18. 変圧器結合回路

18.

18. Transformer Coupling Circuit

講義内容

1.

2.

3.

電磁誘導結合の度合（左：密結合，右：疎結合） ²

( ) i t

( ) L di t

dt

( ) t



( ) L di t

dt

L

L

1( ) i t

1 1

( ) L di t

dt

1( )t



1( ) M di t

dt

L

L

M

鎖交 磁束

漏れ 磁束

➢ 漏れ 磁束が 無い 場合 ：

➢ 漏れ 磁束が 有る 場合 ：

➢ M  L L_{1 2} ：密 結合，M L L_{1 2}：疎 結合

M  L L1 2

M = L L1 2

自己インダクタンス

L

Ni f

=

= NΦ



自己インダクタンスの式に

なるように式を変形

L = N R

John Hopkinson (1849～1898)

m m m m

Φ Li

f Ni R R R

N N

= =  = =

：ホプキンソン の法則

（磁気回路における

f

= R



自己インダクタンス

L ：

磁束鎖交数

Φ

i

Φ Li =

m m

f = R 

自己インダクタンス

L

R _m

N

等価断面積

S

透磁率

μ

鉄心（ コア ）

 = 



磁気抵抗

（ リラクタンス ） ^{m e} _e

R l

= μ S



2 1 2 e

m

e

L N R N μ S l

=

= 

自己インダクタンス

磁気抵抗の逆数

（ パーミアンス ） e e m

1

l S P = R =  

i

v

等価磁路長

l

変圧器結合 ⁵

I1

I2

V1

V2

L2

L1

M N1 N₂

1 2 e 2

m

e

L R N μ S N l

=

= 

e

2 2

e

2 2 2

e

L μ S N KN l

L μ S N KN l

 =  =

 

 =  =

比例定数

K 

Φ Li =

自己 インダクタンス ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

N L i N L i





 =

 =



2

1 1

2

2 2

L KN L KN

 = =



Φ Mi =

相互 インダクタンス ^{1 12 12 2}

2 21 21 1

N M i

N M i





 =

 =



12 1 2

21 1 2

M KN N M M KN N M

= =

 = =



1 2

2 2

1 2 1 2

L L M

K = N = N = N N

2

1 2

2 2

1 2 1 2

L L M

N N N N

 

  =

 

2

1 2 1 2

M = L L  M = L L

結合係数と変圧器結合 ⁶

漏れ磁束が無い場合，

^M

^{L L}

1 2

M

L L

漏れ磁束が有る場合，

^M

^{L L}

1 2

M

L L

( 1 1)

k M k

 L L −   k

I1

I2

V1

V2

L2

L1

M

空心：漏れ やすい

I1

I2

V1

V2

L2

L1

M

鉄心：漏れ にくい

鉄心（例：フェライト）と 空心 では 比透磁率 が 約1000 ~ 2000倍異なる！

ほとんど磁束が空気中に漏れない

※ |k| = 1

変圧器結合回路 ⁷

L

E

L

1

M

I I

jωMI

Z

１次 側と２次 側は直接接続されていない

（ 絶縁 ）が磁束を介して結合されている 差動 結合のみ取り扱う（和動は用いない）

変圧器 回路

詳細

E

I

^L

Z

I

L

jωL I

jωL I

M

jωMI

jωMI

V

V

鉄心

N

N

変圧器結合回路 ⁸

電磁誘導結合回路の一般論（前回資料）より，１次側の インピーダンス は，

2

2 2

1 1 2 1 L

1 1 1

1 1 2 L 2 L 2 L

V E ω M ω L L jωL Z

Z jωL jωL

I I jωL Z jωL Z jωL Z

= = = + = + =

+ + +

E

I

L

L L L

Z = R + jX I

L

jωL I

jωL I

M

jωMI

jωMI

V

V

N

N

上式より，１次側の アドミタンス は，

2 L 2

1

1 1 L 1 L 1

1 jωL Z L 1 1

Y Z jωL Z L Z jωL

= = + =  +

変圧器結合回路の等価回路変換 ⁹

2

1 1

2

2 2

L KN L KN

 =  =



2 2

1 1 1 2

2

2 2 2

L KN N

L KN N n

 

= =   =

 

2

n N

= N

１次側の

アドミタンスは

2

1 2

1 L 1 L 1

1 1 1 1

Y L

L Z jωL n Z jωL

=  + = +

E

I

L

Z

I

L

jωL I

jωL I

M

jωMI

jωMI

V

V

N

N

V

L

n Z

I

I

I

− I

等価 回路

変圧器結合回路の近似的等価回路変換 ¹⁰

V

L

n Z

I

I

I

− I

1 L

ωL n Z

V

n Z

I

2 e

e

L N μ S

=  l

2

1 L

ωL n Z

するように設計

V

L

n Z

I

I

1 0

I − I

実際の変圧器の解析

V

N

N

Z

I

I

I

励磁 回路 理想 変圧器

：励磁 電流

：鉄損 電流

：磁化 電流

I

I

I

理想変圧器の条件 ¹¹

①

: 磁束は全て

②

: 巻線の抵抗は無視（

③

: 鉄心の損失は無視（

④

: 鉄心の飽和は無視（

⑤

: ヒステリシス

⑥

: 鉄心の

理想 変圧器

①：漏れ磁束 が無い 結合係数

|k| = 1

②～⑤：エネルギー 損失 が無い 理想的 な 電力変換装置

➅：磁化 に必要なエネルギーも必要ない

巻数比，変圧比，変流比 ¹²

2 L

2 L 2 L 1 L 1 1

2 L 2 L 1 L 1

jωL Z

jωM jωM M

V Z I Z I Z V V

jωL Z jωL Z jωL Z L

= =  =   +  = 

+ +

電磁誘導結合回路の一般論（前回資料）より，２次側電圧は，

ここで，

M = L L

1 1 1

L N

V M V V V

L L N

=  =  = 

2

1 1 2

2 2

L N

L N n

 

=   =

 

式をまとめると， ^{1 1}

2 2

V N

V = N = n

n

電力 は等しいとすると，

V I

= V I

2 1

1 I V

I = V = n

と呼ばれる

理想変圧器が省略できる理由（まとめ） ¹³

N

N

V

V

I

I

Z

2

V

= I Z

変圧比より， ^{1 1}

2 2

V N

V = N = n

V

V = n

変流比より， ^{1 2}

2 1

1 I N

I = N = n I

= nI

1

1 L

V nI Z n =

代入すると，

1

1 2

1 L

1

Z V n Z

= I = V

I

2

n Z

理想変圧器の 条件より

励磁 回路は 無視 している

巻数が1次側と2次側で等しい場合 ¹⁴

N

N

V

V

I

I

Z

1

2

^P

^{= P}

2 2

V N 1

V = N = V

= V

2 1

I N 1

I = N = I

= I

1 1 2 2

V I = V I

V

V

= V

I

I

= I

Z

N

N

巻数比

n

n = 1

この条件を満たすのは 導線 となる