生産函数の推定

生 産 函 数 の 推 定

−最小自乗推定値偏差に関して−

種 岡 輝 雄

1 生産函数を統計的に導出し癒っとする試みはダグラス︵P・H・DO蔓as︶及びそれにつらなる人々によってな

lされている︒ダグラスが一九二八年に初めて推定結果を発表してから︑爾来昇塙先例に従って多くの人々によりかな2り数多い推定結果が得られ︑それら諸結果がダグラスにより一九四八年の論文にまとめて示されている︒そしてそれ

らの

推定

結果

によ

り︑

導出

され

た経

験的

生産

函数

は第

一に

夫々

の適

用例

に於

て推

定方

程式

 ︵

es

ti

ma

ti

ng

′e

qu

at

i︒

n︶

として有効であること︒第二に技術的生産函数の規模に関する収穫不変の想定をjustifyするものであることが主張

され︑更に第三に現実の賃銭の相対的分配分と比較することにより︑貸銀の限界生産力説を現実の資料がjustifyす

るものであることが主張されている︒即ち経験的生産函数を導出しー生産函数の統計的導出をはかり︑かくして得ら

れた経験的生産函数が技術的生産函数の規模に関する収穫不変の想定をjustifyするものと考え︑更にこれを以て賃

銀の限界生産力説を検証しようとしたものである︒

所で上の適用例の夫々の場合に於て推定のため使用された資料は︑ある場合には時系列資料︑又ある場合には横断

面資料−この中にあっても産業別集計塁資料が使用されている場合︑プラント平均資料が使用されている場合がある

生産曲数の推定      一七一

経 蛍 と 経 済

七

がーというようにそこに若干の差異が認められることも事実であるが︑本論文ではこの点には一切触れないことにす

る︒他方採用された推定のための範式︑推定のための方法については僅かな差異は認められるが︑基本的には同一で

ある︒今任意の一生産物について︑夫々の物量的単位ではかられた産出量をV刷︑投入量をお

( 7 H

・P・‑‑:J

ロ)

にて

示

すとき技術的生産函数は一般に

M円

︒

H¥(凶亡

un

Jw

i‑

‑‑

wu

門 口 )

(一一)

にて示されるが︑こ︑でダグラスは推定のための範式として次の指数型生産函数

h何 回

a u h H

ロup

日 開 会 凶 同 凶

ι :

・:

‑M

D

( N )  

を採用する︒そしてこの式の対数をとれば

炉ー・・

。

OQ  凶

1 1

。

OQ 同

同.~

+ 

1 1

  ~コロ

ドー‑

。

OQ M 

... 

( ω )  

であ

り︑

阿古

2・川m︒M内 山 凶H‑

HH目 ︒

m M

門戸(日

HH

・HM

・‑

::

・・

ロ)

‑内

A ‑ 1 ‑

︒ 問 問

︒

とおけば

ur HF +M 42 n 

(AH) 

となる︒更に実際の推定に当って産出高払を説明する原因変数として労働の投入量(これを九にて示す)︑資本の投

入量これをv拘にて示す)をとりあげて︑

民 国 民 同

up

‑‑

同2M

門 戸 凶

u

( 印 )

乃至

MA

EH

HF

︾+

CH

Mr

+c

uM

U

QU を設定している︒乙﹀で式

ω

ω

結果変数としておいて︑生産量と労働︑資本の投入量の間の因果関係を明らかにし︑原因変数に対する結果変数の変

化を示す式!生産函数の技術的構造を示す関係式︑第二にこれとはなれて労働及び資本の投入量により夫々の適用例

(

∞ )  

について産出量を推定しようとする式l単なる推定万程式と見る二つの見方が生ずる︒第二のように単なる推定方程

式と見れば︑前記推定結果の第一が示すように︑各適用例について労働及び資本の投入量の現実の観察値を各経験的

生産函数に代入してえられる産出量の推定値と現実の観察値との聞に高い相関係数が得られており︑このことは経験

的生産函数を以て上述の意味での推定方程式としてのみ使用するのであれば︑かなり満足の行く式であることが判明

する︒この事実と前記推定結果の第二即ち規模に関する収穫不変を吉ω昨日々する(乃至吉ω

立身するものと見倣され

る)結果のえられていることから︑ダグラスは現実の資料は生産函数の規模に関する牧穫不変の想定を吉弘巳可する

ものと主張し︑これを以て生産の法別であると考え︑この種の生産の法則が帰納的に得られつ﹀あると主張している

必吐

わけである︒しかし︑ダグラス範式を以て生産量と投入量の間の因果関係を明にし︑原因変数の変化に対する結果変

数の変化を示すための式l生産の技術的関係式と見て︑このための推定範式と見れば先記の推定値と観察値の聞に高

い相関々係の見られること即ち推定方程式として良好であることは経験的生産函数の因果関係式として正当性を保証

するものでは決してない︒けだし相関係数の示しうるものは真の因果関係がそのようなものとして存在する場合︑乃

至そのようなものとして想定する場合せいぜいその強度を示すにすぎず︑相関係数が高いからといって技術的関係式

ー因果関係式としてのダグラス型生産函数の正当性を保証するものではないと考えるべきであるからである︒推定方

生産画数の推定

一七

三

経 営 と 経 済

一七

四

程式としてならば相関々係の高いこと(即ち推定誤差が小であること)は第一の条件であるが︑因果関係式としてな

らば︑非実験的であるζとから考えても第二次的なものである︒

乙︑で範式として採用されたダグラス生産函数は指数型のそれであり︑他方式

ω

数型¥は一般的のもので︑乙れを具体的にあらわそうとすれば︑その型は無数といってい︑程多い筈である︒乙の無

数とも考えられる可能な函数型の中から指数型が採用されている︒従って生産の技術的関係を推定するための範式と

して指数型の生産函数が妥当か否かが第一の問題である︒良好なる推定値のえられていることは決してこの選択を妥

当とするものではないからである︒通常の回帰分析の場合には︑問題とする諸変数についての観察値を図表上にプロ

これらの観察諸点に最も適合する直線︑曲線ないし平面を見きわめて︑そしてその上でこの直線︑曲線乃

ット

して

︑

F O 

至は平面の函数型を設定し︑その次に乙の函数のパラメタ!の推定を行うのが一般に行なわれるやり方であるが︑ダ

グラス函数を設定するに当ってこれらの手続きが踏まれているとは必ずしもいえないようである口更に結果変数であ

る産出量を説明する原因変数として労働及び資本の投入室に限っている点にも問題はあると思われるが︑本論文では

これら二つの問題即ち函数型の問題︑原因変数選択の問題は考慮の外におくことにする︒このようにしておいてダグ

円山の良好なる推定値を得る問題に帰らう︒このパラメターを推定するためダグラス等

p o  

により採用された方法が最小自乗法

(H gE

・

2

5 2

ω B

Z E

品)であみ叫まず初めに産出量︑投入量に関する諸変数は

マ4すべて観察誤差(︒

E R

g ‑

そうすれば上述の範式から︑産出量︑投入量の各

2

旬 ︑

観察値の問に

R H H R

ロ

M円

︒日

開会

H凶

:

・:・凶ロロ

(J

J 

乃至ロ

MC

U

目的︒

+N

42

MF

+ロ

己H

H Z m d

であるが︑乙の式的乃至m聞が妥当することになる︒巴乃至

Zm du

ロは方程式誤差項である︒こ

の式を現実のV刷

︑丸

︑・

::

‑b

の観察値に最小自乗法であてはめて口町︑

hi

‑‑ :: 匂を推定するわけである︒最小自 乗推定値が町

:j

i‑

‑‑

hの満足の行く推定値たるためにはいくつかの条件が必要であるがい就中原因変数としてとら

只U

れた

V刷 ︑

::

:h 同じことであるが苅:::勾が方程式誤差項と独立であることが必要である吋いいかえると原因変数と

してとられたものが問題の回帰分析を行うに当って外生変数としてあたえられていること乃至推定に当ってそう見倣

(

∞ )  

こ︑にされることが必要である口つまり原因変数をコントロールして︑これにある一定の数値をとらしめ︑これに対する結

果変数の数値を観察する︒この手続きにより一標本が得られる︒乙︾で結果変数九の決定には理論的に考える限り︑

L i ‑ ‑

h

‑

至資料の面から︑原因変数として九

:: :h

のn個のものがとられたわけである︒これらの原因変数以外の諸変数が結

果変数の決定に当然参加している筈だから︑これら残余の諸変数の効果を一括して方程式誤差項として示すのであ

n v  

る︒この場合に標本から最小自乗法で求められた推定値は不偏乃至一致推定をあたえる︒そして乙のやり方は実験可

能で︑原因変数をコントロール出来る場合にはそのま﹀あてはまる口しかし生産函数の推定のため回帰分析を行う場

合︑変数の何れをとってもコントロール出来ない︒

現実に於て投入量は産出量と共に企業によって決定される変数であり︑経済のメカニズムにより決定されるもので

あり︑回帰分析に当って原因変数と見倣される投入量は回帰分析を行う者の怒意によりきめらず︑従ってコントロl

ω 

生産画数の推定

一七

五

経 営 と 経 済

一七

六

題は理論的に考える限り不可能である︒たY生産函数の統計的推定の目的のため︑産出量を結果変数︑投入量を原因

変数と見倣して︑最小自乗法により回帰分析を行なうとすれば︑産出量︑投入量共すべて本来企業の利潤極大原則に

よって決定さるべき変数即ち内生変数である︒内生変数であるからそれらを決定する一連の方程式組織が必要であり︑

だから現実の資料からパラメターを推定しようとする場合には︑それら連立方程式全体から推定されねばならぬにも

かかわらず︑最小自乗推定にあたっては︑連立方程式の中から特に式問或は式附の一式をとり出して推定しようとす問るから︑推定値は後述のように昌弘σ自

を持ち︑従って一致推定値はえられないことになる己

WES

このように最o ‑

小自乗推定値はシステマティックなバイアスをもつから︑前記推定結果の第二に示されるような結果が得られでも︑

乙れを以て真のパラメタ

ih

‑‑

・:・匂の和がーであること︑即ち規模に関する収穫不変の想定を吉ω江守するものとは

どうしても考えられない︒このことを次節に於てくわしく述べよう︒

2 

ある生産物に関して︑産出量︑投入量の技術的関係は式

ω

R H H R

ロ

M円

︒

H問︒凶同・:・:凶ロ

( N )

で把握出来るものときめ︑問題とする生産物を生産する企業のすべては式

ω

ときめる︒そして各個々の企業にとり市場条件について価格ギブン・コンスタントの完全競争を想定する︒即ち生産

物V刷︑投入される生産財

vvhか︑

d i ‑

‑ ‑ ︑

::

:hの価格を夫々

D U ︑

DH

::

:h

とす

れば

︑

D M ︑民

::

:hはギブン・コンスタ

ント

であ

る︒

各企業について産出量︑投入量は企業利潤が極大になるようにきめられるD即ち利潤は

刊日目Mcupl同

MH

M内

回￨

司

uu

内U

i‑

‑‑

￨司

ロ凶

ロ

( 匂 )

で示

され

るが

︑

乙の利潤極大の必要条件は

︒ 当 代

﹀

凶 仲 m w

4(HC) 

(日

HU

H‑

・ N

・:

・:

ロ)

であ

り︑

この利潤極大の必要条件式から

F M

H F

( 2

W )

(ケ

H

・HM

・:

::

・ロ

) H ‑ M

仲(HH) 

乃至

同︼山

MC

ベ 山

丘

H u m

抗 日

比

(昨uHH・M

・ : ・

: ‑ w

ロ)

(乙

︑﹀

に同

JK 3H JF 3u pH JD

である)が導出される︒これがいわゆる限界生産力説の第一命題の成立であり︑無条

件利潤極大の場合の条件式である︒そしてこ︑で付︑某指数丘公

HY p‑

‑:

・ロ)は常数と想定され︑同︑経済且昼間の:

即座の対応︑生産函数については瞬間投入￨瞬間産出が想定され︑国︑更に利潤極大の十分条件からパラメタl叫

仲HUFF‑‑::h)につき

(H N)  

1

γ

八ト・4

(一

戸﹀ω

同即ち生産函数について規模に関する収穫逓減

2 2 3 2

開

E

門旦 号

g g ω g H O )

が想定されている︒しかし現実の企業

に於ては完全競争下における無条件利潤極大がみたされているとは到底考えられず︑条件付利潤極大しかえられてい

ないかもしれない︒そしてこの条件付利潤極大の条件式は

生産画数の推定

一七

七

経 営 と 経 済

一包入

F (

o b

)  

日間 片岡 J(?HH・M

・ : ・

: ‑ w ロ

)

(HAF) 

にて示されよ

F U

乙﹀で町は利潤極大の制限されている程度を示し︑無条件利潤極大の場合はーであり︑それ以外に

於てはーに等しくない︒乙の式

ω

ω

ω

( 己

2

2 5

‑ 2 5 t

︒ 5

)

であり︑これらの式群から

vM

︑丸

::

:沿

は決

定さ

れる

︒

こ︑で当然町がーとなるか否かが問題されるわけであり︑このため一般の場合の式

ω

ω

を考

えて

︑

標本から叫を推定し︑そして他方に於て丸︑

L: ::

恥の標本平均を求め︑乙れとDM︑民

:: :h

から

同

Jur・

MM

KH

w:

も

:: :h

の標本平均を求めて実際に於て式

ω

一万

に於

て

阿川

口凶

ロを

求め

て︑

乃至

直接

的に

も︑

であるか否かが検討される

iq

上述の企業行動に関する理論から︑各々現実の産出量︑投入量につき次式問︑側が成立し︑これが推定のための構

造方程式である︒

RH

同 ぬ ロ

凶 つ

H開

会凶

同・

:・

:凶

ロロ

( ベ )

凶 日刊

H

九

百

2 3 (

日﹁

N

‑

‑

ロ)

同印刷同

( ] 5 )  

こ﹀に

u m

は夫々方程式誤差項︒そしてこれらの式の対数をとり︑

m

目 ︒

民 間

H F

m

目 ︒

日S 正 同 州 同 町 同

とおけば

g.0340 

t:;"  t:;" 

H・ 2

+ + 

<:  ~ 0 

日 午

己

(

∞ )   (日HUH‑N

・:

::

・ロ

)

( ] 5 )  

が得

られ

るが

︑

H・

︑' A

ox

ox

は先記構造方程式を想定する以上︑仮定上われわれの観察値である︒(観察値であること

を特に示すためOの添字を上につけてある︒)

ら︑引を推定するに当って︑式凶聞をとり出して︑最小自乗法(単一方程式推定法)で資料から推定しようとすれば︑

問題の式附は各企業の行動を決定する一連の構造万程式の一員であるから︑式

ω

られたものと推定範式の万程式誤差項とが独立でないから︑パラメタl引の一致推定値はえられぬ︒このことを示す

ためまず式問の最小自乗推定値を求めよう︒乙﹀で生産量︑投入量に関する資料は企業のそれであると考え︑しかも

無限の数の企業から得られているもの即ち無限標本と考えて︑いわば引の

g

︺三

百三

♀52t

自己

σ引を求める乙とに 所で後述式

ω

︒苅

と

uとは独立でない︒どか

しよ

う︒

勿論最小自乗法では

︹一

♂￨ 開( 三一

lN2Tn1

間 宮 ) )

︺

h

が最小になるように即ち

γ

(( Mc lg p) )l Nc

ニ

2

1 5

) )

︺ω10

( 同 斗 )

が成立するように求められ︑

この

式か

らい

わゆ

る正

規方

程式

(ロ

︒同

自己

2 5

︒

z

ロ)

生産画数の推定

一七

九

経 営 と 経 済

/ ¥  

ロ ・ ・.... わ の2

. 9  

ドd ・炉

ロ ロ

¥ /  

'"一一一一一一一一一一一一一一一一一一ー一一一一一一一一、、

~ω ・

￨

￨  

" ¥ ¥  

ゎ ・ ‑ ゎ

。 =口 同

¥ 、 /

(一戸∞)

日αが求められる旬︑乙冶に引は叫の最小自乗推定値を示す︒乙Lで各誤差項は互に独立即ち

同(

ロ ) H O

同(za

︿即 ) H O 同(

︿片 ) 1

/ 0

ヘ

ドA・

‑H' 

デ・ 同

r

、

. . . .

・ ..... 

、圃.. 】 .

1 1 もぐ̲.

ト・品

、 ， ¥ ， ノ

~ o 

'ロ‑" 

と想定しておく︒

D MSUHわ

4 4 +

ド・4

式側

︑

MW

をv州

︑苅

(M

HY

p‑

‑・

: Jロ)について解いて︑

ト・4

1 . b

. .

..  .... 

炉ー‑

~o 1 1   わ

+ 

ト4 ト・4

1 . h

炉品 h・4

炉・・

r¥ 

...~

...o .. 

ド〈ー.

+ 

、ーノ

(NO

当日

+己

) + J 1

(岡山

W )

(NC) 

(﹄

H H ・

N・

::

:・

ロ)

‑l N2  

目向︒+

N4 25

ゎ ︺ U l i + }

ご(

]日

一f

Nw

i‑

‑‑

wロ

)

3 (i  1 1  

民‑

2 

+ 

旬

。

炉ー民‑ー

ドー.

そして上記如は各変数の分散︑共分散

HI

M‑

2 

一八

O(NH) 

のごリ同

( 向山ごuM

)l

同

( u S )同

( M 内

︺ )

であり︑各変数の標本観察値から求められて︑既知数︒従って式側の左辺のマトリックスからなる行列式が零でなけ

れば︑通常の場合式閣は司会HH・P・‑

:: h)

について一義的に解かれよう︒乙れが先述の最小自乗推定値である︒ (NN) 

次ぎにこの最小自乗推定値の偏差について考えよう︒ためにまず︑式

ω

ω

ω

用して次式が求められる︒

ハU

21

ロ

ω (川

口︑

ωロ

+ω

き)

ハU

ZH

ハU

32

+ω

ロロ

仲間

山由

同十

ω

広

ハU

LH

の

E ‑ +

ロ

山即日(Nω) 

のご

Hわ

き+

ロ(

己目

的片

山十

o ‑ m

と ) ( 日

H Rア﹁︺

H H ・

M・

‑:

・:

・ロ

)

一戸

乙﹀に

ロ ー

同(ロ)日間

(

よJ)10.

却さ

U

同( 己凶 )

]F IN 2 

ωZ

H

問(﹂刊日凶)

そうすれば今の場合想定上

の の ふ

のご

V

わき

(NAF) 

が当然成立していなければならぬ︒そして九の推定値八九は定義から

﹀m A

d z ‑ n

a x ‑ ‑

N ω

円( V A

ん

であり︑他方匂についてはこれ又 (N

日 )

生産画数の推定

7¥ 

経 営 と 経 済

入

ωZ

Iハ

いき

+ゎ

ロl

N(

UL

(T

HH

up

‑‑

‑:

‑w

ロ)

(N∞ )

である︒次に如についての先記定義式を利用して式

ω

の正

規方

程式

から

︑引

を一

叫︑

丸︑

.山

︑(

日

HY

M‑

・ ‑

:"

と

について解いて次式仰

21 

同 p 

+ 

I 

+ 

cfl 、

s ￨ωICfl 

1

] {  

∞広

(N

吋 )

更に八九について

戸 〉

1 1  

cfl  5 

ド4

+ 

̲

.  

II~ ロ . . .

. 

ド圃晶

∞広

(N∞ )  

刊切が得られる︒乙れは先記分散︑共分散マトリックスが正値定符号であれば︑正規方程式の唯一の解となり︑

更に式聞から引は叫の一致推定値でないことが判明する︒即ち引の最小自乗推定値引は∞き10の場合に限り︑引に

この場合一致推定値である︒九の数値が相対的に大であれば︑引は上にバイアス吾持ち︑知が相対的に

大であれば︑推定値引のバイアスは減少する傾向を持つといったょに︑丸︑丸・・

M

イアスの程度がきまる︒そして八九は式

ω

7H YN

とし

等し

くな

り︑

苧=干ε'1 ドl'jffi-+0'~~ ¥1' K副g~4I1~や.MJ1)毛布豆長引開Q黒川)，.，.pg:会ばd尋問。

パラメターの真の数値 以下の欄t乙示される分散ら0，Sl1，S22の相対的大きさの比率(Soo: Sll : S22)に対する推定値

I 1:ルυ1:1:11:5:5 1:∞:∞ 

α10rα2 =0.0 0̲5 0̲333 0̲143 

。。

=0̲1 0̲5 0̲464 0̲367 0̲214 0̲1 

=0̲2 0̲5 OA73 0̲400 0̲286 0.2 

=0̲3 0̲5 0̲482 0̲433 0̲357 0̲3 

=OA 0.5 0̲491 OA67 0̲429 0̲4 

=0.5 0̲5 0̲500 0̲500 0̲5 

=0.6 0̲5 0̲509 0̲533 0.571 0.6 

=0̲7 0̲5 0̲518 0̲567 0̲643 0.7 

=0̲8 0̲5 0̲527 0̲600 0̲714 0̲8 

=0̲9 0̲5 0.536 0̲633 0̲786 0̲9 

α1+α2 =0.0 1.0 0̲909 0̲667 0̲286 0̲0 

=0̲5 LO 0̲955 0̲883 0̲643 0̲5 

=0.9 1.0 0.991 0̲967 0̲928 0̲9 

=LO LO 1，000 1，000 1，000 1，000 

世i剖f宣索活G岩出1 t<111 

経 営 と 経 済

一入

四

切との表から︑推定舶は一般にパラメタlの一致推定値ではなくバイアスを持ち︑パラメタlの真の和が何であれ︑最

小自乗推定値の和はその真の数値の和よりもはに大きく︑しかも1に近いとの結果が得られることが判明する︒

だから上表から逆にいって︑最小自乗推定値の和がーである乙と￨乙れは前述のダグラスの推定結果の第二であるが

ーを以て真のパラメタl叫と仏との和がーであることの証左即ち生産関数の規模に閃する牧穫不変の組定を検証する

ものとはならぬ︒

上述の議論は

ω

︑九

︑

vh︑

v bd

をすべて内生変数

ω

白来推定値が求められたものとして進められ︑

べて観察誤差を合まぬとして︑ これらの推定仙の抗定誤差には全然触れられず︑更に川術祭変数はす

いわば

G E n ‑

同B

O円四巳こについて進められてきた︒うち

ω

が取り除かれると上述のような明白な結果はえられないが︑尚この場合にも︑パラメタlのす(の和が何であれやはり

向μ推定値の和がーに近いとの結果のえられている乙とが示されている︒

3ハ門前節末尼の結論が示すように︑資料として生産泣︑投入岳についての企業別の資料が何られ︑これらの資料

に対し設小白菜法でパラメターを推定した場合︑推定伯はパラメタlの一致抗定値ではなく︑

a m H

ゆ自己目︒宮訟を持

ち︑従ってこのバイアスがパラメタlの真の和は1でないにもかかわらず︑推定値の和はーである乃至1に近いとの

推定結果をもたらす︒勿論ダグラスの場合資料として同一生産物に関する企業別の資料の使われている均合は悼無で

あり︑何れの場合にも産業別集計量が使用され︑しかも横断面分析に於ては価値タlムではかられたそれが使用され︑

ある少数の場合にのみ補充的にプラント平均資料が使用されている︒しかも理論稿造の立て方は前節のそれと基本的

ハ勾

h

リ 昨

﹁

︐

しかも終始完全競争が想定されている︒だから理論的には一産業は一企業からなり︑しかに同一であると考えられ︑

も標本としてとられた産業辞はすべて同一生産物を生産するものと見倣されざるを得ぬ︒つまり上述の議論は資料は

事実はそうでないにもかかわらず︑推定のためのいわば最も適当な資料であると見倣して︑そしてその上で︑推定方

法自体から︑最小自乗推定値のシステマティック︑バイアスの生ずる所以を明にしたものである︒つまり方法的難点

に関するものである︒

だからダグラスのように向︑n内を推定しておいて︑この推定値と賃銀の相対的分配分の比率とを比較して︑賃銀の限

界生産力説の現実における妥当性を検証しようとすること︑別言すれば町がーであることを検証しようとすることは

引が引の一致推定値でないことからして不可能である︒

同

次ぎに式

ω

E L

であるからO即日比外であり︑

従って

。

+  。

司￨司 凶￨凶

+ 

炉刀げ刀 凶￨凶

(NC) 

乙︑で利潤極大の十分条件式側から

。

+  。

1 1  

司l司

~I~

+ 

司￨司

凶￨伊

八ト品

(ωC) 

フ計 十回

M K u

八 開 ︾ A K ‑ ‑

即ち企業利潤は常に存在し︑これは残余のものとして企業に属し︑ ハ

戸ω ]

乙れは当然限界生産力説によって説明されぬ部分 )

である︒所で限界生産力説は周知のように第一に限界生産力に等しく生産財の価格が支払われること︑第二に消尽の羽定理の成立を内容とするものである︒即ち第二については

同J

U内 同 十 円

J凶

u u

同J

凶 晶}

(ω N)  

生産画数の推定

一八

五

経 営 と 経 済

一入

六

の成立を内容とするものであり︑このための必要条件をダグラスは生産函数に求めて

︒ ‑ 十

ou

uH

一 戸

川以

が想定されたのである︒しかしこの規模に関する牧穫不変の想定が企業の利潤極大の十分条件と矛盾することになり︑

( ω ω )

第二命題即ち消尽の定理の成立のための必要条件を生産函数の規模に関する牧穫不変の想定に求めることは出来ぬ︒

しかも限界生産力説は先記の

ω

ω

に分配された分配分の総和は生産物の価額に等しいとの消尽の定理の成立を内容とすることも又周知のことであり︑間ヒックスが限界生産力説は長期の均衡に於て成立するものであると述べているのもこの意味に於てであるDつまり第

このとき企業が平均費用最小点に於て生

産を行っていることが必要で︑完全競争が企業の平均費用を最小にするということは第二命題の前提である︒所が規

模に関する牧穫逓減を想定する限り︑平均費用最小点は産出量零なる点に於てであり︑乙の点を除︑き平均替用最小点

は求められぬ︒そしてこのことは規模に関する牧穫逓減を想定することは企業の極大利潤という個人的均衡条件とし

ては妥当であるが︑他方第二命題の成立のための前提平均費用を極小にするとの前提ーから考えて妥当でないこと 二命題の成立のためには社会的均衡状態の成立している乙とが必要であり︑

になる︒更に次のことが考察される︒上述の構造方程式の設定に当って︑終始価格DU︑Dハ ︑

Dい

d i ‑ ‑

はギブン・コンス‑

タントと想定されている︒しかし事柄は社会の現実の資料に関する︒そして因果論的限界生産力説をとらず︑相関的湖限界生産力説をとる限りー一般均衡的限界生産力説をとる限り︑ギブンと見倣される可能な価格に限界生産力が等し

くなるように各生産財の投入量がきめられ︑そしてこれらの投入量の和である社会的需要量とそれに対応する社会的

供給量が等しくなるように︑現実の価格DH︑D日︑はきめられ︑他方生産物についても社会的供給量と社会的需要量か

ら現実の価格DMはきめられる︒そしてとれら各個人の立場についてギブン・コンスタントと見倣される諸価格はすべ

て社会全体については︑需要︑供給の関係により決定される変数である︒そしてこれらの諸価格を可能な価格とみて

理論を構成する場合︑必要に応じて夫々の場合にギブン・コンスタントと見倣す乙とは或いは許されよう口しかし推

定に当つての資料は現実の資料であり︑従って当然DM︑

h i ‑ ‑

‑ は現実の市場価格である︒そしてこれらがコンスタン

トとして取り扱われるためには︑社会的均衡状態の成立しているこ主が必要ではないか︒社会的均衡状態に於て初め

てこれらの諸価格はコンスタントとして取り扱われうるものであるからである︒他万この場合に︑

to

山口 問

いわゆる

E2 ZB

抑

2 5 ‑ w .

の条件がみたされて︑導出される統計的生産函数は十分の意味を持ちうるのではないか︒ダグラス

がP+ouuHを想定した理由の一つはこ︑にあったのではないかと考えられる︒

更にパラメタl引を規模から独立と見倣しているが︑理論的に考えて厳密にいって吋は規模から独立でないとなれ

竹Uば︑独立即ち常数として引を推定して得られるものはいわばそれらの変異するパラメタlの平均値であるから意味が

ないのではないか︒理論的に考えて叫が規模から独立の常数と見倣されるのは生産函数が一次且つ同次の場合であ

る口どから一般にp+

♂北

Hとしておいて︑資料からP+ouがーになるか否かを検討するのは意味があり︑もじp

+ロuHHを妥当とする結果が得られればそのま︑問題がないが︑ーでない結果がえられれば第一に引と

ι d との和がl

でないこと︑第二に向︑

ι J が規模から独立の常数としてとり扱われるべきでないことの双方を示すものではないか︒

生産函数従ってダグラス生産函数は技術的函数であり︑当然可能なる投入量と可能なる産出量の間の技術的関

係を示す式である︒即ち投入量の間に変分の原理さえみたされれば︑すべての可能なる投入震の組合せについて︑

(

民 一 戸 ︼ = ︒ 当

ω匂ω

の伊

丹一

一司

で運転してえられる極大産出量と投入量との聞の関係式が生産函数である︒だから本来市場の条件︑

企業の利潤極大とは別個のものである口しかも尚実験不可能であるから︑直接的にこの関係を示す資料がえられ内

観察されるものは純粋の望︒︻E2

古ロ

苫ロ

2Z

ロではなくて︑現実の投入量の組合せとそれに対応する産出重である︒

生産画数の推定

一八

七

経 蛍 と 経 済

一八

入

乙﹀でこれらの投入量︑産出量が企業のそれであると見れば︑これは何らかの意味で利潤極大量と考え︑ざるをえない︒

乙︑で市場条件︑利潤極大が問題となり︑技術的生産函数の考察に当っては瞬間投入l瞬間生産の想定は常識である

から︑従ってそれらに対応して現実の産出量︑投入量は価格ギブン・コンスタントの無条件利潤極大点と想定されざ

るをえなかったのである︒そしてこれが理論通りには行かないから或いは条件付利潤極大が問題とされたのである︒

このようにして現実の資料は乃至投入量︑産出量の組合せを示す観察諸点は何らかの意味に於ける利潤極大点であ

り︑かりに無条件利潤極大の場合といえども︑技術的に可能な投入量と産出量の組合わせの中にあって︑利潤極大と

親和するが如︑き組合わせであり︑その意味で可能な組合わせのうちの一部であるといわなければならぬ口だからこの

現実の産出量︑投入量の資料に回帰分析を行って︑たとえ生産函数のパラメタlの統計的に良好な推定値がえられて

も︑乙れを以て技術的生産函数の推定値とは見倣されぬ︒前者は現実の数値に関し︑後者は本来可能な数値に関する

ものであるからである︒そのことは同時に企業利潤極大の十分条件から︑技術的生産函数について︑

N .

2 八回即ち規

模に関する牧穫逓減を想定することにも関する︒技術的生産函数は企業の利潤極大の以前に︑乃至それとは独立に存

在するものであるから︑利潤極大条件から技術的生産函数の性格にある一定の制限を加えることは不可である︒乙﹀

で生産函数が一次且つ同次か否かということは︑例えば投入量について固定的ファクターの存在が想定されているか

否か︑更に無限の分割可能性が想定されているか否か︑即ち産出量はすべて同一生産物乃至標準化された生産物であ

るとして︑投入量について等質化の手続きがとられているか否かといった如き事柄に求められるといえよう︒即ち一

次且つ同次であれば投入量と産出量の聞に例えば次図の直線仙にて示されるような関係が当然見られるが︑投入量九

がこのような直線的関係をみたすためにはどのような条件を必要とするか︒そして逆にいってこの条件を投入量がみ

たすとき図表に示される関係がみたされ︑従って規模に関する牧穫不変の想定は満足されるととになる︒

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