関数の特異点論の話題から

(1)

関数の特異点論の話題から

福井敏純

2016

年

10

月

24

日

1

特異点の分類と判定

3 1.1 A

k 特異点

. . . . 5

1.2 D

_k 特異点

. . . . 8

1.3 E

₆

, E

₇

, E

₈ 特異点

. . . . 10

2

微分幾何への応用

11 2.1 R

³ ^内の曲面

. . . . 12

2.2 R

⁴ ^内の曲面

. . . . 13

2.3 R

⁵ ^内の曲面

. . . . 14

2.4 R

⁶ ^内の曲面

. . . . 14

2.5 R

⁷ ^内の曲面

. . . . 15

2.6 R

⁸ ^内の曲面

. . . . 16

2.7 R

⁹ ^内の曲面

. . . . 17

2.8 R

¹⁰ ^内の曲面

. . . . 18

2.9

要約

. . . . 19

3

分類の障害とブローアップ

20 3.1

非調和比

. . . . 20

3.2

ホイットニーの例

. . . . 21

3.3

ブローアップ

. . . . 22

3.4

ブロー解析同値

. . . . 24

4

実代数的構成可能集合の不変量

26

4.1

位相空間論から

. . . . 26

(2)

4.2

弧対称集合

. . . . 27

4.3

仮想ポアンカレ多項式

. . . . 28

4.4

^{弧解析的写像}

. . . . 31

5

弧空間の解析

33 5.1

弧空間

. . . . 33

5.2

解析写像の誘導する弧空間の写像のファイバー

. . . . 34

5.3

モチーフ測度

. . . . 36

5.4

モチーフ的ゼータ関数

. . . . 37

5.5

ニュートン図形を用いた弧空間の計算

. . . . 40

6

リプシッツ性とブロー解析性

44

(3)

準備

関数

f, g : ( R

ⁿ

, 0) → ( R , 0)

が右同値

( R

^同値

)

であるとは、

f

^◦

h = g

を満たす微分同相芽

h : ( R

ⁿ

, 0) → ( R

ⁿ

, 0)

^{が存在する時を言う。}

関数

f, g : ( R

ⁿ

, 0) → ( R , 0)

が

K

^{同値であるとは、}

f

^◦

h = φ(x)f(x)

を満たす微分同相芽

h : ( R

ⁿ

, 0) → ( R

ⁿ

, 0), φ : ( R

ⁿ

, 0) → R

^∗ ^{が存在する時を言う。}

関数を研究する時は、同値関係としては右同値を、関数の零点集合を調べる時は同値関係として

K

^{同値を用いる。}

解析関数

f (x) = ∑

ν

c

ν

x

^ν に対し、ニュートン図形

Γ

+

(f )

を次で定める。

Γ

₊

(f ) = { ν + R

ⁿ_≥

: c

_ν

̸ = 0 }

^の凸包

ニュートン図形

Γ

₊

(f)

は多面体であり、

a = (a

₁

, . . . , a

_n

), ν = (ν

₁

, . . . , ν

_n

)

に対し

⟨ a, ν ⟩ = a

₁

ν

₁

+ · · · + a

_n

ν

_n とおいて

m

_f

(a) = min {⟨ a, ν ⟩ : ν ∈ Γ

₊

(f ) } γ(a) = { ν ∈ Γ

₊

(f ) : ⟨ a, ν ⟩ = m

_f

(a) }

と定める。

γ(a)

はベクトル

a

の支持する

Γ

₊

(f )

の面である。

γ ⊂ R

ⁿ ^に対し、

f

γ

= ∑

ν∈γ

c

ν

x

^ν と置く。

f : ( R

ⁿ

, 0) → ( R , 0)

が非退化とは、

Γ

+

(f)

の各コンパクト面

γ

に対し次を満たす時を言う。

{ x ∈ R

ⁿ

: grad f

γ

(x) = 0 } ⊂ { x ∈ R

ⁿ

: x

1

· · · x

n

= 0 }

X

γ

= { x ∈ ( R

^∗

)

ⁿ

: f

γ

(x) = 0 } , X

_γ^±

= { x ∈ ( R

^∗

)

ⁿ

: f

γ

(x) = ± 1 }

^{とおくと、非退化な} らば、これらは非特異代数多様体であることがわかる。更に

( R

^∗

)

^dim^γ 内の非特異代数多様体

X b

γが存在して

X

_γ

= X b

_γ

× ( R

^∗

)

ⁿ⁻^dim^γ となる。

1 ^{特異点の分類と判定}

(u, v)

を変数とする

2

変数関数

f : ( R

²

, 0) → ( R , 0)

を考える。

f

の特異点の階層は次のグラフで説明される。

(4)

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈

A

₉

· · · D

4

D

5

D

6

D

7

D

8

D

9

· · ·

E

6

E

7

E

8

J

10

X

9

ここで各記号は次の表に示す特異点を表す。

A

k

± x

^k+1

± y

²

D

_k

x

²

y ± y

^k−1

k ≥ 4 E

6

x

³

± y

⁴

E

₇

x

³

+ xy

³

E

8

x

³

+ y

⁵

X

9

± x

⁴

± y

⁴

± ax

²

y

²

a

²

̸ = 4 X

₁₀

y

⁴

+ ax

²

y

²

+ x

⁵

a ̸ = 0

J

10

x

³

± y

⁶

± ax

²

y

⁴

4a

³

+ 27 ̸ = 0

このグラフはよく知られているが、ここでは与えられた

f

がどの特異点であるかを明示的に示す判定法を与える。以下では

A

_k

(1 ≤ k ≤ 5), D

₅

, D

₆

, E

₆

, E

₇

, E

₈ について説明するが、

X

9 や

J

10 についても同様である。

■記号原点での

f (u, v)

のテイラー展開を

∑

i,j

c

ij

i!j! u

ⁱ

v

^j

, c

ij

= ∂

^i+j

f

∂u

ⁱ

∂v

^j

(0, 0).

とし、

H

k

(u, v)

^{を次で定める。}

H

_k

(u, v) = H

_k

(f )(u, v) = ∑

i+j=k

c

_ij

i!j ! u

ⁱ

v

^j

. du, dv

を定数として、次のように置く。

c

_k

=c

_k

(f ) = H

_k

(f )(du, dv), c

_{k u}

=c

_{k u}

(f ) = ∂H

_k

(f )

∂u (du, dv), c

_{k v}

=c

_{k v}

(f) = ∂H

k

(f)

∂v (du, dv), c

_{k uu}

=c

_{k uu}

(f ) = ∂

²

H

k

(f )

∂u

²

(du, dv),

(5)

c

_{k uv}

=c

_{k uv}

(f ) = ∂

²

H

k

(f )

∂u∂v (du, dv), c

_{k vv}

=c

_{k vv}

(f ) = ∂

²

H

k

(f )

∂v

²

(du, dv), . . .

1.1 A

_k ^特異点

f(u, v)

^が

(0, 0)

で特異点をもつと仮定する。

(i.e., c

10

= c

01

= 0).

^{次の条件が同値} である事はよく知られている。

• f(u, v)

は

(0, 0)

で

A

₁ 特異点。

•

^行列

(

c

20

c

11

c

₁₁

c

₀₂

)

は最大階数。

ヘッセ行列の階数が

1

の時はどうであろうか？これについては次の条件が同値であることを示せる。

•

^行列

( c

20

c

11

c

₁₁

c

₀₂

)

は階数

1 • c

_2u

= c

_2v

= 0

を満たす、零でない

(du, dv)

が存在する。

(du dv)

( c

₂₀

c

₁₁

c

11

c

02

)

= (0 0).

•

^{次を満たす、零でない}

(du, dv)

と

s

が存在する。

( c

20

c

11

c

₁₁

c

₀₂

)

= s

( dv

²

− du dv

− du dv du

²

)

.

この条件が成立するとき、

f

が有限決定であれば

f

は

A

_k

(k ≥ 2)

特異点である。以下この条件を仮定して、

f

が実際にどの

A

k 特異点であるかを明示的に判定する方法を（

k

が小さい時に）与える。まず、次の関係式に注意する。

c

20

u

²

+ 2c

11

uv + c

0,2

v

²

= s(dv u − du v)

²

定理

1.1.

^もし

(du, dv)

^が

H

3

(u, v) = 0

^{の解でなければ}

(

^すなわち

c

3

̸ = 0

^ならば）

f

^は

A

₂ 特異点である。

定理

1.2.

次の条件は同値である。

• f

は

(0, 0)

で

A

₃ 特異点である。

• c

3

= 0

かつ次のいずれかが成立。

– dv ̸ = 0, c

4

+

^c³

2 u

2s dv²

̸ = 0.

(6)

– du ̸ = 0, c

4

+

^c³

2 v

2s du²

̸ = 0.

• c

3

= 0,

かつ

s c

4

−

¹₈

c

30

c

21

dv

²

c

₂₁

c

₁₂

− du dv c

12

c

03

du

²

̸ = 0.

定理

1.3. • f

は

(0, 0)

で

A

₄ 特異点である。

• c

3

= 0

であり、次のいずれかが成立する。

– dv ̸ = 0, c

4

+

^c³

2 u

2s dv²

= 0, c

5

+

^c^3u_dv^c2^4us

+

^c^3uu_2dv^c4^3us²²

̸ = 0.

– du ̸ = 0, c

₄

+

_{2s du}^c³²^v2

= 0, c

₅

+

^c^3v_du^c2^4vs

+

^c^3vv_2du^c4^3vs²²

̸ = 0.

定理

1.4. • f

は

A

₅ 特異点である。

• c

3

= 0

であり、次のいずれかが成立する。

– dv ̸ = 0, c

4

+

^c³

2 u

2s dv²

= 0, c

5

+

^c^3u_dv^c2^4us

+

^c^3uu_2dv^c4^3us²²

= 0, c

₆

− 2c

3u

c

5u

+ c

42

u

2dv

²

s + 2c

3u

(c

3uu

c

4u

+ c

3u

c

4uu

) 2dv

⁴

s

²

+ c

32

u

(c

²₂₁

− c

12

c

30

− 7c

32 uu

) 12dv

⁶

s

³

̸ = 0.

– du ̸ = 0, c

4

+

^c³

2 v

2s du²

= 0, c

5

+

^c^3v_du^c2^4vs

+

^c^3vv_2du^c4^3vs²²

= 0.

c

₆

− 2c

3v

c

5v

+ c

42 v

2du

²

s + c

3v

(2c

3vv

c

4v

+ c

3v

c

4vv

) 2du

⁴

s

²

+ c

32

v

(c

²₂₁

− c

12

c

30

− 7c

32 vv

) 12du

⁶

s

³

̸ = 0

証明を与えよう。まず次の補題を準備する。

補題

1.5. C

^∞ 関数

g : ( R

ⁿ

, 0) → ( R , 0)

に対し、

m

^k

⊂ mJ g + m

^k+1 ならば、任意の

R ∈ m

^k+1 に対して、

g

と

g + R

は右同値である。

定理

1.1

の証明

. dv ̸ = 0

として証明する。（

du ̸ = 0

の時も同様であるので詳細は略す。

) x = dv u − dv v, y = v

と置くと、

u = x + du y

dv , v = y,

であり、次を得る。

f = s

2 x

²

+ c

3

dv

³

y

³

+ c

3u

dv

³

xy

²

+ c

4

dv

⁴

y

⁴

+ c

5

dv

⁵

y

⁵

+ c

4u

dv

⁴

xy

³

+ c

6

dv

⁶

y

⁶

+ · · · . (1.1)

もし

c

₃

̸ = 0

ならば、

f

のニュートン図形は次で与えられる。

(7)

g = x

²

+ y

³ と置くと、

J g = ⟨ x, y

²

⟩ ⊃ ⟨ x, y ⟩

² ^より、

k = 3

について

m

^k

⊂ mJ g + m

^k+1 を満たす。よって

j

³

f (0) = j

³

g(0)

ならば、

f

と

g

は右同値。

適当な座標変換で

x

³

, x

²

y, xy

² の係数を

0

にすることが出来れば補題

1.5

より証明が終わる。

x

を

x √

U , U

は単元、に取り替えることにより、

x

³

, x

²

y

の係数を

0

にすることが出来る。

(1.1)

で

x

を

x + cy

² に置き換えると次を得る。

f = s 2 x

²

+

(

sc + c

3u

dv

³

)

xy

²

+ c

3

dv

³

y

³

+ ( sc

²

2 + c c

3u

dv

³

+ c

4

dv

⁴

)

y

⁴

+ · · · . c = −

_sdv^c^3u³ ^{とおけば、}

xy

² の係数は

0

となり、次を得る。

f = s

2 x

²

+ c

3

dv

³

y

³

+ 1 dv

⁴

(

c

₄

+ c

32 u

2s dv

²

)

y

⁴

+ 1 dv

⁵

(

c

₅

+ c

3u

c

4u

dv

²

s + c

3uu

c

3u2

2dv

⁴

s

²

)

y

⁵

+ · · · . (1.2)

よって

c

3

̸ = 0

ならば

f

は

A

2 特異点である。

定理

1.2

の証明

.

前証明の状況を引き継ぐ。

c

₃

= 0, c

₄

+

_{2s dv}^c³²^u2

̸ = 0,

ならば

f

のニュートン図形は次のようになる。

g = ± x

²

± y

⁴ と置くと、

J g = ⟨ x, y

³

⟩ ⊃ ⟨ x, y ⟩

³ ^より、

k = 4

について

m

^k

⊂ mJ g + m

j

⁴

f (0) = j

⁴

g(0)

ならば、

f

と

g

は右同値。よって、適当な座標変換によって

x

⁴

, x

³

y, x

²

y

²

, xy

³ ^の係数を

0

^{に出来ればよい。}

x

^を

x √

U , U

^{は単元、に取り} 替えることにより、

x

⁴

, x

³

y

の係数を

0 x

を

x + cy

³ に取り替えることにより、

xy

³ の係数も

0

とする事が出来る。最後の条件は次の等式の帰結である。

1 8

c

30

c

21

dv

²

c

₂₁

c

₁₂

− du dv c

12

c

03

du

²

+ c

32 u

2dv

²

= 3

4 (c

30

du + c

21

dv)c

3

.

定理

1.3

の証明

.

前証明の状況を引き継ぐ。

c

3

= 0, c

4

+

_{2s dv}^c³²^u2

= 0, c

5

+

^c^3u_dv^c2^4us

+

c3uuc3u2

2dv⁴s²

̸ = 0,

ならば

f

(8)

g = ± x

²

+ y

⁵ と置くと、

J g = ⟨ x, y

⁴

⟩ ⊃ ⟨ x, y ⟩

³ ^より、

k = 5

について

m

^k

⊂ mJ g + m

j

⁵

f (0) = j

⁵

g(0)

ならば、

f

と

g

は右同値。よって、適当な座標変換によって

x

⁵

, x

⁴

y, x

³

y

²

, x

²

y

³

, xy

⁴ の係数を

0

に出来ればよい。

x

を

x √

U , U

は単元、

に取り替えることにより、

x

⁵

, x

⁴

y, x

³

y

² の係数を

0 (1.2)

で

x

を

x + cy

³ に取り替えると

f = s

2 x

²

+ (

cs + c

4u

dv

⁴

− c

3u

c

3uu

dv

⁶

s

) xy

³

+ ∗ y

⁶

+ · · · .

となるので

, c

を

cs +

^c_dv^4u4

−

^c^3u_dv^c⁶^3uu_s

= 0,

満たすように取れば

f = s

2 x

²

+ ( c

₆

dv

⁶

− 2c

_3u

c

_5u

+ c

₄²_u

2dv

⁸

s + c

_3u

(2c

_3uu

c

_4u

+ c

_3u

c

_4uu

) 2dv

¹⁰

s

²

+ c

₃²_u

(c

²₂₁

− c

₁₂

c

₃₀

− 7c

₃²_uu

) 12dv

¹²

s

³

) y

⁶

+ · · ·

を得る。よって

f

^は

A

1.2 D

_k ^特異点

ヘッセ行列の階数が

0

であると仮定しよう。すなわち

c

₁₀

= c

₀₁

= c

₂₀

= c

₁₁

= c

₀₂

= 0.

すると

f(u, v)

は

(0, 0)

で少なくとも

D

4 特異点を持つ。

g = (x

²

± y

²

)y

と置く。

J g = ⟨ xy, x

²

+ 3y

²

⟩ ⊃ ⟨ x, y ⟩

² ^なので

k = 3

に対して

m

^k

⊂ mJ g + m

^k+1 ^つまり、

j

³

f(0) = j

³

g(0)

ならば

f

と

g

は右同値である。

もし方程式

H

3

(u, v) = 0

が重解を持たなければ、線形変換で

j

³

f (0)

は

(x

²

± y

²

)y

の形に直せるので、関数

f

は

(0, 0)

で

D

4 特異点である。すなわち

c

30

2c

21

c

12

0 0 c

30

2c

21

c

12

c

₂₁

2c

₁₂

c

₀₃

0 0 c

21

2c

12

c

03

̸ = 0. (1.3)

ならば、

D

これより、

(1.3)

の左辺の行列式が

0

ならば

f

は

(0, 0)

で少なくとも

D

₅ 特異点であることがわかる。以下、この状況の下、特異点の判定法を明示的に書き下す仕事を続けよう。

c

10

= c

01

= c

20

= c

11

= c

02

= 0

かつ

H

3

(u, v) = 1

6 (c

30

u

³

+ 3c

21

u

²

v + 3c

12

uv

²

+ c

03

v

³

) = 0

(9)

が

2

重根

(du, dv)

と単根

(du

₁

, dv

₁

)

を持つと仮定しよう。すると

c

₃

(u, v) = 1

6 (c

₃₀

u

³

+ 3c

₂₁

u

²

v + 3c

₁₂

uv

²

+ c

₀₃

v

³

) = (dv u − du v)

²

(dv

₁

u − du

₁

v).

と仮定できる。これより次がわかる。

c

30

=6dv

²

dv

1

c

21

= − 2sdv(dv du

1

+ 2du dv

1

) c

12

=2du(2dv du

1

+ du dv

1

) c

03

= − 6du

²

du

1

.

定理

1.6.

•

^関数

f

は

(0, 0)

で

D

₅ 特異点である。

• c

30

2c

21

c

12

0 0 c

₃₀

2c

₂₁

c

₁₂

c

21

2c

12

c

03

0 0 c

21

2c

12

c

03

= 0, c

₄

̸ = 0.

証明

. f

の

3

次部分は重根を持つ

3

次斉次式なので、座標変換で

x

²

y

の形になる。

実際

x = dv u − du v, y = dv

1

u − du

1

v

^と置けば

u = 1

δ

x du y du

1

v = − 1 δ

dv x dv

1

y

^但し

δ =

dv du dv

1

du

1

となり、次を得る。

f = x

²

y + c

₄

δ

⁴

y

⁴

− k

δ

⁴

xy

³

− c

₅

δ

⁵

y

⁵

+ c

₆

δ

⁶

y

⁶

+ · · · (1.4)

ここで

k = c

4u

du

1

+ c

4v

dv

1 である。もし

c

4

̸ = 0

ならば

f

. . .

g = ± xy

²

± y

⁴ と置くと

k = 4

に対し

m

^k

⊂ mJ g + m

^k+1 を満たす。よって適当な座標変換で

x

⁴

, x

³

y, x

²

y

²

, xy

³の係数を

0

定理

1.7.

次は同値である。

• f

は

(0, 0)

で

D

₆ 特異点である。

(10)

• c

₃₀

2c

₂₁

c

₁₂

0 0 c

30

2c

21

c

12

c

12

2c

21

c

03

0 0 c

₁₂

2c

₂₁

c

₀₃

= 0, c

₄

= 0, c

₅

+ (c

4u

du

1

+ c

4v

dv

1

)

²

4 dv du dv

1

du

1

3

̸ = 0.

1.3 E

₆

, E

₇

, E

₈ 特異点

c

10

= c

01

= c

20

= c

11

= c

02

= 0

^と仮定し

H

3

(u, v) = 1

6 (c

30

u

³

+ 3c

21

u

²

v + 3c

12

uv

²

+ c

03

v

³

) = 0

が

3

重根

(du, dv)

をもつと仮定する。

定理

1.8.

次が成り立つ。

• (du, dv)

が

H

4

(u, v) = 0

の根でなければ

(i.e., c

4

̸ = 0), f

は

E

• (du, dv)

^が

H

4

(u, v) = 0

^{の単根ならば}

f

^は

E

• (du, dv)

が

H

₄

(u, v) = 0

の重根で

c

₅

̸ = 0

ならば、

f

は

E

₈ 特異点である。

証明

. dv ̸ = 0

として証明をしよう。

x = dv u − du v, y = v,

と置くと

f = 1

6 x

³

+ c

4

dv

⁴

y

⁴

+ c

4v

dv

⁴

xy

³

+ c

5

dv

⁵

y

⁵

+ o(x

^1/3

, y

^1/5

)

¹⁵

c

₄

̸ = 0

ならば

f

のニュートン図形は次図のようになる。

g = x

³

+ y

⁴ と置くと、

k = 4

に対して

m

^k

⊂ mJ g + m

^k+1 を満たすので、うまく座標を変えて

x

⁴

, x

³

y, x

²

y

²

, xy

³ の係数を

0 y

を

y + cx

に替えることにより、

xy

⁴ の係数を

0 x

を単元倍することにより

x

⁴

, x

³

y

の係数を

0 x

を

x + cy

² に替えることにより、

x

²

y

² の係数を

0

よって

f

は

E

c

₄

= 0, c

_4v

̸ = 0

ならば

f

. . .

(11)

(du.dv)

は

H

₄

(u, v) = 0

の単根である。

. g = x

³

+ xy

³ と置くと、

k = 4

に^*1対して

m

^k

⊂ mJ g + m

x

⁴

, x

³

y, x

²

y

² の係数を

0 x

x

⁴

, x

³

y

の係数を

0 x

を

x + cy

x

²

y

² の係数を

0

よって

f

^は

E

c

₄

= c

_4v

= 0, c

₅

̸ = 0

のとき、

f

のニュートン図形は次図のようになる。

g = x

³

+ y

⁵ と置くと、

k = 5

に対して

m

^k

⊂ mJ g + m

x

⁴

, x

³

y, x

²

y

²

, x

⁵

, x

⁴

y, x

³

y

²

, x

²

y

³

, xy

⁴ の係数を

0 x

を

x + cy

x

²

y

² の係数を

0 y

^を

y + cx

^{に替えることにより、}

xy

⁴ ^の係数を

0

^{にすることが出来る。}

x

⁴

, x

³

y, x

⁵

, x

⁴

y

の係数を

0 x

を

x + cy

³ に替えることにより、

x

²

y

³ の係数を

0

よって

f

^は

E

2 ^{微分幾何への応用}

C

^∞ 写像

g : ( R

²

, 0) → ( R

ⁿ

, 0)

に対し

高さ関数

h

_v

: R

²

→ R , (u, v) 7→ ⟨ g(u, v), v ⟩ for v ∈ S

ⁿ⁻¹

,

距離二乗関数

d

_y

: R

²

→ R , (u, v) 7→ − 1

2 ∥ y − g(u, v) ∥

²

for y ∈ R

ⁿ

.

を考える。

g

の点

(u

₀

, v

₀

)

での

k

次微分を

G

_k

= H

_k

(g) : R

²

→ R

ⁿ

, (du, dv) 7→ ∑

i+j=k

1 i!j !

∂

^i+j

g

∂u

ⁱ

∂v

^j

(u

₀

, v

₀

)du

ⁱ

dv

^j で定める。すると高さ関数、距離二乗関数の

k

次微分は次で与えられる。

H

k

(h

v

)(u, v) = ⟨ G

k

(u, v), v ⟩

H

k

(d

y

)(u, v) = ⟨ G

k

(u, v), y − g(u

0

, v

0

) ⟩ − I

k

(u, v)

*1k= 5の誤り。後の議論も変える必要がある。このことを指摘くださった中村弥生氏に感謝します。

(12)

I

_k

(u, v)

はある対称

k

形式である。例えば

I

₂ は次の第一基本形式である。

I

2

(u, v) = I

2,0

(u

0

, v

0

)u

²

+ 2I

1,1

(u

0

, v

0

)uv + I

0,2

(u

0

, v

0

)v

²

但し

I

_2,0

= ⟨ g

_u

, g

_u

⟩ , I

_1,1

= ⟨ g

_u

, g

_v

⟩ , I

_0,2

= ⟨ g

_v

, g

_v

⟩ . I

₃ は次で与えられる

3

次形式である。

I

3

(u, v) = 1

6 (I

3,0

(u

0

, v

0

)u

³

+ 3I

2,1

(u

0

, v

0

)u

²

v + 3I

1,2

(u

0

, v

0

)uv

²

+ I

0,3

(u

0

, v

0

)v

³

),

し但

I

3,0

= 3 ⟨ g

u

, g

uu

⟩ , I

2,1

= ⟨ g

v

, g

uu

⟩ + 2 ⟨ g

u

, g

uv

⟩ , I

1,2

= ⟨ g

u

, g

vv

⟩ + 2 ⟨ g

v

, g

uv

⟩ , I

_0,3

= 3 ⟨ g

_v

, g

_vv

⟩ .

2.1 R

³ ^内の曲面

■高さ関数

h

v

.

^{ジェネリックには}

h

v が少なくとも

A

1 特異点をもつような

v ∈ S

² ^が存在する。これは次の条件で書かれる。

H

₁

(h

_v

)(u, v) ≡ 0,

核方向（漸近方向）

(du, dv)

は次の方程式の解である。

H

2

(h

v

)(du, dv) = 0.

これを、（後々との比較のため）次のように書いておく。

det



 g

_u

g

v

G

₂

(du, dv)



 = 0

■距離二乗関数

d

_y

.

ジェネリックには

d

_y が少なくとも

A

₂ 特異点である

y ∈ R

³ ^が存在する。この条件は次で与えられる。

H

1

(d

y

)(u, v) ≡ 0, c

2u

(d

y

) = 0, c

2v

(d

y

) = 0.

これより核方向

(

主方向

) (du, dv)

の方程式は次で与えられる。

det



 



g

u

0 g

_v

0 g

uu

du + g

uv

dv I

2,0

du + I

1,1

dv g

uv

du + g

vv

dv I

1,1

du + I

0,2

dv



 

 = 0.

(13)

2.2 R

⁴ ^内の曲面

■高さ関数

h

v

.

h

v が少なくとも

A

2 特異点である

v ∈ S

³ ^が存在する。この条件は次で与えられる。

H

1

(h

v

)(u, v) ≡ 0, c

2u

(h

v

) = 0, c

2v

(h

v

) = 0.

H

1

(h

v

)(u, v) = ⟨ g

u

u + g

v

v, v ⟩ = ⟨ g

u

, v ⟩ u + ⟨ g

v

, v ⟩ v c

2u

(h

v

) = ⟨ g

uu

du + g

uv

dv, v ⟩

c

2v

(h

v

) = ⟨ g

uv

du + g

vv

dv, v ⟩

なので、核方向

(du, dv)

det



 



g

u

g

v

g

_uu

du + g

_uv

dv g

uv

du + g

vv

dv



 

 = 0 (2.1)

■距離二乗関数

d

y

.

d

y が少なくとも

A

3 特異点である

y ∈ R

⁴ ^が存在する。この条件は次で与えられる。

H

1

(d

y

)(u, v) ≡ 0, c

2u

(d

y

) = 0, c

2v

(d

y

) = 0, H

3

(d

y

)(du, dv) = 0.

核方向

(du, dv)

det



 



g

_u

0 g

v

0 g

_uu

du + g

_uv

dv I

_2,0

du + I

_1,1

dv g

uv

du + g

vv

dv I

1,1

du + I

0,2

dv

G

₃

(du, dv) I

₃

(du, dv)



 

 = 0. (2.2)

■モンジュ標準型写像

g : R

²

→ R

⁴ が次で定義されているとする。

g(u, v) = (

u, v, ∑

i+j≥2

a

_ij

i!j! u

ⁱ

v

^j

, ∑

i+j≥2

b

_ij

i!j! u

ⁱ

v

^j

) .

すると、方程式

(2.1), (2.2)

は

(u, v) = (0, 0)

でそれぞれ次の形になることに注意しておく。

det

( a

₂₀

du + a

₁₁

dv b

₂₀

du + b

₁₁

dv a

11

du + a

02

dv b

11

du + b

02

dv

)

= 0, det



 a

20

du + a

11

dv b

20

du + b

11

dv du a

₁₁

du + a

₀₂

dv b

₁₁

du + b

₀₂

dv dv A

3

(du, dv) B

3

(du, dv) 0



 = 0

ここで

A

₃

(u, v) = ∑

i+j=3 aij

i!j!

u

ⁱ

v

^j

, B

₃

(u, v) = ∑

i+j=3 bij

i!j!

u

ⁱ

v

^j

.

関数の特異点論の話題から