【論 文】 UDC ：624
．
0ア2：624．
04 ：516．
3 日本 建 築 学会構 造 系 論 文 報 告 集 第 397 号・
1989 年 3月増 分
摂動
法
を
導
入
し た
一
次 元
複 合非線
形
有
限
要素
法
正 会 員 正 会 員石
森
田迫
修
清
＝ ＊ 里 ＊＊ 貝 §1．
序鋼 骨 組が静 的 あるい は動 的に崩 壊す る 過程 を 追 跡する 数値解析法と し て
，
中 村・
石 田ら が1973
年に提 案し た一
次 元複合非 線形 有 限要素 法2）−
5 ）ta，
要 素にお ける剛 体 運 動 座 標の採 用と要 素の直 列 性に着 目し た伝達行列 法の 導人に よっ て特徴づ け られ る。
筆 者ら は，
近年，
こ の数 値解 析プロ グラム を その特徴に ちなんで，
FERT （Einite
Element
method with 旦igid・
body−
motion coordinates andTransfer
matrix technique ）と呼んで いる6 ）・
7）。
これ ま でFERT で は増 分 載 荷 段階をか な り小さ く と ることを前 提 として
，
接 線 剛性係 数法 を採 用し てきた。 そ こでは，
あ ら か じ め規 定 する増 分 長が，
解析 精 度 を 支 配し，
増 分長の決定が重 要な問 題と な る。 ま た， 要素の 材 料の履 歴 経 路に お ける除 荷の 予 測を行うこと は で き ず， そ の意味で履 歴 経 路 を正 確に とらえる こと は困難で ある。
弾 塑 性 問題 を扱う増 分 解 析では，
ある増 分ス テッ プで履 歴 経 路の選択を誤ると，
その後の挙 動 予 測の信 頼 性が低下 する こと は当然であ り， また，
後の ス テ ッ プに おい て，
ひずみ の進 行 方 向と整合性のある剛 性 行 列を作 成 す ることが で き な いとい う問題 を 引き起こす原 因にか か わっ て くる とも考え られ る。 筆 者ら は，FERT
を 用 い た重層K
型 筋かい付 鋼 骨 組の静 的 解 析で， こ の整 合 剛性 行列 を作成 で き ない と いう事 態を幾度か経験してい る。弾 塑性 材料の履歴 経 路 上にお ける除 荷を予 測す る問題 は
，
1972年に上 谷 が，
既 知の状 態を基 準と して塑性法 則 を時 間パ ラメー
ター
に関し て摂 動 展 開す る とい う ア イ デア で解 決しS〕，
中村・
上 谷らに よっ て増 分 摂 動 法とい う名称で提 案さ れて いるy ）”
tl）。
こ の 増 分 摂 動 法を用いる と， 増 分 長の決 定は自動 化さ れ， かつ 解析 精 度 も制 御す るこ と がで きる。
塑 性 法 則を摂動 展開 す るとい う手 法は，
1973 年に Hutchinson に よっ て も独 立に提 案さ れ，
弾塑 性 分 岐 問 題に用い ら れてい る］2）。
本 論 文では，
FERT の基本骨 格で ある要 素に おける 剛体運 動 座 標の採 用と伝達行列 技法を生か し て，
中 村・
上谷らの増分摂 動 法を導入 し た定 式 化 を新たに行い， 骨 組 構 造物の解 析 プログ ラム の開発 を試み た成 果を報告す る。 以下，
今 回 作 成 し た解 析 プロ グラムをFERT−
P （P
は Perturbation を意 味 す る）と 呼 ぶ。
こ こ で は，
FERT −P
の ベ ンチ・
マー
ク・
テス トの対象の一
つ と し て，
特に，
2層K
型 筋かい付 鋼 骨組の繰り返 し物 理実 験を採り あげた。
こ の 問 題は，
筋かいの座 屈 と梁の塑性 化 現 象が絡む問 題で， 従 来の FERT で は， 極めて解析制
御が困 難であ り，
筆 者らは いま だ満足 のい く解析 結 果 を得た ことの ない問 題で ある。
また，
他の研 究者によっ てもほとん ど発表さ れてお らず， こ の よ う な形 状を有す る任意 骨 組の挙 動 解 析に使用可能な解 析 法が提 示さ れ て い る とは言い難い状 況で あ る。
こ こ で提 示する解析 結果 は，FERT
−P
がそ の ような問 題に対して も 非 常に信頼 性の高い解 析 法で あること，
ま た，
増分 長の自 動 決 定に より，
計算効率の上で も有 利と な るこ と を例 証し て い る。
FERT
−P
は， 骨 組 構 造 物の物 理実験を支援する ため の高 精度 数値シ ミュ レー
シ ョ ン システムと し ての利 用な どに十 分 使 用で き る もの であり，今後，
筆 者ら以外の人々 にもこ の プロ グラ ム そ の ものが 利 用で きるよう な ん らか の か た ちで公 表す る予 定であ る。
§
2．FERT −P
の摂 動 方 程 式の誘 導 2．
1 有 限 要 素 基 礎 式の速度 表示 妻 旻 線 料 材 コー
．
−
．
．
−
：’
中一
’
・
’
集ノ
TI1411r
’
I−
−
−
↓ ”．
‘
一
’
r
一
’
一
’
1
嚠
111111
」 の 面 化 断 ル 素 デ 要 モ／
州1L
「
本論文の概 要は文 献 1 ）で発 表し た。
拿 京 都工芸 繊 維 大 学 教授・
工博 ＃ 京 都工芸 繊 維大学 助手・
工修 〔昭 和 63 年8月31日原 稿 受理｝ ua 要 素 基 準座 Vb一
一
一一費
x，
x oー
Rb≡
旧b P va Y，
y o／
leqbb
θb一
〇R、
θ ∂ eaR＝
ma a P ン 4 α d a硲
＼
qa 熱 局腱 髀る （サ セPt ほ ） 図
一
1 要 素の モデル化と要素座標一 73 一
図
一
1に要 素の モ デ ル化を示す。 有 限 要素な らびに座 標系の設 定に関し て は， 文 献13〕 に示し たもの と全く同 じ である。
平 面 骨 組の面 内挙 動の みを扱うものと し， 面 外 座 屈 等は考 慮 しない。
部材は，
材 軸 方 向に直列に並ぶ n 〔≧1
）個の 「単 純 梁 柱要 素」に よっ て構 成さ れて い る と 考える。
また，
各 要 素は，
材 軸 方 向に並 列に並 ぶm （≧2＞ 個の 「集 中 材料線 要素」に よっ て形 成さ れて いる と考え る。 材 軸 方向の 弾塑 性境 界は要 素端のみに生 じ るもの と し，
各 材 料線要 素の降 伏お よ び除荷は，
その線 要 素の 中 央の ひずみ値で判 定さ れる。
な お，
要 素の材 軸 方 向の分 割は，
要素両端の上下 縁の ひずみの進展に伴っ て 自動的 に行わ れ る。
分 割さ れる側の要素を母 要 素， 新たに生じ た要素を子 要 素 と呼ぶ。
要素端変位および要 素 端 力につ いて，
以 下，
次の記号 を 用い る ：（基 準 座 標で の要素端 変位 ）
iD
｝＝
尠Ua
Va
ea
Ub
v
，e
，｝ T （基 準 座 標で の要 素 端 力 ）｛Pl＝
IP
αQaRaP
。Q
，R
，｝ 「（局 所 座標変位 ）
ldi
＝lu
、θb副 τ（局 所 座標力）
i
ρ｝＝IPa
7nbinaF変形前の要素材 軸 上の x 点の 局所座標枠に お ける x 方 向
，
y 方 向お よ び回 転 方 向変位 成分をそれぞ れ u（x｝，
v（X），
θ（x ）で表 記する。
x 方向 変 位，
y
方 向 変位をそ れぞ れ X の 1次 式，
3次 式で表す慣 用の変位 関 数 を採 用 す る と，
；
碧
一
［
xOx−
xsO
／L2
xt−
O
x’／L
Ol −
3x2／L22
コじ一3
コc2／L
］
ii
………・
……・
…・
………・
…・
・
（1 ） と書ける。
こ こ で，
lal
＝1
α、 a， a“ T は変位 関 数の未 定係 数ベ ク トル であ る。lal
をldl
で表し，
その速 度 表 示を書 くと，16
ト［r
］utid
｝…………・
・
…一 …・
…・
……一 ・
（2 ） とな る。
こ こ に，
r
−
［
1
i
L
．
1
∴
］
一
・
……・
・
… で ある。ひずみ変 位関係は
，
FERT の特 徴の一
つ で あ る剛 体 運動 座 標の採 用と， 材料 非 線 形へ の対 処か ら分割後の子 要 素 長が十 分 短く かつ母要 素も含めて各 要 素の変 形その もの が小さいと して，
微 小 変 形に関する もの を採用す る］4，・
ts ）。
材 軸か らの距離が y」で ある第 ノ番 目の材料線 要 素の伸びひずみ速度 酬」じ，
yJ）は，
b
（…y
・）一
警
L
認
謬
≡lb
・ird
トー
（・） こ こ に，
州
16
音
・・一
（
・一
・f
）
y・1
「……一
（・）一
74
と書け る。
次に， 要 素の第 」番 目の 材料線 要素に属 する集 中 断 面 積 をαJと す る と
，
要 素 局 所 座 標枠で の速度 型 仮 想 仕 事 式は， 次の よ うに な る。
1
・姻
一
茎
・・f
， ” ・（・，
・，）・・（・，
・・J）dx− …
（・） また， 各 材料 線要 素の応 力ひずみ関係式の速 度 表 示は，
∂（X
，
宝ん｝＝
E7〈3ん）を（x，
31丿）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（7 ） と書け る
。
こ こ に， EKyi ）は，
そ れまで の ひずみ経 路 と ひずみ 速度の符 号によっ て決ま る係 数である。
式 （2 ＞および （4） を 式 （6）に代入 し，
1
δ訓
の各々 が独 立であ ることに着目 す る と，
要 素 局 所 座 標に お け る 速 度 型つ り合い式 が 次の よ う に導か れる。
lbl
一
幾
・・∬
1
・・｝・幅 ｝・x…一 一 ……・
（・） こ こ に，
｛B」
1
；
（［1−’
］置
t）flb
，1
・
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
… 一・
…
（9 ） で あ る。 こ の
iB
，1
を用いる と，
式 （4）の ひずみ速度一
局 所 座 標 変 位 速 度 関係式は次の ように書け る。b（x，y丿）
＝
IBA
円d
｝・
…・
・
・
・
………・
・
（10）要 素局 所 座標と要 素 基準座標の要素端 変 位 および要素 端 力の速度量 は
，
そ れ ぞ れ文 献6L7L13 ） に示し た要素拡 大 回転 行 列 〔T ］を介し て次式で関 係づ け ら れ る。
同
＝
［τ］ID
ト…・
・
…・
…・
…・
…………・
………
｛11
）Ipi
＝
［T
］TI創十［T
］TIP｝…・
………・
・
……・
・
……
（12 ） こ こ で，
・T・
一
［
1
；
に
ill
l
三
；
1
調
・
一
・13
・ c＝ cos θ ， ， s＝
sin θ，，
t＝L
十 Ua・
・
…
（14
a−
c） で あ り，
θ，は要 素 剛体回転 角と呼ばれ， 幾何 学 的 関 係 か ら次 式で表され る。
e・
・
＝
・・n−
1黠
・
一 ・
…・
・
………・
・
…
（15） 式 （15 ）お よびL
＋U。＝ （Ua− U
、＋L
）COS θR＋（Va
− Vb
）sin θR……・
…一 ……・
（16 ） か ら，
麟 と要 素 基 準 座 標変位との 速度 関 係式は，θ丑
＝
IR
巨11
）｝・
・
一・
一・
…
7P・
マ
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
17
）｛・
→
1
−
・ …一
・ ・ド・
…・
・
一 ・
（18
） と書け る。式 （8 ）を式 （12）に代 入 す る と， 次の基準座標で の 速 度型つ り合い式 を得る
。
lPi
・・【T ］・憾
・・XL
IB
，lo
（x．
y，）dx1
＋［T
］ ’lpi
”鹽
…
r・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（19 ）2．
Z
状態変 数の摂 動 展 開 文 献8）−
11 ｝ に従っ て，
すべ ての状態変 数 を既 知の ［刀状 態で次の よ うに摂 動 展 開 する
。
以 下，t
は変形 を記述 する た め の パ ラ メ ター
で，
［刀 状 態でt
＝ 0で あ り ， 0≦t≦t。．
の区間で， すべて の状態変数は tに 関して解 析 的一
価 関 数である と す る。tcr
につ い て は後述す る。
lD
（ 叫，
lpc
°）i
等は ［刀 状態の既 知 量 を表す。 （要素基 準 座 標に関す る状態変 数）eo
｛P
（の｝＝
Σ 眇ω ｝置M，
Ip
｛t
）｝＝ Σlp
〔桝〆 N＝
O N＝
D’
’
”『
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”tt’
’
’
’
”・
（20a，
b
） （要 素 局 所 座 標に関する状 態 変 数）m
m
ld
（t
）1
＝
Σldcn
°ltM
，IP
（t
）｝＝
Σ1
ρ CMItN M−
O N＝
O”鹽
’
……’
tt’
t’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
’
”ttt
（20c，d
） （応 力ひずみ関 係に関 する状 態 変 数）co
oo
σ」｛t｝＝
Σ σ胸 鮒 ， eノ（t
）＝
Σ θ野 酎…・
…
（20e，f
＞ M＝
O M−
O こ こ に，
の，
e」は そ れ ぞ れ σ（x，
Y丿〉， e（x，
y」）を略 記し た もの で ある。
式 （7 ）で応 力と ひずみ を関係づ け る係 数EKyi
）は，
こ こで は区 分 線 形 化さ れ た も のを 対 象と する ことと し，
摂 動展 開 は行わ ない。
し た がっ て，
E，∫≡ EKy 」）は， 各増分段 階の初 期値を と り，
その増 分 段 階を通じて一
定値で あ る。
（要 素基 準 座 標と要 素 局 所 座 標 を 関 係づ ける状 態 変 数 ） co co ［T
（t
）］＝
Σユ［T
［m ］tN
， θ．（t
）＝
Σ θkma
t
” M≡
O M＝
Oの
IR
（t
）1
一
Σ ｛Rlian
｝置” MiO…・
…………・
…………・
（21a−
c） 要 素 拡大回転行 列 ［T
］は要 素剛体回転 角 θ，と局所座 標 変位 Ua の 関数であ るの で，
その 展 開 式の係 数行列は 次の よ うに 書 き 表 され る。
［T
［m ］＝＝
［7’
（θ饗1，
岨 ）］［
T
・・
， ］一（
∂9e
，［T
］）
θ接・＋（
菰
［T
］）
岨［
T
・m ］一
（
螽
［T
］）
θ留＋（
孟
［T
］）
・留・
1
（
識
［T
］）
θ穿・
θ留・
（
∂θ譲
ら
。。 ［T
］）
θ呈・靦・
去
磁
［T ］）
・留・
・留 す なわち，
［T｛o］ ］＝
［T（θ肆，
t4豊1）］ ［T［m ］＝
［T，
θ．］θ贈十［T，
ualu ‘ ． M＋［T〔m ］ （M＝
1，
2，
…
）………・
・
（22） と書け る。
こ こ に，
表 記 法 ［T，
v〕は ［T ］の v に関 する 1次 偏 導 関 数 行 列を表 し，
［T
（m ］は そ れ以上の 次 数の 剰 余 項を示 して い る。 ［丁門 は （M −1
）次 以 下の 摂動係数だ け で計算で き る。 な お， ［T
“）］；
［0
］で あ る。
ま た，
［T
［m ］に含ま れ る ［T
］のe
，，
Ua に関す る高 次 の偏 導 関 数 行 列は，
2次まで の偏 導 関数行列 を記憶 して おけば，
そ れ らを 利 用して容 易に計算さ れ る。 式 （2
ユc） のIR
｝もθ， とUa の 関 数であり，
そ の展 開 式の係 数 行 列 も 同 様に書き表す こと がで き る。IR
「 桝の 1次 以一
ヒの摂 動 係 数ベ ク トル は，
同 次の ［T［M ］の第 2行あ るい は第 3行の符 号 を換え た もの に等し い。
式 （20a−
f）， （21 a，b
）を tで微 分 すれ ば， それぞれ の変 数の速 度 量が次の ように表され る。co
co
lD
（t）i
＝
z
MIDfMltM”
’ ．lp
〈t）1
＝
Σ Mlp 〔MltM−
1 M＝
1 胛一
1co
ab ヨ
d
ω ｝＝
Σ 酬d
砌 ｝tN−
L，
ゆ（t）ト Σ MIP［MltM−
’ H＝
l M＝
lm
tn
∂丿ω＝ Σ 〃 σ野 鯉一
1，
乙 丿ω＝ ΣMeSM
tM−
’ 層＝
1 層＝
1ロ
m
θ陀ω＝
ΣM
θ胸 封一
［T
｛t
）］＝
ΣM
［T
［M ］tM
−
1 制己
I M己
1……・
一
・
・
…・
……・
…・
一
（23a−h
） こ こ で は，FERT
の特 徴の一
つで ある移 動 座 標の 採 用の た め， 式 （20
）に見ら れ る よ う に二つ の座標そ れ ぞ れでの状態変数の摂動 展 開と，
式 （21
）の座標変換に関 係す る状態変数の 摂動 展 開が 必要と な る。 しか し，
ひず みと変位を関 係づ け るベ ク トル1B
ボは状 態 変 数を含ま ず，
摂動 展 開に は無 関 係であ る。 2，
3 状態変数の関係を与える基 礎 式 式 （20），
（21｝ お よ び （23）の状 態 変 数の関 係 を 与え る基 礎 式は，
2．
1項の式 中 （材 料 線 要 素の応 力 速 度一
ひずみ速 度関係 式｝式 （7） （要 素 局 所 座 標に お け る速 度 型つ り合い式）式 （8
） （ひずみ速 度一
要 素 局 所 座 標 変 位 速 度 関 係 式 ）式 （10
） （要 素 局 所 座 標 変 位 速 度一
要 素 基 準 座 標 変 位 速 度 関 係 式） 式 （11
） （要 素 剛 体回転 角 速 度一
要素基準座標 変位速度関係式） 式 （17 ） （要素基 準座標に お け る速度型つ り合い式 ）式 （19
） であ る。 これ らの基 礎 式は区 間0≦t≦t。 。の あらゆ る時 刻におい て成立 し な け れ ば なら な い。 こ れ ら の式に， 式 （20），
（21）および （23） を代 入 し，
tに関する共 通 項 を ま とめ て整 理する。
こ れらの式はt
の 任 意の値につ い て成り立つ 必 要が ある ことか ら， tの各次の係数がそ れ ぞれ独 立に等 式 を満 足し な け れ ば な ら ない。
こ の よ う な操 作を経て，
各 基 礎 式に対する摂 動 式の組が次の よ う に求め られる。
瀚
（
［・糊犠
・・ズ
凪i
・岡
＋［T・k・
r1P
・・←in ｝）
一
｛P
・麟 ｝ （M ＝
1，
2，
…
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
…
（24）一
75
−一
・塑一
乙
藷
IB
・｝ i ［T［”−
M ］IDI
・・ ｝ （M ＝1，
2，
。
・
→・
・
tS・
・
・
・
・
・
…
t…
（25
）θ鯉
一
意
か
R・牌 円D1
（M＝
ユ，
2，
…
）一
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt…
（26
）id
・・1
一
嵩嵜
［r・H−
・・ ］ID
・k ・i
（M＝
1， 2，…
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（27 ）1
…1
一
窰
・’∬
1
・・蹠 （M 一
1s2，
…
）………・
・
（28＞ σSM
＝
ErjlBA旺T（°）］」Dtm｝＋ ∂野 （M ＝
1，
2，
…
）・
・
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（29 ） こ こ に， ∂野は （M −
1） 次 以 下の係数 だ けで計 算で き る 項で あ り，M
次の摂 動方 程 式の中で は既 知の項と して 取り扱わ れ る。
す な わ ち，
∂屮＝O
aL・
一
冨吉
剛 B，肛丁 一 ］ID
・・D
（M＝
2，
3べ・
・
）・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
…
（30
） であ る。
ま た，
式 （24
）の左 辺 第 2項は，
式 （22 ）， （23 ） を用い て次の よ うに書き換える こと がで き る。
禽畜
［τ ］Ti ρIN−
・1
−
［Tlm
］9P
・・II ＋溟
藷
［T
］Tlpl・’
・1
＝
（［T，
θ，］ 「 θ轡十［T ，
uα］ Tu 響）ipCOI
｝＋
窘
姦
［Tde
］rlP・M−
k・1
＋［i
・m ］rlpc・ll＝
（［T，
θ，］『P
［o］HR
（o］IT
十【T，uti］Tlpc°〕 ｝ll
O O｝［T｛o ）］｝ID
｝＋
溟
畜
（［T，θ・］ ・IP
・・IMR‘
・一
・ 円酬 十［T ，
ual『p〔o ）M
o ol ［T
〔M−
n］iDch
）｝ 十［T（M］「IP
｛M−
Ml ）十［T〔m］腎p働｝・
……・
……・
・
（31 ） 式 （24）に式 （25＞，
（29｝お よ び （31＞を代入 し，
t の 同 次項 を整 理 すれ ば，
次の よ うな摂 動 方 程 式が導 ける。 ［K｛ ） ］IDcanl
＝
lp
［an｝−
lpcm
｝・
…………・
・
…・
・
…・
…
（32＞ こ こ に， ［鯏一
［T・・1
鴬
・’∬
｛B’｝E・’IB
’ドdx
］［T ・ ］ 十［T
，θ，］『P 〔o，llRl
°｝ ｝「 十［T ，
Uoi］Tlpc 叫目l o ol［T
［OI］・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（33 ） ｛P
叫＝
io
ト1
画 一
黠
（
［世叫洳 ∬
1
易｝・Vk
’・x｝
十［T，θ，］ ilP （o ’HR
楜一
it ｝TIDCM ｝ 十［T，
Ua］刊p｛o 〕Hloo
｝［丁尉“
｝ ］｛p
｝一
76
一
＋［
Tua
］・IP
・M−
・ ｝）
・［・・ ］・
｛
鶏
・’∫
L 躍 ・・｝
十［TEAV］「1P
〔Ol ｝ （M＝
2， 3，…
）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（34 ） である。
摂 動 演 算は， 式 （34）に見ら れ る よ う に剛体運 動 座 標の座 標 変 換に関 係 する計 算に集 約さ れ る。
また，
式 （33 ）の ［K 別 は ［刀 状態での接線剛 性 行 列であ り，
増分摂 動 法 を導入 す る以前のFERT
の要素基準 剛 性 行 列に対 応す る もの であ る。
［κ別 は，
［」］状態で の既 知量を用いて計算で き，
次の よ うに表さ れ る。 ［κ馨｝ ］＝
［T
｛o） ］「［h
匸o 「［T
（叫 ］十［K
男』］・
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r・
（35） こ こ に，
・
h
・・） ・一
躯
［
譱
離
霧
ト
お よ び，
［κ，と］＝
f
，flSYM
．
f
，／10f
，／10
0一
fi
／1 −
f2
／10
−
f2
／Z −
fi
〃0
0 0 0f
，／1f
，／10fs
／l o O・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（37） こ こ で，
fi
＝
s2P 曹十2sc
σ雪lf2
＝−
Scp 麗，十 （Sz−
C2＞q胃］t−’
一
’
’
”…’
t・
（38a−
d） 丿Z
＝
c2P聟1−
28c σ曽〕 σ雪1＝一
（7π21
十 ηL詈〕 ）〃 で あ り，
［Tt
°1 ］は式 （13 ＞に与え ら れて いる。 式 （13
）， （38＞に現れ る s お よ び C は，
θ饗1につ い て計 算さ れ，
‘ は 耀 につ いて計 算され る。 2．
4 摂 動 方 程 式の部 材 座 標へ の変 換 式 （32）は各 要 素ごとの摂 動 方 程 式で あ り， 要 素 両 端 に系座標を設け る通常の有 限要素法であれば， 直 接， 系 の摂動 方程式を誘 導す るこ と は容 易で あ る。
しか し，
解 くべ き 連 立 方 程 式の元 数 は，要素数に比例 して多く なる。
そこ で，
系座標が要素数に か か わ らず一
一
定と な る よ う に， 従 来の FERT で採 用 して き た伝達行列 法の 技法をこ こ での摂 動 方 程 式 に も 適 用 す る。
部 材の 右 端か ら r 番目の要素に関す る摂動 方 程 式 を 次の よ うに表 示す るこ とにす る。
［K
醫〕 ］rl1） エMlr＝lpua
｝r−
lpmolr
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（39） 上 式をt その要素の右 端に関す る状 態変数の摂 動 係 数 と 左 端に関 す る もの とに分 けて表 現する と，［
1
黜
罰
嬲
厂
躍
厂
翻
∴
・
（・・） と書ける。 こ こ に，
添字 R お よ びL
は そ れ ぞ れ要素の右端
，
左端を意味して いる。
ま た，
［KRR
］，
［KRL
］などは，
［K罰 の部 分 行 列で ある。
式 （40） を 次の よ うな r 要 素の摂 動 係 数ベ ク トル囲
踟
囲
夥
1
レ
…一 ・
’
・41
・a… の関係に表 現 し直す と，
次の形の 摂 動 方 程 式 が 得 ら れ る。
牌禦ir
＝
［丁孚伽 ］71S 卿｝r−
IS
（M ｝r・
・
…………
………
（42
） こ こ に，
［Ti
門r−
［
［KLR］il餐
：
：
器
1
［欄 ［議
愉
昆
：
1
詠
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（43 ）風
一亅
、K
，，［］、矯
票
τ
1
｝
雛
曲
．
・
…………
・44・ で ある。
式 （42）の ［鯉 ］。 は，
従 来の FERT で第 r 番 目の要 素の伝 達 行 列と呼ば れて いるもの に等 しい。 とこ ろ で，
r 要素の左 端に 関す る状態 量 速 度ベ ク ト ル1S
虚＝
1
砂 剥P
認 と （r＋1）要 素の右 端に関 する状 態 量 速 度ベ ク トル 熔 宀＋ 、＝
11D
，HP
，e
｝掃 に は次の 関 係があ る2トη。
ISRIr
＋匸＝
［W
］｛S
，1
．
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
…
〔45
＞ こ こ に，
・剛
一
［
階
｝
、］
……・
・
………一 ・
…・
・46・ で あ る。 式 （45 ）の速度量 を摂動 展 開 し， r 要 素の左 端に関す る摂動係数ベ ク トルIS
劉r と （r十1）要素の右 端に関す る摂動係 数ベ ク トルIS
劉用 の 関 係 を求め る と，
次の よ うに な る。 ｛S
劉丁 ＋ ［＝
［Ψγ］｛S
野｝ド・
………・
………・
…・
……・
（47
＞ 部 材の右 端の状態変 数の摂 動 係 数ベ ク トル を1S
躙 で 表し，
これ が部 材 最 右 端 要 素のIS
跳 と等 しい こと，
お よび式 （42），
（47）を順 次 用い て，
IS
野｝．と 亅S
翻との関 係 を記す と次の ように な る。
｛S
野｝r＝
［C
〔m］γ｛S
騾一
｛P野｝厂・
…・
………・
・
……・
・
（48） こ こに，
［cw
） ］1＝
［71
撃1］1 ［ctm
］r； ［τ撃 〕M
咽 ［ctelr
一
匸 （r＝2
，3
．…
， n）・
−s・
t・
・
・
…
−stt
・
tt・
t・
…
t・
tt−s・
t・
一
（49） で あ り， ま た， ｛P
卿』＝
1s
閲 』lp
劉r； ［丁撃 1 ］r［w
］｛P
喫レー
1十｛s
例T （r； 2 ， 3ド・
・
tn ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（50 ＞ で あ る。部 材の最 左端の n 要素に おい て式 （48
）を書き，1S
割π竺 ｛S
賜と す る と，
18
盟篇 ［CP1
ηIS
蹄トlp
‘ ギ｝n・
………・
……・
……・
（51
） と な る。 これ は部材の左右の状態変数を関係づ け る摂動 方 程 式であ る。
is
劉 お よ びIS
剛 を部 材 左 右の 材 端 変 位 摂 動 係 数 の劉，
IP
跚ならびに材 端 力摂動係 数 嬲，
跚 で表現 す ると，li
駲
1
：
：
：
i
ll
：
：
IL
｛
；
黜
鳳
・
・
…
・… と な るe こ こ で，
［Cll
］な ど は ［C
，2］な ど は［C
門π の 部 分 行 列で あり，
1P
鼎 お よ びIP
留はIP
判。の部 分ベ ク トル で あ る。 これ を材 端 力 摂 動 係 数1P
劉と材 端変位 摂 動 係 数 の劉の関 係に変 換 する と，
［K 別IP
鯉i
＝
｛P 劉一
IP
禦1
・
・
…………・
・
……・
…・
（53 ） こ こ にg ［κ唱〕 ］一
［
一
［C12
］一
置 ［CH
］ ［Ci2
］−
1 ［Cal
］一
［C2t
］［C
、2］−
1 ［C11
］［σ22］［Cit
］−
1］
…
・54・囲
嬲
繝一
綴
t
…………
・55・a・
・b
） で あ り，
ま た1
酬
［Cai
］［lll
欄
，」・
・
・
・
…
一・
・
一
（56
） で ある。 式 （53）は部 材の摂 動 方 程 式で ある。 ［鵡 ］は ［」］ 状 態で の部 材の接 線 剛 性 行 列で あ り，
［刀 状 態で の既 知 量 を用いて計 算で きる。
式 （53 ）か ら系の摂 動 方 程 式は，
通 常の剛性 法に従っ て容 易に導け る。
こ のと き，
解くべ き連 立 方 程 式の元数は，
要素数にか か わ らず 部 材 の両 端の系の節点数の み に依 存 し， 式 （32 ）の要 素の摂 動 方程式か ら，
直接．
系の摂動 方程式に拡張 す る場 合よ り，
元数を格 段に減ら すこ と がで き る。
2．
5 増 分 長の 決定 すべ て の状 態変数は，2．
2節で 0≦t≦tcrで解析的一
価 関 数であるとし て，
摂 動 展 開され た。 し たがっ て，
解 析 性，一
価 性の 条 件が満た さ れ る範 囲に tを限 定し な けれ ば ならない。
これ らの条 件が犯さ れ る要 因と して は，
a）材料線 要 素の 降 伏 （こ こ で の区 分線形 応 力ひずみ関 係にお け る ひずみ硬 化 係 数の変 更 〉な らびに除 荷の発 生，
b
）分 岐 点の存 在， が挙 げられ る。
§3で は増 分 長t，
r の 打ち 切 り要因 と し て，
a＞は当然 採 用さ れ る。一
方，b
） につ いて は あ る程 度の不整を導入 す るこ とを前提とし て，
採用 さ れて い ない。
a）の他，
文 献9）−
1／に従っ て， 増 分 摂 動法の利点で あ る誤差の管理 を， い くつ かの指定 変数につ い て行っ ている。
さ ら に，
要素の自動分割に お け る 母要素の 4隅の ひずみの指定も打ち 切 り要因 と し て 採 用さ れ る。 具 体 的な増 分 長 tc．の計算方法につ い て は文 献 9）”
ll） を 参照さ れ たい。 §3
．
数 値 解 析 例 まず，
幾 何 非 線 形 問題 を対 象と して， 打ち切り誤 差 限 界 を 設定する ことで， 増分長の選 択が自動 的に 行わ れ る こ とを示す。
次に， 材 料の履 歴の追 跡 精 度が そ の挙 動の一
77
一
予 測に影 響を及ぼす と思わ れ る弾 塑 性 座 屈 を含む問題を 扱う
。
いずれ の例 題も摂 動 係 数は3次まで計 算 を行っ た。 ま た，
代 表 座標 変位 制御法le｝・
IT ） を採 用し て い る。
数 値 計 算 は，
京 都 大 学 大 型 計 算 機セ ンター
FACOM−
VP 200を 使用し た。 た だ し，
プロ グラ ム の ベ ク トル化 率 を上 げる た め の工夫は，
特 別に は行っ て い ない。
3．
1 単 純 梁 柱の弾 性 座 屈 後挙動の解析 図一
2は，
エ ラス チカ曲 線18〕 を 対 象と し た単純 梁柱の 弾 性 座屈後 挙 動で あ る。
図中に示し たA
は断 面 積，1
は 断 面2
次モー
メン ト，E
は ヤ ング係数で あ る。 部材は 等価サ ン ドイッチ断面に モデル化して いる。
図 中 実 線 は，
幾 何 非線形問題におい て要 素 数を少な く す る 目的で，
変位関 数に曲げ縮み連 成 項を取り入れ た文 献31のFERT −B
に よ る もので あり，
部材を4要 素とし た もの であ る。
これ は，
接 線 剛 性 係 数 法で解 析さ れて い る。 口 印はFERT−
P の 6要 素に よる もの， ○ 印は 10 要素によるもの で，
荷 重P
と部 材 中 央の横 変位 δκ
の誤 差 限 界をユ％ とし たもの である。
ま た ・ 印は10
要 素で 誤 差 限 界 を0．
1％ とし たもので あ る。FERT −P
に ょる もの の フ ロ ッ トは， い ずれ も5
ス テッ プご とで ある。
FERT −B
の ス テップ 数1900
は，
オイラー
座 屈 荷 重の 1，
01
倍の 荷 重 値ま で増分長 をL
／IG5
と し，
そ れ以 上の 荷 重 値につ いて はL
／102と す るこ とで要し た ス テ ップ数 で ある。 これ らの増 分 長は幾 度かの試 行に よっ て得ら れ た もの であ る。一
方，
FERT−
P で は増 分 長は自 動 的に 決定さ れ，
オイラー
座 屈 荷 重 値 近 傍で増分長は短く な り，
そ れ以 外の範 囲で はある程 度 長 くとっ て計 算を実行して いること が わか る。
従 来の接 線 剛 性 係 数 法で は， こ の問題の よ うにあ ら か じめ増 分 長 を 短く し な け ればな ら ない領 域が予 測でき，
国 籌 頃．
N 0．
田
頃
．
尸
0．
尸
ゆ．
O注
0 0．
0．
1 0．
2 0．
3 0．
4 0．
5 0，
6 δ HIL 図一
2 単 純 梁 柱の弾 性 座 屈 挙 動の解 析78
一
かつ 対 象とす る挙 動が あ らか じ め わ かっ て い る 場合に は， 増 分 長は数 度の試 行で比 較 的容易 に設定でき るで あ ろうが， 予 測で きない場 合は，
解析結 果につ いての精度 が設 定し た増分 長 に依 存する ことか ら， 全 増 分 段 階の計 算が か な り短い増分長で行わ れ る 必要が あ るであ ろ う。 また，
その精 度 を合 理 的に管理をす ること も 困難である。
も ち ろ ん，
この よ う な幾 何 非 線形問題で は，
接 線 剛性 係 数 法を採 用せず，
つ り合い条 件を満 足 するよ うに繰 り返 し計算を行うこ と を前 提に解を求める手 法 もあり，
そ の よ う な手 法で は，
増 分 長を比 較 的 長く する ことも可 能で る。 し か し，
以 下の例 題のよ うに材 料 非 線 形 を含む場 合 は，
幾 何 非 線 形 問 題で採 用され るよ う な繰 り返 し計算は 正当 化さ れ な い1ω．
m。
以1
二の ことか ら，
各増 分 段 階で高 次の摂 動 係 数 を求め る演 算が多 少 必 要であっ て も，
増分摂 動 法を 用い る方が，
精 度という点 も含めて， 計算効率は有利な もの と な るで あろ う。
な お，
各 摂 動 段 階で解くべ き方 程 式は，
式 （32
） ある いは式 （53 ）か ら 明 ら か な よ うに，
1次につ いて解 か れ れば，
高 次の係数の計算に は，
ほ と ん ど時 間を要 し ない。 数 値計 算に要し た時 間は，
図一
2の FERT−B
の 4要素の もの で 4．
81秒，
○ 印の FERT−
P の 10要 素の もの は2．
25秒で あっ た。
3．
2 繰 り返し軸 方 向 力を受 ける鋼 部 材の解 析 図一
3は，
若 林・
野 中ら に よっ て行わ れ た実 験19切供 試 体の う ちSR 4 C と 名 付け られた細 長 比40の もの を FERT−P
で解 析し た結 果 を示 してい る。
解 析は対 称 性 を考 慮して部 材 長 を1／2の片’
持ち梁と し， 自由端に横方 向 変 位がL
／loooo
と な る よ う な初 期不整 力を導入 して 行っ た。
要 素数は，
10で，
均等に 分割してい る。
断 面は，
同じ実験を対象と し て，一
次 元 複 合 非 線 形 有 限 要 素 法に よ る解 析を行っ て いる 五十 嵐・
井上・
小 川z°L21｝の 4点モ Pl
，
02 幽 ユ1、
・9鰤 ユ ， 。ri。 ，，t、1L9し＋一
竃ご 昨 ・
雕
覊
£
一
一
屑 嘱丶
芍
獅 6一
蝋一
一酢幅
◎恥 N 畠鮮
熱
」
酵
嚇
1
欝
l o■
’
2辞
m 0．
0，
1 δ 〔cm） V0．
2 l l’
N 1塞1
冥 ρ ρ’
げ
岬瀦
夢
欝
・ 喬沢 蝦一
す’
ぷず
ザ
Y 図一
3 繰り返し軸 方 向 力 を 受ける鉄 骨 部 材の解 析デル を採 用 し
，
以 下の 4つ の諸 量が実 断 面 と等しくな る モ デル化を行っ た。
s
・−fb
｛y）dy
−A
s
・−
fb
（y）lyldy
−z
．s
・−
fb
（y
）y
・dy −
・s
・−
fb
（y）lyl
・dy
こ こ で，
b（y）は図心 軸か ら距 離y
の位 置で の断 面の 幅 である。
応 力ひずみ関 係は， 図一
4 に示す柴 畔21の区 分 線 形 化 さ れ た もの を 用 い た。
ヤン グ係 数 は 2100 tonf／cmz，
降 伏 応 力は 2．
33 tonf／cm3 と し た。
打ち 切 り誤差の制御を荷重P
， 部 材中央の横 変位 δH に加えて，
前増分段階で最大ひずみ速度を経験し た材 料 線素のひずみに つ い て も行っ た。
図 中○印 は，
そ れ らの 誤 差 限 界 1％ と し た もの， ・
印は0．
ユ％ と し た も ので あり，
いずれも全ス テ ップがプロ ッ トさ れて い る。
x 印 で示さ れ る実 験 値は， 文 献19）に 掲 載さ れ て い たもの を読 み取っ てプロ ッ トし た。
筆 者らは以前に， 文 献1s ）で断 面 を等 価サン ドイッチ，
応 力ひずみ 関係をバ イリニ ア と して， 従 来のFERT
に よっ て解析し たもの を 発表し てい る が，
そ れ よ り は る か に 良い予測結 果が得ら れてい る。
ま た，
文献anLzl ｝の 五 十 嵐・
井上・
小 川の解 析結果に比 して も，
よ り実 験結果に 近い予 測を得て いる。
○ 印内に・
印がプロ ッ トさ れ てい る点は，
応 力ひずみ関 係にお ける降 伏，
除 荷な どの勾 配 変 更 点によっ て増 分 長が決 定 され たス テッ プである。 除 荷に よっ て増 分 長が決 定さ れた ステッ プ も存 在 して い る。
こ こで も， 増分長の 自動 決 定が有効に機能して い る こと が， 理解さ れ る で あ ろ う。
な お， 計算時 間は誤 差 限 界を1％ と し た もの が 4．
59 秒，0．
1
％ と し た もの が 6，
67
秒で あっ た。3．
3
繰り返 し水 平載 荷を受け る2
層K
型筋かい付鋼 骨組の解 析 K 型 筋かい付 鋼 骨 組の複 合 非 線 形一
次 元 有 限 要素法 に よ る解 析は，
藤 本・
和 田らによっ て実 施さ れ たのが最 σ1σ y 1100，
一
一
r曜 ＝ ＝．
’ 11
一
厂1「
，
一
一
一
F
「
で 10．
〜
〜
’ ： 〆’
1
．
一 ．
1
「1
’ ： 卩 1 1−
ZOO1P111
r
ε／ε y一
『
．
卩
「 一
卩 卩
「」
’ ’ ♂一
〜 ．
「 ’
7「
一 ． 一 一
．
泗
⊥一
〜
図一
4 区 分 線 形 化された応 力ひずみ関係FE
り
0N
レ
广一
一一
250cm− 一
「 3 6 9G
≒
1 ↓ 4→
P 2105158 12 丶1L ／ 1413 8 21 2q 19（
−
1、 鼻 ↓ 、7Z520 2330 解／
1 丶 25 〆蝦 2B29 32（
UAP 〔一
｝ 22［
N冖
］
冖
N［
］
UB ［1・〕、
匚12コ．
轡
1
／
’
＼1
身
／巌 郭
・
・
・・
、
［！・L
）
N
）il
ポ
蔘
黜
［12］ lt it 、J疂
：湧
1
甃 認 蒹辞 ：｛
蠻 姦
軸 ） 転 働 鱈．
塾 Z90 筋力
、
L、
BH−
80×
80×
6×
6 （弱軸） （b） 自動 分 割による部 材の （a） 骨組の幾 何 形状と系座標 最 大分割 数 図一
52 層 1ス パン K型 筋かい付 鋼 骨 組 初で あ ろ うz3 ，・
24 ｝。 そこで，
対 象と さ れた架 構は 1層1ス パ ンの も ので あ る。
同じ架 構を対 象と して，
筆 者らも従 来の FERT に よる解 析 を行い， 藤 本・
和 田らに よる も の とほ ぼ同 レベ ル の解析 結 果を得てい る】5）。
し か し，FERT
に よる重 層K
型 筋かい付 鋼 骨組の解析で は，
§ 1で述べ た よ うに， 適 切な増分 長の選択が困 難で，
場合 に よっ て は整 合 剛 性 行 列 を作成で き ない事態も経験 し た。
し た がっ て，
従来のFERT
をこ う し た解析に使用 す る場 含，
信 頼で き る解 析 結 果を得る た め に は，
か な り の試行解 析が 必要と な る。 こ こ では，
図一
5に示す 2層 1ス パ ンK
型 筋か い付 鋼 骨 組の静 的 繰り返 し挙 動 をFERT−
P で解 析し た結 果 を示 す。 こ の骨 組は，
五十 嵐・
井 上 らによっ て行 われ た 2層 1スパ ン筋か い付 鋼 骨 組の静 的繰 り返 し実 験の供 試 体の一
つ である25）。
解 析で設 定し た系 座標を図一5
（a）に， 自動 分 割に よる各 材の最 大 分 割 数 を 同 図 （b
）に示 す。 25）．
．
perlmenta1（
o」
o−一
疊
一
一
⊆ 9 （a レ、
尸
L RT−
P（4 集中 材 料 繰要 素 ）」 ど厂
、
L’r−
、
一
一
−
−
一
一
一
、
6 寸一
、
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6 繰り返し水 平 変 位 を 受け るK型 筋かい付 鋼骨 組の解 析 ：部 材 断面 を4点モデル トし たと きの水 平 カー
転 倒 角 関 係一 79 一
応 力 ひずみ関 係は
，
こ こ で も図一
4を用い た。
ヤング係 数は2100
tonf／cm1 で あり，
降 伏 応 力は， 梁 材が3．15
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昌
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