8 確率へのイントロダクション

(1)

8

確率へのイントロダクション

8.1

漸化式を使って数える事

8.1.1

平面の分割

問題

8.1.1

平面内に

n

本の直線を描くとき平面は幾つの領域に分割されるでしょ

うか。ただし、どの２直線も平行ではなく、また３本以上の直線が１点で交わる事がない様にします。

n

本の直線によって平面は

Pn

個の領域に分割されるとします。小さな

n

について絵を描いてみると、

となっていますが、それではその次

P6

は幾つになると予想されるでしょうか？

上の結果をよく見ると

P2=P1+ 2, P3=P2+ 3, P4=P3+ 4, · · ·

となっていますから一般に漸化式

Pn+1=Pn+n+ 1

が成り立っており、

P6=P5+ 6 = 22

となりそうですね。

ではこの漸化式が成り立つことを実際に示してみましょう。

今平面内に

n

本の直線が描かれていて

Pn

この領域に分割されているとします。

ここにもう１本の直線を描き加えると領域は幾つ増えるでしょうか。もう１本の直線をある無限遠方から描き始めて別の無限遠方まで描く様子をスローモーションで見てみましょう。

まず無限遠方から領域

Rj

の中を

Fig.1

の様に直線を描いて来たとします。そして最初に他の直線と交わった瞬間に（

Fig.2

）今通って来た領域

Rj

は２つの領域

Rj,1, Rj,2

に分割されます。この時点でまず１個領域の数が増えますね。

そのまま直線を伸ばして行きますが、次に領域

Rk

に侵入しているとしましょう（

Fig.3

）。

そうしてまた別の直線と交わります（これが２回目です）が、やはりその瞬間に今通って来た領域

Rk

は２つ（

Rk,1, Rk,2

）に分割され、累計で領域数は２個増えた事になります。

新たに書き加えている直線は既存の

n

本の直線と必ず交わりますからこれを全ての直線と交わるまで続けて行けば分割領域数は

n

本目と交わった瞬間に累計で

n

個増えています。

その後領域

Rm

の中を無限遠点まで進んで行きますがもう他の直線と交わる事はありません。そして無限遠点に到着した瞬間に（まあ、例えの話しで言っていますが）最後に領域

Rm

が２つに分割されます。これで合計で

n+ 1

個領域数が増える事になりますから確かに漸化式：

Pn+1=Pn+n+ 1

が成り立っています。

この漸化式を解けば

Pn=¹₂n(n+ 1) + 1

が分かります。

(2)

8.1.2

円の分割

問題

8.1.2

円周上に異なる

n

点をとって異なる２点間を全て線分で繋いだとき、

円は幾つの領域に分割されますか。ただし、どの線分も平行ではなく、また１点で３本以上が交わったりしない様にします。

n

点の場合の分割数を

Qn

としましょう。

例えば円周上に２点とると下図の様に円は二つのパートに分かれ、

Q2= 2

ですね：

円周上に１点しかとらない場合はそもそも線が引けないのでこの場合は考えない事にしましょう。

円周上に３点、４点、５点をとった場合も上の図の様になっていますが、では

Q6

は幾らになると思いますか？

虞らく多くの人が

Qn = 2ⁿ⁻¹

であると予想して

Q6 = 2⁵ = 32

と答えると思いますが、実際どうでしょう？絵を描いてみると・・・

あれ？変ですね、３１個しかありません。どこかがつぶれているのかと云うとそんな事もない様です。

どうやら予想は外れたみたいですね。どうなってるんでしょうか。

2, 4, 8, 16, 31^, ^{. . .}

って、もの凄く違和感があります。ちょっとさっきと同じ様に漸化式を求めてみましょうか。

円周上に異なる

n

個の点があって円が

Qn

個の領域に分割されている状況で円周上にもう１点加えます。新たに加える点を

En+1

とし、ここから時計回りに既存の点を

E1, E2, . . . , En

とします。

En+1

を加える事によってこの点と既存の各点

Ej

とを結ぶ

n

本の線分が新たに発生しますが、これを

En+1E1

から順に見て行きましょう。

まず

En+1E1

ですが、これは既存の他の線分とは交わりません。従ってこの線分を引くと２点

E1, En

を結ぶ線分と弧によってはさまれた領域

Rm

が２つに分割されますから分割領域数は１つ増える事になります。

次に

En+1E2

ですが、この線分は

E1

と

E3, E4, . . . , En

の各点を結ぶ

n−2

本の線分と交わります。従って線分

En+1E2

を、点

En+1

から出発して描いて行くと、合計で

n−1

個領域が増える事になります（他の線分と交差する度に１個増え、最後に１個増える）。

一般には、

En+1Ej(2≤j ≤n−1)

を引く場合を考えるとこの線分は

E1, E2, . . . , Ej−1

のうちの任意の１点と

Ej+1, Ej+2, . . . , En

のうちの任意の１点を結んで作られる様な全ての線分と交わっています。

従って

(j−1)(n−j)

本の線分と交わる度に領域は１個ずつ増えて行き、最後に

Ej

に到着した時点でもう１個増えますから合計で

(j−1)(n−j) + 1

個分割領域数が増えます。

最後に

En+1En

を引く場合はこれは最初に考えた

En+1E1

を引く場合と同じで分割領域は１個増えます。

この最後の線分と最初の線分の場合も一般の場合の増加数の式

(j−1)(n−j) + 1

が

成り立っている事に注意しましょう。

(3)

以上から全ての線分を描き終えると

Xn

j=1

{(j−1)(n−j) + 1}

個領域が増えます。これを計算すると

Xn

j=1

{(j−1)(n−j) + 1}= Xn

j=1

{−j²+ (n+ 1)j−n+ 1}

=−1

6n(n+ 1)(2n+ 1) + 1

2n(n+ 1)²−n²+n

= 1

6n(n²−3n+ 8)

となります。以上により

Qn

は漸化式：

Qn+1=Qn+1

6n(n²−3n+ 8)

を満たしている事が分かりました（

Q1= 1

と考えればこれは

n= 1

でも成立します）。

これを解けば

6{Qn+1−Q1}= 6{(Qn+1−Qn) + (Qn−Qn−1) +· · ·+ (Q2−Q1)}

= Xn

m=1

(m³−3m²+ 8m)

=1

4n²(n+ 1)²−1

2n(n+ 1)(2n+ 1) + 4n(n+ 1) Qn+1−Q1= 1

24

©n²(n+ 1)²−2n(n+ 1)(2n+ 1) + 16n(n+ 1)™

Qn+1= 1

24{n²(n+ 1)²−2n(n+ 1)(2n+ 1) + 16n(n+ 1) + 24} Qn = 1

24{(n−1)²n²−2(n−1)n(2n−1) + 16(n−1)n+ 24}

= 1

24(n⁴−6n³+ 23n²−18n+ 24)

が分かります。

参考までに、

1

24(n⁴−6n³+ 23n²−18n+ 24) =n−1C0+n−1C1+n−1C2+n−1C3+n−1C4

です（

n≥5

）。意味ありげですね〜

8.1.3

出会いの確率

領域の分割数の問題で漸化式を使って考えて来ましたが、これから勉強する確率の問題でも同様に漸化式を使うものが多くあります。特に編入試験では漸化式がらみの問題も多く出題されていますね。

その漸化式を使う問題の中でも有名なものに『出会い』の問題があります。元々は１から１３までのトランプ２組を用意してそれぞれよくシャッフルした後にそれぞれの上から１枚ずつめくって行きます。そのとき、何枚目かで同じ数字が出る事もあると思いますが、これを『出会い』と言う事にします。出会いが起こらない確率はどれくらいでしょうか？（出会いが起こる確率でもいいですが）。

これは

P.R. de Montmort

が１７０８年に提起した問題で、１３枚のカードの場合に

ついては彼自身が１７１３年に解決し、１７４０年頃

L.Euler

によって一般に

n

枚の時に解決されました。

ここでもやはり一般の

n

について考えて行きますが、簡単のために一方のトランプは１から順にｎまで出るものと考えてもう一方だけシャッフルする事にします。

問題

8.1.3

１からｎまでの数字の書かれたカードが１枚ずつあります。これを順に

並べて行ってあるｍ番目にｍが出たとき『出会い』が起こったと言う事にします。

（１度も）出会いが起こらない様な並べ方は何通りあるでしょうか（この総数を

de Montmort

数と言います）。

また、全ての並べ方のうち出会いが起こらない確率は幾らでしょうか。

例えば

n= 2

の場合は出会いのない並べ方は

2·1

の１通りしかありませんね。また

n= 3

なら

231, 312

の２通りです。

n= 4

の場合は全ての並べ方を書き出してみると

1234× 1243× 1324× 1342× 1423× 1432× 2134× 2143◦ 2314× 2341◦ 2413◦ 2431× 3124× 3142◦ 3214× 3241× 3412◦ 3421◦ 4123◦ 4132× 4213× 4231× 4312◦ 4321◦

ですから９通りあります。

(4)

一般に出会いの起こらない並べ方の総数を

Mn

としてそのヴァリエーションを数えて行きましょう。

並べた結果を

a1a2. . . an

とします。出会いが起こっていないとすると

a16= 1

ですので

a1=k,2≤k≤n

ですから、

ak = 1

であるかどうかで場合分けして考えます。

a1=k, ak= 1

の場合は、

n

枚のうち

1

番目と

k

番目を抜いた

n−2

枚を見ればこの

n−2

枚の並べ方には

Mn−2

通りの並べ方がある筈です。

一方

a1=k, ak=6= 1

の場合は、

n

枚のうち

a1=k

を抜いて考えれば

a26= 2, a36= 3, . . . , ak−16=k−1, ak 6= 1, ak+16=k+ 1, . . . , an6=n

を満たす様に並べるわけで、これはあたかも１をｋであるかの様に扱って１からｎのうちｋを除いた

n−1

枚で出会いのない並べ方を考えている事になり、従ってその総数は

Mn−1

です。

この様に

a1=k

を任意に固定するごとに並べ方が

Mn−2+Mn−1

あり、

a1

の選び方は１以外の

n−1

通りですから結局、

Mn= (n−1)(Mn−2+Mn−1)

と云う漸化式が成り立っています。これを変形すると

Mn−(n−1)Mn−1−(n−1)Mn−2= 0

Mn−nMn−1=−{Mn−1−(n−1)Mn−2}

ですからここで

Mn−nMn−1=Gn

と置けば、

Gn=−Gn−1

ですから

M1= 0, M2= 1

に注意すれば

Gn= (−1)ⁿ⁻²G2= (−1)ⁿ⁻²(M2−2M1) = (−1)ⁿ

が分かって

Mn−nMn−1= (−1)ⁿ

です。この両辺を

n!

で割れば

Mn

n! − Mn−1

(n−1)! = (−1)ⁿ n!

なので、更に

Hn= ^M_n!ⁿ

と置けば

Hn−Hn−1= (−1)ⁿ n!

Hn−1−Hn−2= (−1)ⁿ⁻¹ (n−1)!

... ... H2−H1= (−1)²

2!

Hn−H1= Xn

k=2

(−1)^k k!

ですが、

H1= 0

により

Hn= Xn

k=2

(−1)^k k!

更に

⁽⁻¹⁾⁰

0! +⁽⁻_1!¹⁾¹ = 0

から

= Xn

k=0

(−1)^k k!

Mn=n!

Xn

k=0

(−1)^k k!

が分かります。

また、全ての並べ方は

n!

通りありますからこのうち出会いが起きていない並べ方の確率（割合）は

Xn

k=0

(−1)^k k!

となっており、ここで

n→ 1

の極限を考えると、正の整数をランダムに並べて行った時に出会いが起きない確率は

X1 k=0

(−1)^k k!

であり、これは

¹

e

になる事が知られています（４年生で勉強する

Taylor

展開と云う概

念を使います）。こんなところに自然対数の底

e

が出て来るのも不思議ですね。

(5)

8.2

クラスの中に同じ誕生日の人が居る確率

問題

8.2.1 n

人のクラスの中に同じ誕生日の人が１組以上いる確率は幾らでしょう

か。ただし１年は３６５日とします。

2≤n≤365

の時について考えます（それ以外は自明）。

クラス全員の誕生日の組み合わせには

365ⁿ

通りのヴァリエーションがありますが、

そのうち全て異なるものは

₃₆₅Pn

通りあります。

従って全員の誕生日が異なる確率は

³⁶⁵Pn

365ⁿ

であり、少なくとも１組以上同じ誕生日の人がいる確率

P(n)

は

P(n) = 1−³⁶⁵Pn

365ⁿ

= 1− 365!

(365−n)!365ⁿ

= 365ⁿ−

n個

z }| {

365·364· · ·(365−n+ 1) 365ⁿ

です。

これを幾つかの値で計算して表にすると

n 6 10 20 22 23 30 40 50

P(n) 0.0405 0.1169 0.4114 0.4757 0.5073 0.7063 0.8912 0.9704

となっており、クラスが２３人以上になると同じ誕生日の人がいる確率が

¹

2

を越えます。

５０人に至っては９７％ですか。凄いですね。

8.3 Buﬀon

の針

問題

8.3.1

幅４の間隔で平行線が沢山引かれている床に長さ２の針を落としたと

き針が平行線のどれかと交わる確率は幾らでしょうか？

針の中心点と平行線との距離（当然最も近いものとの距離です）を

x

、針と平行線との成す角度を

θ

とします（

0≤θ≤ ^π₂

）。

針をランダムに落とすと云う事はこの２つのパラメーターがランダムだと云う事です。

x

は

0≤x≤2

の範囲ですね。

針が平行線と交わるための条件は

x≤sinθ

ですから、

θx-

平面を考えてその中の長方形領域

£

0,^π₂§

×[0,2]

の中で領域

R : x≤sinθ

が占める割合が求める確率になります。

すると、図のとおり領域

R

の面積

S

は

S=

Z ^π

2

0

sinθdθ= 1

ですから、求める確率

P

は

P = 1

π

2·2 = 1 π

となります。

確率に

π

が出て来ますね。不思議です。

(6)

8.4 Bertrand

の逆説

問題

8.4.1

円に１つの弦をランダムに引くとき、その弦が内接正３角形の１辺よ

り長い確率は幾らでしょうか。

【解答その１】回転対称性があるので弦の始点を図の点

A

に固定して終点

P

をランダムに考えれば、点Ｐが弧

BC

内にあるとき弦の長さが内接正３角形の１辺を越えます。従って長さの比から確率は

¹

3

です。

【解答その２】回転対称性があるので水平な弦だけで考えれば、点Ｐが図の線分

EF

内にあるとき弦の長さが内接正３角形の１辺を越えます。従って線分

AD

との長さの比から確率は

¹

2

です。

【解答その３】内接正３角形の内接円を考えると半径は

¹

2

になります。弦の中点がこの円内にあれば弦の長さが内接正３角形の１辺を越えます。従って面積の比から確率は

¹

4

です。

どうでしょうか？もっともらしい解答が３つありますがどれが正しいのでしょうか。

いや、それともどれも正しくない？

これは

Bertrand

の

Paradox (1889)

と呼ばれている有名な問題ですが、実は全て正解と言わざるを得ません。いや、正確に言うなら、『問題が不十分なので答えられない』でしょうか。

弦をランダムに引くと言いますが、その『ランダムさ』について標準的な解釈がありません。どう考えるのが自然かが不明なのです。ですから本来は問題文で指定すべき事柄なのですがそれがありません。

従って答え様がないか、あるいは解答者ごとに違った『ランダムさ』の解釈に基づいて解答する事になり、結果的にこの様に違った『もっともらしい』解答が出て来てしまいます。

それぞれの『ランダムさ』の解釈に従って実際にランダムに弦を引いてみると下図のようになります：

これは

wikipedia

からの画像ですが、具体的な描画方法は不明です。

いずれにせよ、確率を考える時に最も重要な点はそこで言う『ランダムネス』がどう云う意味なのかをきちんと把握する事です。

そこでふと疑問が湧いて来るはずです。『じゃあ、さっきの

BuÆon

の針もアレも怪しいんじゃないか』と。

確かにあの場合も『針をランダムに落とす』と云う事がどう云う事かが問題になるはずです。しかし今回の問題と違うのは『自然な』ランダムさに関する解釈が存在すると云う事でしょうか。実際に針を落とす実験で確かめる事も出来て確かに確率は

¹

π

になる様です。

それに比べてこの

Bertrand

8 確率へのイントロダクション

確率へのイントロダクション

漸化式を使って数える事

平面の分割

問題

平面内に

本の直線を描くとき平面は幾つの領域に分割されるでしょ

うか。ただし、どの２直線も平行ではなく、また３本以上の直線が１点で交わる事 がない様にします。

本の直線によって平面は

個の領域に分割されるとします。小さな

について絵 を描いてみると、

となっていますが、それではその次

は幾つになると予想されるでしょうか？

上の結果をよく見ると

となっていますから一般に漸化式

が成り立っており、

となりそうですね。

ではこの漸化式が成り立つことを実際に示してみましょう。

今平面内に

本の直線が描かれていて

この領域に分割されているとします。

ここにもう１本の直線を描き加えると領域は幾つ増えるでしょうか。もう１本の直線 をある無限遠方から描き始めて別の無限遠方まで描く様子をスローモーションで見てみ ましょう。

まず無限遠方から領域

の中を

の様に直線を描いて来たとします。そして最初 に他の直線と交わった瞬間に（

）今通って来た領域

は２つの領域

に 分割されます。この時点でまず１個領域の数が増えますね。

そのまま直線を伸ばして行きますが、次に領域

に侵入しているとしましょう（

）。

そうしてまた別の直線と交わります（これが２回目です）が、やはりその瞬間に今通っ て来た領域

は２つ（

）に分割され、累計で領域数は２個増えた事になり ます。

新たに書き加えている直線は既存の

本の直線と必ず交わりますからこれを全ての 直線と交わるまで続けて行けば分割領域数は

本目と交わった瞬間に累計で

個増え ています。

その後領域

の中を無限遠点まで進んで行きますがもう他の直線と交わる事はあり ません。そして無限遠点に到着した瞬間に（まあ、例えの話しで言っていますが）最後 に領域

が２つに分割されます。これで合計で

個領域数が増える事になります から確かに漸化式：

が成り立っています。

この漸化式を解けば

が分かります。

円の分割

問題

円周上に異なる

点をとって異なる２点間を全て線分で繋いだとき、

円は幾つの領域に分割されますか。ただし、どの線分も平行ではなく、また１点で ３本以上が交わったりしない様にします。

点の場合の分割数を

としましょう。

例えば円周上に２点とると下図の様に円は二つのパートに分かれ、

ですね：

円周上に１点しかとらない場合はそもそも線が引けないのでこの場合は考えない事にし ましょう。

円周上に３点、４点、５点をとった場合も上の図の様になっていますが、では

は 幾らになると思いますか？

虞らく多くの人が

であると予想して

と答えると思いますが、実際どうで しょう？絵を描いてみると・ ・ ・

あれ？変ですね、３１個しかありません。どこか がつぶれているのかと云うとそんな事もない様です。

どうやら予想は外れたみたいですね。どうなって るんでしょうか。

って、もの凄く違和感があります。ちょっとさっきと 同じ様に漸化式を求めてみましょうか。

円周上に異なる

個の点があって円が

個の領域に分割されている状況で円周上 にもう１点加えます。新たに加える点を

とし、ここから時計回りに既存の点を

とします。

を加える事によってこの点と既存の各点

とを結ぶ

本の線分が新たに発生 しますが、これを

から順に見て行きましょう。

まず

ですが、これは既存の他の線分とは交わりません。従ってこの線分を引 くと２点

を結ぶ線分と弧によってはさまれた領域

が２つに分割されますか ら分割領域数は１つ増える事になります。

次に

ですが、この線分は

と

の各点を結ぶ

うか。ただし、どの２直線も平行ではなく、また３本以上の直線が１点で交わる事がない様にします。

について絵を描いてみると、

ここにもう１本の直線を描き加えると領域は幾つ増えるでしょうか。もう１本の直線をある無限遠方から描き始めて別の無限遠方まで描く様子をスローモーションで見てみましょう。

の様に直線を描いて来たとします。そして最初に他の直線と交わった瞬間に（

に分割されます。この時点でまず１個領域の数が増えますね。

そうしてまた別の直線と交わります（これが２回目です）が、やはりその瞬間に今通って来た領域

）に分割され、累計で領域数は２個増えた事になります。

本の直線と必ず交わりますからこれを全ての直線と交わるまで続けて行けば分割領域数は

個増えています。

の中を無限遠点まで進んで行きますがもう他の直線と交わる事はありません。そして無限遠点に到着した瞬間に（まあ、例えの話しで言っていますが）最後に領域

個領域数が増える事になりますから確かに漸化式：

円は幾つの領域に分割されますか。ただし、どの線分も平行ではなく、また１点で３本以上が交わったりしない様にします。

円周上に１点しかとらない場合はそもそも線が引けないのでこの場合は考えない事にしましょう。

は幾らになると思いますか？

と答えると思いますが、実際どうでしょう？絵を描いてみると・・・

あれ？変ですね、３１個しかありません。どこかがつぶれているのかと云うとそんな事もない様です。

どうやら予想は外れたみたいですね。どうなってるんでしょうか。

って、もの凄く違和感があります。ちょっとさっきと同じ様に漸化式を求めてみましょうか。

個の領域に分割されている状況で円周上にもう１点加えます。新たに加える点を

本の線分が新たに発生しますが、これを

ですが、これは既存の他の線分とは交わりません。従ってこの線分を引くと２点

が２つに分割されますから分割領域数は１つ増える事になります。

本の線分と交わります。従って線分

個領域が増える事になります（他の線分と交差する度に１個増え、最後に１個増える）。

を引く場合を考えるとこの線分は

のうちの任意の１点と

のうちの任意の１点を結んで作られる様な全ての線分と交わっています。

個分割領域数が増えます。

を引く場合と同じで分割領域は１個増えます。

個領域が増えます。これを計算すると

領域の分割数の問題で漸化式を使って考えて来ましたが、これから勉強する確率の問題でも同様に漸化式を使うものが多くあります。特に編入試験では漸化式がらみの問題も多く出題されていますね。

枚の時に解決されました。

について考えて行きますが、簡単のために一方のトランプは１から順にｎまで出るものと考えてもう一方だけシャッフルする事にします。

としてそのヴァリエーションを数えて行きましょう。

ですので