比較動学分析

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(1)OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ. 企業の研究・開発モデルにおける比較動学分析阿部文雄 I はじめに. Kamien& S c h w a r t z は，近年の一連の論文において，不確実性下における企業の最適研究・開発 (R&D) 政策，とりわけその動学的特性についての興味深い研究を行ってきた。しかしながら，彼等のモデルにはいずれも少なからず各種パラメータが含まれているが，そういったパラメータの変化が最適 R & D政策の時間径路に対してどのような変更をもたらすのかという，いわゆる「比較勤学分析」はほとんど試みられていない。そこで小論文において我々は Kamien&S c h w a r t zモデノレ(7)を取り上げ， l. 多少の修正を施こした上で比較勤学分析を試みることにする。比較動学分析. ( c o m p a r a t i v ed y n a m i c s ) は，経済分析においては O n i k i ( (9， ) ( 1 0 ) ) による商期的な成果に端を発せられたが，板垣 (3‑5) 等数少ない例外を除いて未だに十分応用されていない現状にあるといえよろ。また，この比較動学分析は最適径路の特徴についての付加的情報を与えるものであり，かかる意味におい. c h w a r t z論文(7)の最後につけ加えられるべきF 一節て小論文は. Kamien& S と位置付けられよう。. I節ではモデノレ設定がなされ，以下小論文の構成は次のようになっている。 I. I I I 節では最適 R&D政策の導出とその特徴が述べられ. I V節においてその比較動学分析が展開されている。. I I モデノレの設定まず以下の分析に用いられる重要な変数及びパラメータをリストアップして.

(2) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑316 ー. 第5 6 巻第 1号. 316. おく。. m ( t ):時刻 tにおける R&D支出(貨幣額で表示される) z ( t ) 時刻 tまでに当該プロジ z クトに蓄積された累積的有効 R&D努力 (貨幣額で表示される〉 F(t):ライバノレが時刻 tまでに当該プロジヱクトを完成させる確率. φ( z ( t ) ):累積的有効 R&D努力が zとなる時刻までに当該プロジ z クトが完成する確率 :主観的時間割引率. ρ. T. 計画期間. R. 当該プロジェクトの完成によって得られる総利益(一定値). h. ライバノレ企業の完成率(以下のく仮定 1 >で定義〉. 次に以下の仮定がおかれる。市場的不確実性 <仮定 1 > 今. U を，ライパノレ企業の完成時刻とし，かつ次のような確率分布関数. F( の. をもっ確率変数であるとする。. P r{ v ‑ : : ; ; ' t }=F( t )=l‑e‑ht，h>0. (1). <仮定 2> 関数ゆ ( z( t ))は，以下の性質をもっ 2団連続微分刊日能な関数であると仮定する。. φ(0)=0，φ'(0)=0，φ' ( z )ミ O. (2). 更に，k(z)=φ ' ( z ) / C1ー φ( z ))とするとき，. o ra l lz孟 O k ' ( z )ミ0，f. (3). を仮定する。 <仮定 3> 累積的有効 R&D 努力の蓄積方程式累積的有効 R&D 努力の蓄積方程式は次のように示される。. z ( t ) = g ( m ( t ) ， ) z (O)=0. (4). ここで関数 g (m)は，次のような性質をもっ，有界で，厳密に凹の単調増加関.

(3) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ企業の研究・開発モデ/レにおける比較動学分析. 3 1 7. ‑.317‑. 数である。. ぺ. g(O)=O，g'(O)く∞ ，g'(m)>O，g m)く O. (5). 革新からの予想収益く仮定 4 >. w i n n e rt a k e s 当該プロジェクトを先に完成させた企業が全市場を制圧する ( a l l ) ものと仮定する。従って先にプロジェクトを完成させた場合にのみ， Rの収益を得るものと仮定され，かっこの R は完成時刻から独立であるとされる。以上の仮定の下で，企業は所与の計闘期間 Tに対して予想収益を最大化するように，各時点の R & D支出 m(t)を決定するものとする。このとき企業?とよって解かれるべき問題は以下の如く確定的有限計商問題として定式化される。く問題〉. M G ZM z j : げ山( R c t ' ( む ( m ). 切. ( t)(1ー φ ( z ) )Jdt. (6). s u b j e c tt o z ( t )=g(m(t))，z(0)= 0. (4). (1)‑(3)，(5) I I I 最適 R&D政策の導出と特徴前節で述べた問題に最適解 m(t)が存在すれば，. それが満たすべさ必要条件. は最大原理により次のように示される。ハミノレトニアンを，. φ'(z)g(m)‑m( t )(1一φ( z ) )J 十. A(t)g(m)} (7) H=e‑pt{e‑ht(R とおくとき， A. ︑hノ. 〆l ︐ .︑. (i i ). d ，A ̲，.，̲ " . ( t) e ‑ p t J=̲8H v ; : dt ( V'V'V a. よ. 8H. aH ̲. 3広三五0， m-~-=u 8m ， m孟 O v. ( i i i )J .( T)= 0. を満足する連続関数 . J( t )が存在すること。. (8)式は整理すると次のように示される。. (8). (9) ( 10 ).

(4) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑318ー. 第5 6 巻第 1号. 3 1 8. べ. A( t )‑ e ‑/<t(Rφ z)g(m)+ m( t )φ ' ( z )J . )( t )=p. ( 1 1 ). 更に，条件 ( i i )は次のように計算される。. oH t(Rct'(z)g'(m)一(1一 φ(z)))十 A(t)g'(m)} (12) 否両子 =e ーペe ‑a そこで今内点解 (m(t)>0)のケースを取り扱うとすると， ( 12)式より g'(m)(R φ' ( z )十 e ‑ a t A( t )J =. 1‑φ ( z ). ( 1 3 ). が成立しなければならない。さてここで以下での分析上の便宣のために次のような新しい変数を定義す. B. JA. 43e. ︑ 〆 ︑︑ f 一〆 ︐ 一. 一司. 一 h一 ︑ 勾. ρu. 約一φ. ー ︑ ︐ 一〆 ︐ ︑. 一一一 a v L V. ρ. 叫. る。. ( 1 4 ). このとき， n(t)に関する微分方程式が次のように示される。. 。. ( t )= Cp+h+k(z)g(m)J Q(t)‑k(z)( ( ρ +h)R+m(t ) ). ( 1 5 ). (1] 初期時点における最適 R&D政策 t=0において，z (0)= φ ' (0)=0であるから. dH(0 ) 1. 寸玩一 ! 日 = 一山 (O)g'(O). ( 1 6 ). であり，それゆえ最適性規準は，. ‑1+A(0) g '(0)孟 O ならば. m(O)=O). ‑1+).(0)ど(0)>0 ならば. m(o)>o). ' I. ( 17 ). であることが分る。以下での分析を比較動学にもっぱら専念するため，我々はここで， . }( 0 )>1/ g ' (0 )，すなわち初期時刻から. R&D支出を実行するよう. なプロジェクトの分析に限定して分析を進めることにする。. ( 2 ) R&D開始時刻以後の最適政策(内点解のクース〉 t )が時聞の経過とともにどのように変化するのここでは最適 R&D政策 m( i i ) より内点解が成立する時， ( 1 3 )式が成立するか調べてみよう。必要条件 (. が，これを ( 1 4 )式で定義された Q(t)を使って示すと， l‑g'(m)Q( t )~ 0. ( 1 8 ). となる。そこで m(t)の時聞に関する変化をみるためには8 )式の両辺を時間 t.

(5) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑319‑. 企業の研究・開発モデルにおける比較動学分析. 3 1 9. で微分すると次式を得る。. 者九(日叫を協 .‑m(t)一日)RJ+手放 ( ω そして，. K a m i e n&S c b w a r t z( 7)で証明され℃いるように， ( 1 9 )式の右辺は. m(t)>Oである期間中正であり，従って最適 R&D支出は時聞の経過ととも. に増大していくといラことが分る。. IV 比較動学分析この節の目的は，前節までに導出・検討した企業の最適 R&D政策の時間径路が，種々のパラメータ ( ρ ，h，R，T) の変化によってどのような影響を受けるか，という問題を考察することである。. (1) 革新利益 Rが最適 R&D政策に及ぼす効果まず，ライバノレに先んじてプロジェクトを完成させたときに得られると予想される革新利益 R の変化が，最適 R&D政策の時間径路にどのような変化を. )式の両辺をノミラメータ R でもたらすかを検討してみよう。今最適性規準(18. t. ︑ 〆 R. ︑︑︐ノ4t. Q. f 71. 刈一川. 一一. R. m. a z v 〆︐︑︑. ︑ ︑ ︐7 M 6. 微分すると次式を得る。. ( 2 0 ). 従って計画期間中の任意の t 時点における mR( t )の符号は， QR( t )のそれと同. 1 5 )式をそれぞれ R で微分し上の ( 2 0 )式をじである。そこで勤学体系 (4)，(. (〔仰). 使って整理すると次式を得る。 ZR( t ). O. 。. ) 3 一一一一一一 g"(m). 1ZR(t). [ 庁 (m) ( ( / r 7 ' ¥D ， . . . . . . 1 ' . 1 ‑ ' ‑ ， ) . .十h 7 . . ~I'_"" ̲ I ' . . . . ̲ . . JQR(t) グ( Z ) j 一生一一一 ( p +.h )R. + m ( t ) ) t 十k (z)g ( 州 l g'(m) ド Jρ r '. . ，..，~"". R(t). I. I. ' ' ' ' / /. O ( 21 ). 十. 一ρ ( 十h ) k ( z ).

(6) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑320‑. 第5 6 巻第 1号. 3 2 0. ここで前節で得た最適 R&D政策の特徴から ( 21)式の同次項の係数行列および非同次項の符号は次の通りである。. r : : J( : J. ( 2 2 ). そこで，(ZR，ρR )一平面上での解 ( Z R. 兵R. ( t )，QR( t ) ) の可能な変化の方向を図. ころで R が変化するとき，Z(0)は不. く. 変であるので次式が成立する(初期条. 令. 示すれば，第 1図の如く示される。と. 件〉。 ZR(O)=O. く. 一一 ; ( 2 3 ) t. ZR. また，横断条件 A(T)=0より. ρ(T)=Rk(z(T)) を得るが，. ( 2 4 ). この ( 2 4 )式の両辺を R で. 〉. /. く第 1 図 >. 微分すると境界条件，. ρR(T)=k(z(T)J +Rk'lz(T))zR(T). ( 2 5 ). QR. に. ZR(l). zR. <第 2 図 >.

(7) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑321ー. 企業の研究・開発モデノレにおげる比絞勤学分析. 3 2 1. が得られる(第 2図参照〉。. ( 2 3 )，( 2 5 )式の意味するところは次の通り'である。まず， ( 2 3 )式は (ZR，QR) 一平面上において解 (ZR(t)，ρR( t )Jの時間径路が示す軌道は，垂直軸上の点から出発しなければならないことを意味している。また ( 2 5 )式は，それが直線 QR(T)=k(z(T))十 Rk'(z(T)JZR(T)上の点へ到達しなければならないことを. 意味する。そこで以下可能な 2つの初期条件，QR(O)>0，ρR(O)く Oに対して，R の変化が最適 R & D政策の a 寺間径路にどのような影響を及ぼすかを検討する。 (1 ‑1) ρR(O)>Oのケースこの場合， ( 2 2 ) .( 2 3 ) 式及び第 1図から明らかなように，基本的に次の 3つの可能なパターンが葎在する。 (イ) (ZR，QR) ー平面上の垂直軸上の上半分から出発して，. 計画期間中第. 1象限内に止まり第 1象限内の終端多様体に到達するケース。〈ロ〉. 出発点と到達点は基本的に(イ}のクースと同じであるが， l. 途中第 4. 象限を少なくとも 1回通過するケース。. (ハ) (ZR，QR)一平面上の霊直軸土の上半分から出発し，途中第 4象限内を通過した後，第 3象限内の終端多様体に到達するクース。以上のことを整理すれば次のような 3つの可能な変化パターンが有在することになる。. (イ) QR(t)>0， mR(t)>0. ( 2 6 ). a. nu ‑ ‑ VA. P し V. 置. d. {l 111﹀ AU. 吋ほ. 釦. 内. ・ 13 ・日. unjAU l e. . n E. Ib. 斜四戸. 一 e‑ a. ‑噌&ム 2 . mnm l:1 ・ 1. A. QR(t)>0， mR(t)> O. AFt. QR(t)く 0， mR(t)く O. 桐. ρR(t)>O，.niR(t)>O. nnf aaa o α o︐ rIPIPE. (ロ) QR(O)>O，mR(O)>O. f o ra l l tE ( 0， T). ( 2 7 ). ( . 1 ) ただし，. QR(0)= 0の場合は次のような唯一の可能な変化パターンが存在する。 . QR(O)=O， mR(O)=O i 2R ( t )く 0，mR(t)<0 f o ra 1 1tε( O， TJ.

(8) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑322，‑. 3 2 2. 第5 6 巻第 1号. ( ハ) . QR(0)>0，mR(0)>0 . QR(t)>0， mR(t)>0. f o rs m a l lt. ρR(t)く 0， mR(t)<O. forlarget. ( 2 8 ). (1‑‑2) . QR(O)く : 0のケース. 2 3 )，( 2 4 )式及び第 1図から明らかなように，次の唯一の可能なと.の場合， ( 変化パターンが存在する。 . QR ( t )く. oi. mR( t )く. o ). >f o ra l ltE( 0， TJ. ( 2 9 ). 以上のように，我々の分析フレームワークの下では，革新収益を表わすパラメータ R の変化が最適 R & D政策の時間径路に及ぼす影響は必ずしも確定的に得られないけれども，少くとも，変化パターンの基本形が初期条件に帰着されるということは意味のある命題であると主張できるよろに思われる。. (2) 計画期間 Tが最適 R&D政策に及ぼす効果. Kamien&S c h w a r t zモデノレ(7)では，計画期間 Tは所与とされている。そこでこのパラメータ Tが変化したとき，最適 R & D政策の時間径路がどのように変化するかを検討してみよう。まず， ( 2 0 )式に相当する式は次のように示される。 (g'(m))2 mT(t)=一一一一一一一命 ( t ) g"(m). ( 3 0 ). 更に ( 21)式に相当し，解 ( Z l ， ( t )，. QT ( t ) )を決定する微分方程式体系は次の如. ( l ハ I I z く示される。. i l. j T ( t 〉￨￨ O 7 7 W ￨￨ Z T ( t 〉￨ 1 = 1. ω. β ι バ T ω ぴ ( T t ). 叫 ω. 仰 k 附 ' 〈 ( 伊め z 刈 ) パ ( 表診ト一((伊 Mρ. 〔 g(m 〉J. 1. ことで ( 3 1 ο )式右辺の係数行列の符号は Rのケ一スと全く同じである。. 1 ( 3 1 ). また，. 初期条件および堺界条件は次の如く示される。. =0. ZT(0 ). ( 3 2 ).

(9) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ 3 2 3. 企業の研究・開発モデノレにおける比較動学分析. ρT(T)= Rk'(z(T))zT(T) Qr. ‑323‑ ( 3 3 ). さて， ( 31)式によって (ZT，QT)一. ノ. 〈. 平面上での解 (ZT(t)， QT(t)) の可能な変化の方向を図示すれば，第 3図の如く示される。そこで，. ( 3 2 )，( 3 3 ) 式および第 3図を用. 一了. いて，. 〉. 〆. パラメータ Rの場合と同. 様の分析を行うことによって次のよラな結果が得られる。. (2‑1). 。. T(O)>Oのケース. QT(t)>0 ). く第 3 図 >. {f o ra l ltE( 0， TJ. mT(t)>0 ). ( 3 4 ). (2‑2) ρTCO)=Oのケース 0) ifora l lt E( 0，T) mT( t )= 0). QT (t )=. (2‑3) 。T(0 )く. ρT( t )く mT(t)く. ( 3 5 ). Oのケース. o) rforal 1tE( 0，T ) o). ( 3 6 ). (3) hが最適 R&D政策に及ぼす効果との場合の解 i. ( Z ，， ( t )，ゐ。(t))を決定する微分方程式体系は次の通りである。. /t. ︑ ︑ v R. R ︑︑︐︐ z. 一. J. ︑lilia‑‑IJ. o. ︑. 切 ︐ ︑ ‑ 1一一Fb. 十. /Illi‑‑‑111a. ( 3 7 ).

(10) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ第5 6 巻. ‑324‑. 3 2 4. 第 1号. ここで， ( 3 7 )式右辺の非同次項の符号は未知であるが，. ，. ~^，，( z(O))R一一ーユ一一一 g'(m (0))‑k I<l . . . . V ) ) "‑ ‑g'(m(0 ) )>0. ( 3 8 ). および，t=T時点における最適性規準. 宅P e‑eT{e‑"T(Rφ'(z)g'(m)ーc1引の ]}=o 口. ( 3 9 ). より， ( 4 0 ). 一一‑L‑‑mzRh〔 z(T〉 ) g'(m(T)) であることを考慮に入れて次のことを仮定する。. f o ra l ltE ( 0，T). 1 一一 ‑k(z)R>O g'(m) 従って，. このとき ( 3 7 )式右辺の同次項の係数行列および非同次項の符号は次. の通りである。. + 〕〔 ! 〕そこで. ( 41 ). i 2 h. く. ( 4 2 ). ， )一平面上での解 ( z "，Q，. t ))の可能な変化の方 ( z ，， ( t )，ρゐ(. 向は;第 4図の如く示される。またこのとき，初期条件および境界条. ‑ 十. 件として次式が成立する。. z ，， (0)= 0. ノ. 〉. ( 4 3 ). Q，，(T)= R ，，(T) z k'(z(T)). ( 4 4 ). く第 4 図〉. 4 4 ) 4 3 )，( そこで，第 4図および ( 式を用いてこれまでと同様の分析を行うことにより次のような結果を得る。 (3‑1) Q，， (0)孟 Oのケースこの場合，次のような唯一の可能な変化パターンが存在する。.

(11) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ 3 2 5. 企業の研究・関発モデノレにおける比較動学分析. 〉 : 。 }. 仏 ( t. C3‑. f o I 'a l lt E( 0，T l. ‑325‑. ( 4 5 ). 2J ρゐ(0)く Oのケース. この場合，基本的に次の 3つの可能な変化パターンが存在する。. ( イ ) ρ，， (t ) く0 ，m "(t)<0 る. 〈ロ〉. 〈ハ). f o ra l l tE ( 0，T J. '. ( 4 6 ). ρ，， (0)く: 0， mn(0)‑ く O . Q "(t ) く0， m，， (t ) く: 0. f o rani n i t i a l period. . Q n (t)>0，. m，， (t)>0. f o rani r i . termediateperiod> ( 4 7 ). Q，， (t)く 0，. m，， (t)く O. f o ra f i n a lp e r i o d. . i M 0)<二0， mh(O)<O ρh (t)く 0， m，， (t)く. o. ρ九 (t)>0， m，， (t)>0. ( 4 8 ). f o rs m a l lt f o rl a r g et. (4J 時間割引率 pが最適 R&D政策に及ぼす効果企業の主観的時間割引率の最適 R&D政策の時間径路に対して及ぼす影響の. 1 5 )式を見ても予想される通り，実は当該企業が市場的不確実性に直仕方は， ( 面して予想するパラメータ hと全く同じ効果をもつことが明らかである。従っ. 4 6 )，( 4 7 )，( 4 8 )式においてて，我々は上の(3)のケースにおける (. hを ρ. に置き換えた命題をもつことになる。重喜考文献 C1 ). Anow，K.J . & M.KUIZ，P u b l i cI n v e s t m e n t，t h e Rate o fR e t u r n，and. i ' c y，TheJ o h n sHopkinsP l e s s，1 9 7 0 . OTtimalF i s c a lPol. .， N e c e s s a r yC o n d i t i o n sf O IOptimalC o n t l o lP r o b l e m sw i t hI n f i n i t e [2) H a l k i n，H H o r i z o n ヘEconometrica，Vol .4 2，No. 2，1 9 7 4，pp 2 6 7 ‑ 2 7 2 . ，，. (3) 板垣有記締「個人の消費・貯蓄・資産保有および労働供給に及ぼす財産税の効果に. r創価経済論集 JVo l . 5，No. 2，1 9 7 5，pq.63‑101 . ついて一一比較動学分析一一 J (4) 板垣有記輔「個人の消費・貯蓄・資産保有および労働供給に及ぼす所得税の効果に. r創価経済論集 JVoL 5，No. 3・4， (創立 5周年記念ついて一一比較勤学分析一一 J 論文集) 1 9 7 6，p p .3 0 ‑ 3 8 .. ta g a k i，y " "TheE f f e c t so fE x p e n d i t u r e Tax o nI n d i v i d u a l Consumption， (5) I. S a v i n g s，A s s e t sH o l d i n g sandLaboISupply‑‑AC o m p a r a t i v eDynamicA n a l ‑.

(12) OLIVE 香川大学学術情報リポジトリ ‑326‑. 3 2 6. 第5 6巻第 1号. "Soka..Keizaironshu，Vol . 6，No y s i si nt h eC o n t e x to faL i f e . . C y c l e Model，胎. 3，1 9 7 6，p p .1 2 1 ‑ 1 3 2 . C6l Kamien，M.L & N， L. Schwar ' I z ，ExpenditurePatternsfOI" RiskyRandD. P r o j e c t s， "IournalofATρl i e dρr o b a b i l i t ， Y . Vol .8 . (March) 1 9 7 1，pp.60‑73.. ←一一一一一一， RiskyR & D with Rivalry， " Annals of Economic and S o c i a lMeasurement，Volω3，No. 1，1 9 7 4 .p p .2 6 72 7 7 .. (7). 山. (8) Lucas，R.E，J r .， Optimal Management o f a Research and Development P r o j e c t ， "ManagementScience，Vol .1 7，No. 1 1 .J u l y，1 9 7 1，p p .6 7 9 ‑ ‑ 6 9 7 . .， Comparative Dynamics i nt h e Theory o f Optimal Growth， " (9) O n i k i，H. K e i z a i g a k u( T ，o h o k uE c o n o m i cI o u r n a l )，Vo l .3 0，1 9 6 9，pp.48‑57. ( 1 0 ) 0剖 k i，H .，ComparativeDynamics ( S e n s i t i v i t yA n a l y s i s )i nOptimalC o n t r o l TheoIY ， "Iournal0 1 'E conomic T h e o f . Y .Vol . 3，， No. 3，1 9 7 3，pp.265‑283..

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