問題冊子

微分積分２Ｂ中間試験（１１月２８日）出題者 澤野嘉宏

問題冊子

1.

カンニングなどは大学の学則に基づき罰する．

2.

１００点を超えた分については１００点に打ち切る．０．４をかけて，４０点に換算する．

3.

すべての問題に着手することが望ましいが，満点は１３０点あるので，しかるべく問題に 挑戦すること．定義，定理は問題になっているもの，問題を解くのに実際に使うもの以外 を書いても点数には結びつかない．記述，証明問題においても同様である．ただし，余計 に書いたことによって減点はしない．

4.

問題

1.3(b)

以降は

10

問問題があるが，実際に解く問題は

1

問である．解くべき問題は解答用紙に書いてある ので，指示に従うこと．

5.

問題用紙を解答用紙と間違えた場合は０点とする．解答冊子に学修番号と名前を書くこと．

この面は解答用紙が不足している場合に使うことができる．

問題  ．

1 微分

1.1 陰関数

２０点

問題

1.1. x ² − 2xy + y ² − 8x − 8y = 0

は次のような図形である．x > yより下は関数

y = f (x)

のグラフとみなせる．この関数のグラフの極小値を求めよ．

-2 0 2 4 6 8

-2 0 2 4 6 8

解答は「x

= a

のとき，極小値

y = b

をとる．」と最後にまとめること．

１０点

問題

1.2. xe ^x + ye ^y = 500

は次のような図形である．0

< x < 5, 0 < y < 5

では関数

y = f (x)

のグラフとみなせる．f

^′ (x)

を

x, f (x)

を用いて表せ．

1 2 3 4 5

1.2 極値

５点×４

問題

1.3.

関数

z = f (x, y)

の停留点における極大極小は次の【ア】〜【ウ】で大別される．

【ア】極大値．【イ】極小値．【ウ】そのどちらでもない．このことに留意して，次の問に答えよ．

(a)

画像

A, B, C

はそれぞれ

z = x ² + y ² , z = − x ² − y ² , z = x ² − y ²

を順不同で

[ − 1, 1] ²

で描 画したものである．（次のページにも画像があるので注意）

(a − 1) z = x ² + y ² , z = − x ² − y ² , z = x ² − y ²

はどの画像にあたるか？

(a − 2) z = x ² + y ² , z = − x ² − y ² , z = x ² − y ²

は原点を停留点に持つ．極大と極小の判定を せよ．記号【ア】〜【ウ】を用いて答えること．

(b)

次の関数は原点が停留点であることを示せ．また，記号【ア】〜【ウ】を用いて，極大極 小の判定をせよ．

(0) f (x, y) = e ^x

²

^y

²

+ x ² + y ² (1) f (x, y) = cos x + 1 − cos y (2) f (x, y) = cos x + cos y

(3) f (x, y) = x ² + xy + y ² + 43y ⁵ (4) f (x, y) = x ² − 3xy + y ² + 27x ² y ² (5) f (x, y) = x ² + e ^y − y

(6) f (x, y) = 2x ² − 3xy + y ² − 42x ⁴ y (7) f (x, y) = sin(x ² y ² ) − x ² − y ² (8) f (x, y) = e ^x − x + y − e ^y (9) f (x, y) = x − e ^x + xy + y ²

必要に応じて，e

^t = 1 + t + t ² + · · · , sin t = t − 1

6 t ³ + · · · , cos t = 1

¹²

t ² + · · ·

を用いて構 わない．

A

-1.0 0.0

0.5 1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

B

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 -1.0 -0.5

0.0 0.5

1.0

-1.0 -0.5

0.0 0.5 1.0

C

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 -1.0 -0.5

0.0 0.5

1.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5

0.0

1.3 条件付き極値

問題

1.4.

相加相乗の不等式は

0

以上の実数

A ₁ , A ₂ , · · · , A _N

に対して，

A ₁ + A ₂ + · · · + A _N ≥ N

^N

√

A ₁ A ₂ · · · A _N

と一般化される．等号が成り立つのはすべての文字が等しい場合のみである．必要ならばこのこ とを用いて，一定の条件の下で，次の関数

w

の最大値

M

を求めよ．正しく計算すると，0もし くは自然数

a, b, c, d

を用いて，M

= 2 ^a 3 ^b 5 ^c 7 ^d

と表されるので，(a, b, c, d)を求めよ．さらに，最 大値を与える

x, y

をも求めよ．

0. x, y ≥ 0, x + y = 18

の条件下で，w

= x ⁴ y ⁵ 1. x, y ≥ 0, x + y = 10

の条件下で，w

= x ² y ³ 2. x, y ≥ 0, x + y = 48

の条件下で，w

= x ⁵ y ³ 3. x, y ≥ 0, x + y = 40

の条件下で，w

= x ⁷ y ³ 4. x, y ≥ 0, x + y = 44

の条件下で，w

= x ⁵ y ⁶ 5. x, y ≥ 0, x + y = 21

の条件下で，w

= x ⁵ y ² 6. x, y ≥ 0, x + y = 18

の条件下で，w

= x ⁶ y ³ 7. x, y ≥ 0, x + y = 24

の条件下で，w

= x ³ y ⁵ 8. x, y ≥ 0, x + y = 32

の条件下で，w

= x ⁶ y ² 9. x, y ≥ 0, x + y = 42

の条件下で，w

= x ⁴ y ³

1.4 ベクトルの演算

問題

1.5. A(a ₁ , a ₂ , a ₃ )

と

B(b ₁ , b ₂ , b ₃ )

を次で与える．次のベクトル

⃗a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ),⃗b = (b ₁ , b ₂ , b ₃ )

の外積

⃗a × ⃗b

を計算せよ．また，O(0,

0, 0)，A(a ₁ , a 2 , a 3 ), B(b 1 , b 2 , b 3 )

と

R ³

の点を定めたとき，

三角形

OAB

の面積

S

を求めよ．さらに，O, A, Bを含む平面

Π

の方程式を求めよ．

0. A = (2, 3, 6), B = (1, 5, 8)

1. A = (3, 3, 7), B = (4, 5, 1)

2. A = (6, 6, 5), B = (1, 7, 1)

3. A = (4, 3, 2), B = (9, 9, 8)

4. A = (1, 6, 7), B = (9, 3, 2)

5. A = (2, 1, 2), B = (3, 7, 9)

6. A = (1, 6, 2), B = (2, 2, 7)

7. A = (1, 7, 4), B = (4, 3, 9)

2 積分

2.1 二重積分，反復積分，変数変換

問題

2.1.

次の積分を求めよ．ただし，exp(a) =

e ^a

である．

0. I =

∫ 1 0

(∫ 4 0

exp(x + y) dy )

dx, J =

∫ ^√ π/2 0

(∫ ^√ π/2 x

sin(2y ² ) dy )

dx

1. I =

∫ 1 0

(∫ 4 0

x ⁷ y ³ dy )

dx, J =

∫ 2 0

(∫ 2 x

sin(1 + y ² ) dy )

dx

2. I =

∫ 2 0

(∫ 4 0

xy ³ dy )

dx, J =

∫ 1 0

(∫ 1 x

exp(1 + y ² ) dy )

dx

3. I =

∫ 1 0

(∫ 4 0

x ² y ³ dy )

dx, J =

∫ 1 0

(∫ 1 x

tan(y ² ) dy )

dx

4. I =

∫ 1 0

(∫ 2 0

x ² y ³ dy )

dx J =

∫ ^√ π/2 0

(∫ ^√ π/2 x

cos(y ² ) dy )

dx

5. I =

∫ π/2 0

(∫ 4 0

y ³ sin x dy )

dx, J =

∫ 3 0

(∫ 3 x

exp(y ² ) dy )

dx

6. I =

∫ 1 0

(∫ 4 0

exp(2x + 3y) dy )

dx, J =

∫ 1 0

(∫ 1 x

exp(2y ² ) dy )

dx

7. I =

∫ 3 0

(∫ 4 0

x ³ y ³ dy )

dx, J =

∫ 2 0

(∫ 2 x

exp ( 1

2 y ² )

dy )

dx

8. I =

∫ π 0

(∫ 4 0

y ³ sin x dy )

dx, J =

∫ 3 0

(∫ 3 x

exp(y ² ) dy )

dx

9. I =

∫ 1 0

(∫ 4 0

x exp(xy) dy )

dx, J =

∫ 1 0

(∫ 1 x

exp(y ² ) dy )

dx

問題

2.2.

次の積分を求めよ．D

= { x ² + y ² + z ² ≤ 1 }

とする．

0. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤− 2x

x ² + y ² dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ² dx dy dz

1. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

x ² + y ² dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ³ dx dy dz

2. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ x

(x ² + y ² ) ² dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁴ dx dy dz

3. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 4x

y ² dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁵ dx dy dz

4. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤− 4x

x dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^1/2 dx dy dz

5. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤− 2x

x dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^3/2 dx dy dz

6. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

(x + 1) dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^7/2 dx dy dz

7. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

x dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^9/2 dx dy dz

8. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 8x

y ² dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁸ dx dy dz

9. I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 4x

x dx dy, J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁷ dx dy dz

必要に応じて，自然数

m

に対して，

∫ π/2 0

cos ^2m θ dθ = 2m − 1

2m · 2m − 3

2m − 2 · 2m − 5 2m − 4 · · · · · 1

2 × π 2

を用いて構わない．

問題

2.3. D = {| 2x + 3y | ≤ 1, | 3x − 2y | ≤ 1 }

とする．次の関数

F

を

D

上積分せよ．

(0) F (x, y) = exp(2x + 3y), (1) F (x, y) = ( − 3x + 2y) ⁸ , (2) F(x, y) = sin ² ( − 3x + 2y), (3) F (x, y) = cos ² ( − 3x + 2y), (4) F (x, y) = (2x + 3y) ⁴ , (5) F (x, y) = ( − 3x + 2y) ² ,

(6) F (x, y) = (2x + 3y) ⁶ , (7) F (x, y) = sin ² (2x + 3y), (8) F (x, y) = (2x + 3y) ² , (9) F(x, y) = cos ² (2x + 3y)

必要に応じて，sin

² θ = 1 − cos 2θ

2 , cos ² θ = 1 + cos 2θ

2

を用いて構わない．

解答冊子（５日にこの部分も返却します． ） 氏名  ：

      

学修番号：

配点表

1.

問題

1.1

 １０点         得点     点

2.

問題

1.2

 １０点         得点     点

3.

問題

1.3

 ２０点         得点     点

4.

問題

1.4

 １０点         得点     点

5.

問題

1.5

 ２０点         得点     点

6.

問題

2.1

 ２０点         得点     点

7.

問題

2.2

 ２０点         得点     点

8.

問題

2.3

 １０点         得点     点

9.

合計点 １２０点         得点     点

この冊子のみを提出，問題冊子は持ち帰って構 わない．

スキャナーにかけてすべての答案を記録にとり

ます．

この面は解答用紙が不足している場合に使うことができる．解答を 書く際には問題番号を明記すること

問題  ． の続き

問題

1.1 得点    １０点中    点

x =

のとき，極小値

y =

をとる．

問題

1.2 得点    １０点中    点

問題

1.3 得点    ２０点中    点

(a − 1)：該当する記号を丸で囲め（３つ完全に正解したら５点，そうでなければ０点）

• x ² + y ²

の画像：Ａ，Ｂ，Ｃ

• − x ² − y ²

の画像：Ａ，Ｂ，Ｃ

• x ² − y ²

の画像：Ａ，Ｂ，Ｃ

(a − 2)：該当する記号を丸で囲め（３つ完全に正解したら５点，そうでなければ０点）

1. x ² + y ²

について，【ア】極大値．【イ】極小値．【ウ】そのどちらでもない．

2. − x ² − y ²

について，【ア】極大値．【イ】極小値．【ウ】そのどちらでもない．

3. x ² − y ²

について，【ア】極大値．【イ】極小値．【ウ】そのどちらでもない．

(b)：初めに，解くべき問題の関数を下に書け．

（学修番号下１桁の問題番号）

f (x, y) =

次に，その関数が

(0, 0)

を停留点に持つことを説明せよ．（５点）

そして，停留点の性質を分類せよ．初めに結論を書くこと．

【ア】極大値．【イ】極小値．【ウ】そのどちらでもない．

最後に，その関数の停留点の性質がどうしてそれであるのかを説明せよ．（５点）

問題

1.4（学修番号下１桁の問題番号）

得点    １０点中    点

条件：x

+ y =

考える関数：w

=

問題

1.5（学修番号下１桁の問題番号）

得点    ２０点中    点

⃗a × ⃗b

の計算に８点，Sの値に８点，Πの式に４点

A

の座標：

B

の座標：

問題

2.1（学修番号下１桁の問題番号）

得点    ２０点中    点

(a)

初めに

I

を与える積分式を書くこと

I =

次に

I

を計算すること

————————- I

の計算はここより上にまとめること（Iの計算は１０点）

————————-

(b)

初めに

J

を与える積分式を書くこと

J =

次に，Jを定義している積分の領域を図示すること．横軸は

x

軸，縦軸は

y

軸とする．（領域の図 示は３点）

-10 -5 5 10

-1.0 -0.5 0.5 1.0

最後に

J

を計算すること（Jの計算は７点，領域が図示できていない場合は，特別な理由を除い て答案は無効）

問題

2.2（学修番号下１桁の問題番号）

得点    ２０点中    点

(a)

初めに

I

を与える積分式を書くこと

I =

次に，Iを定義している積分の領域を図示すること．横軸は

x

軸，縦軸は

y

軸とする．（領域の図 示は３点）

-10 -5 5 10

-1.0 -0.5 0.5 1.0

最後に

I

を計算すること（Iの計算は７点，領域が図示できていない場合は，特別な理由を除い て答案は無効）

————————- I

の計算はここより上にまとめること（Iの計算は１０点）

————————-

(b)

初めに

J

を与える積分式を書くこと

J =

問題

2.3（学修番号下１桁の問題番号）

得点    １０点中    点

初めに被積分関数を書くこと．

F (x, y) =

次に，積分を定義している積分の領域を図示すること．横軸は

x

軸，縦軸は

y

軸とする．（領域の 図示は３点）

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

最後に積分を具体的に計算すること

以上

模範解答 問題

1.1

(a) x ² − 2(y + 4)x + y ² − 8y = 0

の判別式を考えて，D

= 4(y + 4) ² − 4(y ² − 8y) ≥ 0

が必要 十分である．つまり，32y

+ 64 + 32y ≥ 0

だから，y

≥ − 1

となる．実際に，y

= − 1

とし て，x

² − 6x + 9 = 0

となる．よって，グラフより，x

= 3

のとき，極小値

y = − 1

を取る．

(b) y ² − 2(x + 4)y + x ² − 8x = 0

を

y

について解くと，

y = x + 4 ± √

16 + 8x + x ² − x ² + 8x = x + 4 ± √

16 + 16x = x + 4 ± 4 √ x + 1

となる．

y < x

の部分では，

y = f (x) = x+4 − 4 √

x + 1

であるから，

f ^′ (x) = 1 − 2(x+1) ^{− 1/2}

となり，x

= 3

で極小値

− 1

を取る．

採点基準

1.

極値を求めて判定をしている場合は１０点ボーナス

2. f (x, y) = f x (x, y) = 0

を連立する方針を立てた時点で４点

3.

変動関数を

f x , f y

を計算したら２点

問題

1.2

xe ^x + f(x)e ^f(x) = 500

より，xe

^x + e ^x + f ^′ (x)(f (x) + 1)e ^f(x) = 0

となる．よって，

f ^′ (x) = − xe ^x + e ^x (f (x) + 1)e ^f(x)

である．xe

^x + f (x)e ^f(x) = 500

より，xe

^x + e ^x + f ^′ (x)(f (x) + 1)e ^f(x) = 0

となる．よって，

f ^′ (x) = − xe ^x + e ^x (f (x) + 1)e ^f(x)

である．

採点基準

1. f (x, y) = xe ^x + ye ^y − 500

とおく．f

_x , f y

を計算している時点で２点．

2.

公式の誤用は０点（この場合は

f x , f y

の計算を無効にする．f

_x , f y

の計算が有効な答案はす べて，少なくとも公式をきちんとつかえていた．）

3.

正解を導き出しても，余計な式変形（＝間違えた式変形）をして，間違えた結論を最終的 な結論として導き出している場合は２点減点

• − x ² − y ²

の画像：Ｃ

• x ² − y ²

の画像：Ｂ

(a − 2)：該当する記号を丸で囲め（３つ完全に正解したら５点，そうでなければ０点）

1. x ² + y ²

について，【イ】極小値．

2. − x ² − y ²

について，【ア】極大値．

3. x ² − y ²

について，【ウ】そのどちらでもない．

(b)：

(0) f (x, y) = e ^x

²

^y

²

+ x ² + y ²

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) =

x ² + y ²

となる．

よって，【イ】

【注意】

連立方程式

f x (x, y) = f y (x, y) = 0

をまともに解くと

2x(y ² e ^x

²

^y

²

+ 1) = 2y(x ² e ^x

²

^y

²

+ 1) = 0

であるから，(

· · · ) > 0

によって，x

= y = 0

が得られる．

(1) f (x, y) = cos x + 1 − cos y

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) =

− 1 − 1 2 x ² + 1

2 y ²

となる．よって，【ウ】

(2) f (x, y) = cos x + cos y

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) = 2

− 1 2 x ² − 1

2 y ²

とな る．よって，【ア】

【注意】 ₋ 1 ≤ cos x ≤ 1

を利用して，x

= y = 0

の近く（近傍）で

2

が最大であるという 解法は有効である．

(3) f (x, y) = x ² + xy + y ² + 43y ⁵

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) =

x ² + xy + y ²

となる．よって，【イ】

【注意】

連立方程式

f x (x, y) = f y (x, y) = 0

を解くのは難しい．

3x ² = 3440x ⁵

の解を

x = 0

と短絡してはならない．実際に，この連立方程式を解くと，2x

+ y = 0, x + 2y + 215y ⁴ = 0

であるから，3x

= 3440x ⁵

となる．これより，(x, y) = (0,

0),

(

4

√ 3 3440 , − 1

2

4

√ 3 3440

)

と なる．

(4) f (x, y) = x ² − 3xy+y ² +27x ² y ²

は

2

次の項までテーラー展開すると，

p(x, y) = x ² − 3xy+y ²

となる．よって，【ウ】

【注意】

連立方程式

f x (x, y) = f y (x, y) = 0

をまともに解くのは難しい．実際に，この連 立方程式を解くと，

2x − 3y + 54xy ² = − 3x + 2y + 54x ² y = 0

であるから，第一式×

x

と第二式×

y

を考えて，

− 3xy + 2y ² = 2x ² − 3xy

が得られて，x

= ± y

が得られる．x

= y

とすると，初めの方程式から

− x + 54x ³ = 0

とな る．よって，x

= 0, ± √

54 ^{− 1}

となるから，

√ − √

− − √

− − √

−

(5) f (x, y) = x ² + e ^y − y

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) = 1 +

x ² + 1

2 y ²

となる．

よって，【イ】

(6) f (x, y) = 2x ² − 3xy+y ² − 42x ⁴ y

は

2

次の項までテーラー展開すると，

p(x, y) = 2x ² − 3xy+y ²

となる．よって，【ウ】

【注意】 f (x, x) = − 42x ⁵

と代入すればわかるように，符号が

0

を境に入れ替わるからこ のことから極大値，極小値のどれにも該当しないと結論してよい．

もちろん，f

(x, 0) = 2x ² , f (0, y) = y ²

が両方とも極小値をとるから

f

が極値と結論付ける のは短絡的でこれは不可．

(7) f (x, y) = sin(x ² y ² ) − x ² − y ²

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) =

− x ² − y ²

と なる．よって，【ア】

【注意】

連立方程式

f _x (x, y) = f _y (x, y) = 0

をまともに解くのは難しい．実際に，この連 立方程式を解くと，2x(y

² cos(x ² y ² ) − 1) = 2y(x ² cos(x ² y ² ) − 1) = 0

であるが，x

= 0

と すると，y

= 0

が得られる．y

= 0

とすると，x

= 0

が得られる．したがって，xy

̸ = 0

の場 合が残っているが，この場合は

cos(x ² y ² ) = 0

とすると，x

= y = 0

が得られるので，矛盾 する．このことから，y

² cos(x ² y ² ) − 1 = x ² cos(x ² y ² ) − 1 = 0

である．これより，x

= ± y

が得られる．x

² cos(x ⁴ ) = 1

の解は無限にあるので，この連立方程式の解は無限にある．

(8) f (x, y) = e ^x − x + y − e ^y

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) =

1 2 x ² − 1

2 y ²

とな る．よって，【ア】

(9) f (x, y) = x − e ^x + xy + y ²

は

2

次の項までテーラー展開すると，p(x, y) = 1

− 1

2 x ² + xy + y ²

となる．よって，【ウ】

【注意】

連立方程式

f x (x, y) = f y (x, y) = 0

をまともに解くのは工夫が要る．

1 − e ^x + y = x + 2y = 0

が得られる．したがって，x

= 2(1 − e ^x )

である．右辺は

x

の減少関数，左辺は

x

の増加関 数であるから，x

= 0

でのみ

0

を取る．

採点基準 ^(b)

(b − 1) f _x (x, y), f _y (x, y)

の計算をしている場合は３点をまず与える．残りの２点は以下の要領で与 える．

(a) f _x (0, 0) = f _y (0, 0) = 0

と代入して結論を与えている場合は残り２点を与える．

(b) f _x (x, y) = f _y (x, y) = 0

を解いて，きちんと結論を得た場合は残り２点を与える．

(c) f x (x, y) = f y (x, y) = 0

を解こうとして，その論証に間違えがある場合は残り２点中 １点を与える．

(d) f x (x, y) = f y (x, y) = 0

を解かず，（計算の痕跡を見出せない）f

_x (x, y) = f y (x, y) = 0

の解が

(x, y) = (0, 0)

と言っている場合はこの

(b)

は５点中３点を与えるにとどめる．

（残り２点中０点）

0. x, y ≥ 0, x + y = 18

の条件下で，

1 4 x + 1

4 x + 1 4 x + 1

4 x + 1 5 y + 1

5 y + 1 5 y + 1

5 y + 1 5 y = 18

であるから，9⁹

√( 1 4 x

) 4 ( 1 5 y

) 5

≤ 18

これより，w

= x ⁴ y ⁵ ≤ 2 ¹⁷ · 5 ⁵

となる．よって，M の表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (17, 0, 5, 0)

である．また，等号は

x = 8, y = 10

の 時である．

• 【注意１】 w = x ⁴ (18 − x) ⁵

として，

w ^′ = 4x ³ (18 − x) ⁵ − 5x ⁴ (18 − x) ⁴ = x ³ (18 − x) ⁴ (72 − 9x)

として，x

= 8

で極大値をとると考えてもよい．

• 【注意２】 x + x + x + x + y + y + y + y + y ≥ 9 √

⁹

x ⁴ y ⁵

とすると，仮定を生かし切 れない．

• 【注意３】 x + x + ¹ ₂ x + ¹ ₂ x + y + y + y + y + y ≥ 9 √

⁹

x ⁴ y ⁵ /4

とすると，仮定を生 かせるが，等号条件がなくなる．

1. x, y ≥ 0, x+y = 10

の条件下で，

x 2 + x

2 + y 3 + y

3 + y

3 = 10

であるから，

5

⁵

√( 1 2 x

) 2 ( 1 3 y

) 3

≤ 10

となる．よって，w

= x ² y ³ ≤ 2 ⁷ · 3 ³

となる．よって，M の表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (7, 3, 0, 0)

である．また，等号は

x = 4, y = 6

の時である．

2. x, y ≥ 0, x + y = 48

の条件下で，

1 5 x + 1

5 x + 1 5 x + 1

5 x + 1 5 x + 1

3 y + 1 3 y + 1

3 y = 48

である から，

8

⁸

√( 1 5 x

) 5 ( 1 3 y

) 3

≤ 48

となる．よって，w

= x ⁵ y ³ ≤ 2 ⁸ · 3 ¹¹ · 5 ⁵

となる．よって，Mの表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (8, 11, 5, 0)

である．また，等号は

x = 30, y = 18

の時である．

3. x, y ≥ 0, x + y = 40

の条件下で，

1 7 x + 1

7 x + 1 7 x + 1

7 x + 1 7 x + 1

7 x + 1 7 x + 1

3 y + 1 3 y + 1

3 y = 40

であるから，10¹⁰

√( 1 7 x

) 7 ( 1 3 y

) 3

≤ 40

となる．よって，w

= x ⁷ y ³ ≤ 2 ²⁰ · 3 ³ · 7 ⁷

とな る．よって，Mの表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (20, 3, 0, 7)

である．また，等号は

x = 14, y = 6

の時である．

4. x, y ≥ 0, x + y = 44

の条件下で，

1 5 x + 1

5 x + 1 5 x + 1

5 x + 1 5 x + 1

6 y + 1 6 y + 1

6 y + 1 6 y + 1

6 y + 1 6 y = 44

であるから，11¹¹

√( 1 5 x

) 5 ( 1 6 y

) 6

≤ 44

となる．よって，w

= x ⁵ y ⁶ ≤ 2 ²⁸ · 3 ⁶ · 5 ⁵

とな る．よって，Mの表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (28, 6, 5, 0)

である．また，等号は

x = 20, y = 24

の時である．

5. x, y ≥ 0, x + y = 21

の条件下で，

1 5 x + 1

5 x + 1 5 x + 1

5 x + 1 5 x + 1

2 y + 1

2 y = 21

であるから，

√(

となる．よって，w

= x ⁵ y ² ≤ 2 ² · 3 ⁷ · 5 ⁵

となる．よって，M の表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (2, 7, 5, 0)

である．また，等号は

x = 15, y = 6

の時である．

6. x, y ≥ 0, x + y = 18

の条件下で，

1 6 x + 1

6 x + 1 6 x + 1

6 x + 1 6 x + 1

6 x + 1 3 y + 1

3 y + 1 3 y = 18

であるから，

9

⁹

√( 1 6 x

) 6 ( 1 3 y

) 3

≤ 18

となる．よって，w

= x ⁶ y ³ ≤ 2 ¹⁵ · 3 ⁹

である．よって，M の表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (15, 9, 0, 0)

である．また，等号は

x = 12, y = 6

の場合である．

7. x, y ≥ 0, x + y = 24

の条件下で，

1 3 x + 1

3 x + 1 3 x + 1

5 y + 1 5 y + 1

5 y + 1 5 y + 1

5 y = 24

であるから，

8

⁸

√( 1 3 x

) 3 ( 1 5 y

) 5

≤ 24

となる．よって，w

= x ³ y ⁵ ≤ 3 ¹¹ · 5 ⁵

となる．よって，M の表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (0, 11, 5, 0)

である．また，等号は

x = 9, y = 15

で成立する．

8. x, y ≥ 0, x + y = 32

の条件下で，

1 6 x + 1

6 x + 1 6 x + 1

6 x + 1 6 x + 1

6 x + 1 2 y + 1

2 y = 32

であるから，8⁸

√( 1 6 x

) 6 ( 1 2 y

) 2

≤ 32

となる．よって，

w = x ⁶ y ² ≤ 2 ²⁴ · 3 ⁶

となる．よって，

M

の表示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (24, 6, 0, 0)

である．また，等号は

x = 24, y = 8

で成立する．

9. x, y ≥ 0, x + y = 42

の条件下で，

1 4 x + 1

4 x + 1 4 x + 1

4 x + 1 3 y + 1

3 y + 1

3 y = 42

であるから，

7

⁷

√( 1 4 x

) 4 ( 1 3 y

) 3

≤ 42

となる．よって，w

= x ⁴ y ³ ≤ 2 ¹¹ · 3 ¹⁰

となる．よって，M の表 示にあたる

a, b, c, d

は

(a, b, c, d) = (11, 10, 0, 0)

である．また，等号は

x = 24, y = 18

で成 立する．

採点基準

1.

ラグランジュの未定乗数法を用いる方針で解いた場合，3文字の連立方程式の立式が出来た 時点で４点．

2.

その後，計算を完遂していない場合は４点を与えるにとどめる．

0. (a) (2, 3, 6) × (1, 5, 8) = ( − 6, − 10, 7) (b) S = 1

2

√ ( − 6) ² + 10 ² + 7 ² = 1 2

√ 185

(c) Π : − 6x − 10y + 7z = 0

1. (a) (3, 3, 7) × (4, 5, 1) = ( − 32, 25, 3) (b) S = 1

2

√ ( − 32) ² + 25 ² + 3 ² = 1 2

√ 1658

(c) Π : − 32x + 25y + 3z = 0

2. (a) (6, 6, 5) × (1, 7, 1) = ( − 29, − 1, 36) (b) S = 1

2

√ ( − 29) ² + ( − 1) ² + 36 ² = 1 2

√ 841 + 1 + 1296 = 1 2

√ 2138

(c) Π : − 29x − y + 36z = 0 3. (a) (4, 3, 2) × (9, 9, 8) = (6, − 14, 9)

(b) S = 1 2

√ 6 ² + ( − 14) ² + 9 ² = 1 2

√ 313

(c) Π : 6x − 14y + 9z = 0

4. (a) (1, 6, 7) × (9, 3, 2) = ( − 9, 61, − 51) (b) S = 1

2

√ ( − 9) ² + 61 ² + 51 ² = 1 2

√ 81 + 3721 + 2601 = 1 2

√ 6403

(c) Π : − 9x + 61y − 51z = 0

5. (a) ⃗a × ⃗b = (2, 1, 2) × (3, 7, 9) = ( − 5, − 12, 11) (b) S = 1

2

√ ( − 5) ² + ( − 12) ² + 11 ² = 1 2

√ 25 + 144 + 121 = 1 2

√ 290

(c) Π : − 5x − 12y + 11z = 0

6. (a) (1, 6, 2) × (2, 2, 7) = (38, − 3, − 10) (b) S = 1

2

√ 38 ² + ( − 3) ² + 10 ² = 1 2

√ 1553

(c) Π : 38x − 3y − 10z = 0

7. (a) (1, 7, 4) × (4, 3, 9) = (51, 7, − 25) (b) S = 1

2

√ 51 ² + 7 ² + 25 ² = 1 2

√ 2601 + 49 + 625 = 1 2

√ 3275 = 5 2

√ 131

(c) Π : 51x + 7y − 25z = 0

8. (a) (2, 3, 5) × (6, 7, 1) = ( − 32, 28, − 4) = 4( − 8, 7, − 1) (b) S = 1

2

√ ( − 8) ² + 7 ² + ( − 1) ² × 4 = 2 √ 114 (c) Π : − 8x + 7y − z = 0

9. (a) (1, 2, 4) × (4, 3, 2) = ( − 8, 14, − 5) (b) S = 1

2

√ ( − 8) ² + 14 ² + ( − 5) ² = 1 2

√ 285

(c) Π : − 8x + 14y − 5z = 0

(a)

公式だけを記して，成分をまともに代入していない答案は該当箇所は０点

(b)

外積をスカラーにしていたら外積の計算０点

(c)

面積の計算で

1/2

を落としたら，２点減点

(d)

面積の計算で平方根に関する計算を間違えていたら３点減点

(e) Π

の計算で，平面の方程式ではないものを書いたら

Π

の計算は無効．

(f )

ベクトルと媒介変数を用いて

Π

を表す方法も有効であるが，Π =

s⃗a + t⃗b

などと書くのは 無効である．

問題

2.1（学修番号下１桁の問題番号）

0. I = (e − 1)(e ⁴ − 1), J = 1 4 J

は

J =

∫ ^√ π/2 0

(∫ y 0

sin(2y ² ) dx )

dy =

∫ ^√ π/2 0

y sin(2y ² ) dy = [

− 1

4 cos(2y ² ) ] ^√ π/2

0

= 1 4

と計算すること．

1. I = 2, J = 1

2 cos 1 − 1 2 cos 5 2. I = 128, J = 1

2 e ² − 1 2 e 3. I = 64

3 , J = − 1

2 log cos 1 4. I = 4

3 , J =

√ 2 4 5. I = 64, J = 1

2 e ⁹ − 1 2 6. I = 1

6 (e ² − 1)(e ³ − 1), J = 1

4 (e ² − 1) 7. I = 1296, J = e ² − 1

8. I = 128, J = 1 2 e ⁹ − 1

2 9. I = 1

4 e ⁴ − 5 4 , J = 1

2 e − 1 2

採点基準

(a)

計算ミスは３点減点

0. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤− 2x

x ² + y ² dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ 3π/2 π/2

(∫ ₋ 2 cos θ 0

r ³ dr )

dθ = 4

∫ 3π/2 π/2

cos ⁴ θ dθ = 8 · 3 · 1 · π 4 · 2 · 2 = 3

2 π

となる．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ² dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ² r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 4 7 π

である．

1. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

x ² + y ² dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ 2 cos θ 0

r ³ dr )

dθ = 4

∫ π/2

− π/2

cos ⁴ θ dθ = 8 · 3 · 1 · π 4 · 2 · 2 = 3

2 π

となる．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ³ dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ³ r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 4 9 π

である．

2. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ x

(x ² + y ² ) ² dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ cos θ 0

r ⁵ dr )

dθ = 1 4

∫ π/2

− π/2

cos ⁶ θ dθ = 1

2 · 5 · 3 · 1 · π 6 · 4 · 2 · 2 = 5

96 π

となる．また，極座標を介さず次のようにしてもよい．

I =

∫ 1 0

(∫ ^√ x − x

²

− √ x − x

²

x ⁴ + 2x ² y ² + y ⁴ dy )

dx

= 2

∫ 1 0

x ⁴ √

x − x ² + 2 3 x ² ( √

x − x ² ) ³ + 1 5 ( √

x − x ² ) ⁵ dx

と積分して，次に

x = sin ² θ

とおいて，

I = 4

∫ π/2 0

sin ¹⁰ θ cos ² θ dθ + 4 3

∫ π/2 0

sin ⁸ θ cos ⁴ θ dθ + 4 5

∫ π/2 0

sin ⁶ θ cos ⁶ θ dθ

と変換する．これを計算すると，

I = 4

∫ π/2 0

sin ¹⁰ θ − sin ¹² θ dθ + 4 3

∫ π/2 0

sin ⁸ θ − 2 sin ¹⁰ θ + sin ¹² θ dθ

+ 1 80

∫ π/2

sin ⁶ 2θ dθ

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁴ dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ⁴ r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 4 11 π

である．

3. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 4x

y ² dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ 4 cos θ 0

r ³ sin ² θ dr )

dθ = 64

∫ π/2

− π/2

cos ⁴ θ sin ² θ dθ = 128 · 1 6 · 3π

16 = 4π

となる．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁵ dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ⁵ r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 4 13 π

である．

4. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤− 4x

x dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ 3π/2 π/2

(∫ 4 cos θ 0

− r ² cos θ dr )

dθ = − 64 3

∫ π/2

− π/2

cos ⁴ θ dθ = − 8π

となる．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^1/2 dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ^1/2 r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = π

である．また，極座標を介さず次のようにしてもよい．

I =

∫ 0

− 4

(∫ ^√ ₋ x

²

− 4x

− √

− x

²

− 4x

x dy )

dx = 2

∫ 0

− 4

x √

− x ² − 4x dx = − 4

∫ 0

− 4

√ − x ² − 4x dx = − 8π

5. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤− 2x

x dx dy

の計算 極座標変換をして，

∫ 3π/2 (∫ ₋ 2 cos θ )

8 ∫ π/2

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^3/2 dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ^3/2 r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 2 3 π

である．

6. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

(x + 1) dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ 2 cos θ 0

(r cos θ + 1)r dr )

dθ =

∫ π/2

− π/2

8

3 cos ⁴ θ + 2 cos ² θ dθ = 2π

となる．または，

I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

(x − 1) dx dy + 2

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

dx dy = 2π

と計算してもよい．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^7/2 dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ^7/2 r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 2 5 π

である．

7. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 2x

x dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ 2 cos θ 0

r ² cos θ dr )

dθ = 8 3

∫ π/2

− π/2

cos ⁴ θ dθ = 1 2 π

となる．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ^9/2 dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ^9/2 r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 1 3 π

である．

8. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 8x

y ² dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ 8 cos θ 0

r ³ sin ² θ dr )

dθ = 1024

∫ π/2

− π/2

cos ⁴ θ sin ² θ dθ = 32π

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁸ dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ⁸ r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 4 19 π

である．

9. (a) I =

∫∫

x

²

+y

²

≤ 4x

x dx dy

の計算 極座標変換をして，

I =

∫ π/2

− π/2

(∫ 4 cos θ 0

r ² cos θ dr )

dθ = 64 3

∫ π/2

− π/2

cos ⁴ θ dθ = 8π

となる．

(b) J =

∫∫∫

D

(x ² + y ² + z ² ) ⁷ dx dy dz

の計算

J =

∫ 1 0

[∫ 2π 0

(∫ π 0

(r ² ) ⁷ r ² sin θ dθ )

dφ ]

dr = 4 17 π

である．

採点基準

I

の計算

(a)

境界を平方根を用いて計算する方法は有効．この場合は一変数の定積分を計算に帰着させ たら７点．

(b) I

の計算をするとき，境界を正しく極座標変換していない場合は不可．

J

の計算

(a) r

の冪を間違えた場合は７点極座標変換を間違えたら０点ただし，θの範囲を間違えたら３ 点減点にとどめる．

問題

2.3（学修番号下１桁の問題番号）

0.0 0.5 1.0

X = 2x + 3y, Y = 3x − 2y

とすると，

det



 

∂X

∂x

∂X

∂y

∂Y

∂x

∂Y

∂y



  = det ( 2 3

3 − 2 )

= − 13

である．よって，

dXdY = | − 13 | dxdy = 13dxdy

である．したがって，

∫

D

F (x, y) dx dy = 1 13

∫ 1

− 1

∫ 1

− 1

F

( 2X + 3Y

13 , 3X − 2Y 13

) dX dY

となる．

0. 2

13 (e − e ^{− 1} ) 1. 4

117 2. 2 − sin 2

13 3. 2 + sin 2

13 4. 4

65 5. 4

39 6. 4

91 7. 2 − sin 2

13 8. 4

39 9. 2 + sin 2

13

採点基準

(a)

領域が座標軸と

45

度に交わる正方形を書いた場合，もしくは，正方形以外の図形を描いた 場合は領域の図示の点数はなし．

(b)

積分値が完全に求まっている場合は領域の図示のミスを不問に付す．

(c)

ヤコビアンの絶対値を取らず，変数変換の際にマイナスをつけた場合は２点減点，ヤコビ アンの逆数を考えている場合も同様．