解析力学

(1)

(2)

解析力学

細谷曉夫

Analytical Mechanics

Akio Hosoya

(3)

To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

or send a letter to Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.

(4)

1

平成２年東工大着任、物理学科学生対象「解析力学」講。後、出版話、「大学改革」対処得、

TeX

^原稿 ^作 ^{段階時間切} ^。

定年退職後、地元我孫子２月一度開５０人参加賑。常連一人、相対論

授業、言。５人生徒集始

、先送数日７人集、喫茶店始

。特殊相対論、一般相対論数式丁寧追、東工大同講義要望、月２回１年少。

途中大必要、市学習室借。全

員、理工系素養元技術者、時間余裕人

。式変形細部同時、全体像明求質問数多、双方向的授業展開。

途中、解析力学用説明必要出、

以前作講義録配布。生徒一人、

PDF

^化 ^下 ^、私 ^個人的 ^「幻 ^{解析力学」}

。

Twitter

^通 ^広 ^認識 ^、

書房飯沢、出版、提案受時

少驚。以前面識、志聞、学術

書、私思、引受。

理研行研究会折打合、次池袋喫茶店

会、飯沢高能力出版

運、嬉。

考方理解導入部工夫凝。

、東工大学生諸君質問取入。「拘束系」

(5)

解析力学技術的、場理論教科書中入適当考割愛。図私希望、手書。

2019

^年

10

^月

細谷曉夫

(6)

3 . . . . 1

第

1

^{章解析力学} ^考 ^方

7

第

2

^章 ^原理Fermat’s Principle

9

第

3

^{章最小作用} ^原理Principle of Least Action, Hamilton’s Principle

15 § 3.1

^{一般化座標}(Generalized Coordinates)

. . . 15

§ 3.2

^{最小作用原理}

. . . 16

§ 3.3

^{高階微分含場合}(Higher Derivative Case)

. . . 21

§ 3.4

^{測地線方程式}(Geodesic Equation)

. . . 23

§ 3.5

^自由粒子 ^運動

. . . 29

§ 3.6

^{保存力場中} ^粒子 ^運動

. . . 33

§ 3.7

^系 ^合成

. . . 36

第

4

^{章拘束条件} ^系Constrained System

43 § 4.1

^{未定係数法}(The Method of Lagrange Multiplier)

. 45 § 4.2

^{未定係数法} ^正当化

. . . 50

§ 4.3

^撃力(Impact)

. . . 55

§ 4.4

^・ ^原理(d’Alembert-Lagrange’s Principle)

. . . 57

第

5

^{章電磁場中} ^荷電粒子 ^運動

59

(7)

§ 5.1

電磁場中相対論的荷電粒子運動

. . . 65

第

6

^章 ^時間的 ^変化 ^外力 ^摩擦 ^場合 ^質点 ^運動

69

第

7

^{章質点系} ^力学

75 § 7.1

^{重心系、換算質量}

. . . 75

§ 7.2

^{重心系、換算質量―}

. . . 76

§ 7.3

^{重心―一般場合}

. . . 79

§ 7.4

^微小振動

. . . 80

§ 7.5

^{基準振動―}

CO

₂ ^例

. . . 84

§ 7.6

^{基準振動―一般場合}

. . . 87

§ 7.7

^強制振動 ^{固有振動数}

. . . 93

§ 7.8

^{強制振動方程式解} ^方

. . . 95

第

8

^{章対称性} ^保存則Symmetry and Conservation Law

99 § 8.1

^保存則(Energy Conservation Law)

. . . 99

第

9

^{章運動量保存則}Momentum Conservation

103

第

10

^{章角運動量保存則}Angular Momentum Conservation

107

第

11

^{章不変変分論}Invariance Principle

111

第

12

^章 ^不変性Gauge Invariance

121

第

13

^{章力学的相似}Dynamical Similarity

125

(8)

5

第

14

^{章運動方程式} ^解 ^方

131

§ 14.1

^１次元 ^運動

. . . 131

§ 14.2

^{中心力場中運動}

. . . 132

§ 14.3

^{惑星運動}

. . . 133

第

15

^{章特殊相対性理論}Special Theory of Relativity

143 § 15.1

^{光速不変原理} ^変換 ^導

. . . 143

§ 15.2

^変換 ^不変 ^作用

—

^自由粒子

. . . 149

§ 15.3

^{相対論的荷電粒子} ^運動

. . . 151

§ 15.4

^{相対論的運動学}

. . . 154

第

16

^{章正準形式}Canonical Formalism

157 § 16.1

^実現 ^作用

. . . 157

第

17

^章 ^原理Maupertuis’ Principle

167

第

18

^{章正準変換}Canonical Transformation

171 § 18.1

^点変換(Point Transformation)

. . . 171

§ 18.2

^正準変換 ^一般論

. . . 174

第

19

^章 ^括弧式Poisson Bracket

179 § 19.1

^変換 ^生成子(Generator of Transformation)

. . . 181

§ 19.2

^変換群(Transformation Group)

. . . 183

§ 19.3

^括弧式 ^正準変換

. . . 189

§ 19.4

^時間発展 ^正準変換 ^特殊 ^場合

. . . 192

第

20

^章 ^定理Liuville’s Theorem

195

§ 20.1

^再帰定理(Poincare’s Theorem)

. . . 199

(9)

第

21

^章 ^・ ^方程式Hamilton-Jacobi’s Equation

201

§ 21.1

^・ ^方程式 ^完全解 ^{、運動方程式} ^解 ^求

方

. . . 202

§ 21.2

^{変数分離方法}

. . . 206

第

22

^{章断熱不変量}Adiabatic Invariant

211

§ 22.1

^簡単 ^{系断熱不変量}

. . . 211

§ 22.2

^{断熱不変量} ^{一般形}

. . . 215

§ 22.3

^変化 ^磁場中 ^荷電粒子 ^運動 ^断

熱不変量

. . . 218

§ 22.4

断熱不変量前期量子論

. . . 220

第

23

^{章断熱不変量} ^角変数Angle Variable

223

§ 23.1

^縮退(Degeneracy)

. . . 226

第

24

^{章解析力学} ^量子力学Analytical Dynamics and Quantum Mechanics

229

§ 24.1

^{正準量子化}(Canonical Quantization)

. . . 229

§ 24.2

^最小作用 ^原理 ^来 ^？

. . . 232

初出索引

240

(10)

7

第

1

^章

解析力学 考方

質点対古典力学基本方程式、質点位置

r

、運動方程式

m d

²

r dt

²

= F

質量

×

^加速度

=

力

.

、意味尽言。

解析力学、実現運動問題前、仮想的

運動想定。運動対作用

(action)

量、実現運動作用最小

、記述。歴史的、幾何光学最小時間原理

*1

^力学 ^拡張 ^。

力学運動方程式出発、作用出発考

迂遠、２本質的利点２

実際的利点思。

本質的利点第一基本方程式、

系持対称性作用形推定。

素粒子相互作用研究取方法、巨視的系対役立。第二量子力学本質的

。量子力学移行、解析力学正準形式

経由標準的。

実際的利点第一、系保存量発見系対称性容易

*1 媒質中光経路、所用間最小一致。

(11)

。保存量見、運動方程式

解容易高校物理経験。第

二、変数座標直交座標系限、任

意座標取系特徴的便利座標系採用、解法著

容易。

古典力学範囲、最小作用原理「原理」根

拠問、自然界基本的量子力学

極限最小作用原理導。（実、作用極値性導

、古典力学実際極値性用言葉不

的確慣例従最小作用原理呼。）

(12)

9

第

2

^章

原理

Fermat’s Principle

幾何光学諸法則

「光所要時間最小経路取」

「最小時間原理」示。

*1

原理簡単適用。

(a)

^{反射法則}

問題場合、光速一定、最短距離最短時間意味

。光線、

A

^点 ^進 ^鏡 ^反射

B

^点 ^到達最短経路作図求。

(b)

^屈折 ^法則

(Snell’s law)

光媒質中真空中光速

c

^比 ^、遅 ^速度 ^伝搬 ^。媒質中光速

c

^′

(< c)

^。屈折率

n

n = c

c

^′

(> 1) (2.1)

定義。水場合約

1.333

^。

考方以下通。真空中方光速進程度長真空中走、遅進媒体中走距離少

*1歴史的、以下。

時代 (Heron) 光反射問題対

「最小距離原理」述。「最小時間原理」言直屈折法則応用。、自然経済的経路通意味興味

持。

(13)

図

2.1

^{反射法則}

図

2.2

^{屈折法則}

目全所要時間短。、

光遠回必要。

定量化、光真空媒質境界面点座標

x

^図

2.2

^変数 ^{、全所要時間}

T = T (x) x

^関数表

x

^変

, T (x)

^最小値

x

^求 ^。

全所要時間

T = T (x) T (x) =

p x

²

+ y

12

c +

p (L − x)

²

+ y

₂²

c

^′

(2.2)

= 1 c

p x

²

+ y

₁²

+ n q

(L − x)

²

+ y

₂²

(2.3)

与、最小値求極値調。関数

極値微係数置得、

dT (x) dx = 1

c

"

p x

x

²

+ y

₁²

− n L − x p (L − x)

²

+ y

₂²

#

(2.4)

= 1

c [ sin θ

₁

− n sin θ

₂

] = 0. (2.5)

(14)

11

、

θ

₁

θ

₂ ^、 ^真空中 ^光線 ^媒質中 ^光線 ^鉛直線

角度。上式

x

^解

x

^求 ^、

同内容屈折角表形

Snell

^屈折 ^法則

*2

^知

、。

sin θ

1

sin θ

₂

= n. (2.6)

、所要時間

T

^{最小値与} ^明 ^、

d

²

T

dx

²

sinθ1

sinθ2=n

> 0

確認。

問題一般化、屈折率

n = n ( x )

深

x

^関数

。媒質多数薄層分解、各層

屈折率

n

^一定 ^考 ^、上

Snell

^法則 ^繰 ^返 ^使

。、各

x

^屈折角

θ(x)

sin θ

1

= n(x) sin θ(x). (2.7)

例題

2.0.1

屈折率

n = n(x)

^深

x

^関数 ^場合 ^光線 ^軌跡

y = f(x)

^屈折率

n = n(x)

^用 ^表 ^。特

,n(x) = x(> 1)

^場合、

f(x)

^具体的 ^求 ^。

［］

*2実数学者Ab ¯u Sa‘d al-‘Al¯a’ ibn Sahl 西暦984年書、“On

the Burning Instruments” 中。

(15)

図

2.3 Snell

^{法則一般化}

df(x)

dx = tan θ, (2.8)

sin θ

₁

n(x) = sin θ = tan θ p tan

²

θ + 1

=

df(x)

q

dx df(x)

dx 2

+ 1

(2.9)

上式 ^df(x)

dx 解、

df(x)

dx = s

√ n

²

− s

²

. (2.10)

、

s = sin θ

₁^。 ^、

f(x) =

Z s

√ n

²

− s

²

dx. (2.11)

特

n(x) = x(> 1 )

場合、

f ( x ) = s

cosh

⁻¹

x

s − cosh

⁻¹

1 s

. (2.12)

x = s cosh y

s + cosh

⁻¹

1 s

(2.13)

(16)

13 x

^大 ^、

x =

^s₂

e

^y^s ^{指数関数的} ^振 ^舞 ^。詳

示。

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

x

y 図

2.4 s = sin θ

₁

=

¹₂

(17)

(18)

15

第

3

^章

最小作用 原理

Principle of Least Action, Hamilton’s Principle

解析力学、幾何光学原理力学拡張

。、幾何光学「時間」意味

、非相対論的力学場合替抽象的

「作用」導入、作用最小運動決定。以下質点質点系対最小作用原理一般的述。

§ 3.1

^{一般化座標}

(Generalized Coordinates)

各質点座標必座標

r ⃗

₁

, r ⃗

₂

, . . .

^必要

。例極座標用。一般化、

(q

₁

, q

₂

, . . . , q

s

) (3.1)

書。、

s

^座標変数 ^総数 ^自由度

(degree of

freedom)

^{力学的自由度}

(dynamical degrees of freedom)

呼。

(q

₁

, q

₂

, . . . , q

s

)

記述空間 配位空間

(conﬁguration space)

呼。

以下

2

^重振子

(double pendulam)

^場合 ^、

(ϕ, ϕ

^′

)

一般化座標、自由度

2

^。

2

^個 ^重 ^座標

(x, y), (x

^′

, y

^′

)

(19)

関係

x = l · cos ϕ (3.2)

y = l · sin ϕ (3.3)

x

^′

= x + l

^′

· cos ϕ

^′

= l · cos ϕ + l

^′

· cos ϕ

^′

(3.4) y

^′

= y + l

^′

· sin ϕ

^′

= l · sin ϕ + l

^′

· cos ϕ

^′

(3.5)

問題立返。

図

3.1 2

^重振子

一般化座標選、運動記述簡単多。

§ 3.2

^最小作用 ^原理

節記述簡単、一般化座標

(q

₁

, q

₂

, . . . , q

s

)

一括

q

^書

1

^自由度 ^場合 ^議論 ^進 ^、最後 ^自由度 ^複数場合一般化表式。

作用

(Action) S (Lagrangian) L = L ( q, ˙ q, t )

時間

(20)

§ 3.2

17

積分書仮定。

S = Z

_t₂

t1

L ( q, ˙ q, t ) dt (3.6)

上

(3.6)

^式 ^、

q ( t )

決定、

S

^可

能経路

q(t)

^汎関数 ^。 ^、明示的 ^示 ^、

S[q]

書。

*1 L = L(q, ˙ q, t)

^、座標

q

^速度

˙

q

^関数 ^、

q q ˙

^通 ^時間 ^依 ^、時

間

t

^{陽含} ^{。時間積分下端}

t

₁ ^上端

t

₂ ^、考運動始時刻終時刻。

*2

、出発点

q(t

₁

)

終着点

q(t

₂

)

固定、途中経路対作用積分

S[q]

^値 ^考 ^。（図

3.2

^参照）

S[q]

極値経路

q ¯

^。 ^経路

q ¯

^微小 ^異経路

q = q ¯ + δq

^考 ^。

δq

^、出発点

q(t

₁

)

終着点

q(t

₂

)

動、微小時間任意関数。

δq(t

₁

) = δq(t

₂

) = 0. (3.7)

経路

q ¯ q ¯ + δq

^微小 ^変更 ^作用

S

^変化分

図

3.2

*1系指定、一個関数注意必要

。一方運動方程式座標数。

*2 座標１階微分関数。力学系

対充分、２階以上微分含場合拡張容易。

(21)

計算。

δS = S[ q ¯ + δq] − S[ q] ¯

= Z

_t₂

t₁

L( q ¯ + δq, ˙¯ q + δ q, ˙ t) − L( q, ˙¯ ¯ q, t)

= Z

_t₂

t1

∂L

∂ q ¯ δq + ∂L

∂ q ˙¯ δ q ˙

+ (δq δ q ˙

^２次以上 ^項

)

、第３行目角括弧中

δq δ q ˙

^展開 ^。

、

q ¯

^作用

S

^極値 ^与 ^停留点 ^、

δq

１次項消。

δ

1

S = Z

_t₂

t1

dt ∂L

∂ q ¯ δq + ∂L

∂ q ˙¯ δ q ˙

= 0. (3.8)

上式、微小量

δq δ q ˙ = δq ˙

^２ ^形 ^入 ^。第２項変形、上式以下書直。

Z

_t₂

t₁

∂L

∂ q ¯ δq + d dt

∂L

∂ q ˙¯ δq

− d dt

∂L

∂ q ˙¯

δq

(3.9)

= Z

_t₂

t1

∂L

∂ q ¯ δq − d

dt

∂L

∂ q ˙¯

δq

+

∂L

∂ q ˙¯ δq

t2

t₁

(3.10)

= Z

_t₂

t1

∂L

∂ q ¯ − d dt

∂L

∂ q ˙¯

δq +

∂L

∂ q ˙¯ δq

t2

t₁

= 0. (3.11)

途中完全微分積分、積分上端下端差

[ . . . δq]

^t_t²₁ ^書 ^換

。、変分両端止、

δq(t

₁

) = δq(t

₂

) = 0

^限定思起上式最後項消。第１項被積分関数

[. . .]δq

^形 ^注意 ^{。任意関数}

δq

^対 ^積分

Z

_t₂

t1

dt[. . .]δq (3.12)

(22)

§ 3.2

19

、被積分関数括弧中

[. . .]

。

∂L

∂ q ¯ − d dt

∂L

∂ q ˙¯

= 0. (3.13)

・ 方程式

(Euler-Lagrange equation)

^呼

、解析力学中心的方程式。

変数複数時拡張容易、以下。変数複数一、

L = L(q

₁

, . . . , q

_s

, ˙ q

₁

, . . . , ˙ q

_s

, t) (3.14)

形。作用変分対結果書、

δ

₁

S = Z

_t₂

t1

dt X

s

i=1

∂L

∂ q ¯

i

− d dt

∂L

∂ q ˙¯

δq

_i

+

X

s

i=1

∂L

∂ q ˙¯

i

δq

_i

_t₂

t1

= 0.

(3.15)

。

δq(t

₁

)

_i

= δq(t

₂

)

_i

= 0, (i = 1, 2, . . . , s)

^最後 ^項

δq

i 任意時間

t

^関数 ^第１項 ^積分 ^被

積分関数括弧中各

i

^対 ^。 ^、

各

i (i = 1, 2, . . . , s)

^対 ^・ ^方程式：

∂L

∂ q ¯

i

− d dt

∂L

∂ q ˙¯

i

= 0 (i = 1, 2, . . . , s) . (3.16)

成立。

以下、記述簡単停留点省略

。例題

3.2.1

変分問題解、前節問題解。（屈折率

n =

n(x)

^深

x

^関数 ^場合 ^光線 ^軌跡

y = f(x)

^屈折率

(23)

n = n(x)

^用 ^表 ^。^）

［］光所要時間

T

cT = Z

_x₂

x₁

n(x) p

dx

²

+ dy

²

= Z

n(x) q

1 + f

^′

(x)

²

dx (3.17)

・方程式

d

∂

n(x)

√

1+f^′(x)²

∂f^′(x)

dx =

d

nf^′

√

1+f^′(x)²

dx = 0

直積分

n(x)f

^′

(x)

p 1 + f

^′

(x)

²

= const. (3.18)

以前結果

n · sin θ = const.

^他 ^。

例題

3.2.2

一様両端同高固定下、

最小形決。形

（懸垂線）変分問題解求。

［］

懸垂線

U

^質量 ^線密度

ρ

、

U = −ρ

Z y p

dx

²

+ dy

²

= −ρ Z

f p

1 + f

^′²

dx (3.19)

。

U

^最小

(24)

§ 3.3

^{高階微分含場合}(Higher Derivative Case)

21

、形状決考変分問題解。

・方程式

d

^∂

f(x)

√

1+f^′(x)²

∂f^′(x)

dx −

∂

f(x) p

1 + f

^′

(x)

²

∂f(x)

= d

ff^′

√

1+f^′(x)²

dx −

q

1 + f

^′

(x)

²

= 0

微分方程式解若干技巧必要、答

c x

₀ ^{２個任意定数}

f(x) = c · cosh

x − x

₀

c

(3.20)

。２個任意定数

c x

₀ ^下 ^２点 ^与決。例、中点ｘ座標原点選、両端ｘ座標

x = ±a

^選

f(x) = c · cosh

^x_c

、

c

^両端 ^高

h h = c · cosh

^a_c

与。

§ 3.3

^高階微分 ^{含場合}

(Higher Derivative Case) L

q,

^dq_dt

, . . . ,

^d_dtⁿn^q

, t

２階以上高階微分含場合変分原理考。応用、梁運動特殊

見、理論的興味深。

S

^変化分 ^計算 ^。

(25)

図

3.3

^{梁運動}

δ

1

S = Z

_t₂

t1

L

q + δq, dq dt + δ dq

dt , . . . , d

ⁿ

q

dt

ⁿ

+ δ d

ⁿ

q dt

ⁿ

, t

−L

q, dq

dt , . . . , d

ⁿ

q dt

ⁿ

, t

= Z

_t₂

t1

"

∂L

∂q δq + ∂L

∂

^dq_dt

δ dq

dt + · · · + ∂L

∂

^d_dtⁿn^q

δ d

ⁿ

q dt

ⁿ

#

+ (δq, . . . , δ

^d_dtⁿn^q ２次以上項

)

、

q

^作用

S

^極値 ^与 ^停留点 ^、

δq

１次項消。

δ

1

S = Z

_t₂

t1

"

∂L

∂q δq − d dt

∂L

∂

^dq_dt

!

δq + · · · + (−1)

ⁿ

d

ⁿ

dt

ⁿ

∂L

∂

^d_dtⁿn^q

! δq

#

= 0 (3.21)

、部分積分、積分上端下端寄与消端点

t

₁

, t

₂ ^、

δq = · · · = δ

^d_dtⁿ⁻¹n−1^q

= 0

^必要 ^。

δq

^任意 ^、

[ ]

中必要。、

・方程式

∂L

∂q − d dt

∂L

∂

^dq_dt

!

+ · · · + (− 1 )

ⁿ

d

ⁿ

dt

ⁿ

∂L

∂

^d_dtⁿn^q

!

= 0 (3.22)

。

(26)

§ 3.4

23

§ 3.4

^測地線 ^方程式

(Geodesic Equation)

空間、２点結曲線最短直

線。曲空間最短曲線一般測地線呼。測地線求問題、力学言幾何学属、最小作用原理幾何学的有用、一般相対論

本質的。

図

3.4

^{球面上作用}

、代表的曲面球面考。半径

a

^{２次元球面} 上近接２点座標

(x, y, z) (x + dx, y + dy, z + dz)

、間距離

ds = p

dx

²

+ dy

²

+ dz

²

(3.23)

。極座標

(θ, ϕ)

x = a sin θ cos ϕ y = a sin θ sin ϕ

z = a cos θ

導入、

ds = p

dx

²

+ dy

²

+ dz

²

= a p

dθ

²

+ sin

²

θdϕ

² ^。

(27)

近接限一般２点、

A

^、

B

^間 ^距離

S =

Z ds =

Z p

dx

²

+ dy

²

+ dz

²

= Z

a q

dθ

²

+ sin

²

θdϕ

²

= Z

a s

1 + sin

²

θ dϕ

dθ

₂

dθ

≡ Z

L

ϕ, dϕ dθ

dθ

。

S

^最小 ^経路 ^・ ^方程式

、今場合、

ϕ

^循環変数 ^{、第一積分}

。

sin

²

θ

^dϕ_dθ

r

1 + sin

²

θ

dϕ

dθ

₂

=

定数

:= √ 1

1 + A

²

(3.24)

整理、

dθ

dϕ = sin

²

θ p

A

²

− cot

²

θ (3.25)

、積分

ϕ − ϕ

0

=

Z dθ sin

²

θ p

A

²

− cot

²

θ

=

Z dξ

√ 1 − ξ

²

= Cos

⁻¹

ξ (3.26)

、右辺積分実行、

cot θ = Aξ

^置 ^。

、

cot θ = A cos(ϕ − ϕ

₀

) (3.27)

。、球面原点通平面

z = A˜ x = Aa · sin θ cos(ϕ− ϕ

₀

)

交他。、大円測地線知

結果再現。

、結果明回転双曲面考。

(28)

§ 3.4

25

図

3.5

^{大円測地線}

図

3.6

^{回転双曲面}

３次元空間回転双曲面埋込考。、極座標

(θ, ϕ)

x = a sinh θ cos ϕ y = a sinh θ sin ϕ

z = a cosh θ

化曲面：

z

²

− x

²

− y

²

= a

² ^測地線 ^考 ^。符

(29)

号

(− − +)

考慮入、近接２点間距離

ds = p

−dx

²

− dy

²

+ dz

²

= a q

dθ

²

+ sinh

²

θdϕ

²

(3.28)

。球面比較、

sin θ → sinh θ, cos θ → cosh θ

回転双曲面測地線

coth θ = A cos (ϕ − ϕ

₀

) (3.29)

得。双曲面原点通平面

z = A˜ x = Aa · sinh θ cos(ϕ −

ϕ

0

)

交他。

球面双曲面測地線比較。図描明、球面上一点出隣接測地線、再接近交（共役点）

*3

^{。一方、双曲面上} ^隣接 ^測地線 ^離 ^行 ^。 ^、球面曲率正、双曲面曲率負関係、一般論中示。

図

3.7

^共役点

近接２点間距離２乗計量

g

ij

(x)

^、

ds

²

= X

i,j

g

ij

(x)dx

ⁱ

dx

^j

(3.30)

*3実大円最短曲線、共役点対間限。

(30)

§ 3.4

27

書、一般２点間距離

S = Z

ds =

Z v u u t X

i,j

g

ij

(x) dx

ⁱ

dτ

dx

^j

dτ dτ (3.31)

書。球面例、

g

θθ

= a

²

, g

ϕϕ

= a

²

, sin

²

θ, g

θϕ

= 0

^。

S

^極値 ^{、測地線方程式：}

d

²

x

ⁱ

ds

²

+ X

j,k

Γ

_jkⁱ

(x) dx

^j

ds

dx

^k

ds = 0 (3.32)

解。

、記号：

Γ

_jkⁱ

Γ

_jkⁱ

= X

m

1 2 g

^im

∂g

jm

∂x

^k

+ ∂g

mk

∂x

^j

− ∂g

jk

∂x

^m

(3.33)

導出他書。隣接測地線軌跡

x

ⁱ

+ δx

ⁱ ^、方程式

d

²

( x

ⁱ

+ δx

ⁱ

) ds

²

+ X

j,k

Γ

_jkⁱ

(x + δx) d(x

^j

+ δx

^j

)

ds

d(x

^k

+ δx

^k

) ds = 0

、差取整理、測地線差方程式：

d

²

δx

ⁱ

ds

²

+ X

j,k,l

R

ⁱ_jkl

(x) dx

^j

ds δx

^k

dx

^l

ds = 0 (3.34)

得。

R

ⁱ_jkl ^曲率

(Riemann curvature

tensor)

^呼 ^、 ^記号 ^微分 ^用 ^、

R

ⁱ_jkl

= ∂Γ

_ljⁱ

∂x

^k

− ∂Γ

_kjⁱ

∂x

^l

+ Γ

_kmⁱ

Γ

_lj^m

− Γ

_lmⁱ

Γ

_kj^m

(3.35)

(31)

表。添字全部下下

g

im

R

^m_jkl

= R

ijkl 球面双曲面対計算

R

ijkl

= 1

a

²

(g

ik

g

jl

− g

il

g

jk

)

球面

R

ijkl

= −1

a

²

(g

ik

g

jl

− g

il

g

jk

)

双曲面

。測地線差方程式、

d

²

δx

ⁱ

ds

²

+ 1 a

²

"

δx

ⁱ

dx

^j

ds

²

−

dx

^j

ds · δx

^j

dx

ⁱ

ds

#

= 0

^球面

d

²

δx

ⁱ

ds

²

− 1 a

²

"

δx

ⁱ

dx

^j

ds

²

−

dx

^j

ds · δx

^j

dx

ⁱ

ds

#

= 0

^双曲面

。、

|

^dx_ds^j

|

²

= P

ij dxⁱ ds

dx^j

ds

= 1

^。特 ^、軌道 ^直交 ^方向

dx^j ds

· δx

^j

= 0

^偏差

δx

^j ^対

d

²

δx

ⁱ

ds

²

+ 1

a

²

δx

ⁱ

= 0

^球面

d

²

δx

ⁱ

ds

²

− 1

a

²

δx

ⁱ

= 0

^双曲面

、球面場合隣接測地線近

δx

ⁱ

≈ e

^−s/a^、双曲面場合隣接測地線遠

δx

ⁱ

≈ e

^s/a^。

例題

3.4.1

計量

ds

²

= dx

²

+ dy

²

y

²

(y > 0, − ∞ < x < + ∞ ) (3.36)

空間測地線求。

［］

x

^軸上 ^中心 ^持 ^半円。

(32)

§ 3.5

^{自由粒子運動}

29

図

3.8 x

軸上中心持半円

§ 3.5

^自由粒子 ^運動

真空中外力受運動質点運動自由粒子運動呼、

記述考。、対

、直観的明対称性考察行。質点位置

r

^、速度

r ˙

^。

図

3.9 (1)

^真空中 ^外力 ^働 ^粒子 ^運動 ^粒子 ^位置

同様。、 空間一様性

(spatial uniformity)

質点位置

r

^定数

a

、

r + a

変変。

r

陽依、

r ˙

関数

。

(33)

(2)

自由粒子運動特別方向、空間等方性

(spatial

isotropy)

^{速度大} ^関数

結論。以上

L = F r ˙

²

(3.37)

書。

空間一様・等方性以上言。、

目的限定速度充分小考。関数

F( r ˙

²

)

展開

r ˙

² ^１次 ^考慮 ^。

L = const. + m

2 r ˙

²

+ · · · (3.38)

定数作用原理項一般性失

。１次係数 ^m

2 置便宜

。結局

L = m

2 r ˙

²

. (3.39)

・方程式

d

^∂L_∂_r_˙

dt − ∂L

∂r = m¨ r = 0. (3.40)

、等速運動方程式他。関数

F r ˙

²

形限定、

“

^強

”

^対称性 ^必要

。

特殊相対性理論

(special relativity)

^変換 ^対不変性要求。世界間隔

(world distance)

ds

²

= (cdt)

²

− (dr)

²

(3.41)

(34)

§ 3.5

31

慣性系取方不変量

*4

^作用

S = −mc Z q

(cdt)

²

− (dr)

²

= −mc

²

Z

dt s

1 − r ˙

c

₂

(3.42)

不変。相対論的的自由粒子対作用。

、

L = −mc

²

s

1 − r ˙

c

₂

(3.43)

。速度

r ˙

大光速

c

^比 ^充分小展開

L = −mc

²

+ m 2 r ˙

²

− m

8 ˙ r

⁴

c

²

+ · · · (3.44)

第２項非相対論的作用与。不変性 ^r^˙

c ４次

以上項決定着目。

一般、考対称性許

採用解析力学立場。系特別

物限定近似行実験値用係数決定。

、強対称性発見、原理可能作

*4世界間隔ds² 不変変換変換呼。慣性系Ｓ時空座標 (t,x,y,z)、対 x軸正方向速度v 運動慣性系S^′ 座標(t^′,x^′,y^′,z^′) 間、

cdt^′= cdt−^v_cdx q

1−^v²

c²

dx^′= dx−^v_c(cdt) q

1−^v²

c²

dy^′=dy dz^′=dz

、ds² 慣性系同値直接確。

(35)

図

3.10

^変換

用書下。作業続、１項統一

目指今日素粒子物理学言

。例題

3.5.1

相対論的粒子記述対・

方程式立解。

［］

d

^∂L_∂_r_˙

dt − ∂L

∂r = d dt



 m˙ r q

1 −

^r_c^˙

₂



 = 0. (3.45)

直

m˙ r q

1 −

^r_c^˙

₂

= p = const. (3.46)

相対論的運動量保存則出。