● モールの応力円 （土質力学 編）
・土中の
1
点（の微小要素）に着目して、
構造物
土かぶり圧 深さ ｚ
γ ｚ
荷重
ｑ
土かぶり圧＋伝達応 力
・土中応力＝土かぶり圧（
γ
ｚ）＋ 荷重ｑによる伝達応力応力の作用方向と値を調べる
・応力状態をモールの応力円で表し、任意
ｚ
ｘ
面上の応力（ σ,τ ）を作図で求める
（圧縮正）
目 次▼
σ
1 σ1 ＝ σv ＝ γ ｚσ
1σ
1σ
1σ
1σ
1σ
2σ
1σ
2σ
2σ
2σ
2σ
2σ
2 σ2 ＝ σh鉛直
水平
□□□
目次
□□□● 直角座標応力成分
● 地盤内応力
・
２次元応力状態・
応力記号の約束・
応力の正負（圧縮正）
・
応力の正負（引張正）
・
主応力● 任意面上の応力
● モールの応力円
・
モール円（主応力）
・
モール円（ｘｚ面応力）
・
主応力と任意面応力● モール円の極
● モール円作図
・
最大せん断応力・
地盤内応力とすべり● 三軸圧縮試験
・
地盤内応力のモール円表示・
モール円表示例・
試験手順とモール円・
一軸・三軸圧縮試験≫ 直角座標の導入 表紙≪
ｘ ｚ
ｘ＋面 ｚ＋面
σ
σ τ τ
ｐ
ｐ
ｘ面＝ｘ軸に垂直な面
● 直角座標の導入
≫TOP・土中に直角座標（ｘ，ｚ）導入 ｚ面＝ｚ軸に垂直な面
ｐ＝ｐ（
σ
，τ
）≫応力記号
ｚ－面 ｘ－面
・ｘ面，ｚ面は各２つある
・土中に微小四角形要素を考え、これに働く応力成分を調べる
目次≪
正方向の面 → 正（＋）
負方向の面 → 負（－）
・合応力ｐは垂直・せん断成分 に分解できる
地盤
σ
ｘ← (σ
ｘｘ
) σ
ｚ← (σ
zｚ
)
τ
ｘｚ
τ
ｚｘｘ ｚ
σ
xx作用面の方向 応力の作用方向
● 応力記号の約束
・ｘ
,
ｚ面に働く（σ,τ
）に２つの添字を付けて識別するｚ＋面 ｘ＋面
ｘｚ面≪ ≫ 2次元応力状態
σ
ｘｘ →σ
ｘτ ｘ z σzz → σz
（略記）
・ｘ面に働くｚ方向のせん断応力
・ｚ面に働くｘ方向のせん断応力
・ｘ面に働くｘ方向の垂直応 力
・同じ添字は垂直応力（
σ
）、異なる添字はせん断応力（τ
）・ｚ面に働くｚ方向の垂直応力
τzx
（略記）
（
τ
ｘｚ＝τ
ｚｘ ）● ２次元応力状態
≫TOP・ｘ
,
ｚ面内の１点の応力状態は（σ
ｘ,σ
ｚ,τ
ｘｚ）で表されるｘ ｚ
σ
ｘσ
ｚσ
ｚσ
ｘτ
ｘｚτ
ｘｚτ
ｚｘτ
ｚｘ・４種の成分（垂直
2
、せん断2
）（ σ ｘ， σ ｚ， τ ｘｚ ， τ ｚｘ）・モーメント釣り合い
・独立な応力成分（
2
次元）) ,
,
(
x
z
xzｘｚ面≪ 応力記号≪ ≫ 応力の正負（圧縮正）
・正（負）の面に働く負（正）の方向の応力を正とする
ｘ－面
ｘ ｚ
σ
ｘσ
ｚσ
ｚσ
ｘτ
ｘｚτ
ｘｚ● 応力の正負（圧縮正＝土質力 学）
・圧縮の垂直応力を正 土質力学
｢ ｣
※ 対応して、
｢
収縮｣
変形を正とする2次元応力状態≪ ≫ 応力の正負（引張正）
応力記号≪
→
｢
圧縮正｣
の約束・せん断応力の正
x
ｚｚ＋面
ｚ－面 ｘ＋面
ｘ ｚ
ｘ－面
σ
ｘσ
ｚσ
ｚσ
ｘτ
ｘｚτ
ｘｚ● 応力の正負（引張正＝構造力 学）
≫TOP
・正（負）の面に働く正（負）の方向の応力を正とする
≫任意面上の応力 2次元応力状態≪ 圧縮正≪
・引張の垂直応力を正 構造力学
｢ ｣
→
｢
引張正｣
の約束・せん断応力の正
※ 対応して、
｢
伸び｣
変形を正とす るｚ
x
ｚ－面ｚ＋面
ｘ＋面
2 cos 2
2 sin
2 sin 2
2 cos 2
xz z
x
xz z
x z
x
・直角座標応力成分（ σ ｘ， σ ｚ， τ ｘｚ）と任意面上の応力
（
σ
，τ
）σ
ｚσ
ｘσ
τ
ｘｚτ
ｘｚα τ
Δ
ｓΔ
ｚΔ
ｘｘ ｚ
● 任意面上の応力
・
α
面上の応力（σ
，τ
）・
α
を変えて（σ
，τ
）の変化を調べる→ 主応力、最大せん断応力の誘導
応力の正負（圧縮正）≪ ≫ 主応力
20kPa
α σ
τ
15kPa 50kPa
σ ， τ
（ kP a ）
α
（° 60
）30
90
120
150
18 0 20
40 60
－
20 0
σ
1σ
2τ
maxτ
maxτ
＝0 τ
＝0
σ
mσ
mσ ～ α
τ ～ α
（ σ ｘ， σ ｚ， τ ｘｚ）＝
（５０，２０，１５） kPa
● 任意面上の応力（計算例）
※τ
＝0
の面（主面／互いに直交）で、σ
が最大・最小（主応力）2 2
2 1
2
2
xzz x
z
x
３次元
（
σ
1 ，σ
2 ，σ
3 ）● 主応力
≫ 最大せん断応力 任意面上の応力≪
・面
α
を変えて（σ,τ
）を調べると、τ
＝０の面（主面）が存在する・主面に働く垂直応力を
｢
主応力｣
というσ
2σ
2σ
1σ
1２次元
（
σ
1 ，σ
2 ）σ
1・主応力（主面）は互いに直交する
σ
2σ
1σ
3σ
22 2
2
2 1
2 2
max
z x
m
z xz x
σ
ｍσ
1σ
1σ
2σ
2τ
maxσ
ｍτ
max・ τ の最大値を｢最大せん断応力｣ τmax という
＊主面と (σm,τmax) の
● 最大せん断応力
≫TOP・ τmax の作用面には平均垂直応力 σm が働く
主応力≪
任意面上の応力≪ ≫ モール円(誘導)
・面
α
を変えて（σ,τ
）を調べると、τ
が最大になる面が存在するmax 2
1
m
作用面は 45° 交差
2 cos 2
2 sin
2 sin 2
2 cos 2
xz z
x
z xz x
z x
＊
α
消去中心
σ
m半径
σ
τ (
m)
2
2 (
max)
2任意面上の応力（ σ,τ ）
（ σ,τ ）
● モールの応力円（誘導）
・任意面上の応力（
σ,τ
）は円上の１点（応力点）で表される半径：
中心：
2
z m x
2 2
max
2
xzz
x
任意面上の応力≪ 主応力≪ ≫ モール円(主応力)
τ
max→ σ
＝圧縮を正↑ τ
＝反時計回りを正σ
mσ
mτ
maxσ τ
σ
2σ
1主応力
（ σ, τ ）
2 max1
m
（ σm,τma
x ）
（ σm,τma
x ）
● モールの応力円（主応 力）
≫TOP
・主応力（ σ1,σ2 ）と最大せん断応力 τmax を表す応力点
・
(σ
1 ，0)
，(σ
2 ，0)
は ２端点・ (σm ， τmax) は２頂点
・反時計 回りの
τ
最大せん断応力
主応力
最大せん断応力
主応力≪ モール円(誘導)≪ ≫モール円(ｘｚ面)
10 0
50
ｘ ｚ20 0
（ｚ面に働く応力）
σ ｚ＝ 200kPa
τ ｘｚ＝ 50kPa （反時 計）
σ （ kP a ） τ （ kP
a ）
10 0
20 0
A （ σ
ｘ， τ
ｘｚ
） 10
0 50
（ｘ面に働く応力）
σ ｘ＝ 100kPa
τ ｘｚ＝ 50kPa （時 計）
B （ σ
ｚ， τ
ｘｚ
）
50
・ｘ , ｚ面上の（ σ,τ ）もモール円上の応力点で表される
● モールの応力円（ｘｚ面応 力）
20 0
10 0 50
例：（ σ ｘ， σz ， τ ｘｚ）
50
50
＝（ 100, 200, 5 0 ） kPa
・
2
点A,B
を通 る（応力 円）
・ A-B 線と σ 軸の 交点が円の中心
0
モール円(誘導)≪ ≫主応力と任意面応力
任意面上応力≪
● 主応力と任意面応力
≫TOPモール円(ｘｚ面)≪
・主応力（
σ
1 ，σ
2 ） ～ 任意面上の（σ
，τ
）σ
1σ
2σ
τ α
2 sin 2
2 sin
2 cos 2
2 cos 2
2 max 1
max 2
1 2
1
m実平面 τ
σ σ
mτ
maxτ
σ
1σ
22α
モール円 σ
σ1 作用面から反時計回り角 α
→
σ1 点から反時計回り角２ α
≫極の性質1
－（実平面で）面Ａと
θ
隔たった面Ｂの応力は、モール円上で面Ａ にσ
Bτ
Bσ
Aτ
Aθ 面
B
面 A
A （ σ
A， τ
A
）
B （ σ
B， τ
B
）
2θ O
● 極の性質 1
・実平面の応力（ σ,τ ）とモール円上の応力点の関係
主応力と任意面応力≪ ≫ 極の性質2
モール円 実平面
対応する応力点Ａから中心角
2θ
隔たった応力点Ｂで表される－
σ
Bτ
Bσ
Aτ
Aθ 面
B
面 A
A （ σ
A， τ
A
）
極Ｐ
B （ σ
B， τ
B
）
θ
2θ O
面
B
に平 行面
A
に平行● 極の性質 2
≫TOP・モール円上の応力点とその作用面の関係から
｢ ｣
極 を定義する－モール円上の応力点Ａ（
or
点Ｂ）から、その作用面Ａ（or
面 Ｂ）極の性質1≪ ≫ 極の性質3
モール円 実平面
に平行に引いた直線がモール円と再び交わる点を
｢
極｣
という－
①
作用面が既知の場合：極からその面に平行に引いた線と応力円②
応力点が既知の場合：極からその応力点に引いた線の方向が、
σ
C(σ
C， τ
C） 極Ｐ
面
C
に平行D(σ
Ｄ
， τ
D）
の交点が、その面上の応力を与え る
その応力の作用面の方向を与え る
● 極の性質 3
・ 極
｢ ｣
が知れると、作図により応力点や作用面の方向が知れる極の性質1≪ 極の性質2≪ ≫ 作図例1
面
D
に平行σ
Cτ
C面Ｃ
σ
Dτ
D面Ｄ 時計 反時計
σ
ｘ＝100kPa
σ
τ
ｘｚ＝50kPa
τ α
A
B C
ｘ
ｚ
σ
ｚ＝200kPa
σ （ kP a ） τ （ kP
a ）
10 0
20 0
（ σ
ｘ,τ
ｘｚ
） 10
0 50
AC 面応力
（
σ
，τ
）
50
極Ｐ
・ BC 面に平行 BC 面応力
・ AB 面に平行
AB 面応力
・ AC 面に平 行
① 極を求める
②AC
面上の応力を求める● モール円作図１
・・・ 直角座標応力（ σx,σz,τxz ）が 既知・任意面ＡＣ上の応力（ σ,τ ）をモール円の作図で求める（ σ
y,τ
ｘｚ
）
≫TOP
極の性質3≪ ≫ 作図例2
モール円(ｘｚ面)≪
σ
1σ
1σ
2σ
2σ
mσ
mτ
maxτ
maxC A B
D σ
τ
主面（ σ2 ）極Ｐ（ σ
m， τ
max
）
AB ， CD 面
（ σ
m， τ
max
）
主面（ σ1 ）
σ
1σ
2BC ， AD 面
45°45°
45°
σ
m・主面と τmax 面は 45° 交差する
・（
σ
1,σ
2 ）の応力点から各主面に平行に引いて極を求める● モール円作図 2
・・・ 主応力（σ
1 ，σ
2 ） が既知≫ 作図例3 作図例1≪
最大せん断応力≪
・極を求める
・極を求める
・ τmax の作用面を求める
σ
1＝ 3σ
030°
A A
σ
2＝ σ
0σ τ
3σ
0σ
02.50σ
00.866σ
0P
2σ
0σ
0σ
0AA
面主面（
σ
1 ）方向 主面（σ
2 ）方向※
主応力（σ
1 ，σ
2 ）の応力点は、作用方向に関わら ずモール円がσ
軸と交差する2
つの端点で表される （
τ
＝0
だか ら）● モール円作図 3
・・・AA
面上の応力（σ
，τ
） を求める(1)
≫TOP
作図例２≪ ≫ 作図例４
A
A
σ
060°
A
A
σ
0σ
0σ
0σ τ
0
σ
00.5σ
00.866σ
0P
σ
0σ
0σ
060°
AA
面ｘ 面 z
面・垂直応力は、圧縮が正、引張りが負
・せん断応力は、反時計回りが正、時計回りが負 圧縮 引張
反時計回り
時計回り
※
土質力学では・・・● モール円作図 4
・・・AA
面上の応力（σ
，τ
） を求める(2)
作図例3≪ ≫ 作図例
5
A
A
α （ ° ）
1.0
0.
5 τ/σ
1σ/σ
145 60
30 75 90
15
・一軸供試体の α ＝ 0 ～ 90° 面上の応力（ σ,τ ）を求める
半径：
σ
1/2
σ/σ
1τ/σ
1σ
1σ
1τ σ
α
τ
σ
1σ α
P
α
面σ
τ
中心：
σ
1/2
2α
● モール円作図 5
・・・ 一軸圧縮試 験(1)
作図例４≪
≫TOP
≫ 作図例６
2 2 sin
2
) 2 cos 1
(
1 1
・正規化表示
・供試体の方向によって極の位置が異なる
σ
ασ
1σ
ατ
αα
τ
σ σ
1α P α 面
β
● モール円作図 6
・・・ 一軸圧縮試 験(2)
作図例5≪ ≫ 地盤内応力
σ
1σ
βτ
ββ
β 面
σ
1σ
1τ
ασ
βτ
βｑ＝ Ｑ /A
σ
1σ
1σ
2σ
2＊荷重中心では対称
・土の自重（ γz ）や地表面の載荷重ｑにより地盤内応力が発生
＊一般に（ σ1,σ2 ）は傾斜する
● 地盤内の応力状態
≫TOPすべり面
≫ 地盤内応力とすべり
ｘ
z
σ
1σ
1σ
2σ
2σ
zσ
xτ
xz座標応力（ σx,σz,τxz ）または主応力（ σ1,σ2 ）で表示
作図例6≪
紙面に垂直
(σ
1＞ σ
2＝ σ
3）
＊３次元
σ
1σ
2τ σ
σ
1σ
2 τfσ
1σ
1σ
2σ
2τ
fσ τ
● 地盤内応力とすべり
・主応力（ σ1,σ2 ）とすべり面上の（ σ,τ ）の関係 垂直応力
｢ σ
｣：すべり面を押さえ付ける応力（拘束圧）せん断応力
｢ τ ｣
：すべりを起こす応力（滑動応力）～ すべり抵抗応力 τf に寄与する（ τf ＝ｃ＋ σtanφ ）
※τ≧τ
f→ ｢すべる｣
すべり面
すべり面
地盤内応力≪ ≫ 地盤内応力の再現
(σ
2＝
σ
3）
σ
1軸圧
σ
1側圧
σ
3（ σ
2＝ σ
3） ｚ
A
ｚ
B
A
B
σ
Aσ
B～ 深い所（ｚ大）では、拘束圧 σ 大で、強度 τf が大きい
＊強度：
τ
fB＞ τ
fA（軸圧
σ
1 ，側圧σ
3 ）の組合わせで応力状態を表示＊深さ：
ｚ
B＞ ｚ
A＊拘束圧：
σ
B＞ σ
A↓
↓ σ
3・
｢
三軸圧縮試験｣
：３方向から圧力を加える圧縮試験● 三軸圧縮試験 1
・・・ 地盤内応力の再現・土の 強さ
｢
｣・｢硬さ｣は周囲から受ける圧力（拘束圧σ
）に依存する≫TOP
周囲から側圧（拘束圧
σ
3 ）を負荷し、軸圧（σ
1 ）で圧縮地盤内応力とすべり≪ ≫ 地盤内応力のモール円表示
極Ｐ
軸圧
σ
1側圧
σ
3α
σ A(σ ，
τ ）
B(σ ， τ ）
α
σ
1σ
1σ
3σ
3α
σ τ
A
A
σ
1σ
1σ
3σ
3α
τ σ
B
※AA 面と BB 面上の応力（ σ,τ ）は大きさが等しい B
σ
1軸圧
σ
1側圧
σ
3σ
3τ
τ の作用方向（反時計，時計）が異なる
● 三軸圧縮試験 2
・・・ 応力状態のモール円表示・軸圧
σ
1 と側圧σ
3 を主応力とするモール円で、極Ｐはσ
3 点地盤内応力の再現≪ ≫ モール円表示例1
極Ｐ
α
σ A(σ,τ ）
τ
● 三軸圧縮試験 3
・・・ 試験手順とモー ル円ピストン圧
・試験は、①側圧
(σ
3)
負荷、②ピストン圧(σ
1-σ
3)
負荷の２段階≫一軸・三軸試験 モール円表示例1≪
モール円表示≪
≫TOP
拡大
α
A
A
σ
3σ
3σ
3σ
3σ
3σ
3σ
1σ
1σ
1 －σ
3σ
1 －σ
3＋ ＝
① ②
軸圧
σ
1側圧
σ
3（主応力差）
σ τ σ
1軸圧
σ
1側圧
σ
3σ
3・側圧一定、ピストン圧増加
→ 破壊
τ
軸圧
σ
1σ
側圧
σ
3軸圧
σ
1σ
1σ
3 側圧σ
3破壊モール円
● 三軸圧縮試験 4
・・・ 強度定数（ｃ，
φ
）の決定試験手順とモール円≪
モール円表示例 1≪
モール円表示≪
摩擦角
φ
粘着力
ｃ
・側圧
σ
3 を幾つか変え、ピストン圧を加えて破壊(σ
1－ σ
3)
f・破壊時のモール円を描き、包絡線を引く → ｃ， φ
モール円の拡大
τ
f＝ｃ＋ σtanφ
主応力差：（
σ
1 －σ
3 ）f
τ
σ σ
1σ
3● 三軸圧縮試験 5
・・・ 破壊の判定（安全性の評 価）試験手順とモール円≪
モール円表示例 1≪
モール円表示≪
≫TOP
fF
s 2 2
3 1
max 3
1
m
φ
ｃ
・
AA
面（α
面）に沿って破壊する（すべる）か、否かα
A
A
σ
3σ
3σ
1σ
1σ
τ τ
f＝ｃ＋ σtanφ
極Ｐ
α 2α
τ
fτ
σ
中心 σm 半径 τmax
2 sin
2 cos
max
max
m・モール円：
σ
1 軸圧σ
1σ
3 ＝0 σ
1σ
τ τ
σ
1σ σ
3 ＝σ
0軸圧
σ
1σ
1σ
0 側圧σ
0・一軸圧縮試験
＊ σ
2＝ σ
3・三軸圧縮試験
＊ σ
2＝ σ
3極Ｐ 極Ｐ
軸圧 σ1 増加
モール円拡大
● 三軸圧縮試験 6
・・・ 一軸・三軸圧縮試験のモール 円表示試験手順とモール円≪
モール円表示例1≪
モール円表示≪
（拘束圧）
＝ σ
0＝ 0
（無拘束）
ピストン圧増加 モール円拡大
（試験中一定）
