物理学演習 標準

1E

物理学演習 標準

H012-1

担当教員

:

浜中 真志 研究室

: E-mail:hamanakamath.nagoya-u.a.jp

総合演習

(2019

年

1

月

15

日

)

作成日:January14,2019 Updated:January14,2019 Version:1.0 実施日:January15,2019

期末試験について

(2019

年

1

月

24

日

(

木

)

実施

)

試験時間

80

分の予定．

ノート持ち込み不可です．

(

電卓・スマホの類も不可

.)

試験範囲は，小テスト

1

＆

2

の試験範囲に配布プリント

H009

〜

H012

の内容を 加えた範囲です．

(

ただし

X'math

プレゼントは除く

.)

総合演習（実は昨年の問題） ：問題

4(1)

以外すべて提出問題

P

θ

l α Q

問題

1.

右図のように水平に対して一定の角度

だけ傾いた粗い斜面がある

.

時刻

t=0

で質量

m

の質点

P

を斜面上で静かに放したところ

,

斜面に 沿って距離

L

だけ滑り降りて

,

時刻

t =T

で なめらかな水平面に速さ

v

で到達した

.

そのあと

速さ

v

のまま水平に等速運動し

,

長さ

`

の軽い糸で天井から鉛直に吊り下げられた質量

m

の質点

Q

と正面衝突して合体し

,

糸が鉛直方向と

の角をなすところまで上がって折 り返した

. (

糸はこの過程でずっとまっすぐ伸びているとする

.)

重力加速度の大きさを

g,

斜面と質点の間の動まさつ係数を

0

として以下の問いに答えよ

. (1)

時刻

t =T

における質点

P

の速さ

v,

および斜面に沿って水平面まで移動した距離

L

を

m;g;; 0

;T

のうち必要なもので表せ

.

(2)

衝突して質点

P

と

Q

が一体となった直後の物体

(

合体した質点

)

の速さ

V

を

m;v

のうち必要なもので表せ

.

(3) os

を

m;g;V;`

のうち必要なもので表せ

.

(4)

以下のうち保存力であるものをすべて選べ：

(

ア

)

重力

(

イ

)

動まさつ力

問題

2.

重力のない場所で

,

質量

m

の物体を時刻

t =0

で原点から

x

軸の正の方向へ打ち 出す

.

初速は

v

0

(

正の定数

)

であり

,

運動中の物体には速度に比例する空気抵抗

(

比例定数 を

( >0)

とする

)

が働くものとする

.

(1)

の次元はいくらか？

(

単位で答えてもかまわない

) (2)

物体の速度を

v :=

dx

dt

とし

,

運動方程式を立てよ

. (3)

運動方程式を解き

,

速度

v

を時間

t

の関数として表せ

.

問題

3.

天井から鉛直に吊るされたばね

(

ばね定数

k)

の先に質量

m

の質点がつけられてい る

.

重力加速度の大きさを

g

とする

.

(1)

質点が静止しているとき

,

ばねの自然長からの伸び

x 0

を

m;g;k

で表せ．

(2) (1)

の質点の位置を原点とし鉛直下向きに

x

軸をとる

.

ばねを

x=d (>0)

まで引っ 張って 時刻

t =0

で静かに放した

.

時刻

t

での質点の位置を

x(t)

として運動方程式 を書き下し

,

解け

.

(3)

最初に原点を通過するときの時刻

T 0

を

m;k

で表せ．

標準

H0-1E18-12

難易度

: C

名城大学・理工学部

1E

物理学演習 標準

H012-2

担当教員

:

浜中 真志 研究室

: E-mail:hamanakamath.nagoya-u.a.jp

(1) (2)

O x

a

h a

a 2 3a

60 問題

4.

剛体に関する以下問いに答えよ

.

(1)

質量

M,

高さ

h,

底面の半径

a

の一様な円錐を考える

.

円錐の頂点を原点とし

,

そこから円錐の中心軸方向に

x

軸をとる

(

右図参照

).

円錐の体積

V

が

V = 1

3 a

2

h

となることは既知としてよい

.

(a)

円錐の密度

を

M;a;h

で表せ．

(b)

円錐の重心座標の

x

成分を

X

とする

. X

を積分計算により求め

h

で表せ

. ()

円錐の

x

軸まわりの慣性モーメント

I

を積分計算により求め

M;a

で表せ

. (2)

右上図

1

のように半径

a

のなめらかな円柱に

,

長さ

2

p

3a,

質量

m

の一様なはしごが 床と

60

Æ

をなす角で立てかけられている

.

床とはしごの間の静止まさつ係数を

と する

.

図の状態で はしごが滑ることなく静止するための

に対する条件を求めよ

.

円柱は動かないものとする

.

重力加速度の大きさを

g

とする

. (

円柱ははしごの中点 と接していることに注意

.

力がきちんと図示されているだけでも部分点はあります

.)

【解答】

問題

1 (1)v=g(sin 0

os)T, L=

1

2

g(sin 0

os)T 2

(2)V =v=2 (3)os=1 V

2

2g`

(4) (

ア

)

問題

2 (1)

の次元

(

単位

)

は

MT 1

(kg=s). (2) m dv

dt

= v (3)v(t)=v

0 e

m t

問 題

3 (1) kx 0

= mg

よ り

x 0

= mg=k (2)

運 動 方 程 式：

m d

2

x

dt 2

= mg k(x +x

0 ) =

kx.

これは単振動の運動方程式であり

,

一般解は

!:=

p

k=m

として

,x(t) =Aos!t+ Bsin!t (A;B :

任意定数

).

初期条件

x(0) =d;v

x

(0) = 0

より

A= d;B = 0.

よって求め る解は

x(t)=dos(t

p

k=m). (3)!T

0

==2

より

T 0

=

2 r

m

k .

問題

4 (1)H010, H011

のプリント参照

(2) 1

p

3

【解答】

(H008

暇つぶし問題の解答

)

円柱

A

の

x

軸に垂直な断面は半径

1

の円になるの で，

A

上の点は

(x;os;sin) (0 <2)

とおける

.

これを

B

の方程式に代入すると，

x 2

p

3xsin+sin 2

=1=4

が得られる

. x

についての

2

次方程式の解の公式より

, x=

1

2

p

3sin p

1 sin 2

= 1

2

p

3sinjosj

;

よって，

x=sin

6

():

x=sin(θ+π/6) x=sin(θ−π/6)

π 3 π

6 π

6

5

π

2

π

6 π

6

7

_π

11

6

2π 2π θ

2π

3 x

1

-1

A

を題意のように展開すること は，

A

上の点

(x;os;sin)

を 点

(x;) (0 <2)

に対応 させることである．

()

を満たす点が

A

と

B

との 交点を表しているので，

図形

C

の展開図は

()

の グラフを境界とする 右図の斜線部分となる．

[

コメント

℄

「切り口

$ 2

柱面の交わり

$ 2

柱面の方程式をともに満たす」

という理解が一つの鍵です

.

標準

H0-1E18-12

難易度

: C

名城大学・理工学部