(1)確率分布－確率と計算
1
６回に１回の割合で１の目が出るさいころがある．このさいころを６回投げたとき，１度も
１の目が出ない確率を求めよ．
56
/66
=15625/46656=0.3348
(5/6)6
=0.3348
ある市の気象観測所での記録では，毎年雨の降る日と降らない日の割合は概ね1:9で
一定している．前日に発表される予報の精度は80%で，残りの20%は実際とは逆の
天気を予報している．この観測所が「明日は雨が降らない」と予測した場合，明日雨が
降らない確率は？
A1:雨が降らない事象， A2:雨が降る事象，B:降らないと予想する事象
P(B|A1)=0.8, P(B|A2)=0.2
求める事象の確率はP(A1|B)
P(A1∩B)=P(B)P(A1|B), P(A1|B)= P(A1∩B)/P(B)
P(B)= P(A1∩B)+ P(A2∩B)
P(A1∩B)=P(A1)P(B|A1)=0.9x0.8=0.72
P(A2∩B)= P(A2)P(B|A2)=0.1x0.2=0.02
確率分布－確率と計算
2
当り２本，外れ６本の８本のくじが無作為に４本ずつAとBに入っている．最初に春子がAから１本のく
じを引いたところ，当りであった．次に夏夫が引く番であるが，どちらの箱から引くべきか？
Aの箱に２本の辺りが入る事象をA, １本の事象をB, 春子がAから当りを引く事象をF
P(A∩F)=P(F)P(A|F), P(B∩F)=P(F)P(B|F)
夏夫がAから当りを引く確率は，
P(A|F)・1/3={P(A)/P(F|A)}/3P(F)={(
6C
2 ・
2C
2)/(
8C
4 ・2/4)}/3P(F)=1/28P(F)
夏夫がBから当りを引く確率は，
P(B|F) ・1/4={P(B)P(F|B)}/4P(F)={(
6C
3 ・
2C
1)/(
8C
4 ・1/4)}/4P(F)=16/28P(F)
４人でじゃんけんをし，勝者が１人になるまで続ける．負けた人は次の回に参加できないとして次の
確率を求めよ
１回のじゃんけんで勝者が１人決まる確率
２回のじゃんけんで勝者が１人決まる確率
４人の手の出し方は34
=81，１人決まる組合せは，４通りの勝者と３通りの手の出し方
4x3/34
=4/27<--- P
1=4C1 ・3/34
１回目のじゃんけんでｎ人が勝ち残る確率をP
n，ただしあいこは皆が勝ったこととする
P
2=
4C
2 ・3/34
, P
3= 4C３・3/34, P4=1-(P1+P2+P3)
２回目のじゃんけんにｎ人が参加したときに１人が勝ち残る確率をq
n
q
2=
2C
1・3/32
, q
3=3C1 ・3/33, q4=4C1 ・3/34,
p
2q
2+p
3q
3+p
4q
4=
一般にｎ人がじゃんけんを１回行ってｍ人が勝ち残る確率 p(n,m)の場合を検討せよ
確率分布－確率変数
赤い実５個と青い実７個が餌台にある．鳩が４つの実を食べた．食べた実のうち赤い実の個数
をXとしたとき，X=０，１，２，３，４となる確率は？
P(X=0)=7C4/12C4, P(X=1)=5C1・7C3/12C4, P(X=2)=5C2 ・ 7C2/12C4,
P(X=3)=5C3 ・ 7C1 /12C4, P(X=4)=5C4/12C4
確率変数Xの平均は？
ΣX・P(X=I) =0・P(X=0)+1・P(X=1)+2 ・P(X=2)+3 ・ P(X=3)+4 ・P(X=4)
Xの平均をE(X)と表し，期待値と呼ぶ．
１つのサイコロを１の目が出るまで投げるとき，投げる回数の期待値は？
P(X=n)=pqn-1
E(X)=p+2pq+3pq2+4pq3+・・・・
2qE(X)=2pq+4pq2+6pq3+8pq4+・・・・={E(X)-p}+q2E(X)
E(X)-2qE(X)+ q2E(X)=p, (1-q)2E(X)=p
E(X)=p/ (1-q)2 =1/p
平均の加法性を証明せよ，
確率論の基本定理と分布関数
1. 基本定理
a. 確率
b. 基本定理
2. 平均と分散
a. 分布関数
b. 平均
c. 分散
d. 平均と分散に関する基本定理
e. 特性関数
3. データの整理
a. ヒストグラム
b. パラメータ
4. ２次元分布関数
a. 周辺分布
b. たたみこみ
c. 相関係数
５． マルコフ過程
a. 遷移行列
b. エルゴード過程
６． 離散分布
a. ２項分布
b. ポアソン分布
７． 連続分布
a. 正規分布
b. 対数正規分布
c. 指数分布
d. ワイブル分布
e. ガンマ分布
基本定理
確率
:probability
加法定理
条件付確率
:conditional probability
乗法定理
n
n
j
i A P A A A P A P A P A
A
P
P
1 2 1 2
0
,
1
2.1
1
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
A
P
A
P c
|
2.2
A
P
B
A
P
A
B
P
A
B
P
A
P
A
| B
2
.
3
P
基本定理
乗法定理
A,bが独立事象ならば
３個の事象
A,B,Cについても
A B
P A P
B A
P B
P | , |
2.6
5
.
2
|
|
4
.
2
|
3
2
1
1
3
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
A
A
A
P
A
A
P
A
A
P
A
A
P
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
B
A
C
P
A
B
P
A
P
C
B
A
P
B
A
P
C
B
A
P
B
A
C
P
基本定理
ベイズの定理（モスコビッツの定理）
が互いに排反
事後確率
Bが起こったとき，原因Aiによったものという条件付確率
事前確率
0
8
.
2
|
0
7
.
2
|
|
|
1
1
1
B
P
A
B
P
A
P
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
A
P
A
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
A
B
P
i |
A
i
P
n
A
A
A
1,
2,
,
例：２．３
Ａ１，Ａ２，Ａ３の制御部分を持つシステム
信頼度は，
R(A
1)=0.91,R(A
2)=0.96,R(A
3)=0.99
動作不能となる条件付確率は，
P(F
B|F
A1)=0.2, P(F
B|F
A2)=0.05, P(F
B|F
A3)=0.01
制御部分の故障のため異常が生じた，どの部分をチェックすればよいか
．
0.005
201
1
|
,
0995
.
0
201
20
|
,
8955
.
0
201
180
|
14
.
0
01
.
0
,
14
.
0
04
.
0
,
14
.
0
09
.
0
,
01
.
0
1
,
04
.
0
1
,
09
.
0
1
|
|
|
|
|
3
2
1
3
2
3
2
1
1
1
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1
B
A
B
A
B
A
A
A
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
A
B
A
B
A
F
F
P
F
F
P
F
F
P
F
P
F
P
A
F
A
F
A
F
A
F
F
P
A
R
A
F
A
R
A
F
A
R
A
F
F
F
P
F
P
F
F
P
F
P
F
F
P
F
P
F
F
P
F
P
F
F
P
例：２．４
以下の条件の下で，０と受信されたもの，および１と受信されたものが，正し
く受信されている確率を求めよ．
通信文の中にある０の割合 Ｐ（Ａ０）＝３／５
通信文の中にある１の割合 Ｐ（Ａ１）＝２／５
発信０を正しく受信する確率 Ｐ（Ｂ０｜Ａ０）＝３／４
発信０を１と誤受信する確率 Ｐ（Ｂ１｜Ａ０）＝１／４
発信１を正しく受信する確率 Ｐ（Ｂ１｜Ａ１）＝４／５
発信１を０と誤受信する確率 Ｐ（Ｂ０｜Ａ１）＝１／５
47
15
|
1
|
53
8
|
1
|
47
32
|
,
53
45
|
1
|
|
,
1
|
|
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
A
B
P
A
B
P
A
B
P
B
A
P
平均と分散／
A.分布関数
分布関数
離散確率変数
Xの定める分布；
離散の値 x
1,x
2,…,x
n ⇒ 確率p
1,p
2,….,p
nを対応
連続確率変数
ある範囲内のどの値もとりえて，任意に指定される値x 以下の値をとる確率が
与えられている変量
分布関数と確率密度関数
0
10
.
2
9
.
2
x
f
dx
x
f
x
F
x
F
x
X
P
x
iv P a X b
F
b F
a
x
F
x
F
iii
x
F
F
ii
x
F
F
i
x
x
0
0
lim
1
lim
x
f
x
F
B.平均
平均
期待値
離散確率変数
連続確率変数
note：連続確率変数の場合は，積分表示する
1
,
1
11
.
2
dx
x
f
p
dx
x
f
x
p
x
X
E
i
i
i
i
i
n
n
x
x
x
n
X
E
n
p
p
p
2
1
2
1
1
1
X
E
C. 分散
分散
標準偏差
基本的定理
X
X
V
p
x
X
E
X
E
X
V
p
x
X
E
X
V
i
i
i
i
i
i
14
.
2
13
.
2
2
2
2
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
i
i
X
V
a
X
a
V
const
a
t
independen
X
X
X
iv
X
V
a
b
aX
V
const
b
a
iii
X
E
a
X
a
E
const
a
ii
X
E
b
X
aE
b
aX
E
X
E
const
b
a
i
2
2
1
2
,
,
,
,
,
16
.
2
,
15
.
2
0
,
,
,
E.特性関数
Xの特性関数
K次のモーメント
平均
分散
2.17
1
j
j
itX
itX
x
itX
p
e
e
E
t
i
e
E
j
2
1
2
1
0
18
.
2
1
X
V
X
E
X
E
t
dt
d
i
k
t
x
k
k
k
k
＊例
2.6 を各自で確認する
2.3 データの管理
/ パラメータ
ヒストグラム
階級，階級値
度数：階級内のデータの数
相対度数
度数分布
/ 相対度数分布
累積度数分布
/ 累積相対度数分布
パラメータ
平均値
範囲
/ range
Mode，中央点，
ヒストグラムの面積を４等分する縦線
第１四分位数
x
1/4
，第３四分位数
x
3/4
(第２四分位数)メジアンx
2/4
四分位範囲
x
3/4
-x
1/4
m
M
x
n
n
n
n
n
n
i
i
h
i
i
i
h
h
x
x
R
range
dx
x
f
x
x
x
median
x
x
x
x
x
n
m
x
f
n
x
f
x
f
x
f
n
m
:
2
1
2
1
,
:
21
.
2
1
10
.
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
データの管理
/ パラメータ
2.26
50
10
25
.
2
1
24
.
2
1
1
23
.
2
1
1
22
.
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
s
x
x
a
x
x
n
x
x
x
n
s
x
x
n
x
x
n
s
x
n
x
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
•平均値
•標準偏差
分散の平方根の正の方
•分散
•不偏分散
•平均偏差
•偏差値
標本分散（補足）
n個のデータx1, x2, ..., xnがあって、
をそのデータの相加平均とした時の平均
を標本分散という。
標本分散は、無限桁が計算できる場合に
は、2乗の平均から平均の2乗を引いた値
母分散σ2の推定値としては右の式で表さ
れる不偏推定量
s2（不偏分散）を用いるこ
とが多い。
標本分散の正の平方根すなわちσを標準
偏差と呼ぶ。
n
i
i
n
i
i
x
x
n
x
x
n
1
2
2
2
1
2
2
1
1
n
i
i
x
x
n
s
1
2
2
1
1
2.4 ２次元分布関数 / A.周辺分布
同時（結合）分布関数
同時確率関数
p(i,j)
同時（結合）確率密度関数
f(x,y)
x
x y y
j
i
i j
y
Y
x
X
P
y
Y
x
X
P
y
x
F
28
.
2
,
27
.
2
,
,
,
,
2.30
29
.
2
1
,
,
1
,
2
y
x
F
y
x
y
x
f
dxdy
y
x
f
j
i
P
i j
２次元分布関数
/
周辺分布離散確率変数 Ｘ，Ｙ
周辺確率関数
周辺確率密度関数
周辺分布関数
独立
2.33
1
,
1
32
.
2
,
,
31
.
2
,
,
j
j
i
i
i
j
i
i
j
j
j
j
j
i
i
i
p
p
j
i
P
y
Y
x
X
P
y
Y
P
p
j
i
P
y
Y
x
X
P
x
X
P
p
,
,
,
2
.
36
35
.
2
1
,
1
2
1
2
1
y
F
y
F
x
F
x
F
dy
y
f
dx
x
f
,
2
.
38
37
.
2
,
1 2
j
i P
p
j
i
P
y
F
x
F
y
x
F
,
,
2 ,
2
.
34
1
x
f
x
y
dy
f
y
f
x
y
dx
f
B.たたみこみ
Z=X+Yの定める分布の確率密度関数
2
.
40
39
.
2
2
1
2
1
2
1
f
f
f
dy
y
f
y
z
f
dx
x
z
f
x
f
z
f
t
t
dx
x
f
x
t
G
dx
x
g
x
t
F
t
G
t
F
0
0
C.相関係数
確率変数
X,Yに対して
共分散
相関係数
無相関
2
.
42
41
.
2
,
2
2
2
2
X
i
i
X
i
X
i
i
i
i j
j
i
i
X
p
x
X
p
x
y
Y
x
X
P
x
X
E
X
,
Y
E
X
X
Y
Y
E
XY
X
Y
2
.
43
,
1
2
.
45
1
44
.
2
,
,
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
X
,
Y
0
2
.
46
2.5 マルコフ過程 / A.遷移行列
マルコフ過程
単純マルコフ過程
マルコフ連鎖
状態
遷移確率
Ａ
Ｂ
P
A
(b)
P
B
(a)
P
A
(a)
P
B
(b)
マルコフ過程
/ マルコフ行列＆シャノン線図
, 1,2,3,4
2.48
1
,
0
47
.
2
,
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
1
1
2
1
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
j
i
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
j
P
j
P
j
P
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
P
k
ij
k
n
j
i
i
i
ij
ij
n
n
nj
n
n
in
ij
i
i
n
j
n
j
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
P
S
1
S
2
S
3
1
1/3
1/2
2/3
1/2
マルコフ過程
/ B.エルゴード過程
定常状態
定常状態遷移
定常分布
確率ベクトル
消散状態
/ 過度状態
エルゴード過程
特異
/ 周期的
正則
/ 非周期的
S
2
S
3
S
4
閉じた状態集合
非周期的
S
6
S
5
S
7
S
8
閉じた状態集合
周期的
S
0
S
1
消散状態
マルコフ過程
/特異，周期的
定常分布の確率ベクトル
特異：
状態と状態を結ぶ遷移線の個数が
あらゆるループについて，１以外の
公約数を持つ場合．
遷移行列
2
1
2
1
0
3
2
3
1
0
0
2
1
2
1
P
S
1
S
0
S
2
1/2
1/2
1/2
1/2
2/3
1/3
50
.
2
0
,
1
49
.
2
,
,
2
,
1
,
lim
1
W
WP
w
w
n
j
i
w
p
j
n
j
j
j
k
j
i
k
7
4
,
7
3
,
0
2
1
3
2
2
1
3
1
2
1
2
1
3
2
1
2
3
2
2
3
2
1
1
1
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
2.6 離散分布/ A.２項分布
ある事象が起こるか，起こらないか，の２通り．
起こる確率
p，事象の起こる回数 X
2
.
55
1
54
.
2
,
:
,
:
53
.
2
52
.
2
51
.
2
,
:
1
1
0
0
0
2
2
0
n
n
r
r
n
r
n
n
n
n
r
k
k
n
k
y
n
r
k
n
r
r
n
r
r
n
n
r
r
n
r
y
n
r
n
r
y
n
q
npq
q
p
C
q
np
p
q
p
q
p
C
p
n
k
b
p
n
r
B
r
X
P
npq
np
q
p
C
r
X
V
np
q
p
C
r
X
E
q
p
C
r
X
P
p
n
r
b
B.ポアソン分布
m を一定の整数，
X は
0,1,2,・・・,r,・・・
の内の１つの整数
をとる確率変数
式
(2.60)は，
例えば，故障が観
測される確率を意
味する
,
0
,
1
,
2
,
2
.
61
!
lim
,
:
lim
60
.
2
1
!
!
2
1
!
!
2
59
.
2
!
58
.
2
!
57
.
2
!
56
.
2
!
:
2
2
0
2
0
2
0
r
e
r
m
q
p
C
p
n
r
b
e
e
r
m
m
m
e
e
r
m
e
m
me
e
e
k
m
r
X
P
m
m
e
r
m
r
X
V
m
e
r
m
r
X
E
e
r
m
r
X
P
m
r
p
m
r
r
n
r
r
n
n
n
m
m
r
m
m
r
m
m
m
r
k
m
k
r
m
r
r
m
r
m
r
2.7 離散分布/ A.ポアソン分布の例
１日にかかって来る電話の回数はポアソン分布し，その平均は１０回である．
1. 1日に１０回以上かかって来る確率
2. １日に５回以上かかって来ない確率
3. １日に１回もかかって来ない確率
4. １日にちょうど１０回かかって来る確率
0.54207
!
10
1
9
1
10
1 9
0
10
1
k
k
e
k
X
P
X
P
p
0.02925
!
10
4
2
0
10
4
2
k
e
k
X
P
p
0.0000454
!
0
10
0
3 10
0
3
e
X
P
p
0.12511
!
10
10
10
4 0 10
4
e
X
P
p
B. 正規分布
μ=0, σ=1 のとき，x=zとおくと，確率密度関数と分布関数は次になる．
ψ(z)標準正規分布の確率密度関数と呼び，確率変数ZはN(0,1)の分布
をする，という．
,
2.64
63
.
2
2
exp
2
1
62
.
2
2
exp
2
1
2
2
2
2
2
X
V
X
E
dt
t
x
X
P
x
F
x
x
f
x
1
2
.
67
66
.
2
2
exp
2
1
65
.
2
2
exp
2
1
2
2
u
Z
P
u
u
u
Z
P
dx
x
z
Z
P
z
z
z
x
連続分布
/
正規分布
Ｚの分布は，
N(0,1)となる．
XがN(μ，σ
2
)の分布をすると
2.69
2
exp
2
1
2
exp
2
1
68
.
2
67
.
2
1
2
2
2
dz
z
dz
z
dx
x
dx
x
f
X
Z
u
Z
P
u
u
u
Z
P
2.71
70
.
2
a
b
b
X
a
P
x
x
Z
P
x
X
P
x
X
P
連続分布
/
正規分布の例
ある製品の集まりの特性値は
N(80,25)の分布をしてい
る．ランダムに1個取り出す
ときの次の特性値をもとめ
る．
1.75以下である確率
2.82以上である確率
3.平均値からの偏差が2以内で
ある確率
4.平均値からの偏差が3以上で
ある確率
5.ランダムに４個とるとき，全てが
平均値から偏差が２以内である
確率
6.ランダムに２個とるとき，２個と
も平均値からの偏差が３以上で
ある確率
6 0.5486 0.30096
00933
.
0
3108
.
0
5
5486
.
0
2743
.
0
2
6
.
0
2
6
.
0
6
.
0
1
6
.
0
6
.
0
1
5
80
77
5
80
83
1
83
77
1
4
3108
.
0
3446
.
0
2
1
4
.
0
2
1
4
.
0
4
.
0
4
.
0
4
.
0
5
80
78
5
80
82
82
78
3
3446
.
0
4
.
0
5
80
82
82
2
1587
.
0
1
1
5
80
75
75
1
5
,
80
2
4
Z
P
Z
P
Z
P
X
P
Z
P
Z
P
Z
P
X
P
Z
P
Z
P
X
P
Z
P
Z
P
Z
P
X
P
連続分布
/
対数正規分布
ln x=log
e x
対数正規分布は，システムやユニットの修理時間，図書の貸し出し返却時間の分布
に，よく当てはまる
式(2.77)で，ln xを横軸にした f(x)のグラフは正規分布となる
μがσに対して十分大きいとき，正規分布に近づく
,
0
2
.
77
2
ln
exp
2
1
2
2
x
x
x
x
f
2.78
2
exp
2
1
E X
exp
2
2
exp
2
1
2
.
79
2
V
X
C.指数分布
指数分布は，故障の発生時
間の分布，サービス部門に
客が到着する時間間隔の分
布に良く当てはまる．
ポアソン分布は，観測時間を
一定にして，その間にランダ
ムに事象がk回発生する確
率の離散分布
指数分布は，事象が起こら
ないで経過した時間Xの分布
1
1
2
.
83
82
.
2
1
81
.
2
1
80
.
2
0
0
0
2
2
0
2
0
0
dt
e
x
X
V
dt
e
x
X
E
e
dt
e
x
X
P
X
F
x
e
x
x
f
t
t
x
x t
x
連続分布
/
指数分布 例
t 時間にランダ
ムにｒ回故障する
確率 p(r,λt)
時刻τで故障す
る確率
(t-
τ)時間で(r-1)回故障する確
率
t 時間でr回故障
する確率
!
!
1
;
1
;
!
1
;
1
2
;
1
;
2
;
0
;
1
1
;
0
;
1
;
1
;
1
0
1
2
0
0
0
0
0
0
r
e
t
d
e
r
r
t
e
d
t
r
p
e
t
r
p
r
e
t
t
r
p
e
t
d
e
t
e
d
t
p
e
t
p
te
d
e
e
d
t
p
e
t
p
e
t
F
t
p
d
t
r
p
e
d
t
r
p
f
t
r
p
t
r
t
r
t
t
r
t
t t
t
t
t t
t
t
t
t
D.ワイプル分布
ワイプル分布は，部品の寿命の分布に良く当てはまるので，
信頼性工学で利用される
形状パラメータ
；
m，
尺度パラメータ
；ｔ
０
X-> x-γ；
位置パラメータ
γ
1
2
1
1
2
.
87
86
.
2
1
1
85
.
2
exp
1
84
.
2
0
,
exp
2
2
0
0
2
1
0
0
0
0
0
1
m
m
t
dx
x
f
x
X
V
m
t
dx
x
xf
X
E
t
x
x
X
P
X
F
x
t
x
t
mx
x
f
m
m
m
m
m
ワイプル分布
ガンマ関数の定義と性質
1
!
,
2
.
90
89
.
2
2
1
,
1
1
88
.
2
0
,
0
1
number
natural
n
n
n
x
x
x
x
du
e
u
x
x u
E.ガンマ分布
形状パラメータ：
m
尺度パラメータ：
1/a
自由度
nのχ
2
分布
m=n/2, a=1/2
m=1 指数分
布
2
.
94
93
.
2
92
.
2
0
2
0
2
0
1
a
m
dx
x
f
x
X
V
a
m
dx
x
xf
X
E
x
e
x
m
a
x
f
m ax
m
,
2
2.96
95
.
2
2
2
1 1
2
2
2
n
X
V
n
X
E
e
x
n
x
f
x
n
n
ポアソン分布の部分和と
χ
2
分布の関係
事象の発生が
r+1個以上に
なる確率
1-α
事象の発生数が
r個以下の
確率を
α
2(r+1)は自由度，
Χ2
の値は， Χ2
分布表の自由度が
2(r+1)で，確率がαに対応する
m=n, α =ｎλ;Γ(n,nλ)を階
数
nのアーラン分布
2
.
99
2
98
.
2
!
97
.
2
!
1
2
1
2
,
0
1
r
r
k
m
k
m
r
k
k
m
e
k
m
r
X
P
e
k
m
1 ,
1
2.101
100
.
2
2
1
2
n
X
V
X
E
e
x
n
n
x
f n n x
離散分布の関連
２項分布
ポアソン分布
指数分布
Χ２乗分布
正規分布
正規分布
pkqn k
k
n
p
n
k
b
,
;
N
np
,
npq
m
k
k e
k
m
p
!
m
e
p
0
m
m
N
,
2
連続分布の関連
ワイブル分布
指数分布
ポアソン分布
アーラン分布
ガンマ分布
対数正規分布
正規分布
カイ２乗分布
m
,
W
m
,
m
P
n,
n
n
n 2
2
1
,
2
1
,
1
,
W
N
0
,
1
