均斉成長経路上の Task-based モデル

Ⅰ．はじめに

高度な機械技術によって，労働はどこまで代替されてしまうのか．近年，

様々な議論が成されてきているが，経済成長論の分野においても，この問題に

関連して

Task-based

Acemoglu and Restrepo

2018

型的モデルは

Zeira

1997

Nakamura and Nakamura

2008

2010

Nakamura（2010）によって，既に使用されてきている．Task-based

最大の特徴は，マクロ生産関数の中にタスク（もしくは生産ステップ）という 概念を導入，各企業の行っている「技術選択」を，タスク・タイプの選択といっ た形で表現できるようにした点にある．このことは，これまで漠然としか描け なかった機械技術による労働の代替という現象を，タスク・タイプの変更とい う具体的なイメージによって捉えられることを可能にしている．

Task-based

学上，マクロ生産関数における生産フロンティアの内生的変化といえる．この ことは，Task-basedモデルが，上述した機械技術による労働の代替という問題 を分析するための道具に留まることなく，経済成長の分析そのものに新しい視

均斉成長経路上の Task-based モデル

中　村　勝　克^＃

*

連絡先：中村勝克，E-mail: [email protected]

＃

立正大学経営学部

点を与える可能性を示唆していよう．本研究では，Task-basedモデルを用いて 均斉成長経路（

Balanced Growth Path

BGP

Task-based

2

Task-based

均斉成長経路の存在が保証されることを示す．

これまで，中村（2010）において，Task-basedモデルが新古典派生産関数の 基礎を成している点が指摘されている．ただ，そこでの分析は，あくまでも静 学的な状況を想定しており，本研究で行う分析と異なる．以下では経済成長経 路という動学的な状況を前提に，選択される技術の性質そのものだけではなく，

いかなるスピードで技術選択が成されていくのか，その技術変化（生産フロン ティアの変化）のスピードに注目する．そのことによって，通常の新古典派生 産関数を用いたときには原理的に不可能であったアンバランスな成長率の修正

が，

Task-based

以下，第Ⅱ節では，均斉成長経路について，新古典派生産関数を用いた場合 の基本的な問題点を確認する．第Ⅲ節において２部門

Task-based

Ⅱ．均斉成長経路とナイフエッジ特性

Ⅱ .1．1 部門新古典派モデル

典型的な新古典派型マクロ生産関数を想定した場合，その経済に均斉成長経 路（

BGP

1

この点は，次のように確認できる．

いま，最終財の生産を

Y，資本ストックを K，労働量を L，資本および労働

A K

A L

と表現する．ただし，

F( ^• )

2

_Y

_K

_L

と，成長率に関する式も導かれる．なお，完全競争市場の前提のもと，

( ^• )

1-( ^• )

K

という式が成立することが分かる．

s



経済が

BGP

つまり，

BGP

g Y

g K

g (

g _Y = g _K )

1

が求まる．なお，以下，経済が成長しているケースに分析を限定するため，各 生産要素に対する外生的な生産性パラメータ（

A K

A L

つまり，以下では

A K / A K ≥ 0

A L / A L ≥ 0

いま，BGP上で A

K / A K >0 となっているとしよう．このとき，K / Y

BGP

A K K / Y

A K K / Y

( ^• )

1- ( ^• )

Y=F( A K K , A L L )

g Y =( ^• ) g K + + ( 1- ( ^• ) ) g L + ,

 ( )

(1)

・

A K

A K

・

A L

A L

A K K Y

K Y

∂F

∂K

・

= (2) g K +

s Y K

g=g L + + (3)

・

A K

A _K

・

A L

A L

( ^• ) 1-( ^• )

・ ・

・

CES（Constant Elasticity of Substitution）クラスだと，すなわち生産関数を

とおくと，Cobb-Douglas型（

α=0）の特殊ケースを除き，資本分配率は A K K / Y

1

BGP

α=0

_K / A _K =0 でなくてはならない．

生産関数を

CES

α=0）を仮定す

α=0

_L / A L >0）のみで与えられる」という技術進歩の要件が BGP

ただ，より一般的な新古典派生産関数を考えるのなら，

Cobb-Douglas

という条件を満たすようなものであれば良い．この条件は，マクロの生産関数 が全体的に

Cobb-Douglas

Cobb-Douglas

BGP

マクロ生産関数を

CES

BGP

・技術進歩は労働強化的である（ハロッド中立的である）．

・少なくとも長期的な状態で分配率一定となる（そのような生産関数を仮定 する）．

F(A

K , A

L)

( ) ^A Φ ^{K K +} ( ) A L L , ( ^• )= ( )

Λ A

K

ΦY

α α

α

・

・

lim ( ^• ) = lim =  >0 K Y

∂F

∂K

t→∞ t→∞

1 以下の仮定は，いわゆるUzawaの定理に関する仮定である．

経済成長に関するモデルの多くが，これらの条件との整合性を取りながら，

BGP

Ⅱ .2．2 部門新古典派モデル

BGP

BGP

パラメータ不変の新古典派型生産関数をベースにした多部門成長モデルにお いては，上述した労働強化型の技術進歩（ハロッド中立的な技術進歩）という 条件を課すだけでは，「分配率一定で，各生産要素量が一定率で成長する」とい う意味での

BGP

BGP

次のような

2

Y

Z

2

Y=F Y ( Z , L ), L ≡ A L L . Z=F Z ( K , H ), H

A H H . C=Y-K -δK.

Y

Z

2 また，ここでの2つの部門を，マクロ全体で統一された1つの産業内における，2つの生産 パートと読み換えることも可能である．つまり最初の生産パート（Z部門）において，資本

（機械・設備等）Kを用いた技術労働者Hが生産活動を行う．次に，この生産活動で成された ものを引き継いで，単純労働者Lが自分の生産パート（Y部門）で最終的な製品を仕上げる．

このような想定をモデル化するため，Z部門で成された成果を形式的に合成財Zで表し，Y部 門においては，この合成財Zと単純労働Lの投入によって最終財（消費および資本の蓄積に 用いることのできる財）が生産されるものと解釈する．

・

̃ ̃ ̃

̃

(4)

(5)

(6)

門に投入される労働量として

L

H

L

H は，それぞれ

2

（4）式から（6）を用いると，成長率に関する以下の

3

いま，

BGP

9

BGP

Y = g K の成立が確認できる．この条件を（7）式および（8）

式に代入して，

g Y

g Z

が求まる．

この

2

BGP

2

( ^• )

τ( ^• )

0

g L = g H (10)

という測度ゼロのナイフエッジ的な条件を

g L

g H

g Y = g K = g Z

(•), τ(•)

経済が

BGP

= . Y Z

Z K g K + 

s

g Y =( ^• ) g Z + ( ^1- ( ^• ) ) ^g L , g L

g L + ,  ( ) Z

Y

Z Y

∂F Y

̃ ̃

A L ∂Z

A L

g Z =τ( ^• ) g K + ( 1- τ( ^• ) ) g H , g H

g H + , τ ( ) K

. Z

K Z

∂F Z

̃ ̃

A H ∂K

A H

(7) (8) (9)

g _Z = g 1-τ( ^• ) _H + g _L 1-( ^• )τ( ^• )

τ( ^• ) ( 1- ( ^• ) )

1- ( ^• )τ( ^• )

̃ ̃

g Y = g ( ^• ) ( 1- τ( ^• ) ) H + g L , 1-( ^• )τ( ^• )

1- ( ^• ) 1- ( ^• )τ( ^• )

̃ ̃

̃ ̃

̃ ̃

̃ ̃

らない．

結局，パラメータ不変という意味での通常の新古典派型生産関数をベースに した場合，極めてシンプルな

2

BGP

Ⅲ．2部門

Task-based

前節でみた

2

g L

および g

H

L / A L および A H / A H

BGP

2

BGP

以下，「技術選択」に関しては，

Zeira

Nakamura and Nakamura（2008）

2010

Nakamura

2010

Acemoglue and Restrepo

2018

Nakamura

and Zeira (2019)

Y

部門）ならびに

Z

Z

労働タスクの中でも，より費用が高まる部分を中心に，機械もしくは

Z

・ ・

の生産した合成財の投入によって成されるタイプ（資本・合成財タスク）へと 変更される．つまり，労働から機械等への置き換えによっても，総費用の節約 が図られる．

このように，それぞれの企業は費用節約行動の一環として，既に存在してい る技術の中から最適なものを選択しようとする．技術の選択は，生産関数の観 点から見ると，その曲率（curvature）の選択に他ならない．仮に

2

“Balanced Growth Path ”が実現可能となる．

次のように，

Y

Z

ただし，

α <0

β <0

Y

Z

その測度を１と規格化している．y(s) および

x(s)

Z

s

Z

Z

資本

K

y(s)=z(s) / ψ(s)

x(s)=k(s) / ϕ(s)

y(s)=l (s) / λ(s)

x(s)=h (s)/ υ(s)

z(s)

k(s)

l(s)

h(s)

いま

ψ(s)

λ(s)

υ(s)

θ(s)

μ(s)

この θ(s)，μ(s) をタスク

s

Z= ∫ ^{x(s) β} ds , x(s)= or . k(s) ϕ(s) h(s)

υ(s)

1

β

0

̃ Y= ∫ ^{y(s) α} ds , y(s)= or . z(s)

ψ(s) l (s) λ(s)

1

α

0

̃ (11)

(12)

̃ ̃

̃ ̃

a

(1-a)

Y

b

(1- b)

Z

となる．

なお，Y産業および

Z

L

H

P Z

R

以上，（

11

12

と書く．また，

Z

K

L

H

μ(s)

υ(s)

ϕ(s)

θ(s)

λ(s) ψ(s)

≤ P Z θ(a), ≤ μ(b) . W L

R W H

̃ ̃

Z= ∫

^{b k(s)}

^ds+ ∫ ^b

( ) ^{h(s) υ(s) ds}

(13) (14) Y= ∫

^{a z(s)}

^ds+ ∫ ^a

( ) ^{λ(s) l(s) ds}

β

̃

̃

̃ ̃ Z= ∫

^a z(s)ds , L= ̃ ∫

^{l (s)ds .}

a ̃

y(s)= z(s), s ∈ [0, a] , y(s)= l (s) / λ(s), s

[a, 1] , x(s)= k(s), s ∈ [0, b] , x(s)= h (s) / υ(s), s

[b, 1] .

K= ∫

^b k(s)ds , H= ̃ ∫

^{h (s)ds .}

b ̃

と表される．

企業は各タスクの要素投入量に関しても利潤最大化（もしくは費用最小化）

を行っている．この利潤最大化の一階条件と（

13

14

となる．

このように，（

11

12

Task-based

CES

CES

Ψ

Λ

Φ

ϒ

に依存するようになる点は留意したい．つまり，各生産要素の成長に合わせて 選択される技術も変化していき，生産関数のフロンティア自体がダイナミック に変化することになる．

各要素に関する分配率は，一般的な

CES

となり，また，それぞれの分配率の比率も，

と書ける³．

Z= ( ) ^{Φ(b) K}

⁺ ( ) ^{ϒ(b) H ̃}

^{, Φ(b)}

( ^∫

^b ϕ(s) ds

)

^{, ϒ(b)}

( ^∫

^b υ(s) ds

)

Y= ( ) ^{Ψ(a) Z α +} ( ) ^{Λ(a) L ̃ α}

^{α , Ψ(a)}

( ^∫

^a ψ(s) ds

)

^{α , Λ(a)}

( ^{∫ a}

λ(s) ds

)

^{α ,}

τ( ^• )

P ^RK Z Z ( ) ^{, 1- τ( • )}

( ) ^,

K Φ(b)Z

β

W H H

P Z Z H ϒ(b)Z ̃ ̃

( ^• )

= P ^P Y ^{Z Z} Y ( ) ^{, 1-( • )}

= ( ) ^,

Z Ψ(a)Y

α

W L L

P Y Y

Λ(a)Y L ̃ ̃

S

1- ^( ( ^{• ) •} ) ( ) ^{, T}

( )

α

Λ(a)Z ̃ Ψ(a)L

τ( ^• ) 1-τ( ^• )

ϒ(b)K

Φ(b)H ̃

(15) (16)

3 最終財Yをベースにした場合のKと Hの分配率は, (

̃ ^• )τ( ^• ) と ( ^• )(1-τ( ^• )) となる点に注意する．

Ⅳ．Task-basedモデルにおける均斉成長経路

前節の

Task-based

BGP

るため

ψ(s)

ϕ(s)

　ψ(s)

1 , λ(s)

s

^ε , ϕ(s)

1 , υ(s)

s

^ν .

Ψ

Λ

Φ

ϒ

次に，それぞれの変化率を

γ _Ψ

_Λ

_Φ

_ϒ

なお，aおよび

b

0

a>0 および b>0 のときには， a

1 および b

1 となり，反対に a<0 および b<0

a

0

b

0

γ Ψ

γ _Λ

_Φ

_ϒ

<0，β <0

a > 0

a

1

Ψ(a)=a , Λ(a)=

( ^{∫ a}

^{s ds}

)

, Φ(b)=b , ϒ(b)=

( ^∫

^{b s ds}

)

^.

γ _Φ

=- ^Φ(b) Φ(b) ^・ ( ) 1- β ^,

β b

b

・

γ Ψ

^Ψ(a) _Ψ(a) ^・ ( ) ^a a ^, 1- α ・

α

γ ϒ

= ( ) b , ξ

+1 .

・

ϒ(b)

ϒ(b) 1-(1- ν) β

β

1-ββν

b 1- b

β ν 1- β

・

γ _Λ

( ) a , ζ

・

Λ(a)

Λ(a) 1-(1- ε)α

α

1-α

αε a 1- a

αε 1- α

・

・

・ ・

・

γ Ψ >0, lim γ Ψ = lim γ Ψ =0 .

t→∞ a→1

・a→0

γ _Λ <0, lim γ

_Λ = lim γ

_Λ = γ _Λ ≤ 0 .

・a→0

・

a < 0，a

0 のケース

b > 0，b

1 のケース

b < 0

b

0

それぞれの極限操作の際，０

/

/

0

さて，生産関数（

15

16

（

17

18

7

8

あるが，

Task-based

_Ψ

_Λ

_Φ

_ϒ

加わる点に注目する．生産要素量の変化と生産量の成長率の関係は，もはやそ

・

γ Ψ <0, lim γ Ψ = lim γ Ψ = γ Ψ ≤ 0 .

t→∞ a→0

・a→0

γ Λ >0, lim γ Λ = lim γ Ψ = 0 .

t→∞ a→0

・a→0

・

γ ϒ <0, lim γ ϒ = lim γ ϒ = γ ϒ ≤ 0 .

t→∞ b→1

・b→0

γ ϒ >0, lim γ ϒ = lim γ ϒ = 0 .

t→∞ b→0

・b→0

γ _Φ <0, lim γ _Φ = lim γ _Φ = γ _Φ ≤ 0 .

t→∞ b→0

・b→0

γ _Φ >0, lim γ _Φ = lim γ _Φ = 0 .

t→∞ b→1

・b→0

・

̃ ̃

g Y =σ( ^• )(g Z - γ Ψ )+ ( 1- σ( ^• ) ) (g L -γ Λ ), (17)

g Z =τ( ^• )(g K -γ _Φ )+ ( 1- τ( ^• ) ) (g H - γ _ϒ ) (18)

れだけで完結するのではなく，企業の技術選択の動向も重要な役割を担うこと になる．例えば，ある

1

（17）式と（18）式を踏まえて，改めて

BGP

BGP

1

g

g Y = g K = g Z

17

18

と

2

g> g L

g > g H

および「g<

g _L

g _H

「g

> g L

g H

という状態が達成される．

他方，「g < g

L および g < g H

( ^• ) γ Ψ +γ Λ = g L - g

1-( ^• ) ̃

γ τ( ^• ) _Φ +γ _ϒ = g H - g

1-τ( ^• ) ̃

(19)

(20)

̃ ̃

̃ ̃

̃ ̃

γ ( ^• ) Ψ +γ Λ

γ Ψ or γ Λ

1- ( ^• )

γ τ( ^• ) _Φ +γ _ϒ → γ _Φ or γ _ϒ

1-τ( ^• ) τ( ^• )

1-τ( ^• )

( ^• ) 1-( ^• )

̃ ̃

ラスとなる．つまり，（g < g

L

Ψ か γ Λ のどちらかが，

また（

g < g H

γ Φ

γ ϒ

_Ψ

_Λ

γ _Φ

γ _ϒ

式は矛盾をきたす．結局，「

g < g L

g < g H

g Y = g K = g Z

なお，「g=g

L

g=g H

Ψ =γ Λ = γ Φ =γ ϒ =0

g Y = g K = g Z

という結論が得られる．つまり

Task-based

g ≥ max( g L , g H )

,

次に，それぞれの分配率の変化を見ていく．

g Y = g K = g Z

果たして分配率は

0

1

S

T

S

T

いま，

a> 0

b > 0

_Ψ

0

_Φ

0

S

T

以上から次の命題が得られる．

̃ ̃

̃ ̃

̃ ̃

̃ ̃

̃ ̃ g ≥ max( g L , g H ) ⇔ g _Y = g K = g Z

・ ・

̃

=β g- g H +γ ϒ - γ Φ =-β(1+T )γ Φ .

・

T T

=α g- ̃ g L +γ Λ - γ Ψ =-α (1+S)γ Ψ ,

・

S

S

命題（2 部門 Task-based モデルにおける BGP）

（

11

12

2

Task-based

α < 0

β< 0

g ≥ max ( g L , g H )

Ⅴ．まとめ

長期的な経済成長を分析する際に，BGPに焦点を絞ることは極めて標準的 なスタンスであり，多くの研究でも取られてきた．しかしながら，BGP上の 分析をするためには，言うまでもなく

BGP

実は，この基本的なことが，分析で使用するモデルの選択を結果的に狭めてし まい，これまでの長期的分析の足枷となっていた可能性もある．

典型的には他部門成長モデルであろう．通常の新古典派型生産関数を前提と する場合，実効労働量の成長率が部門（産業）間でバランスするような何らか の“仕組み”を導入しない限り，

BGP

Task-based

Task-based

て成される「技術の選択」という要素がモデルに新しい機軸を与えており，そ の機軸が分析を如何なる方向に導くのか，今後も詳細な解析をしていく必要性 がある．

参考文献

Acemoglu, Daron and Pascual Restrepo (2018) The race between machine and man:

Implications of technology for growth, factor shares and employment. American Economic Review 108, 1488-1542.

Nakamura, Hideki (2010) Factor substitution, mechanization, and economic growth.

Japanese Economic Review 61, 266-281.

Nakamura, Hideki and Masakatsu Nakamura (2008) A note on the constant-elasticity- substitution production function. Macroeconomic Dynamics 12, 694-701.

̃

̃

Nakamura, Hideki and Joseph Zeira (2019) Automation and unemployment: Help is on the way. Mimeo.

Zeira, Joseph (1998) Workers, machines, and economic growth. Quarterly Journal of Economics 113, 1091-1117.

中村勝克（2010）「新古典派生産関数とレオンチェフ型生産プロセス」『商学論集』

78，4，95-111．