Microsoft PowerPoint - 弾性波動デバイス4

弾性波動デバイス

Part 4: ２次元伝搬

千葉大学大学院工学研究科

人工システム科学専攻電気電子系コース

橋本研也

平成22年4月3日版

•２次元の波動伝搬

•

••

導波モード

導波モード

導波モード

•

••

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

•

••

横モード

横モード

横モード

の抑圧

の抑圧

の抑圧

内容

回折現象

回折現象

W x_c (b) (a) (a) Fresnel領域(ビー ム状伝搬) (b) Fraunhofer領域 　(円筒波状伝搬)

臨界距離：

_xc=(1+γ)W2/λ

(a) 開口が大きい場合 (b) 開口が小さい場合

重み付けされたIDTでは 開口による特性の変化

グリーン関数法解析

グリーン関数法解析

∫ ∫

+∞ ∞ − +∞ ∞ −

−

−

=

G

X

x

Y

y

q

x

y

dxdy

Y

X

,

)

(

,

)

(

,

)

(

φ

φ

(X,Y) q(x,y) ここで、G(X,Y)はグリーン関数 X»|Y|

を仮定する（近軸近似）。

2 F ₋

_β

₋

_ζ

≅ 逆速度面を　　　　　　と近似すると、2 0 y x x β ζβ β = − ) exp( 2 ) ( j r r F r G β π − =

y_n+w_n/2 (x_n,y) (X,Y)

∑ ∫

= + −

−

−

=

N n w y w y n n n n n

dy

y

Y

x

X

G

A

Y

X

1 2 / 2 /

)

,

(

)

,

(

φ

y_n-w_n/2

n番目の電極(幅w

_n

、位置(x

_n

、y

_n

))の影響

(X_m,Y) y_n-w_n/2 y_n+w_n/2 (x_n,y) Y_m-W_m/2 Y_m+W_m/2

∑∑ ∫

∫

∑ ∫

+ + = + −

−

−

=

=

M N Y W y w M m W Y W Y m m m n n m m m m

dydY

y

Y

x

X

G

A

dY

Y

X

Q

2 / /2 1 2 / 2 /

)

,

(

)

,

(

φ

m番目の電極(幅W

_m

、位置(X

_m

、Y

_m

))で受信すれば

-100 -80 -60 -40 -20 0 30 35 40 45 50 55 60 Amplitude in dB Frequency in MHz 回折効果有り 回折効果無し

シミュレーション例

シミュレーション例

高周波側の帯域外特性に顕著に影響

•

••

２次元の波動伝搬

２次元の波動伝搬

２次元の波動伝搬

•導波モード

•

••

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

•

••

横モード

横モード

横モード

の抑圧

の抑圧

の抑圧

内容

対抗策

共振器への回折効果の影響

共振器への回折効果の影響

横モード

横モード

Frequency Admittance B G 非調和高次共振

波数ベクトル

β

波数ベクトル

β

λ_x x y λ_y λ 波動の伝搬方向 V_p (=fλ) はベクトルの展開則を満足しない！ β_x=2π/λ_x β_y=2π/λ_y |β|=2π/λ 波動の伝搬方向 |β|=2π/λ:単位長さ当たりの位相遅れ

)]

(

exp[

)

exp(

−

j

β

•

X

⇒

−

j

β

x

+

β

y

+

β

z

2D波動方程式

2D波動方程式

φ

φ

ω

φ

2 0 2 2 2 0 0 2 2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

x x y

V

y

V

V

x

ω

/V_x0

ω

/V_y0

)]

(

exp[

j

β

_x

x

β

_y

y

φ

∝

−

+

の時

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

V

_x0 2

β

_x

ω

2

+

V

_y0 2

β

_y

ω

2

=

β

_x

β

_y

ω

/V_x0

ω

/V_y0

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

/

(

)

(

1

)

/

(

2 2 0 0 2 2 0 0

−

±

≅

−

±

=

ω

β

ω

ω

β

ω

β

x x y x x y y

V

V

j

V

V

β

_x

β

_y

)

exp(

)]

exp(

)

exp(

[

A

j

β

_y

y

A

j

β

_y

y

j

β

_x

x

φ

=

₊

−

+

₋

+

−

ω

/V_x0

ω

/V_y0 2 0 2 2 0 0 2

)

/

(

)

/

(

_{y x y x} x

V

V

β

ω

V

β

+

=

β

_x

β

_y 2 2 0 0 1 0 1 0

)

2

(

/

)

(

/

)

/

(

_{x x y x y} x

ω

V

ω

V

V

V

β

β

_≅

₋

− − 放物線近似

スネルの法則

スネルの法則

媒体 1 媒体 2 境界面での波面の連続 横方向の波長の連続性 ⇒ 横方向の波数成分の連続性

S₁ β_x/ω θ_i θ_i θ_r θ_r S₂ S₁ S₂ θ_t βx/ω β_i/ω β_r/ω β_t/ω β_i/ω β_r/ω (a) 透過 _{(b) 全反射}

二つの媒体の境界では

逆速度面 (S=1/V_p)　　 この場合 S₁>S₂

エバネセント場

エバネセント場

全反射によるエバネ セント場の染み込み

指数関数的減衰

₍

エ

ネルギーの蓄積

₎ β_x=β₁cosθ₁ かつ β_x2+ β y22= β22 βy2= β22-(β1cosθ1)2

トンネルリング

トンネルリング

• 波動を通さない媒体であっても，薄ければ透過 • 透過に伴う位相変化無し

t θ

閉じた導波路

閉じた導波路

λ_g x y

横共振条件

-2β_yt+2∠Γ=2nπ -2βtcscθ+2∠Γ=−2βcotθ×tcosθ+2nπ ２回反射波との位相整合条件 Γ: 境界での反射係 数

導波モードの波数

λ_g=2π/β_x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 規格化周波数 規格化波数 n=1 n=2 n=0 導波モードの波数 β_x= β_c2-[(∠Γ−nπ)/t]2 　 ∠Γ=0もしくは±πの時のβ とβ の関係

β

_c: コア部の速度 β_x2+β y2=βc2

(a) カットオフ付近 (b) カットオフ遠方 tan-1(V_p) 波数 周波数 tan-1(Vg)

導波モードの伝搬

V_p=ω/β_x: 位相速度

波面の伝搬速度

V_g=∂ω/∂β_x: 群速度

エネルギーの伝搬速度

0 1 2 3 -3j -2j -j 0 1 2 3 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 規格化周波数 規格化波数

カットオフ以下では？

t t t=L/V_g (a) 入力信号 (b) 出力信号 φ=ωL/V_p

信号の応答に現れる群速度と位相速度の影響

cut-off β R cut-off β R β R (a) (b) (c) (d)

カットオフ以下では

カットオフ以下では

β1 R1 β2 R2

1 2

β R₁ β R2

カットオフ状態で無くても

開放導波路

開放導波路

t θ λ_g x y

横共振条件　

-2β_ｙt+2∠Γ=2nπ 　∠Γは周波数(θ)依存 端面での全反射を利用　⇒　エネルギーの染み出し

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Normalized frequency Normalized wavevector 臨界状態 開放導波路におけるβ_cとβ_ｘの関係

全反射条件を満足すれば閉じた導波路と同様

全反射条件を満足しない場合は？

t θ

漏洩波導波路

漏洩波導波路

端面での反射

係数が大きけ

れば，導波モー

ドの様に伝搬

反射係数が小さければ？

自由（非導波）モードとして伝搬

導波モードと自由モードの速度と近い場合に重要 ＝カットオフ付近

•

••

２次元の波動伝搬

２次元の波動伝搬

２次元の波動伝搬

•

••

導波モード

導波モード

導波モード

•スカラポテンシャル法解析

•

••

横モード

横モード

横モード

の抑圧

の抑圧

の抑圧

内容

32

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

深さ方向

への界分

布無視

IDT

部を

均一な構

造として

近似

w_G w_B w_B Region B Region G Region B x y ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − ≤ − + ≤ − + + − + ≥ − − = − − + + ) 2 / ( ) exp( ) exp( ) 2 / | | ( ) exp( )} exp( ) exp( { ) 2 / ( ) exp( ) exp( G Gy G Gy G G By B w x x j y w x x j y j y j w x x j y β α φ β β φ β φ β α φ φ 場の表現(単純化の為にw_B=∞を仮定)

y=±w_g/2におけるφ及び∂φ/∂yの連続性を考慮すると ) 2 / tan( _{Gy G} Gy By

β

β

w

α

= ) 2 / exp( ) 2 / cos( 2 _{G Gy G By G} B

φ

β

w

α

w

φ

+ ₌ +

対称モード

(φ_B+₌φ B-

、

φG+=φG-)

反対称モード

(φ_B+_=-φ B-

、

φG+=-φG-) ) 2 / exp( ) 2 / sin( 2 _{G Gy G By G} B j

φ

β

w

α

w

φ

+ _{= −} + ) 2 / cot( _{Gy G} Gy By

β

β

w

α

= −

S_y (a) ξ>0 (b) ξ<0 V_G0-1 S_y S_x Sx V_G0-1

放物線近似

0 2 0 G Gy

/

G G x

β

ξ

β

β

β

≅

−

0 2 0 B By

/

B B x

β

ξ

α

β

β

≅

+

領域Gに対して 領域Bに対して 等方性ならばξ=0.5

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 0.1 0.2 0.3 S y sec/km

36-LT

における擬似弾性表面波の逆速度面

36 S_y (a) ξ>0 (b) ξ<0 V_B0-1 S_y S_x S_x V_p-1 Vp -1 V_G0-1 V_G0-1 V_G0<V_p<V_B0 導波モードの波数と逆速度面の関係

導波路にエネルギーが閉じ込められる条件は？

⇒　　

α

_By

が実数

V_B0<V_p<V_G0 V_B0-1

高次モードは高周波側へ

高次モードは低周波側へ

対称モードの場合

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ = + − 2 ˆ 1 ˆ tan ˆ 1 ˆ 1 V w V V

_π

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − = + − 2 ˆ 1 ˆ cot ˆ 1 ˆ 1 V w V V

_π

反対称モードの場合

|V

_B0

/V

_G0

-1|«1の場合

ここで 0 0 0 0 0 0 ˆ 2 ˆ G B G G B G B p V V V w w V V V V V V

ξ

λ

− = − − − = :規格化位相速度 :規格化導波路幅

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Relative phase velocity

Relative aperture width S₀ 実効的なSAW速度の規格化導波路幅依存性 S_１ S₂ A_１ A₂ A₃ 領域Bでの速度　⇒　領域Gでの速度

L(n)_m C₀ C_m(n) R_m(n) L(3)_m C_m(3) R_m(3) L(2)_m C_m(2) R_m(2) L(1)_m C_m(1) R_m(1)

多モード共振子の等価回路

n p n V ) ( ) ( 1 2

π

ω

= =

もう一つの条件は？

40

モードの直交性

dy y dy y dy y y _{n k n} k 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) (

∫

∫

∫

+∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − + = +

φ

φ

φ

φ

モードは独立に伝搬し、相互のパワーの交換が無い！

k nk n k y

φ

y dy

δ

P

φ

=

∫

+∞ ∞ − ) ( ) ( *

モードの完全性

場はモードの和によって表現できる。

∑

∞ = ( ) / ) (y A_k

φ

_k y P_k

φ

ここで _{Pk k y dy} 2 ) (

∫

+∞ ∞ − =

φ

直交性

フーリエ展開　

ϕ

_n

_(x)=p

-0.5

_exp(2n

πjx/p)

nk p p n k

x

φ

x

dx

p

π

jx

n

m

p

dx

δ

φ

∫

∫

=

−

−

=

0 5 . 0 0 *

]

/

)

(

2

exp[

)

(

)

(

完全性

∑

∑

∞ = − ∞ =

=

=

1 5 . 0 1

)

/

2

exp(

)

(

)

(

k k k k k

x

p

A

k

jx

p

A

x

φ

π

φ

n p k n k k p n

x

dx

A

x

x

dx

A

x

=

∫∑

=

∫

∞ = 0 1 * 0 *

)

(

)

(

)

(

)

(

φ

φ

φ

φ

dx

p

jx

n

x

p

A

p

∫

−

=

−0.5

)

/

2

exp(

)

(

π

φ

両辺に

ϕ

_n*

_(x)

を乗じて積分すれば、

w_{e wg}

励振部と導波路で幅に差をつけると？

⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = /2) ( 0 /2) ( ) ( 0 e e w |y| w |y| y

φ

φ

励振源の位置における振幅

∫

+ − = 2 / 2 / * 0 ) ( e e w w m m m y dy P A

φ

φ

∑

_∫

∫

∞ = +∞ ∞ − +∞ ∞ − = 1 * * ) ( ) ( / ) ( ) ( k m k k k m y dy A P y y dy y

φ

φ

φ

φ

両辺にφ_m*_{(y)をかけて，積分すると} ゆえに 1D解析を適用すれば、A₀=φ₀ w_e 1 2 2 2 / 2 ) ( ) ( ) ( − ∞ + + ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = = A

∫

y dy w

∫

y dy C_mn _n we

φ

φ

動キャパシタンスはパワー励振効率に比例するから，

44 0.001 0.01 0.1 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Relative coupling Factor

Relative aperture width

実効的な電気機械結合係数の規格化 導波路幅依存性(w_e=w_g) S₀ S₁ S₂

この場合反対称モードに対する励振効率零

(a) S₀モード(幅が狭い場合) 染み出し大 (b) S₀モード(幅が広い場合) 染み出し小 (c) S₁モード 符号反転領域の存在

実効的結合係数が変化する理由

•

••

２次元の波動伝搬

２次元の波動伝搬

２次元の波動伝搬

•

••

導波モード

導波モード

導波モード

•

••

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

スカラポテンシャル法解析

•横モードの抑圧

内容

W_g

W_G W_a

W_d

IDTへの重み付け

W_g

W_G W_a

W_d

ダミー電極の配置

1300 Frequency, f [MHz] 700 800 900 1000 1100 0 10 20 30 50 Insertion loss [dB] min IL=0.5 dB BW_3dB=152MHz (15%) 40 1200 h/2p=7.2-9.3%

膜厚増加によるバルク波放射の抑圧

膜厚増加によるバルク波放射の抑圧

700 800 900 1000 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0.5 0.4 Frequency [MHz] Input Admittance [S] Transverse modes Rayleigh mode

Cu/15

o

YX-LiNbO

₃

構造上の１ポート共振子

Resonance Frequency, f r [MHz] Aperture, w/2p Rayleigh mode S₀ S₁ S₂ S₃ S₄ S₅

横モードのスペクトラム

0 10 20 30 850 830 840 820 800 810 790 5 15 25

800 840 880 920 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Resonance Frequency [MHz] W_d/W_g S_0A S_1B S_2A S_3B S_5A S_4B

ダミー電極配置後の共振スペクトラム

ダミー電 極による モード (W_d依存)

-10 -5 0 5 10 0 [grating] [dummy] [bus-bar] [free] x 2 /λ S_2A S_1B

スプリアスの変位分布

ダミー電極部にエネルギーが集中

ダミー電極に依存しないスプリアス抑圧は？

ダミー電極に依存するモードとの結合 800 840 880 920 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Resonance Frequency [MHz] W_d/W_g S_0A S_1B S_2A S_3B S_5A S_4B

-10 -5 0 5 10 0 x 2 /λ [grating] [dummy] [bus-bar] [free] S2A S_1B

スプリアスの変位分布

ダミー電極部にエネルギーが集中

800 820 840 860 880 900 920 3000 3200 3400 3600 3800 4000 共振周波数 [MHz] ダミー電極部の速度 [m/s] 0.75 0.25 図９ ダミー電極部の速度による不要応 答の共振周波数の変化の計算例 メタライゼーション比

W_a W_g W_d

W_g

0 2 4 6 8 10 12 14 800 900 1000 1100 1200 1300 Insertion Loss[dB] Frequency[MHz] 破線： ダミー電極無し 実線： 重み付きダミー電極有り