Key Words: average behavior, upper and lower bounds, Mori-Tanaka theory, composites, polycrystals

土 木 学 会 論 文 集No. 661/1-53, 265-272, 2000. 10

複 合材料 と多結晶体 の平均 的性質

小 山

茂1・ 岩 熊 哲 夫2・ 岩 崎 智 昭3・ 小 倉 崇 生4・ 三 井 康 司5

1正会員 博(工) 信州 大学助手 工学部社会 開発工学科(〒380-8553長 野市若 里4-17-1) 2正会 員 PhD 東北大学大 学院教授 工学研究科土木工学専 攻(〒980-8579仙 台市 青葉区荒巻 字青葉06) 3学生会員 東北大学大学院 工学 研究科土 木工学専攻 4宮 城県仙台東土 木事務所(〒980-8579多 賀城 市鶴ヶ谷1-4-1) 5フ ェ ロー会員 工博 信州大学教授 工学部社会 開発工学科 複合材料 の平均弾塑性 挙動 を予測す る一方法 の森 ・田中理論 は弾 性の場合 にはHashin-Shtrikmanの 上下界 と整 合す るが, 空 隙を含 む材料 の実験 値が この森 ・田中理論の解の ひとつ, つ まりHashin-Shtrikmanの 上界 付近に分 布 し, また周期分布を仮定 した解 も同 じよ うな予測値 を与 える. そ こで森 ・田中理論 を3種 類の材料か らな る複合材 料 に適用 した上で母材 の体積 比率 を零 にす る ことによって, 残る2種 類の材料 の平均 挙動 を予測 する手法 を提案 し た. その結果, 提案 した予 測値が2材 料 の体 積比率が極端な場合 に, Hashin-Shtrikmanの 上下界の いずれ かに近 い値を予測す ることが明らか にな り, 具体 的に実験値 との比較 を示 した.

Key Words: average behavior, upper and lower bounds, Mori-Tanaka theory, composites, polycrystals

1. ま え が き 構 造 材 料 の代 表 で あ る鋼 ・コ ン ク リー トはそ れ ぞ れ 多 結 晶 体 や複 合 材 料 で あ る. ま た 岩 盤 等 も 内 部 に亀 裂 や 空 隙 を多 数 含 む 複 合 材 料 と 考 え て よ い. そ の 巨 視 的 な 挙 動 は微 視 的 な 挙動 の 平均 と し て現 れ て い る はず だ が, 実 際 の 設 計 等 の 構 造 解 析 の 段 階 で, 載 荷 に伴 う微 視 的 挙 動 の変 化 の影 響 を逐 次 把 握 し続 け る の は困 難 で ある. ひ とつ の方 法 と して 均 質 化 法 や 等 価 介 在 物 法 等 を用 い た 数 値 解 析 によ って 巨 視 挙 動 をデ ー タベ ー ス化 す る こと 例えば1)も考 え られ て は い るが, 計 算 機 能 力 に大 き く依 存 した膨 大 な 計算 や デ ー タが 必 要 とな る. これ に対 し て 予 め 平 均 化 し た 巨 視 的 挙 動 を モ デ ル 化 して しま う手 法 が い くつ か 提 案 され て いる. 例 え ば混 合 体 理 論2)が 挙 げ られ るが, この 方 法 で は介 在 物 の形 状 等 を 考慮 す る こ とが で き な い. これ に対 してEshelbyの 研 究3)を 基 礎 に した森 ・田 中 の 方 法4)は, Eshelbyの テ ン ソ ル を通 して 介 在 物 の 形 状 等 を考 慮 で き る. 特 に近 年 は 新 材 料 開発 が 必 要 とな っ て お り, 例 え ば ス マー ト材 料 等 の 開 発 で は, 以 上 の よ うに微 視 的 な観 点 か ら数 値 的 に巨 視 的 な 挙 動 を把 握 す る技術 が求 め られ て い る. 森 ・田 中 の方 法 は弾 塑 性 挙 動 の把 握5)に も適用 で き る が, 必 ず し も実 験 値 を 良 く予 測 す る とは 限 らな い こ と も分 か って いる. た だ 弾 性 挙 動 の予 測 の 場 合 には, も う ひ とつ の ア プ ロー チ と してHashinとShtrikman6)が そ の 挙 動 の上 下 界 を求 め て い る. こ の 上 下 界 は 古 典 的 な VoigtとReussの 上 下 界 を改 善 した もの と して知 られ て いる. ち な み に森 ・田 中 に よ る 解 は, この 上 下 界 の い ず れ か を 与 え る こ と5)も 分 か っ て い る. しか しな が ら, 2 種 類 の 材 料 の剛 性 差 が か な り大 き か っ た り, 母材 と介 在 物 が 同 程 度 の 体 積 比 を 有 す る よ うな 場 合, あ る い は多 結 晶体 の よ う に母 材 が存 在 しな い 場合 に は実 用 的 でな い の も事 実 で ある. と こ ろ が, 例 え ば 空 隙 を 含 む 材 料 の 実 験 値7), 8)は, 空 隙 の体 積 比率 に拘 わ らずHashin-Shtrikmanの 上 界 付 近, つ ま り森 ・田中 の 手 法 に よ る解 に近 い範 囲 にば らつ いて い る. さ らに興 味 深 い こ と に, そ れ は 周 期 構 造 を 仮 定 し た とき の解9)に も非 常 に近 い. 空 隙 を含 む材 料 を対 象 と した 場 合 の 平 均 剛 性 の下 界 は空 気 の 剛 性 程 度, す な わ ち ほ とん ど零 で あ り, 上 下 界 の 差 が 非 常 に 大 き く な る も の の, 実 験 値 は そ の 上 界 付 近 に ば ら つ い て い る こ と にな る. こ の こ と は, Hashin-Shtrikmanの 上 界 と 下 界 の 間 に何 らか の 優 位 性 の よ うな もの が 存在 し, 介 在 物 の体 積 比 率 が 小 さい 場 合 に は 上 下 界 の片 方 が 「尤 も ら しい」 値 で あ る 可 能性 を示 唆 して い る. こ こで は, この Ha8hin-Shtrikmanの 上 下 界 の 改善 を検 討 した い. さて 森 ・田中 の 方 法 を3種 類 の材 料 で で きた 複 合 材 料 に適 用 す る の は容 易 で あ る が, あ る種 の 興 味 深 い結 果 が 得 られ る こ とも容 易 に推 測 で き る. ひ とっ は, 計 算 上 で の母 材 と介 在 物 の選 び方 と加 え る順 番 によ って 異 な る 平 均 剛 性 が 得 られ る10)こ とで, これ は よ く知 られ た 特徴 で あ る. も う ひ とつ は, 母 材 に2種 類 の 異 な る 材料 を介 在 させ た 後 にそ の母 材 の体 積 比 率 を零 に とっ た極 限 で の解

の 性 質 で あ る. そ れ はEshelbyの テ ン ソル を通 して, 実 際 に は含 まれ て い な い 架 空 の母 材 の剛 性 に依 存 した 解 に な り, そ の 平均 剛 性 は 唯 一 な解 に は な らな い. この 研 究 で 明 らか に す る よ う にそ れ はVoigtとReussの 上 下 界 の 間 の いか な る値 で も取 り得 る. こ の よ うな 材 料 は 物 理 モ デ ル と して は 介 在 物 の み が2つ あ る材 料 で, 全 く意 味 が 無 い よ うに も思 わ れ る が, 数 値 モ デ ル と して は2種 類 の 材 料 を母 材 ・介 在 物 とい う差 別 をせ ず に 同格 に 扱 っ て い る こ とか ら, 例 え ば2種 類 の材 料 の体 積 比 率 が 同 程 度 で あ る場 合 や, 多 結 晶体 の よ う にそ もそ も母 材 の存 在 しな い材 料 の ひ とつ の モ デ ル と考 えて もお か し くな い の で は な か ろ うか. そ こで この 研 究 で は3つ の材 料 を 扱 う 森 ・田 中 理 論 の 範 囲 で, 母 材 の 体 積 比 率 を 零 に す る こ と に よ っ て2 相 問題 を解 く手 法 を提 案 す る. そ の 際, 母 材 と して 選 ぶ 材 料 特 性 を エ ネ ル ギ 的 な 考 察 に よ っ て 選 び, そ れ に よ っ て 得 られ る平 均 剛 性 等 を 「尤 も ら し い」 も の と考 え る. これ に よ っ て, 空 隙 を含 む材 料 の 実 験 値 がHashin-Shtrikmanの 上 界 近 くに分 布 す る特 徴 を考 察 す る. 2. 3材 料 か ら な る 複 合 材 料 の 平 均 挙 動 森 ・田 中理 論 の手 法 は文 献11)に も詳 しい の で, ここで は 母 材 に2種 類 の介 在 物 が 存 在 す る複 合 材 料 の 場 合 に特 化 し, そ の 平均 挙 動 を導 く手 法 につ いて 概 説 して お く. (1) 各 材 料 の応 力 ひ ずみ 関係 この場 合, 母 材 と2種 類 の介 在 物 の 応 力 ひ ず み 関 係 は そ れぞ れ

QM=CMEM, 01=C1i,

Q2=C2E2

(1)

と書 け る も の とす る. こ こに2種 類 の介 在 物 を そ れ ぞ れ 介 在物1, 介 在 物2と し, 下 添 え字 の1, 2は そ れ ぞ れ の 介 在 物 に対 す る 諸 量 で あ る こと を 示 し, 下 添 え 字Mは 母 材 の諸 量で ある こ とを示 して い る. (2) 森 ・田中 理 論 複 合材 料 の全体 積 をU, 介 在 物1, 2の 体 積 をそ れ ぞ れ V1, V2と し, 複 合 材 料 全体 積 中 に 占め る介 在 物 の体 積 比 率 を以 下 の よ うに 定義 す る.

(2)

こ こ にU=VM+V1+V2で あ る. 森 ・田 中 は こ こで, 介 在 物 が 多 数 存 在 す る こ とに よ って 母 材 部 分 に生 じて い る平 均 的 な応 力 ひ ずみ 関 係 を

(Q)M=CM{E}D

(3)

と表 現 した. こ こ に<・>は, 記 号 に 挟 まれ た 量 の, 記 号 に続 く下 添 え 字 で 示 した領 域 で の 平 均 で あ る こ と を表 し て いる. こ こで注 意 す べ き点 は, <e>Dが 母 材 で の ひ ずみ の単 純 な 平均 で は な く, 介 在 物 が多 数 存 在 す る こ とを考 慮 す る た め に 導入 さ れ た 特殊 な平 均 ひ ず み で あ る こと で あ る. これ に対 し, 各 介 在 物 内部 の 平 均 的 な応 力 ひ ず み 関 係 は, 式(1)の 第2, 3式 の領 域 平均 によ っ て

(Q)1=C1(E)1,

(0)2=C2(E)2

(4)

と書 く こ とがで き る. 式(2)の 体 積 比 率 と以 上 の 平 均応 力 ・ひ ず み の 定 義 を 用 い て, 3材 料 か らな る複 合 材 料 全体 の 平均 応 力 σと 平 均 ひず みeは

QQQ=

fi(o)1+f2(2+(1-fi-f2)(o)M

(5a)

E=flIE1+12(6)2+(1-fl-f2)(E)D

(5b)

と定 義 で き る. 各 介 在 物 内部 に お け る平 均 ひ ず み は, 母 材 に存 在 す る と した平 均 ひ ず み<e>Dに 乱 れ 成 分riが 加 わ っ た もの ど 考 えて

(E)i=1E/D+-y,

2=1,2

(6)

の よ う に考 え る こ とが で き る. ここ に下 添 え 字iの1, 2 はそ れ ぞ れ介 在 物1, 2で の 量 で あ る こ とを表 し, 以 下 で も用 い る. これ を介 在 物 内部 の平 均 的 な応 力 ひ ず み 関係 式(4)に 代 入 す る こと によ り

{0}i=Ci{1ED+ii}

(7)

と表 せ る. こ こで 等 価 介在 物 法 を用 い て, 各 介 在 物 内 部 にeigen ひ ず みsiを 導 入 す る と

(o)i=CM{1E/D+li-Ei}

(g)

と な る. さ らにEshelbyの 解 を用 い る と, 乱 れ 成 分 篤 は

rrf=5f6i

(9)

と い う関 係 にあ る. こ こ にSiはEshelbyの テ ン ソ ル と 呼 ば れ, 等 方 弾 性 体 中 にあ る 回 転 楕 円体 の介 在 物 の 場 合 には, そ の寸 法 比 と母 材 の ボ ア ソ ン比 で 表 され る 定数 に な る. この式(9)を 式(7)に 代 入す る こ とによ り

(o)i=C11E/D+CiSiEa

(10)

とな り, 同様 に式(9)を 式(8)に 代 入 す る こ とに よ って

1/z=CM(E)D+CM(Sz-I)Es

(11)

を 得 る. こ こ にIは 単 位 テ ン ソル で あ る. この 式(10) と式(11)を 等 置 す る こ とに よっ てSが

Eti={CM-(CM-Ca)Si}-1(CM-C2)(E)D

(12)

と得 られ る. さ らに この 式(12)に 式(3)を 代 入 して

Ei={CM-(CM-Cz)Sti}-1(CM-C)CMl(Q)M

(13)

と い う表 現 も示 して お く. 次 に式(5b)に 式(6)を 代 入 して整 理 す る と

E=(E)D+flit+f2Y2

(14)

が 得 られ る. これ に式(3)と 式(9)を 代 入 して

E=CMl(o)M+flSlE1+f2S2E2

(15)

と表 現 で きる. 最 後 に式(11)に 式(3)を 代 入 して

(O)i=(Q)M+CM(Sti-I)Ei

(16)

とい う表 現 も示 して お く. 以 上 の 式(5a), (13), (15), (16)を 連 立 さ せ, 複 合材 料 全体 の平均 応 力ひ ず み 関係 σ=Zか ら3材 料 か らな る 複 合材 料 全体 の巨 視 的平 均 剛 性 テ ン ソル を求 め る と

C=AB-1

(17)

と書 く こ とがで き る. こ こ に

A=CM+f1CM(S1-I){CM

-(CM-C1)S1}(CM-C1)

+f2CM(S2-I){CM

-(CM-C2)52F(CM-C2)

(18a)

BEI+f151{CM

-(CM-C1)S1}(CM-C1)

+12S2{CM

-(CM-C2)S2}-1(CM-C2)

(18b)

で あ る. (3) 等 方 弾性 体 中 に球 形 介 在物 が存 在 す る場 合 母 材 ・介 在 物 共 にHookeの 等 方 弾 性 体 で あ り, 介 在 物 形状 が 球形 で ある 場合 のEshelbyの テ ンソル は

(19)

と表 現 で き る. こ こ に δijはク ロネ ッカ ー の デ ル タ で, α, βは そ れ ぞれ

(20)

で あ る. vMは 母材 のボ ア ソ ン比 で あ る. こ の表 現 を 用 いて 式(17)か ら, 平 均 体 積 弾 性 係 数 と 平 均 せ ん断 弾 性係 数 は

(21)

と表 現 で きる. ここ に

AK=kM(1-fi-f2)

BK=1-fi-f2

Au=12M(1-fi-f2)

Bu=1-fi-f2

と置 い た が, kM, μMは 母 材 の体 積 弾 性 係 数 とせ ん 断 弾 性係 数 で あ り, kf, uiは 介 在 物iの 体 積 弾 性 係 数 とせ ん 断弾 性 係 数 で あ る. (4) 母材 の体 積 比 率 を 零 に した 場 合 式(21)を 用 い れ ば種 々 の3つ の 材 料 か ら な る 複 合 材 料 の 問題 を解 く こ とが で き る. そ の とき3つ の材 料 の う ち の ど の材 料 を 母 材 と 「解 釈 す る」 か に よ っ て, 複 数 の 解10)が存 在 す る. 2相 問題 の場 合 は, どち らを母 材 とみ な す か に よ ってHashin-Shtrikmanの 上 下 界 が 得 られ る が, 3つ の 材 料 で で きた 複 合 材 料 の場 合 に は明 らか な 上 下 界 の よ うな もの は得 られ な い. しか し, ひ とっ の 極 限 と してf1+f2=1と した 場 合, す なわ ち母 材 と して選 ん だ 材 料 の体 積 比 率 を 零 に した 極 限 の解 に は 興 味 深 い性 質 が あ る. 母 材 の体 積 比 率 を零 に す る とい う こ とは, 介 在 物 と して 選 ん だ2種 類 の材 料 の み で で き た複 合 材 料 を 対 象 と して い る こ とを意 味す る が, 2つ の材 料 か らな る 森 ・田 中理 論 の解 とは異 な り, こ の2者 を 同格 に扱 って い る こ と に な る. した が って 複 合 材 料 だ けで はな く, 母 材 の 存在 しな い多 結 晶体 も対 象 にで き る可 能 性 が あ る. 前 節 で の 定 式化 に お い て, 最 終 的 に材 料 全 体 の 平均 剛 性 テ ン ソル を求 め るた め に連 立 させ る4つ の 式 の うち 各 材 料 の体 積 比 率 が 関係 して く る も の は, 複 合 材料 全体 の 平 均 応 力 を表 す 式(5a)と 平均 ひ ず み を表 す 式(5b)の み で あ る. しか し この2つ の 式 に お いて 母材 の体 積 比率 を 零 に採 っ て も, 式(6)で 表 さ れ る 母 材 と介 在 物 と の間 の 相互 作 用 の 考 慮 を通 して<e>Dと<σ>Mが 現 れ る. 母 材 の 体 積 比 率 を零 に した 場 合 の 複 合 材 料全 体 の平 均 弾 性係 数 は, 式(21)に お いてf1+f2=1と す る こと に よ り, 以 下 の よ う にな る.

(22a)

(22b)

この 式 か ら明 らか な よ う に, 対 象 と して い る2種 類 の材 料 特 性 だ けで はな く, 存 在 しな い こ と にな っ て い る母 材 の 特性 も影 響 を及 ぼ して いる. 具体 的 に母 材 の特 性 の選 び 方 で どの よ うな平 均 剛 性 が 求 まる の か, 平 均 体 積 弾 性 係 数 を示 す 式(22a)を 用 い て 示 して お く. ひ とつ の極 限 と して, kM→∞を 考 え る と, 上 式 は

k=flk1+f2k2

(23)

と な り, Voigtの 解 に一 致す る. また 一方, kM→0の

極限では

(24)

と な り, Reussの 解 に一 致 す る. す な わ ち, こ こで 提 案 して い る方 法 で2種 類 の 材 料 か らな る 複 合 材 料 の 剛 性 予 測 をす る と, 母 材 の 弾 性 定 数 の 選 び方 に よ っ てVoigtと Reussの 上下 界 の 間 の ど ん な解 で も求 め る こ とが で き る こと にな る. また式(22a)に お いてkM=k1, vM=v1と して 整 理 す れ ば

(25)

と い う解 を得 る. これ は2相 の 弾性 問題 にお けるHashin-Shtrikmanの 上 下 界 の片 方 に一 致 して い る. も う片 方 は kM=k2, μM=v2と 置 く こ とに よ って 得 られ る. 3. エ ネ ル ギ 原 理 を 用 い た 平 均 挙 動 の 予 測 前節 で示 した よ うに, 3材 料 か らな る複 合 材 料 の 問題 の 極 限 と して2種 材 料 か らな る複 合 材 料 の平 均 弾 性 を求 め る場 合, 存 在 しな い はず の母 材 の 弾 性 係 数 の選 び 方 で 古 典 的 な 上 下界 の間 の いか な る値 を も算 出 で き た. これ は 母 材 と介在 物 お よ び 介 在 物 同 士 の 相 互 作 用 をeigenひ ず み 等 で考 慮 して い る定 式 化 上 で, 等 価 介 在 物 法 上 で の 適 切 なeigenひ ず み を ど の よ うに 選 ぶ か に よっ て解 が 異 な っ て い る と解 釈 で き る. した が っ て こ こで は, そ の 相 互 作 用 等 を 最 も適 切 に 考 慮 で き るeigenひ ず み を 求 め る 規 準 と して, 結 果 的 に 平均 化 され た 複 合 材 料 の 持 つ ポ テ ン シャル エ ネル ギが 最 小 に な る よ う にeigenひ ず み が 決 定 さ れ る と い う原 理 を 仮 定 し, そ うな る よ う に架 空 の 母 材 の剛 性 を求 め, そ れ を用 いて 式(21)か ら平均 剛 性 を 誘 導 す る こ とを考 え る. ただ ポ テ ンシ ャル エ ネ ル ギ あ る い は補 ポ テ ン シャ ル エ ネ ル ギが 母 材 の 剛性 に 関 す る 変 分 問題 と して最 小化 問題 を 定義 して いる よ うに見 え る た め, 2次 形 式 に は な らな い と思 わ れ る. しか し, 実 質 的 に は平 均 化 さ れ た複 合 材 料 の持 つ そ れ らエ ネ ル ギ のeigenひ ず み に 関す る2次 形 式 に な って い る と考 え れ ば, 何 らか の最 小化 問題 が成 立 しそ うで ある. しか も そ の 場合 は外 力 ポ テ ンシ ャル は 関 係 が無 くな り, ひず み エ ネ ル ギ あ る い は補 ひず みエ ネル ギ の最 小化 問 題 と して 捉 え れ ば よ い. (1) 複 合 材料 の 持 つ ひ ずみ エ ネ ル ギ ま ず無 限体 に1個 の 介 在物 が領 域 Ωを 占め る 問題 を対 象 と し, 無 限 遠 点 で σijの応 力 あ る い は 平 均 的 変 位 勾 配 u0ijが 与 え られ て い る もの とす る. この 系 の ひ ず み エ ネ ル ギW*の 表 現 は以 下 の よ う11)にな る.

(26)

こ こ に σijは介 在 物 Ω中 の 全 応 力 と σijの差 で, 介 在 物 の存 在 に よ っ て 生 じた 応 力変 動 分 で あ る. ま た 島 は 介 在 物 の特 性 を代 表 させ るeigenひ ずみ で あ る. と ころ で森 ・田中 理 論 で は そ の最 大 の特 徴 と して, 多 数 の 介在 物 が存 在 す る こ との効 果 を式(3)の<ε>Dで 考 慮 して い る. しか も初 め か ら平 均 場 を扱 って お り, 局 所 場 を明 示 的 に は定義 して いな い. した が っ て式(26)の 表 現 に直 接 この 森 ・田 中 の定 式 化 の対 応 す る項 を用 い る こ と が で きな い. そ こで こ こで は以 下 の よ うな 近似 をす る. ま ず 式(26)第2項 の 介 在 物 中 の 寄 与 分 に つ い て は, 式(8)の よ う な等 価 介 在 物 の考 え方 に基 づ い て定 式 化 し た こと を考 慮 し, 式(16)で 与 え られ る介 在 物 中の応 力か らそ のす ぐ外 側 の母 材 の応 力 を差 し引 い た成 分, つ ま り σij∼GM(5i-1)6 (27) と置 き, 介在 物 が 回転 楕 円体 で あ る こ とを前 提 と して

(28)

と書 き 表 せ る もの と仮 定 した. ま た 式(26)第1項 に つ いて は単 純 に

(29)

と書 き表 せ る もの と仮 定 した. した が っ て最 終 的 なVU* の近似 表 現Wは

(30)

とな る. 数 値 解 析 の た め に は, 上 式(30)を 例 え ば σあ る い は εで 表 現 して お いた 方 が 便 利 で あ る. そ うす る に は, 式 (5a), (13), (16)を 用 いて 煩 雑 な計 算 をす れ ばeを σで 表 現す る こ とが で き る. 同様 に, 式(13), (15)等 か ら εi を 言で表 現 す る こ とが で き る. これ に よ って ひ ず み エ ネ ル ギ を σ, あ る いは 言の いず れ か の汎 関 数 と して 定 義 で き, そ れ ぞ れ が 補 ひ ず み エ ネ ル ギU*, あ る い は ひず み エネ ル ギ ひ に相 当 して いる. (2) 等 方 弾 性 体 中 に球 形 介在 物 が存 在 す る場 合 最 も基 本 的 な 例 と して, 等方 弾 性 体 の 母 材 中 に球 形 介 在 物 が 存 在 す る複 合 材料 を対 象 とす る. 前 節 で の一 般 的 な エ ネ ル ギ表 現 を, 一 軸 引 張 状態 を想 定 して応 力 σ11= σの み を無限 遠 点 に作 用 させ た と考 えた 場 合, 式(30)か ら系全 体 の 補 ひず み エ ネ ルギU*は

(31)

と書 け る. こ こ に と置 いた. 一 方 無 限 遠 点 に τ11≡eの み を与 え た と考 えた 場 合, 式(30)か らひず み エネ ル ギUは

(32)

と書 ける. ここ に と置 い た. した が っ て補 ひず み エ ネ ル ギV*を 最 小 に す る よ う に kM, μM, kMの う ち の2つ の 量 の組 を 求 め, そ れ を式 (22)に 代 入 す る こと によ っ て2種 類 の材 料 か らな る複 合 材 料 の 平均 体 積弾 性 係 数 と平 均 せ ん 断 弾 性 係 数 を 求 め る こと がで きる. 同様 に, ひず み エ ネ ル ギUを 最 小 にす る よ うにkM, μM, UMの うち の2つ の 量 の 組 を求 め, そ れ を式(22)に 代 入 す る こ とに よ って も平均 体 積 弾 性係 数 と 平均 せ ん断 弾 性 係 数 を求 め る こ とが で き る. この よ う に して求 ま った 平 均 体 積 弾性 係 数 と平 均 せ ん 断弾 性 係 数 か

ら平均 ヤング率 を求める場合には, 平均 的にも等方性が

成立する と考 えて

(33)

と い う関係 を用 いれ ばよ い. 4. 平 均 弾 性 係 数 の 解 析 例 (1) 剛性 差 が 比較 的 小 さ い場 合 実 は 平均 化 手 法 は, Hashin-Shtrikmanも そ の適 用 に 限 界 が あ る と して い る. つ ま り剛 性 差 が 極 端 に 大 き い 場 合 には 相 間 の 相 互作 用 を適 切 に考 慮 で きな か っ た り, 上 下 界 が あ ま り に も広 く離 れ て し ま う. こ こ で は 安 定 して解 が 得 られ る範 囲で の 例 をま ず 示 し, 本 提案 に よ る 剛 性 予測 値 の 特性 を まず 考 察 す る. そ の た め材 料 定 数 が k1=2000MPa, v1=0.3, k2=300MPa, μ2=0.3の 場合 を対 象 と し, 前 節 の 予 測 式 か ら得 られ る 結果 の う ち 平均 体 積 弾 性係 数 を 図一1に 示 した. 平 均 せ ん断 弾 性係 数 や平均 ヤ ング率 も全 く 同 じ特 性 を示 す. 図一1で 明 らか な よ う に, 本 提 案 によ る平 均 体 積 弾 性 係 数 はHashin-Shtrikmanの 上下 界 の 中間 に横 た わ る. しか し, Uを 与 えた 場 合 と ぞを 与 え た 場合 とで 異 な る 結 果 が 得 られ て い る. 元 々 の森 ・田 中理 論 は応 力 を 与 え よ う と変 形 を与 え よ う とそ の ア プ ロー チ に よ らず 同 じ解 が 得 られ る が, そ れ とは対 照 的 な 結果 に な って いる. これ はひ ず み エ ネ ル ギ を近 似 した こ と に よ る もの と予想 さ れ るが, 今 後 の 検 討 課 題 で あ る. この2つ の 解 は あ た か も 上 下 界 の よ う に見 えて い るが, 上 方 の 解 が応 力 を与 え た 場 合 で 下 方 の解 が 変 形 を与 え た場 合 に対 応 して お り, い わ ゆ る古 典 論 と して のVoigt, Reussの 考 え方 とは 逆 の性 質 に な っ て い る こ と も考 慮 す る と, 上 下 界 とい った 性 質 を持 って い る とは考 え難 い. た だ 特 に材 料2の 体 積 比 率 が 非 常 に小 さい範 囲で は, 2つ の ア プ ロー チ に よ る解 が いず れ もHashin-Shtrikman の上 界 に近 付 い て い る の は 興 味 深 い. 同様 に材 料2の 体 積 比 率 が 非 常 に 大 き い 範 囲 にお い て は逆 に 下 界 に両 者 が漸 近 して い る. この 場 合 のHashin-Shtrikmanの 上 界 は剛 な材 料1の 方 を母 材 に した 場 合 で あ り, f2が 小 さ い範 囲 で は 当然 材 料1を 母 材 とみ なす 方 が 合 理 的 で あ ろ う. また 周 期 構 造 を 仮 定 して 得 られ る平 均 剛 性9)も この 上 界 に 近 い解 を与 え る. そ う い う意 味 で こ こで 提案 した 予 測 値 が, 2つ の 方 法 共 に2相 問 題 の 上 界 に 漸 近 して い るの は, そ れ 程 奇 異 で はな い. また, ま え が き で も述 べ た よ うに 実 験 値 が 上 界 に近 い と報 告 され て いる が, そ れ を裏 付 け る 傾 向 を こ こで 示 した と考 え て い る. この 例 の 場 合, 材 料2の 体 積 比 率 が 小 さい 場 合 に は上 界 の方 が 下 図一1 平均体積弾性係数の予測例

界 よ り優 位 性 を有 して い る と考 え られ る. 材 料2の 体 積 比率 が 大 き い場 合 に はそ の逆 にな る. ち な み に, ひ ず み エ ネル ギ を最 小 にす る よ うな 架 空 材 料 で あ る母 材 の 剛 性 は, 材 料1と 材 料2の 剛 性 の 中間 の 値 を採 り, 材 料1, 2共 にボ ア ソ ン 比 が0.3で あ る こ とか ら, そ の母 材 の ボ ア ソ ン 比 もほ ぼ0.3の ま まで あ っ た. しか しエ ネ ル ギ 評 価 に お いて, こ こで 用 い た よ うな 一 軸 引張 状 態 では な く, 等 方 圧 力(体 積 変 形)の み を 与 え た 場 合 に は, エ ネ ル ギ 最 小化 で 得 られ る 母 材 の ボ ア ソ ン比 が-1<vM<0.5の 範 囲 内 に は無 か っ た りす る と い う不 都 合 も生 じた. ま た せ ん 断 応 力(せ ん 断 変 形)だ け を与 えた 状 態 を想 定 した 場 合 に も, 2材 料 共 に ボ ア ソ ン比 が 0.3で あ る に も拘 わ らずvMが0.4等 の よ う にか け 離 れ た り, f2が ほ ぼ零 で あ るの にkMがk1と 大 き く異 な る 値 にな るよ うな こ と もあ っ た. これ も エ ネル ギ の近 似 表 現 が 原 因 で はな い か と考 え られ る. (2) 剛 性 差 が大 き くな った場 合 次 に2つ の 材 料 の 剛 性 差 を 大 き く した 場 合 を考 察 す る. 例 と して, 材 料 定 数 をk1=2000MPa, v1=0.3, k2=3MPa, v2=0.3と し た. そ の 得 られ た 平均 体 積 弾性 係 数 を図一2に 示 した. せ ん 断 弾性 係 数 等 につ い て も 全 く同 じ傾 向 を示 し て い る. この 場 合 も材 料2の 体 積 比 率f2が 極 め て 小 さ い場 合 と1に 非常 に近 い場 合 に は, σ を 与 え る ア プ ロー チ とeを 与 え る ア プ ロー チ の 両 方 が ほ ぼ 同 じ結 果 を与 え, そ れ がf2が 小 さい 場 合 に はHashin-Shtrikmanの 上 界 に, 1に 近 い 場 合 は下 界 に漸 近 す る の は前 節 で対 象 と した 材料 の場 合 と同 じで あ る. しか し, Uを 与 え た 本 ア プ ロー チ がHashin-Shtrikman の 上 界 よ り若 干 大 き い値 を予 測 して い る. これ は, W を最 小 にす るkMが 材 料1の 体 積 弾 性係 数2000MPaよ り大 き くな って し ま って い るか らで あ る. これ も, 用 い た ひ ず み エ ネ ル ギ 表 現 の 近 似 に 原 因 が あ る と 考 え られ る. し か も, f2が0あ る い は1に 非 常 に近 い 場 合 以 外 の範 囲で は, 2つ の ア プ ロー チ の 解 は そ れ ぞ れHashin-Shtrikmanの 上 下 界 に 近 く な っ て い る. ま た, f2が0 あ る いは1付 近 で本 提 案 の解 に は急 変 が 生 じて しま う. Hashin-Shtrikmanの 手 法 に も限 界 が あ る6)と さ れ て い るが, この よ う に, 本 提 案 式 が この 程度 の 剛性 差 の場 合 にはHashin-Shtrikmanの 上 下 界 を 改 善 しな い こ とが 明 らか で ある. た だ, 剛 性 の 差 が 大 き い 場 合 で も, f2が0に 近 い 場 合 に はHashin-Shtrikmanの 上 界 が, 1に 近 い場 合 には そ の 下 界が 平 均 剛 性 と して は 尤 も ら しい の で は な いか と 予想 され る. (3) 実験 値 との比 較 最 後 に実 験 値 との比 較 を行 う. まずHashinとShtrik-manも 用 いた例 で あ るが, 2つ の材 料 の 剛性 差 が 比 較 的 小 さ い材 料 の 場 合 で, 炭化 タ ン グ ステ ン と コバ ル トの複 合 材 料12)で あ る. そ の 平均 ヤ ン グ率 の 結果 を, 炭化 タ ン グス テ ン のヤ ング率 で 除 した値 を用 いて 図一3に 示 した. 図 示 した よ う に上 下 界 も本 提 案 式 もほ ぼ 同 じ値 を予 測 して お り, どの ア プ ロー チ が 最 良 で あ る か は 明確 で な く, また 実 験値 の誤 差 や ば らつ き も大 き い の で はな いか と予 想 され る. しか し実 験 値 は, コバ ル トの体 積 比 率 に よ らず ほ ぼHashin-Shtrikmanの 下 界 付 近 に存 在 す る. す な わ ちfcが1に 近 い範 囲で は本 研 究 の 主 張 を裏 付 け る もの で あ る が, そ れ で もそ れ 程 明確 な実 験 値 との 整 合 は見 られ な か った. た だ し, こ こで は平 均 化 され た もの も局 所 的 に も等 方 弾 性 を仮 定 した 上 で, さ らに球 状 の 形 状 によ って 等 方 性 を 保 持 す る よ うに して い るた め, そ れ によ る実 験 値 との 差 も考 え られ る こと は付 け加 え て お き た い. 図一2 大 きい剛性差 の場合の平均体積弾性係数 図一3 炭化 タングステ ンとコバル トの複 合材料 の平均ヤ ング率

次 に多 孔 質 な ガ ラス7)に つ いて 解 析 を行 っ た 結 果 の平 均 体 積 弾 性 係 数 を ガ ラ ス の 体 積 弾 性 係 数 で 除 した 値 を 用 い て 図一4に 示 し た. こ れ は, 空 隙 の体 積 弾 性 係 数 と せ ん 断 弾 性 係 数 を共 に 零 と した 場 合 の 結 果 で あ る が, 空 気 の体 積 弾 性 係 数 に 零 以 外 の 小 さ い値 を 用 い て も, 結果 に は ほ と ん ど変 化 はな か った. こ の場 合 のHashin-Shtrikmanの 下 界 は零 で あ り, 本 提 案 式 で ぞを与 え た場 合 の 結 果 もや は り零 に な る の で, この 図 に はHashin-Shtrikmanの 上界 と本 提案 式 で σを 与 え た 場合 の結果 の み を示 した. この2つ の材 料 の剛 性 の差 は非 常 に大 き い た め, 本 ア プ ロー チ の解 はHashin-Shtrikmanの 上 界 を や は り若 干 上 回 っ て は い るが, 実 験 値 か らそ れ 程 離 れ な い特 性 を示 して い る こ とは確 認 で き た. 最 後 の例 も剛 性 の 差 が大 き い も の で あ るが, 多孔 質 な ア ル ミ ニ ウ ム8)に つ いて 実 験 値 と比 較 した. そ の結 果 の 平 均 体 積 弾 性 係 数 をア ル ミニ ウ ム の 体 積 弾 性 係 数 で 除 し た値 で 図 一5に 示 した. この 場合 も ガ ラス の 場 合 とほ ぼ同 様 の結 果 を得 る. 5. 結 論 複 合 材 料 の 平 均 挙 動 を 予 測 す る 手 法 と して 森 ・田 中 理 論 を3つ の材 料 か らな る複 合材 料 に適 用 し, そ の母 材 の体 積 比 率 を零 に す る こ とに よ っ て, 2相 問題 の例 え ば Hashin-Shtrikmanに よ る 上 下 界 の改 善 を 試 み た. 平 均 剛 性 は そ の存 在 しな い母 材 の特 性 に影 響 さ れ る が, そ の 特 性 に つ い て は, 得 られ る複 合 材 料 が持 つ[補]ひ ず み エ ネ ル ギ の最 小 原 理 か ら決 定 した. そ の 結 果 次 の よ うな 知 見 を得 た. ● ひ ず み エネ ル ギ を用 いる か 補 ひ ず み エ ネル ギ を用 い る か に よ って, 2種 類 の 異 な る平 均 弾 性 係 数 を算 出 す るが, そ れ は い ず れ もHashin-Shtrikmanの 上 下 界 の中 間 の値 にな る. ●2つ の 材 料 の 剛 性 差 がHashin-Shtrikmanの 上 下 界 の 適 用 範 囲 と言 わ れ て い る程 度 小 さ い場 合 は, 介 在 物 の体 積 比 率 が 非 常 に小 さ いか1に 非 常 に近 い 場 合 に, 本 提 案 の 予測 値 はHashin-Shtrikmanの 上 下 界 の ど ち らか 片 方 に 近 い値 を示 した. つ ま り, 体 積 比 率 が 極 端 な 場 合 に は, 上 下 界 の どち らか が 優位 性 を 有 して い る こ とを 示唆 して い る. ●3つ の材 料 か らな る複 合 材 料 で母 材 を無 くす る極 限 を取 っ た こ とか ら, 残 る2種 類 の 材 料 を差 別 しな い 扱 い にな っ て お り, 相 互 作 用 をよ り適 切 に考 慮 して い る こ とが 予 測 さ れ る. また 同 様 の 理 由 で, も と も と母 材 の存 在 しな い多 結 晶 体 に も本 提案 は適 用 可 能 で あ る. ● こ こで は球 形 の場 合 のみ につ いて 議 論 した が, 本 提 案 は, 混 合 体 理 論 と は異 な り2種 類 の材 料 の形 状 も 考 慮 で き る. ● 剛 性 差 が 大 き い 場 合 に は, 本 提 案 の解 Shtrikmanの 解 と ほ ぼ重 な り, そ の 上 下界 の改 善 に は な らな か った り, Hashin-Shtrikmanの 上 下 界 よ り も外 側 の値 を予 測 す る等, 適用 範 囲が あ る こ とが 明 らか に な った. そ の 原 因 の ひ と つ はエ ネ ル ギ 表 現 の近 似 と考 え られ る. ● 空 隙 を含 む ガ ラス や アル ミニ ウ ム の実 験 値 は, 実 は 2種 類 の 材 料 の 剛 性 差 が 非 常 に大 き い た め 本 提 案 式 も 適用 範 囲 と は考 え難 いが, そ の一 つ の ア プ ロー チ に よ る解 は2相 問題 の上 界 に 近 い値 を示 し, 実 験値 に近 い値 を 予測 した. ● 弾 塑 性 体 に も適 用 は容 易 で あ る が, 解 析 的 に解 け る 範 囲 は 限 られ て い る 上 に, 文 献5)の 結果 に 比 べ て特 筆 す べ き成 果 は得 られ て い な い. また この 場 合 は, 図-4 多孔質な ガラスの平均体積弾性係数 図-5 多孔質なアルミニウムの平均体積弾性係数

母 材 の 弾塑 性 を ど う与 え るか に よ って, さ らに 複 雑 な 解 に な る可 能 性 が 多 く, そ のエ ネ ル ギ 評 価 等 も含 め て今 後 の 検 討課 題 と考 え て い る. 参考 文 献 1)亀 田敏弘: 等価介在 物法を応用 した逆解析 による地盤材料 物性の取得方法, 第49回 理論応用 力学講演会講演論文集,

NCTAM 2000, pp. 103-104, 2000.

2) Omine, K., Ochiai, H. and Yoshida, N.: Estimation

of in-situ strength of cement-treated soils based on

a two-phase mixture model, Soils and Foundations,

Vol. 38, No. 4, pp. 17-29, 1998.

3) Eshelby, J. D.: The determination of the elastic field

of an ellipsoidal inclusion, and related problems, Proc.

Roy. Soc. London, Vol. A241, pp. 376-396, 1957.

4) Mori, T. and Tanaka, K.: Average stress in matrix

and average energy of materials with misfitting

sions, Act. Metall., Vol. 21, pp. 571-574, 1973.

5)岩 熊哲夫, 堀 宗朗, 森 勉, 村外志夫: 複合材料 の平均

的 な硬 化係数 と延性 の評価, 構造工 学論文集, Vol. 37A,

pp. 435-442, 1991.

6) Hashin, Z. and Shtrikman S.: A variational approach

to the theory of the elastic behaviour of multiphase

materials, J. Mech. Phys. Solids, Vol. 11, pp. 127-140,

1963.

7) Walsh, J. B., Brace, W. F. and England, A. W.:

fect of porosity on compressibility of glass, Journal of

the American Ceramic Society, Vol. 48, No. 12, pp.

608, 1965.

8) Coble, R. L. and Kingery, W. D.: Effect of porosity

on physical properties of sintered alumina, Journal of

the American Ceramic Society, Vol. 39, No. 11, pp.

385, 1956.

9) Nemat-Nasser, S., Iwakuma, T. and Hejazi, M.: On

composites with periodic structure, Mechanics of

terials, Vol. 1,

pp. 239-267, 1982.

10)小 倉崇生, 岩熊哲夫, 中沢正利: 3相 か ら成る複合材料の 平均弾性の予測, 土木学会東北支部技術研究発表会講演概 要集, pp. 90-91, 1999.

11) Mura, T.: Micrornecharaics of Defects in Solids,

tinus Nijhoff Publ, 1982.

12) Nishimatsu, C. and Gurland, J.: Experimental survey

of the deformation of the hard-ductile two-phase alloy

system WC-Co, Transaction of the American Society

for Metals, Vol. 52, pp. 469-484, 1960.

(2000. 4. 12受 付)

AVERAGE

CHARACTERISTICS

OF COMPOSITES

AND POLYCRYSTALS

Shigeru KOYAMA, Tetsuo IWAKUMA, Tomoaki IWASAKI, Takao OGURA and Yasushi MITSUI An averaging method, Mori and Tanaka's theory, predicts the upper and lower bounds by Hashin and Shtrikman by exchanging material properties of the matrix and inclusion. However experimental results of porous media are very close to the upper bounds, and are also consistent with a numerical result of a body with periodic micro-structures. Here we propose a new approach using Mori and Tanaka's theory in which two materials are included into the matrix but the volume fraction of the matrix material is taken to be zero as a limit. Results show that either upper or lower bound by Hashin and Shtrikman is a probable estimate when the volume fraction of one material is very small.