LhDU LhD ⇒ ⇒ U 自励振動 (self-excited vibration)

2006/11/6

機械力学Ⅰ

講義内容 (11/6)

4. １自由度系の強制振動

4.1 不減衰系の強制振動

4.1.1 運動方程式と解の求め方

4.1.2 強制振動項の性質

4.2 粘性減衰系の強制振動

4.2.1 運動方程式と解の求め方

4.2.2 定常振動解

4.2.3 入力エネルギと損失エネルギ

演習 6.3.1 ， 6.3.3

自励振動の話

2006/11/6

機械力学Ⅰ

前回の復習

2006/11/6

機械力学Ⅰ

減衰がある１自由度系の自由振動

= 0 +

+ c x kx x

m && &

運動方程式

パラメータの導入 n 2

m

k = ω

0

2 + ² =

+ x x

x _&& ζω _{n &} ω _n

線形同次型の運動方程式

減衰の無い系の固有角振動数

mk m c

c

n 2

2 ⇒ = ×

= ζω ^減衰比 ζ

図 2.1 粘性減衰系

x

c &

m x

ダンパー c kx

ばね k

2006/11/6

機械力学Ⅰ

e t

x = ^λ

0

2 ²

2 + ζω _n λ + ω _n =

λ

( ^{2 1} )

1 = ω − ζ + ζ −

λ _n

( ^{2 1} )

2 = ω − ζ − ζ −

λ _n

t

t C e

e C

x = ₁ ^{λ 1} + ₂ ^{λ 2}

線形同次型方程式の解法

指数関数を仮定 特性方程式

特性方程式の解 ( 特性根 )

一般解

減衰比ζが１より 大きいか否かで解

の挙動が異なる

2006/11/6

機械力学Ⅰ

ζ >1 の場合 ( 過減衰 )

( )

( ^{cosh 2 1} ) ^sinh

1 2

1 1

2 2

−

=

+

=

+

=

−

 

 

  − − −

 

 

  − + −

ζ ω

ω

ω

ζω ω

ω ζ

ζ ω

ζ ζ

n h

h h

t

t t

t D

t C

e

e C e

C x

n

n n

ζ =1 の場合 ( 臨界減衰 )

t

t _n

n Dte

Ce

x = ^{− ω} + ^{− ω}

ζ <1 の場合

( )

( ² )

1 2

1 1

1

sin cos

2 2

ζ ω

ω

ω

ζω ω

ω ζ ζ

ω ζ ζ

−

=

+

=

+

=

−

 

 

  − − −

 

 

  − + −

n d

d d

t

t j

t j

t D

t C

e

e C e

C x

n

n n

減衰固有角振動数

ω

_n

t x

o

ζ =10 ζ =5

ζ=2 ζ =1

ζ =0.5

2 4 6 8

1

図2.6 種々の減衰比におけるxの挙動

mk c _cr = 2

臨界減衰係数

2006/11/6

機械力学Ⅰ 図

3.8

減衰振動の振幅

πζ

2 ≈ 2

− ₊

i i i

a a a

T=

対数減衰率

δ πζ ≡

 ≅



 





+

2 log

i 2 e i

a a

一定値；

等比級数的に減衰

減衰振動の振幅 ( 粘性減衰の場合 )

2006/11/6

機械力学Ⅰ

① ② ③

図

3.10

固体摩擦系の自由振動

x

< 0 x &

( ) ⁰

2 − =

+ x b

x _&& ω _n

> 0 x &

振幅の包絡線は

直線的 ( 等差級数的 ) に減少

b x

x & = 0 ∩ ≤

停止の条件

初期条件により異なる位置で停止

⇒機械の位置決め精度の低下

( 固体摩擦の場合 )

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機械力学Ⅰ

１自由度系の強制振動

2006/11/6

機械力学Ⅰ

4. １自由度系の強制振動

系に外力が作用して発生する振動を強制振動と 呼ぶ．外力としては，定常的な力，過渡的な力，

その他さまざまな波形が考えられ，それに伴っ て，系の応答特性も異なってくる．種々の外力 のうち，最も計算が容易で，実用上も重要なも のは正弦波外力である．これは，回転部をもつ 機械の振動が正弦波状であること，あらゆる周 期運動は正弦波の組合せで表現できること，

定常振動振幅が簡単な代数計算で求まること などによる．本章では正弦波外力に対する応 答を扱う．一般の外力に対する応答は６章で 扱う．

図3.1 ばね質量系の強制振動

k

t F cos ω

x m

図3.4 粘性減衰系の強制振動

c x m

k

t

F cos ω

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機械力学Ⅰ

不減衰系の強制振動

2006/11/6

機械力学Ⅰ

4.1.1 不減衰系の強制振動

運動方程式と解の求め方

図3.1 ばね質量系の強制振動

k

t F cos ω

x m

t F

kx x

m && + = cos ω

m t x F

x && + ω _n ² = cos ω

運動方程式

一般解は，１つの特解と２つの基本解（右辺 ゼロの解．斉次解とも呼ぶ）の重ね合わせ 基本解

2 = 0 + x

x _&& ω _n x = C cos ω _n t + D sin ω _n t

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機械力学Ⅰ

特解

t A

x = cos ω

m t t F

A t

A ω ² cos ω + ω _n ² cos ω _n = cos ω

−

m A F

A + _n =

− ω ² ω ²

A ；未知数

運動方程式に代入して A について解く

2 2

1

ω ω ⁻

⋅

=

m n

A F ( ^{ω ≠ ω} _n )

一般解

m t t F

D t

C x

n n

n ω

ω ω ω

ω 1 cos

sin

cos + + ⋅ 2 − 2

=

強制振動項

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機械力学Ⅰ

4.1.2 強制振動項の性質

• ωとω _n の大きさによって振幅が変化

•C=D=0 の場合を例に、応答振幅 A の挙動について考察

( ) ^{0 0}

1 , )

0 (

0 2 2 = =

⋅ −

=

⇒

=

= A x

m x F

D C

n

&

ω ω

0

;

; 0

; 0

;

0 ₂

−

→ +∞

→

−∞

→ +

→

+∞

→

−

→

=

→

→

A

A A

k F m

A F

n n

n

ω

ω ω

ω ω

ω ω

0 ω _n ω

図3.2 不減衰系の振幅応答曲線

k F A

共振点 同位相

逆位相

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機械力学Ⅰ

共振時の運動

前述した特解 ( ω≠ω _n の場合 )

t A

x = cos ω

m t t F

A t

A ω ² cos ω + ω _n ² cos ω _n = cos ω

−

m A F

A + _n =

− ω ² ω ²

A ；未知数

運動方程式に代入して A について解く

ω = ω _n では左辺 (0) ≠右辺 (F/m)

t Bt

x = sin ω _n

ω = ω _n の場合の特解

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機械力学Ⅰ

運動方程式に代入

m t t F

B x

x && + ω _n ² = 2 ω _n cos ω _n = cos ω _n

m n

B F

ω

= 2

t m t

x F _n

n

ω ^sin ω

= 2

ω = ω _n の場合の特解

図3.3 共振時の運動

m n

t ω 2

x

o t

時間と共に増大

( 危険速度 )

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別解法 ~ 一般解のω→ω _n の極限を考える

m t t F

D t

C x

n n

n ω

ω ω ω

ω 1 cos

sin

cos + + ⋅ 2 − 2

=

初期条件 ( ) ^{0 = 0 , x} ( ) ^{0 = 0}

x &

( )

( )

( ) ^{d d m F t t}

m

Ft

t t

t t

m

Ft

t m t

x F

n n

t n

n

n n

n n

n

n

ω ω θ θ

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

ω θ

ω ω

2 sin cos

cos cos

cos 1 cos

2 2

 =

 

⋅  +

= −

−

⋅ − +

= −

− −

=

=

→

cos の微分

同じ結果

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実演

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粘性減衰系の強制振動

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機械力学Ⅰ

4.2.1 粘性減衰系の強制振動

運動方程式と解の求め方

図 3.4 粘性減衰系の強制振動

c

x m

k

t F cos ω

t

t C e

e C

x = ₁ ^{λ 1} + ₂ ^{λ 2}

運動方程式

t F

kx x

c x

m && + & + = cos ω

基本解 ( 右辺 =0)

( ^{2 1} )

2 ,

1 = ω − ζ ± ζ −

λ _n

特解の求め方

⇒ ･実関数による方法

･複素関数による方法

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特解

t A

t A

x = ₁ cos ω + ₂ sin ω

( )

( )

( ^{A t A t} ) ^{F t}

k

t A

t A

c

t A

t A

m

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

cos sin

cos

cos sin

sin cos

2 1

2 1

2 1

2

= +

+

+

− +

+

−

運動方程式に代入

両辺の sin 、 cos の係数を比較

F kA

A c

A

m + + =

− ² _{1 2 1}

:

cos ω ω

0 :

sin − m ω ² A ₂ − c ω A ₁ + kA ₂ =

実関数 ( 三角関数 ) による特解の求め方

2 回微分と 1 回微分

があるため

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機械力学Ⅰ

( ⁻ ) ^{− + ( ) ⋅}

⋅

= 2 2 2 2

2 2 1

2 ζω ω ω

ω

ω ω

n n

n

m A F

( ^{2 2} ) ^{2 ( ) 2}

2

2 2

ω ζω

ω ω

ω ζω

n n

n

m A F

+

⋅ −

= ω _n = k / m

mk c / 2

ζ =

( ) ^{( )}

( )

{ ^{m t t} }

x F

n n

n n

ω ω

ζω ω

ω ω

ω ζω ω

ω

sin 2

cos

2 1

2 2

2 2 2 2

+

−

×

+

⋅ −

=

特解

減衰の無い系の 固有角振動数

減衰比 ( 臨界減衰

に対する )

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機械力学Ⅰ

( ^ω n ^{2 ω 2} ) ^{2 1 ( 2 ζω} n ^{ω ) 2}

m A F

+

−

=

2 2

tan 2

ω ω

ω φ ζω

= −

n

n

( ) ^{( )}

( )

{ }

( ^{ω ω φ} ) ^{ω ζω ω ω}

ω

ω ζω ω

ω

−

=

+

−

×

+

⋅ −

=

t A

t t

m x F

n n

n n

cos

sin 2

cos

2 1

2 2

2 2 2 2

特解

√ ²

()/ √ =cos φ ()/ √ =sin φ

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機械力学Ⅰ

複素関数による特解の求め方

運動方程式

t F

kx x

c x

m && + & + = cos ω

t F

ky y

c y

m && + & + = sin ω

(1) (2) (1) ＋ j(= √ -1) × (2)

( ) ( ) ( )

( ^{t j t} )

F

jy x

k y

j x

c y

j x

m

ω ω sin cos +

=

+ +

+ +

+ & & &

&&

jy x

z = +

t

Fe j

kz z

c z

m && + & + = ^ω

Euler の公式

Re Im

x y

0

z

複素平面

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機械力学Ⅰ

特解 Ze j t

z = ^ω

( ^{Ze j t} ) ( ^{c j Ze j t} ) ^{kZe j t Fe j t}

m − ω ^{2 ω} + ω ^ω + ^ω = ^ω

運動方程式に代入

φ

ω ζω ω

ω ω ω

j

n n

Ae

m j F jc

m k

Z F

= −

+

⋅ − + =

= −

2 1

2 2 2

( ^{ω − φ} )

= Ae ^{j t} z

( ^ω n ^{2 ω 2} ) ^{1 2 ( 2 ζω} n ^{ω ) 2}

m A F

+

−

= 2 2

tan 2

ω ω

ω φ ζω

= −

n n

[ ] ⁼ ( ^{ω − φ} )

= z A t

x Re cos

極形式

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機械力学Ⅰ

極形式 (polar form) への変換

( )

 

 



 = + =

=

+

=

 





 





+ + + +

=

+

=

x y y

x r

re

j r

y x

j y y

x y x

x jy x

Z

j θ

θ θ

θ , tan

sin cos

2 2

2 2

2 2

2 2

Re Im

x y

0

z

複素平面 r

θ

( ) ^{x , y ⇒} ( ) ^{r , θ}

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機械力学Ⅰ

指数関数と三角関数 / 双曲線関数 の関係

e x x e

e

e ^{x x x x}

2 sinh ,

2 cosh − =

+ ⁻ = ⁻

θ θ

θ θ

θ θ

sin cos

sin cos

i e

i e

i i

−

=

+

=

−

実関数

θ

θ ^{θ θ}

θ θ

2 sin ,

2 cos − =

+ ⁻ = ⁻

i e e

e

e ^{i i i i}

オイラーの公式

複素関数

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機械力学Ⅰ

一般解 ( ζ＜ 1 の場合 )

( ^{cos ω sin ω} ) ^{cos( ω φ )}

ζω + + −

= e ⁻ C t D t A t

x ^{n t} _{d d}

t →∞でゼロに収束

ω d

π

2 ω

π 2

x

t

(b)ω _d <ωの場合

図3.5 定常応答と遷移状態

ω d

π 2

ω π x 2

t

(b)ω _d >ωの場合

十分時間が経過したあとの定常振動は

強制振動項のみを考えればよい

2006/11/6

機械力学Ⅰ

4.2.2 定常振動解

( ^ω n ^{2 ω 2} ) ^{2 1 ( 2 ζω} n ^{ω ) 2}

m A F

+

−

=

強制振動項の振幅

k F m

F

A = _n =

⇒

= 0 ω ²

ω

k A F

n ζ

ω

ω 2

= 1

⇒

=

静的変位

k A F

n max 2

2

1 2

2 1

1 ζ ζ ζ

ω

ω = − ⇒ = −

静的変位の 1/2 ζ倍

ζ <<1 のとき両 者はほぼ一致

振幅最大となる振動数 ( 分子が最小 )

2006/11/6

機械力学Ⅰ

振幅応答曲線

ζ 2

1

k F

A /

図4.6 粘性減衰系の振幅応答曲線

ω n

ω / ζ

ω ω

2 1

/

=

≡

∆ _n Q

2 ζ 2

1

Q 値 ( ピークの

尖り具合 )

2006/11/6

機械力学Ⅰ

位相応答曲線

図4.7 減衰系の位相応答曲線

・共振点を境に位相差 が急変

・共振点ではζに依らず

位相差はπ /2

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機械力学Ⅰ

4.2.3 入力エネルギと損失エネルギ

k c

cosωt F

f = )

cos( − φ

= A ωt x

図

3.8

強制振動の定常応答

m ^{W f =} ∫ ^fdx

外力がなす仕事 (= 入力エネルギー )

dt x

dx ^{x を t に変換} = &

{ }

φ π

φ ω

ω ω

ω π

sin

) sin(

cos

2 0

FA

dt t

A t

F

dt x f W _f

=

⋅

−

−

⋅

=

=

∫

∫ ^&

A に比例

2006/11/6

機械力学Ⅰ

ダンパーがなす仕事 (= 損失エネルギー )

2 2

0

2 2

2

2 0

2

) (

sin t dt c A

cA

dt x

c dx

x c W _c

ω π

φ ω

ω ^{ω π}

ω π

=

−

=

=

=

∫

∫

∫ ^{& &}

定常状態では W _c =W _p

ω φ

ω π

φ π

sin

sin ²

c A F

A c

FA

=

⇒

=

A ² に比例

図3.9 入力エネルギと損失エネルギ

c

f W

W ,

A 2

c W _c = π ω

φ π FA sin W _f =

c

f W

W >

f

c W

W >

振巾増大

振巾減少

ω ^sin φ c

F _A

O

2006/11/6

機械力学Ⅰ

k F c

F c

A F

n ζ

φ ω

ω 2

sin = = 1

=

共振点 ( ω = ω _n ) においては、φ = π /2 なので

・外力とダンパーのエネルギバランス ( エネルギ保存 ) から振幅が求 まる。

cf. ばね ( ポテンシャルエネルギ ) と質点 ( 運動エネルギ ) のエネルギ バランスから固有振動数が求まる。

消費エネルギ

全エネルギ π φ πζ

4 2

1

sin

2

=

=

=

=

kA FA E

W E

W _{f c}

減衰自由振動における

1 周期当たりのエネルギ減少率に一致

自励振動(self-excited vibration)

2006.11.6  N. Suzuki

自励振動とは、

外部から周期的外力を受けずに発生する定常的振動。

系の非線形性^＊により発生。

＊ 復原力や減衰力が、変位あるいは速度などに比例しない

自励振動の例、

バイオリンの音、ブレーキの鳴き、ワイパーのビビリ、切削機械のビビリ振動、ポンプのサー ジング、管路･弁系の振動、流力不安定（翼のフラッター、旗のばたつき、電線、橋、ビルの風による 振動など）、沸騰にともなう振動、生体リズム、など

典型的な自励振動発生機構の一例、

摩擦励起振動(スティック･スリップ)

動摩擦係数 ＜ 静止摩擦係数

流体励起振動

カルマン渦列

U

⇒

L

h D

U

⇒

L

h D

タコマ橋の崩壊事故(1940)

高速増殖原型炉もんじゅナトリウム漏えい事故(1985)

 

h/L=0.281

St=nD/U=0.19~0.20

 

St：ストローハル数

 

n：渦剥離周波数