方向に. . . を. . # を描け。一般に、 . を. . . . # . . #. は定数、

(98) . は、. . . . # は、. は定数、

(99) . . . . . . # は、. は定数、

(100) . . 平行移動し、平行移動したものである。. #. . . を描け。一般に、 . 軸方向に. . . 平行移動したものである。. 軸方向に. 次分数関数 . . 平行移動したものである。. 軸方向に. . かつ. 例. . を. .

(101). . . . . . 問題. . は、. . . . と変形できるので、問題に帰着できる。問題. . . のとき、 . . かつ. ¾を . . . . を描け。一般に、 . 軸方向に軸方向に. # は、 # . 平行移動し、平行移動したものである。. ¾ も求めよ。 . .

(102) は定数、

(103)

(104) . .

(105) 指数関数. . 指数関数

(106) をと底とする指数関数という。の定義は、等比数列

(107)

(108) からはじまり、次のように順次定義を拡張していくことによりなされる。 . ¾. ¾ 自然数

(109) 整数

(110) 有理数

(111) 実数. のグラフを見てみよう。左から、ののグラフである。 . '. . . のとき. '. '. 真ん中のグラフはであるので、定数関数である。よって、今後はかの場合のみ考える。とする。このとき次の法則が成り立つ：

(112)

(113)

(114) . . . . 指数法則. . . . . . . . . したがって、左右のグラフにおいて、 . . . . . . とおいて、. . と考えてもよい。問題. . . とを同一座標平面上に描け。. 問題

(115) を同一座標平面上に描け。

(116) を同一座標平面上に描け。問題. .

(117) . . . . .

(118) に注意して、次の各式を簡単にせよ。. . . . .

(119) . . . . . . . .

(120) . . . . . 問題電卓などで、の値を計算せよ。また、の値と比較せよ。問題. . .

(121) . 次の各指数方程式を解け。. # .

(122) . . .

(123) # . .

(124) 対数関数. . 指数関数

(125) . .

(126) . . . は単調である故、逆関数をもつ。つまり、. . を満たすが、指数関数の逆関数である。それを &! と書き、と底とする対数関数という。すなわち、を真数と呼ぶ。 . . . . &! .

(127) . . . とはとを入れ替えただけであるから、 &! のグラフはのグラフをについて対称に移動したものになる。実際、 &! のグラフは次のようになる。左がのとき、右がのときである。 . '. '. のとき、&! を自然対数と呼ぶ。&! を &! あるいは & と書く。のとき、&! を常用対数と呼ぶ。 &!

(128) &! # &! 対数法則とする。このとき次の法則が成り立つ： &!

(129) &! &! &! &!

(130) は実数 . . 問題. . . . &! の定義域と値域を求めよ。. 問題基本性質：

(131) &! を納得せよ。問題. . . 対数法則を理解せよ。. 問題.

(132). . 底の変換公式 &! . 問題. . . . .

(133) &! .

(134) &!. . &! を示せ。 &! . を示せ。

(135) . . .

(136)

(137) . . . 問題実数に対して、をを超えない最大の整数とする（" 例記号）。自然数に対して、

(138) &! # と定義すると、

(139)

(140)

(141) はの桁数となる。例えば、のとき、

(142) はの桁数。.

(143) .

(144)

(145)

(146)

(147) を計算し、それぞれの数字の桁数と一致することを確認せよ。.

(148) &! . であることを用いて、 . の桁数を調べよ。. .

(149) &!. 円からはじめて、前日の倍を

(150) 日間もらい続けたときの合計金額の答え。. .

(151) 一般に

(152) がの桁数となることを示せ。問題. . . 次の各対数方程式を解け。 . .

(153) &!

(154) . . . .

(155) &! . .

(156) &! . .

(157) ベキ関数. . 関数

(158) 定数をベキ関数という。をベキ（指数）と呼ぶ。ベべき（巾、冪）キが整数のときは、有理関数である（特に、自然数のときは、多項式関数）。一般に、は任意の実数をとることができる。例えば、 . . . . . . . . . が実数のとき、の定義を . . とする。定義域はである。ただし、のときは、

(159) と定め、いて、関数

(160) の定義域をとする。. 例は . 例. . 問題. . . . . . . . . .

(161) . . . の逆関数であり、定義域は値域 . . 値域は. . . と定義してお.

(162). . の逆関数であり、定義域は. . 次の各問に答えよ。. の逆関数とその定義域、値域を求めよ。.

(163) . . .

(164) . .

(165) の逆関数とその定義域、値域を求めよ。.

(166) . . . . .

(167) . . . . . . . . . . . . # の定義域と値域を求めよ。. . を含む関数を無理関数という。.

(168) 三角関数. . 三角関数の基本は単位円における動径と軸のなす一般角、及び動径の指し示す座標との関係である。 . . '. . 高校では、これを基本とし、余弦定理からの加法定理を導いた。.

(169) # . . また、

(170) #

(171). . . . . . #

(172). . 実際は、の加法定理. . . . より、の加法定理を得る。.

(173) # # の加法定理、和積（積和）の公式、半角、倍角、倍角の公式などは加法定理から芋づる式に導出できる。との加法定理以外は、がんばって記憶する必要はないが、上の単位円における基本と、三角関数のグラフの特性（定義域、値域、周期性、切片、漸近線など）だけはしっかりと身につけておくとよい。注. 三角関数の (逆数) を、. . . . . . . . . と表す。. 問題. . . との加法定理から、の加法定理を導け。. 問題. . . . 問題. . .

(174)

(175)

(176)

(177)

(178)

(179) #

(180)

(181) # を簡単にせよ。 . 問題. . . . . をを用いて表せ。. .

(182) . #. . . とおくとき、次の等式を証明せよ。.

(183) . . #.

(184) . この変数変換は強力である。. . .

(185)

(186). 双曲線関数. 次の関数を双曲線関数という。. % . . . . . . . % . . # . . . . % . % % . 左からそれぞれ、双曲正弦

(187) %*+$,& 、双曲余弦

(188) %*+$,& 、双曲正接

(189) %*+$,& ! と呼ぶ。オイラーの公式 # を使うと、 # . . である。ここで、は虚数単位。このを形式的に落したものが双曲線関数である。双曲線関数に対しては、三角関数と (似たような) 関係式が成立する。問題を見よ。下の図は左から、双曲正弦、双曲余弦、双曲正接である。. '. '. . '. まとめて、同一平面に描くと、次のようになる。. '. 問題. . .

(190) %

(191) . において、とおくと、双曲線を得る。が、単位円のパラメータ表示になっているのと同じことである。双曲線関数は、のちに複素関数論（数学解析）で再登場する。. 次を示せ。 . %. %. . . . . %. .

(192) %

(193) # % % # % %

(194) %

(195) # % % # % % ここで、% 問題.

(196). . . % である。. %

(197) # を % % を用いて表せ。. . . . %

(198) %

(199) をとも表問題 %

(200) す。につの逆関数 $% $% $% をそれぞれ対数関数や無理関いても同じ。数を用いて表し、各定義域と値域を記せ。. .

(201) . 関数の特性. 三角関数

(202) は

(203) #

(204) を満たす。即ち、ごとに同じ値をとる。このような関数を周期の周期関数という。より一般に、.

(205) #

(206) . . を満たす関数

(207) を周期の周期関数と呼ぶ。また、

(208) は . .

(209). . . .

(210) . . という関係式も満たす。このような関数を奇関数という。奇関数の例 % % 一方、

(211) は . .

(212).

(213) . . という関係式を満たす。このような関数を偶関数という。偶関数の例

(214) % 上の関数を組み合わせた関数もあり得る。下の図は、奇関数の周期関数（左）と偶関数の周期関数（右）である。. 例えば、は奇関数の周期関数で、は偶関数の周期関数である。関数のある種対称的な特性は上の点に代表され、三角関数はその格好の例であった。指数関数や対数関数の特性も次のように標語的に表現される。指数関数は、和が積になる関数対数関数は、積が和になる関数この意味も含め、下の問題を解いてほしい。. 問題真偽を答えよ。真の場合は理由を述べ、偽の場合は反例をあげよ。

(215) 奇関数と奇関数の積は偶関数

(216) 奇関数と奇関数の和は偶関数

(217) 偶関数と偶関数の積は奇関数

(218) 偶関数と偶関数の和は奇関数

(219) 奇関数と偶関数の積は奇関数

(220) 奇関数と偶関数の和は奇関数問題. 次の性質を満たす関数

(221) の具体例をつずつあげよ。

(222)

(223) #

(224)

(225)

(226) #

(227)

(228)

(229)

(230)

(231)

(232)

(233)

(234)

(235) #

(236)

(237)

(238)

(239)

(240) #

(241) . . . .

(242) . 逆三角関数. 逆正弦関数. . . の定義域を . . に制限すると、この区間で単調増加となり、逆関数をもつ。これをと書く。 $ の定義域は値域はである。一般に、を与えたとき、をみたすをと書く。 $ の定義域は値域は

(243) で、無限多価関数である。そこで、 $ の値域をに制限すると、この区間では価関数となり、これは $ に等しい。 $ を $ の主値という。 . . . . . . . . このとき値域はもしくは、. . ½. もしくは ½ . 逆余弦関数の定義域をに制限すると、この区間で単調減このとき値域は少となり、逆関数をもつ。これをと書く。 $ のもしくは、 ½ 定義域は値域はである。一般に、を与えたとき、をみたすをもしくは ½ と書く。 $ の定義域は値域は

(244) で、無限多価関数である。そこで、 $ の値域をに制限すると、この区間では価関数となり、これは $ に等しい。 $ を $ の主値という。. . . . . . . このとき値域は . 注関数といえば価であるものを指すことが多いので、今後は小文字の $ $ $ をもって主値を指すことにする。. ほとんどの場合、主値しか考えない。問題は例外的。. . の定義域を

(245). . に制限すると、この区間で単調増加となり、逆関数をもつ。これをと書く。 $ の定義域は

(246) 値域は

(247) である。一般に、

(248) を与えたとき、をみたすをと書く。 $ の定義域は

(249) 値域は

(250) #

(251) #

(252)

(253)

(254) で、無限多価関数である。そこで、 $ の値域を

(255) に制限すると、この区間では価関数となり、これは $ に等しい。 $ を $ の主値という。逆正接関数. . . . . . . 問題. . . .

(256) $

(257). .

(258) $

(259). 次の各値を求めよ。

(260) $

(261)

(262) $

(263) . . . . $ # $ . 問題. . . 次の各関数のグラフを描け。.

(264)

(265) $

(266) . . .

(267) $ . . 各整数 .

(268) $

(269).

(270) $ .

(271)

(272) $

(273) . . . .

(274)

(275) $

(276) . に対して、以下を示せ。. . # . .

(277) $ $ # .

(278)

(279) $

(280). を示せ。. . $

(281) $.

(282) $

(283).

(284) $

(285) . # #

(286).

(287) . . ½. もしくは ½ . . . 問題. 問題. . 次の各値を求めよ。.

(288) $ 問題. . もしくは、. . .

(289)