苦手分野対策プリント（数2B_二項定理）

(1)

苦手分野対策プリント（数2B 二項定理）

▼苦手分野対策プリントの2つの目的

１）出題されうる全てのパターンを網羅し、全体観をつかむ（安心する）

受験とは、言い換えると「出題されうるパターンをできるだけ多く習得した人が合格する試験」

です。そこで、このプリントではまず、出題されうるパターンをすべて整理し、全体観を掴みます。

これだけ頭に入れたらいいんだ、という安心にもつながるでしょう。

２）その手の問題が出題された時に使う、一般的な考え方を習得する（本質をつかむ）

本質がつかめなければ苦手分野から脱却することはできません。本質とは、類題やちょっとひねった問題が出題されても対応できるようになる、その手の問題が出題された時に持っておくべき一般的な考え方のこと。そこで、洗い出した全出題パターンに対し、「この手の問題は、一般に、

こう考える」を明記しました。これをきちんと理解することが重要です。

それでは、本題に入りましょう。

＊＊＊

１）出題パターン（3つ）

二項定理を使う問題は、次の3つに限られると考えてください。

a. カッコを展開した時の係数を求める【対応：基礎問題精講4(1)(3), 標準問題精講2】

b. nCr（コンビネーション）に関する関係式を導く【対応：標準問題精講4】

c. 大きな数を割った時の余りを求める【対応：標準問題精講3】

＜注意点＞

・出題頻度はaから順に高い。

・知っていなければ本番で思いつくのはまず無理な問題なので、この手の問題が出てきたらスラスラ・確実に解けるように解法暗記する必要がある。

(2)

２）出題パターン別の一般的な考え方 a. カッコを展開した時の係数を求める

＜この手の問題を解く時の一般的な考え方＞

一般項の係数を暗記し、それを利用する！

＜詳細＞

カッコを展開した際の係数は、地道に計算して求めることもできます。しかし、そういう地道な作業を省略し、スピーディーに正確な値を求めるのが定理の力です。

今回の二項定理は、カッコを展開した際の一般項の係数を教えてくれる力を持っています。この知識を使って係数を求めてください、という問題なわけです。

基礎問題精講4の精講に、二項定理、多項定理によって得られた一般項の係数が載っていますが、

必ず覚えてください。

第1章式と証明

2 項定理・多項定理

(1) 次の式の展開式における (

J

内の項の係数を求めよ . (i) (X‑2)7 (X3J (ii) (2x + 3y)5 (X³y2J (2) 等式 ηC o+ ηc +πC2+…+ η

C

n= 2n ^{を証明せよ.}

(3) ( x + y + 2 Z )6を展開したときのx³y2zの係数を求めよ.

2項定理は様々な場面で登場してきます. ここでは 1. 2項定理の使い方の代表例である係数決定 11 . 2 ! 頁定理から導かれる重要な関係式以上2つについて学びます.

2項定理とは，等式

(α+ b)n= nC

。

^αη^十^{nC 1αn}^ー^lb1^十・^・^・^{+ nC k}^α^n‑kbk+^・・^・^{+ η}^{C nbn}

のことで

nC kαn‑kbk

を(α +b)nを展開したときの一般項といいます.

(1) (i) (X‑2)7を展開したときの一般項は 7C γ(xY( ‑ 2)1‑r= 7C r( ‑ 2)1ーヘf

r = 3 のときが求める係数だから

7X 6 X 5 C3 ( ‑2)4=一一一一3X 2 24= 560 (ii) (2x+3y)Sを展開したときの一般項は

sC r(2x)γ(3y)^トγ= sC r'2γ3^トγ'x ryトr

q ヲ 5x 4 x 3

sC3・2'・3'=一一一一一一・3 X 2 2"3'=720

7CrX7‑r( ‑ 2)"でもよい

5Cr(2x )5‑r(3y

Y

でもよい

(2) (α+ b)n= nCOan+ nClan‑lb+…+ n Cn^ーlabn‑¹+^ηCnbnの両辺に α= b= l を代入すると

(1

+

l)n= nC o+ nC1

+

…+ n Cn nCo+nC1+…+ nCn= 2n (3) (x+y+2Z)6を展開すると，6Ck(X+ y)k(2z)6‑k

第1章式と証明

2 項定理・多項定理

J

内の項の係数を求めよ . (i) (X‑2)7 (X3J (ii) (2x + 3y)5 (X³y2J (2) 等式 ηC o+ ηc +πC2+…^{+ η}

C

n= 2n を証明せよ.

(α+ b)n= nC

。

^αη^十^{nC 1αn}^ー^lb1^十・^・^・+ nC k^αn‑kbk+・・・+ ηC nbn のことで

nC k^αn‑kbk

q ヲ 5x 4 x 3

sC3・2'・3'=一一一一一一・3 X 2 2"3'=720

5Cr(2x )5‑r(3y Yでもよい

(1

+

l)n= nC o+ nC1

+

次に(X+ y)kを展開したときの一般項はkC iXiyk‑i したがって( X + y + 2 Z )6を展開したときの一般項は

6C k kC Xiyk‑i(2z )6‑k

11

= 26‑k. 6C kkC i X iyk‑i Z6‑k 定数の部分と文字式し一一一一一」し一一一」

よって，X 3y2Zの係数は k = 5，i= 3 のときで

= 2・6・10= 120

V

^ポイント ^(α^{+ b ) n}

の部分に分ける

!

= n C d n + n C I G n ‑ l b +・・・+ n C ka n‑kbk+ ・ー+ n C n bn

(別解)

(3)は次の定理を使ってもできます.

多項定理

( a + b + c )nを展開したときのG句qc^rの係数は

「斗

t!q! r ! ^τ ^(ρ

^{+ q +}

^γ^{= n)} ( X + y + 2 Z )6を展開したときの一般項は

民1 γ γ6!

v : • Xγ^{( 2 z Y =}^一一一汁^{x tyqzr} t!q!r!‑ J ，‑‑， t!q!r!

ρ= 3， q = 2， r = 1 のときだから求める係数は明・自1

一一ームー_3! 2! 1!=120

(ρ+ q + r = 6)

園 1. 多項定理を使うと，数学A で学んだ整数の知識が必要になることがあ

国ります.^{2 . (l)(u)}^のように^x^，^yに係数がついていると，パスカルの三角形は使いに

くくなります.

(1) (3x‑2y)6におけるX 3y3の係数を求めよ.

(2) nCo‑ nC¹+ n C2‑ n C3+…+(̲l)nnCπ=0 を証明せよ .

(3)

標準問題精講2でも、全く同じように考えたら良い問題が出題されています。この手の問題が出題されたら、一般に「一般項の係数が何かを知っているか、問うている問題なんでしょ？」と思えばいいわけです。

₁₂ _第₁_{章式と証明}

標間圃" ) 1 ・二項定理・多項定理

( が+1)4の展開式におけるf の係数は仁二二コでがの係数は仁二二コであり，^{( X3}^十x‑1)3の展開式における x⁵の係数は仁二二コでd の係数は

￨己である

また，^{( X3}

+

1)4(が+x‑1)3 の展開式におけるX 11の係数はじここコである.

(関西学院大)

唖聾ヨ

( 山内展開したときの一般項は 4Ck(X3)人14‑k= 4C kx 3k(0豆h孟4) です. 二項定理は大丈夫で、しょうか.

二項定理を確認しておきます. まずは具体例として(α+b)4を展開してみましょう .

(a十b)4=(α+ b)(α+b)(a+b)(α+b) 右辺を展開すると4個の括弧の中からαまたはb を1つずっとっていくことになり

a4， a3b， a2b2， ab3， b4

といった4次の式が5種類(2H4= 5C4 = 5)できて (α +b)4 =仁=コピ+仁二ゴ^a3b

+仁二コ^a2b2+仁二コ^ab3+仁二コゲ

という形の和になります. あとは各係数を求めることが問題となります. たとえば，a³bならば，

これが現れるひとつとして

(a +b)(a+(b))(α+ b ) ( a + b )→abaa があります. a³bのっくり方はbをどこの括弧か

らとってくるか( 残った括弧からはαをとることになる) を決めればよいわけです. この決め方は 4C1通りあり，これがa³bの係数となります.

同様にして，a4の係数は4CO，α2b2の係数は 4C2，αb³の係数は4C3，がの係数は4C4であり

(a+b)4=4C。α4+4Clα3b+4C2a2b2 + 4C3ab3+ 4C4b4

展開式の係数

。

二項定理または多項定理

。

一般項を調べる

4・，H，は重複組合せとよばれるもので.n締類のものから重複を許してγ個とるとり方の総数をnH rと表す.

このとき，

nH r= tz+r‑ tC，. が成り立つ

(4)

＜類題紹介＞（同じ考え方で解けることを確認すればいいので、手を動かす必要はありません）

他書にも同じような問題が出題されていますし、同じ考えで解くことができますはずです。

13

展開した式の係数 (1)(ニ項定理の利用)

A t.8 基本事項 4l

0 O

①①

φ

4

次の式の展開式における， [ ] 内に指定された項の係数を求めよ。

( x +

!t

^[x^2]

一」

¹^章

[x⁶^] (2) (1) (2x2+3)6

3_次式の展開と因数分解︐ 二項定理

H A R T O L U T工O N

二項定理(α+ b)n の展開式の一般頂は指定された項だけを取り出して考える。

(1) 展開式の一般項は 6Cr(2xヤーγ= 6 Cr'26‑r・3rx'2‑2r

!

nC rαn‑rb r

展開式の一般項は (2)

x4‑r

去

^{= x2}^となる^γ^{を求める。} ^回

" t x^qの形に変形 4

・

^12‑2r=6^からァ⁼³

.̲̲ 1 . ̲ ̲ ̲ ̲ 1 ・7 = X . .X

= x←2r これから4‑ 2r=2とし

・・

てもよい4‑ r = 2 + rから r= l

@ 国

(1) (2x²+ ³⁾⁶の展開式の一般項は 6Cr(2x2)^トr3γ= 6C r' 26‑r・3rX'2‑2r

がの項は r = 3のときであるから，その係数は

6C3'2³'3³= 2 0 X 8 x ^27=4320

I ...，、⁴

(2) ( x +すl の展開式の一般項は ^判 ⁹(13 ① から会= x

4ω ‑r(! )γ

= 4 Cr'2rx4‑r

去

‑ r ̲ ̲̲2 ̲̲T

x. . = x‑x

r

会

^{= x}² ^から

よってァ= 1

ゆえに，x²の項の係数は

雨F O酬 ATlO両面ト

F F

.C，・2'=4 X 2 = 8

(a+b)nの展開式は (α+b)(α+b)(α+ b )…(a+b) から， α，bのどちらかを取り，

① ② ① @

それらを掛け合わせた和である。よって， αn‑rbrの項の係数はn個のもの(①‑@ )

からr個(rb Jが取り出される r(a+b)J)を選ぶ場合の数，すなわちnCrである。

P担f̲TICE oo，

4

^②

ω

^(2x³^‑

古 r

^{[ 定数項]}

[x^9]

(2x³‑3x)5 )

l (

15

11聖

6

̲ 竺^{t .9}基本一竺金

φ

型空色

(1) ( X + Y + Z )S [xy2Z2] (2) (α+ b ‑ 2 c)1 [a2b3c2]

一」

展開した式の係数(2)(多項定理の利用)

3次式の展開と因滋分解︐ 一一項定理

(α+ b + c ) nの展開式の項の係数

一般項京京万伺 ? ^α^句^qc^r，

p + q +

γ= n を利用・r!l. (a + b +c Y={(a + ^b)+^c}nとして考えることもできるが，

理を2回適用する必要があり，面倒。←ー別解を参照。

一般項式七T W CYを利用する場合，a， b， C，ρ， q， r， nにそれぞれ代入するだけなので，

その場合，二項定

らく。

事一般項は

ー

ヱ

_t!q!r!^L^ー^α^ρ^b^q(^ー^2c)'

p+q+r=7 ー一般項は

51 ()" ^r

‑一一ーー一_p!q!r!‑7 X '_J、^{V' Z .} ρ+ q + r = 5 4

・

^xy'^の項は

3C，xy '

4・^a'b³^の項は

sC3a'b³ 3C2

sC3

5! _{= 一一一= 30}5・4・3 1! 2! 2! 2・1

医圏 {(x+y)+Z}S の展開式において，Z2を含む項は

SC 2(X+y)3Z2

また，(x+ y)3の展開式において，xy2の項の係数はよって，xy2z2の項の係数は

SC 2X 3C 2= 1 0 X 3= 3 0 (2) (a+b‑2c)' のa2b3c2の項は

7!寸a²b3 (一2c)2=」L 7 ( ‑ w w

u ・ ^u ・・ ^u ・ ‑

よって，a²b³c²の項の係数は 7.6・5^・4

?I;;?I

X ( ‑ 2) 2 = 一一一一X 4 = 8 40

u ・ u ・

^2!^..，^‑，^{2.1X 2・}¹

囲璽 {(a+b)‑2c Vの展開式において， C2を含む項は 7C2(α+ b)S(一2C)2=7C 2(‑2)2(a + ^b)Sc2

また，(α + b )Sの展開式において，a2b3の項の係数はよって，a²b³c²の項の係数は

7C 2( ‑ 2)2X SC3=21 X 4 X 10=840 xy2z2の項の係数は

⑩

ID

回 (1 )

[xy2Z]

[x³z]

(1) (x+2y+3z)4

(5)

16

展開した式の係数(3)(多項定理の利用)

(1+x+x2)7 の展開式における，がの項の係数を求めよ。

H A R T . O L U T I O N

基本6 ①①

φ φ Oi

一←J

多項定理を利用して，( 1 + x + x2)7の展開式の一般項をA X Bの形で表すと τ_p!q!r!ヰマ^x^Q⁺^2r ^となる。

ここで ρ， q， rは整数で p孟0，q注0，rミ0，ρ+ q +γ= 7・・・・① がの項であるから q + 2 r = 3 ・…ー②

そこで，①，②から， ρ，q， rの値を求める。

ρ， q， rの文字3 つに対して，等式がρ+ q + r = 7，q + Z r = 3の2 つであるが， 0以上の整数という条件から， ρ，q，^γの値が求められる。..•••• !

(1+x十x²)1 の展開式の一般項は

7 1 ワ1

プ^'̲̲1・^lρ'xQ(X2)r=→ム←γx Q+2r T ! q ! r! ̲.. ，..， P ! q ! r!

ρ， q，γは整数で ρ孟0，q孟0，

x³の項は q + Z r = 3 すなわち q = 3 ‑ 2 rのときである。 qo;;Oから 3 ‑ Z r注O よって r = O， 1

! q = 3 ‑ 2 r，ρ= 7 ‑ q ‑ rから r = O のとき q = 3，ρ= 4 r = l のとき q = l，ρ= 5 すなわち (ρ， q， r)=(4， 3， 0)， (5， 1， 1) ゆえに，がの項の係数は

7! 7! 7・6・5

ーァ」一一+ 一一一一一= 一一一一4!3!0! 5!1!1! 3・2・1+ 7・6= 3 5 + 4 Z =77 直l^鰹 ⁽¹+ ^{x +}^{x 2)1={(l}+ ^{x ) + x 2}Vの一般項は

7C r(l + ^x)1‑r(x2)' であるから，がの項は，次の2つの場合に現れて，また，これ以外はない。

7C o⁽¹+ ^x^{)1(x2)。から} (1+x)1 のがの項は7CO・7CJX³ 7C，(1 + ^{X)6(X 2)'} から (1+x)6のx の項は7C"6C，^{X 'X 2}

よって，求めるがの項の係数は 7CO '7C3+7C，・6C，= 1・35+7・6=77

(x2‑ 3x+1)!O の展開式におけるがの項の係数を求めよ。

4

・

¹^p^x^Q^(x')'_̲q+2r

= rx" = x

‑・

^ρ_{ン違いしないように。}^{> 0}^，^{q> O}^，^{r> O}^とカ

ρ= 0またはq=Oまたはγ=0の場合もあるので注怠。

4

・

^{XQ+2r= X}³^を満たす^q^，

γは2組ある。

4

・

^0!=1

恒三項定理を用いて解くと，左のようになる。

4^回γ=0のとき

事γ=1のとき

[ 東京工科大]

17

展開した式の係数 (4)(二項・多項定理の利用)

戸9

一一面 7

^{塞本 A，}

E 7 ものの φ ミテ

[ 愛知工大]

(x

一歩) ロの展開式における，がの項の係数を求めよ。

8 (x+ 去 ^+lY

^{を展開したとき}^，

x

を含まないI頁を求めよ。

例題 ) (‑

3次式の展開と因数分解︐ 二項定理 [ 大阪薬大]

(2)

会

^{= α‑}^{I l の利用} ^r

，

指数をOおよび正の整数から負の鐙数にまで拡張して，二項展開式，多項展開式の係数を求める。

まず，展開式の一般項をA X Bの形で表す。

(2) 定数項(xを含まない項) はがの項である。

指数・指数法則の拡彊 (第5章)

(tw

1*)

(1)

(x 古 r

^{の展開式の一般項は}

ー(会)'=会^{= x‑}^2r

12・11・10 4

・

¹^'.̲0^{心 = 一一一一一}3・2・1 ⁼²²⁰ 4

・

^{12‑ 3r= 3}

ー(去)"=会^{= x}^向

"x

^{を含まない項は定数}

項でがの項

心 X I 2‑ r(

一歩 r r

^X^I2^‑^r⁽

^会 r

= 12ロ2C

刈

^C

X 3の項は r = 3のときで，その係数は

C3 ( ‑

r / ̲̲V"

¹⁼^{=220 x l}^220 x^{( ‑ )}

¥

^一一⁸^{/ 2}¹⁼^{= ‑ 5;}^一一一

ω い会 ^+lr

^{の展開式の一般項は}

‑ i L ‑ J Iρ! q! r!"'" ¥X2 土γJ

・，

^ム^r^士 ρ!q!r!"'"^5! ^{2 q}

ρ， q， rは整数で ρ孟0，q孟0，r孟0，ρ+ q + γ= 5 xを含まない項はρ‑ 2 q = 0すなわち ρ= 2 q のときである。

ρ+ q + r = 5 にイ吃入して 3 q +γ= 5 r = 5 ‑ 3 q註0，q孟Oから q = O， 1 よって (ρ， q， r)=(O， 0， 5)， (2， 1， 2) ゆえに，^Xを含まない項は

日! 5! ，， 5・4・3 一一‑ ー+ 一一‑ . ー= 1 +0!0!5! '2! 1!2! ^V^{n '}2・， 1^v=31

F . F

そ!

[ 京都教育大]

4・^0!=1

PRACTICE "' 8 ④ 次の展開式における，与えられた項の係数を求めよ。

(1)

(X _寸 r

^{のがの係数}

^ω(

^が

^+X‑ ^士 r

^の^x^の係数

(6)

(7)

(8)

b. nCr（コンビネーション）に関する関係式を導く

＜この手の問題を解く時の一般的な考え方＞

① 右辺に注目し、二項定理に適当な値を代入する（主に、a=b=1, a=1&b=-1, a=1&b=-2）

② 「二項定理=0」となる式を合わせて使うことがある

③ r×nCr = n×n-1Cr-1 を合わせて使うことがある

＜詳細＞

もっとも基本的な問題は、①だけを利用した問題です。基礎問題精講4(2)の問題がそうです。

問題文の形から、明らかに二項定理を使ってくれと言っているような問題ですね。

右辺に注目すると、2になっているので、a=b=1を代入したらいいんじゃないかと考えます。すると、答えが出ます。「右辺に注目する」がポイントです。類題を見てみましょう（手は動かさない）。

第1章式と証明

2 項定理・多項定理

J

内の項の係数を求めよ . (i) (X‑2)7 (X3J (ii) (2x + 3y)5 (X³y2J (2) 等式 ηC o+ ηc +πC2+ …+ η

C

n= 2n を証明せよ.

(α+ b)n= nC

。

^αη^十^{nC 1αn}^ー^lb1^十・^・^・+ nC kαn‑kbk+・・・+ ηC nbn のことで

nC k^αn‑kbk

q ヲ 5x 4 x 3

sC3・2'・3'=一一一一一一・3 X 2 2"3'=720

5Cr(2x )5‑r(3y

Y

でもよい

(1

+

l)n= nC o+ nC1

+

^…^{+ n Cn} ^nCo+nC¹⁺^…+ nCn= 2n (3) (x+y+2Z)6を展開すると，6Ck(X+ y)k(2z)6‑k

第1章式と証明

2 項定理・多項定理

J

C

(α+ b)n= nC

。

のことで

nC kαn‑kbk

q ヲ 5x 4 x 3

sC3・2'・3'=一一一一一一・3 X 2 2"3'=720

5Cr(2x )5‑r(3y

Y

でもよい

(1

+

l)n= nC o+ nC1

+

第1章式と証明

2 項定理・多項定理

J

C

(α+ b)n= nC

。

のことで

nC kαn‑kbk

q ヲ 5x 4 x 3

sC3・2'・3'=一一一一一一・3 X 2 2"3'=720

5Cr(2x )5‑r(3y

Y

でもよい

(1

+

l)n= nC o+ nC1

+

第1章式と証明

2 項定理・多項定理

J

C

(α+ b)n= nC

。

のことで

nC kαn‑kbk

q ヲ 5x 4 x 3

sC3・2'・3'=一一一一一一・3 X 2 2"3'=720

5Cr(2x )5‑r(3y

Y

でもよい

(1

+

l)n= nC o+ nC1

+

14

ニ項係数と等式の証明

次の等式を証明せよ。

(1) n Co+ηC

，

^{+ ηC}²⁺ ^{… …}+ n Cr+… ・ー+ n Cn= 2n

(2) n C o ‑ n C

，

+ n C2ー… 一+ ( ‑ lY nC r+…・・ +(‑l)nnC n= O (3) n Co‑ 2nC

，

+ 22nC 2一……+ (‑2)らC r+……+ (‑ 2)nnCn = ( ‑ 1 )η

H A R T . O L U T工O N

nC rに関する等式の証明

二項定理の等式に適当な値を代入・ … ・・回二項定理と似た問題ととらえて，結果を使うことにする。

等式の右辺に注目すると

(1) 2n= (1 +1)n (2) 0=(1ーl)n (3) (‑1)'=(1‑2)n

なお r等式の証明」はこの後の④等式・不等式の証明で扱う内容である。

二項定理により

(1 + x ) n = n Co+ n C X +，^{C 2 X2+..}

+ .C r Xr+・…一+ n C n Xn …・・・ ①

! (1) 等式 ① に，^{x = l} ^{を代入すると}

(1 + l)n = n C o +ηC

，

^'l^十^nC2・¹²+^・・^・・^・^・^{+ n Cr.1r}

+一 + n Cn'ln

よって nCo+nCl+nC2+…・・・+ n Cγ+・…+ n Cn= 2n

! (2) 等式 ① に， x = ‑ l を代入すると

(l‑l)n=nCo+nCl ' ( ‑ 1 ) + n C2'( ‑ 1)2+・・・・・・+ nCr'( ‑ l)' + …... +ηCn・(‑1)"

よって nCO‑ n C1 + n C2ー… + ( ‑ l)'nCr +・・・・・・+(‑l)nnCn= O 回(3) 等式 ① に，x = ‑ 2 を代入すると

(1‑2)n= n Co+nCl・(‑2)+nC2・(‑2)2+…一+ nCr'(‑2)' +・・・・・・+ n Cn'(‑2)n

よって nCO ‑ 2nC1 + 2²nC2ー・・・・・ + (‑2)'nC^γ + ……+ ( ‑2)九Cn=(‑l)n

I

PRACTICE ...

s

^②

ー府 ^C， • nC， • / .，^.nCn ¹ 2 ^等式 nCo‑ n:::' +^{王手一…・・・+ (}

E ^可 2 . 2^一 2ⁿ 2

ー

^(α_=nCoan+nC^+b)n _，_an‑'b

+ nC，^an‑'b'+

+ nC，an‑'b' + …・・ + nCnbn において，a=l， b = x とする。

事この等式は公式として覚えておこう。なお，この等式の意昧を考えると， η個の異なるものからh個選ぶ方法のk = O， 1，・・…・，n の場合の合計であるから，

n個それぞれについて

「選ばれるJか「選ばれない」かの2通りが考えられる。よって，この合計は2ⁿとなることがわかる。

(9)

どちらの類題も、

・右辺が2の時：a=b=1を代入

・右辺が0の時：a=1, b=-1を代入

・右辺が-1の時：a=1, b=-2を代入

という風にしていますね。このように、「b. nCr（コンビネーション）に関する関係式を導く」という問題の場合、右辺の形をもとに、適当な値をa, bに代入すると求まるのです。

このことを前提として、次の標準問題精講4(1)を見てみましょう。

これだけ見ると、先ほどの考え方で求められるように思います。特に、右辺が2なので、二項定理にa=b=1を代入したら答えになりそうですが、求める式にはならないはず。

しかし、右辺は2なので、いずれにせよa=b=1は利用しそうです。a=b=1の場合の二項定理は利用しつつ、左辺が異なるということは・・・右辺が0になる二項定理を利用している可能性を疑います。すると、解説のように答えを得ることができます。

1 8 第1章式と証明

標問圃! . 二項係数の和

(1) 自然数ηが3以上の奇数であるとき，次の等式を証明せよ . (i) nC

，

+ n C3+nCS+nC7+…+nCn=2n‑1

(ii) ηC o+ nC 2+^πC4+ nC⁶^十・・+nCn‑l=2，，‑1 ，(JR北学院大) (2) 自然数 n に対して，次の和を求めよ.

l(l)

_(ii)^日₁_・_2nC_，_十^C₂²^{叩 +}_・_{3nC 2+ 3}_・₄_{nC 3+}^叫_…ⁿ_+η_・_(η_{+ l)nCn}

留置ヨ

⁽¹) 二項定理を利用します】1"醸酒ゆ畑岨・u

・

_nC

・

_r_の和

G ( 慶大)

(1 + ^{x)n= nC}^o^{+ n C}

，

X '+... + nCn̲lXn‑1+ n CnX n

の両辺に x = l を代入すると二項定理の利用

ηCo+ nC

，

+^・^・^.+nCn‑1+nC^η^{= 2n}

本聞はひとつ飛びの和になっています.

x = ‑ l を代入した式もつくってみましょう.

(2) (i) 標問3で証明した等式 r" nC r= n " n‑1C^ト 1

を利用しましょう.

(ii) (i)で用いた等式を2度使うと

r(r+ 1)ηCr= η(r+1)n‑lCr^ー¹

= n(2+r‑1)n‑1Cr‑l

=n{2n‑lC^γ^ーl十(n ‑1)n‑2Cr‑2} (2壬r孟η) と変形することができます.

く解答〉

(1) 二項定型より

(変数)x(二項係数) の和 (定数)x(二項係数) の和G に変形する

(1 + ^x)n=nC^o^{+ n C}

，

^X+nC2X2+…+ nCn̲lXn‑1 +nCnXn ……①

① において x =:t1 を代入する. ηが3以上の奇数であることに注意すると (1 + ^{1)η= η}C o+ n C

，

+ n C2+ n C3+^・^・+ n Cn^ーl十nCn ……② (l‑l)n=ηCo‑nC，^+ηC2‑nC 3+…+ηC n^ーl‑ nCn ……③ (i) ② 一③ より

2n‑O=2(nC1 +nC3+nCs+nC7^{十・・・十}^ηC n) nC

，

+ n C3+ n C⁵+nC7+・・・+ nCn= 2n^ーl

(u) ② + ③ より 2n+O=2(nCo+^ηC 2+ nC汁πC6十 …+ n Cn‑l) nCo+ n C2+^ηC + n C6+・・・+ nCn̲l=2n‑1

苦手分野対策プリント（数2B_二項定理）

▼苦手分野対策プリントの2つの目的

１）出題パターン（3つ）

２）出題パターン別の一般的な考え方 a. カッコを展開した時の係数を求める

2 項定理・多項定理

J

C

。

Y

+

+

2 項定理・多項定理

J

C

。

+

+

V

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「斗

+ q +

+

唖聾ヨ

。

。

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(X 寸 r

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b. nCr（コンビネーション）に関する関係式を導く

2 項定理・多項定理

J

^{+ q +}

u ・ ^u ・・ ^u ・ ‑

8 (x+ 去 ^+lY

^会 r

ω い会 ^+lr

(X _寸 r

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