1 基礎物理学

基 礎 物 理 学

担当 小野正利 [email protected]

第４回（２）

教科書

（１）「基礎物理学」

（２） http://www.hoku-iryo-u.ac.jp/~onomasat/

次回（6月19日）の５～１０分間テスト範囲

（黒板に示します）

（黒板に示します）

（１） 答

基礎物理学 問題 第 4-1 回

問題１ 位置 が時間 の関数で与えられているとき

の速度 の計算。

dt t dx t t x

v

t

) lim (

)

(

0





 





t t

x ( )  3 ( ) 3

dt  t x d

d ( )

（２） 答

（３） 答

（４） 答

5

2

)

( t t

x  t

dt t dx ( )  10

2

3

) ( t t

x  ( ) 6

²

dt t t x

d 

2 0

0

2

) 1

( t x v t t

x    g v t

dt t x d ( )

0

 g



（３）速度一定の運動（等速度運動）

v v

0

) 0

( t v v 

t

t v x t v x t x

t v t v x t x x

t x t x t

x t x t v x

0 0 0

0 0 0

) 0 ( ) (

) 0 ( ) (

) 0 ( ) ( 0

) 0 ( ) (

















 



 



　

この式から　 Δ Δ Δ

Δ

) 0

( x

x 

ただし，

x v

t v

0

) 0

( t v v 

t v x t

x ( ) 

O

t x

₀

t v x t

x ( )  ₀  ₀

x(t)

O

（４）加速度一定の運動（等加速度運動）

a

t a

0

a(t)=a

₀

t

t a v t a v t v

t a t a v t v v

t v t v t

v t v t v v

0 0 0

0 0 0

) 0 ( ) (

) 0 ( ) (

) 0 ( ) ( 0

) 0 ( ) (

















 



 



　　　

この式から　 Δ Δ Δ

Δ

)

0

0

( v

v 

ただし，

a

t a

0

v

) 0

( t a a 

O v

t v

0

t a v t

v ( )  ₀  ₀

O v(t)

v

t

軸

v

₀

t a v t

v ( )  ₀  ₀

O v(t)

t a

₀

t

t t a t

v x

t x













0

0 2

1

) 0 ( )

(

（黄色の面積）＋（ピンクの面積）

2 0 0

0 2

) 1

( t x v t a t

x   

よって，

)

0

0

( x

x 

ただし，

a

t a

0

v

t v

0

a(t)=a

₀

v(t) = v

₀

+ a

₀

t

O

2 0 0

0

2

) 1

( t x v t a t

x   

x

₀

x(t) x

O t

2 0

0

2

1 a t t v 

一様な重力場の中の運動（落下運動）

鉛直上方を z 方向とする 加速度が a(t) = － g となる

（ g は重力加速度の大きさ ）

従って，速度： v(t) = v ₀ － gt

位置： z(t) = z ₀ + v ₀ t － (1/2) g t ²

z(t) = z₀+ v₀t －(1/2) gt²

z

x

v(t) = v0－gt

a(t) =－g，

（５）放物運動

 

 0  ²

0

2 sin 1

) (

cos )

(

t t v

h t y y

t v

t x x

 g













 方向：　

方向：　

x y

x

2

x

1

O h

j i

v

0

 v

0

cos    v

0

sin  

α

j i

３．身長 h=180 cm の人が，水平と角 α=30 ゜ をなす方向に，ボールを速さ v ₀ =20 m・s ^-1 で 投げる。

＜問題４＞

y v

0

 v

0

cos   i  v

0

sin   j

x y

x

2

x

1

O h

j i

v

0

v

0

cos   v

0

sin 

α

j i

運動方程式 y

（１）ボールが最高点に達するのは，投げてから 何秒後か，空気の抵抗は無視して考えよ。

方向　　等加速度運動 方向　　等速度運動

y

大事な点 → x

g m dt f

y m d

dt f x m d

y x











2 2

2 2

0 運動方程式

x y

x

2

x

1

O h v

0

 g





2 2 2

0

y y d

dt x x d

方向 方向

y

x

₂

x x

₁

O h v

⁰ 方向　　等加速度運動 方向　　等速度運動

y

x

 g

2

y方向 dt

 

 v α 

dt t dy dt

y y d

α dt v

dx dt

x x d

sin

cos

0

2 0 2

2 0 2





















g g

　 　 方向　

　 　 方向　

y

x

2

x x

1

O h v

⁰

 

 v α  　 dt t

y dy

α dt v

x dx

sin

cos

0 0









 g

方向　 方向　

 

 ^α  ^{t x}  

v x

x 

₀

 

₀

0 cos

何故なら 方向　

   

 

 

 y h 

h t α v t

y t α v t y 　 y

x t

α v

































0 0

2

0 0

2

0 0

2 sin

1 2 sin 1

0 cos

何故なら　 　　　　　　

方向　

何故なら　 　　　　

　　　　　

g

g

最高点では y 方向の 速度成分がゼロ

 

　　   g t  v

₀

sin α  0 dt

dy

x y

x

2

x

1

O h v

0

0 dt dy

    _（秒）

　

　 s 1.02 s 8

. 9

10 m/s

9.8 sin30 m/s 20 sin

2

0

   





^

g α t v

　

（２）ボールが地上に落ちる点は，投げた点から どれだけ離れているか。

 v α  t x

x の位置：  cos 

ボールの位置 ( x, y ) は次のようになる。

 

 v α  t h t

y y

t α v x x













 2 sin

cos

0 2 0

の位置：　 g の位置：　

ボールが地上に落ちる位置は y = 0 である。

この時の時刻を t

₂

とする。

0 8 . 1 2 10

8 ) 9

(

1

2 1

1

  . t  t  

t y

y y ( t

1

)  0

a ac b t b

c bt at

2 4

0

2 2





 





 補足

x x

2

x

1

O h v

0

 

 

 



 



 















 





 











s 166 . 0

8 . 9

63 . 11 10 8 . 9

28 . 135 10

9 . 4 2

8 . 1 9 . 4 4 10 10 2

4

0 8 . 1 2 10

8 9

2 2 1

1 2 1

　　 

a ac b t b

t . t y

 ^cos   ^{20 cos 30 m/s}  ^{2 . 207 s}

1 0 2

2







 v α t

^

x

x は次のように計算でき る。

落下地点の位置　

 

 2 . 207 s 　

６．物体 A が高さ h [m] から落下する。 a [m]

落下したとき，高さ ( h – b ) [m] の高さから 物体 B が落下して，二つの物体 A ， B が同 時に地上に達した。 h を求めよ。また， B が 落下するまでの時間 t を求めよ。

＜問題４＞

A

h a b

B

g g a

t t

a 2

2

1

0 2

0

 



物体 A が等加速度である重力加速度 g [m/s

²

] で落

下を開始して， a [m] 落下するまでにかかった時間を t

₀

[s] とする。また，そのときの速さを v

₀

[m/s] とする。

これらの間には次の関係がある。

g g g g

g a a t

v 2 2

0

0

    

A

h a b

B

v 0

v 

 0

v

t 　 v t a

h

² ₀

2

1 



 g

物体 A が a [m] 落下直後から地上に衝突するまで

の時間が求める t [s] であることに注意する。

＜物体 A が地上に衝突する迄の関係式＞

A

h a b

2

B

2

2 1 t b h   g

＜物体 B が地上に衝突する迄の関係式＞

h

A

h a b

B

 

ここで，

　　　 　　が得られる。

a a v

a b v

a t b

t v a b

g 2 g

2

₀

0 0

 

 









t v t a

h

² ₀

2

1 



 g

²

2 1 t b h   g

と とから，

   

a a b a

a b b t b

h 2 4 4

1

2

  

²

 

²



 g

答

摩擦の法則

＜動摩擦＞

・ 動摩擦力 F _f

・ 垂直抗力 R ，

・ 動摩擦係数 μ

２．摩擦と束縛運動

F _f f

R

・ 動摩擦係数 μ _k mg F _f ＝ μ _k R

＜静止摩擦＞

・ 静止摩擦力 F _f

・ 垂直抗力 R，

・ 静止摩擦係数 μ _s F ≦ μ R

物体 m が滑らない ための条件

α

m f・sinα

R

摩擦力

３．斜面上の運動

R f sin    

f (= mg) f ・ cosα

R f sin   

_s







 cos

sin f

f 

_s



 

  tan

cos sin

 

s

m R

α を大きくしていったとき，物体 m が滑り 始めるときの角度を 摩擦角（θ） という。

 

  tan

cos

sin 

s



摩擦力

θ

f (= mg) m

f ・ cosθ f・sinθ

摩擦力

４． Atwood の機械







 











g g

2 2

2

1 1

1

a a a

m T a m

m T a 　 m

 



















g g

2 2

1 1

2 1

m T a m

m T a m

a a a 　　　 　

m ₂ g m ₁ g

T T

a ₁ a ₂

＜問題４＞

４．滑らかな滑車にひもをかけて，両側に m ₁ ， m ₂ のおもりをつるした装置を アトウッドの機械という。

－ m ₂ g － m ₁ g

T T

2 1

（１） ひもの張力を T として，それぞれの おもりの運動方程式を書け。

 











g g

2 2

2

1 1

1

m T a m

m T a 　 m

 



















g g

2 2

1 1

2 1

m T a m

m T a m

a a a

　　　

－ _{m 2 g} － _{m 1 g}

T T

a ₁ a ₂

（２） 上の二つの式から T を消去して，

おもりが動く加速度を求めよ。

g

1 2

1

2

m m

m a m



 

 

 











g g

2 2

1 1

m T a m

m T a 　 m

（３） 張力 T を求めよ。

g

2 1

2

2 1

m m

m T m

 

＜問題４＞

５．力が作用していない時の長さ（自然の長さ）

が同じ l [m] で，ばね定数 k ₁ ， k ₂ の二つの ばねを並列および直列につなぐことを考える。

それぞれの場合に同じ質量 m [kg] を持つ 物体をつるした。自然の長さからの伸びを 求めよ。

m k1

k2

直

m

列

k1

k2

並

列

m g x

k 

k

1

k

2

直 列

m k

1

k

2

並 列

m g x k x k

₁



₂

 m g

x k

_{1 1}



m g x k

_{2 2}



 

 



 







2 1 2

1

1 1

k m k x x

x g

m

2

1

k

k x m

  g