EBP学習アルゴリズムによる非線形関数の学習とその適応制御への応用

EBP学

_{習 ア ル ゴ リズ ム に よ る非線 形 関数 の学 習 と}

そ の道 応 制 御 へ の応 用

山 本 祥 弘 ・ 古 木 功 資 十二

.坂

本 和 洋キ2

知 能 情 報 工 学 科 ・*:ミ ノル タ株 式 会 社 ・中鳥 取 大 学 大 学 院 LcAl・Eli1lg or A Nolllillear Function llsillg n EBP LcAl・ Hlig Algoritllm

And its Applicntion to Adaptive CoEitrOl

Yosllthiro YANIAMOTO, Atsushi FURUKI*l and KazulllЮ

SAKAMIOTOキ

を

Department of lnforination and knowiedge Engineering,Facuity of Engineering Totto University,Tottori,680 Japan

Eと

m

l:yamamoto@ike,tOtto

‐

u.acjp

・ I MinOita CorporatiOn Ltd,Osaka,541 Japan

+2Graduate School oF Engineering,Tottori University,Tottori,680 Japan

Abstract : It ilas becn showv:l t1lnt thc E13P Lcarnit〕 _{B alBo} th:1l proposcd by tilc autilors is vcry cffcctivc ror a icttrilit18 0f 10Bic rtlilctioils ln this Papcr, thc alBOriti11■ is A,Phed for a lcarnillg Or sinusOidai nlllction and is uscd as an adaptivc alBoritilnl of a non,i:lcar adaptivc cOntroi systcnl ln tilc latter prOblcnl, t、 vo :ncthods Or coilfIBuratiol1 0f ncurai nel、 vork arc cxanlhlcd hl

sil1luiation studics,

Kcy wOrdsi Error back propagatio11,Lcarnig ai80rithl■ _{,Ncurai nctwork,No:1111lcar rむ} :iction,A(laptivc control,Nolllillcar systcin

1.は

じめ に 近 年 、 ニ ュー ラル ネ ッ トワー ク

(NN)が

多 くの 分 野 で利 用 され てい る こ とは衆 知 の こ とで あ り、 制 御 関係 問 ∼ 〔31にお い て も例 外 で な い。

NNに

よ る学 習 の最 も魅 力 的 な こ との一つ は 、

NNが

非 線 形 関数 を任 意 の精度 で 近似 で き る こ とで あ る。 従 って 、非線 形性 を考慮 した 制御 システ ム の同定 と解析 に関 して多 くの研 究が行 われ てい る。 しか し、そ の学 習 には時 間が 多 くかか る こ とか ら、適 応 制御・の よ うなオ ン ライ ンで の実行 には、かな り 無 理が あ るよ うに思 われ る。 現在 まで の多 くの方 法 は 、学 習 を行 い 、 そ の結 果 を(適応)許1御に利 用 す る考 え方で あ るが 、見 方 を変 えれ ば 、適 応 制御 は元 々学習 を行 ってい る と考 え られ る。す な わ ち、 パ ラメー タIfF定は 一種 の学習 で あ り、 その学習結 果 を適 応 的 に制御 に用い てい るのが適 応 制御 で あ る と解 釈 で き る。 た だ 、 そのパ ラ メー タ推 定が 、 パ ラメー タに関 して線形 なシステ ムに限定 され て い るのが現状 で あ る。 従 って、

NNを

利 用 して非 線 形耳t定をお こな えば、非線 形 系 の適 応 制御 とな るはずである。 問題 は、オ ンラインでの実行 に耐 え うるだけの高速 な学習アル ゴ リズム(プF線形適 応 アル ゴ リズム)を開発す る ことであ る。 本論では、適応制御 の一つの形式 を非線形系に 拡張 した形 に、新 しく提案 してい る

EBP学

習ア ル ゴ リズム[4〕を応 用 した結果 を報 告す。 まづ第

2章

で

EBP学

習アル ゴ リズム を述べのべ、 この 方法 を非線形関数の一つである正弦関数 の学習に 応用 した結果 を第

3章

で記す。第

4章

では、正弦 関数 を非線形項 として もつ非線 形系 の適応制御に

NNを

利用 し、提案す るアル ゴ リズムを応用 した 結果 を述べ る。 この問題 で最 も難 しい点は、 どの よ うな

NNの

構成 にす るかである。本論で も、2 つ の構成法を提案 してい るが、

NNを

制御 に応用 した研究はすでに数多 く発表 されてお り、 どの形 式が最 も一般的かは今後の検討課題である。

2.EBP学

習 アル ゴ リズ ム 入力 をb上、出力 を ckと す る

3層

ニュー ラルネ ッ トワー クを次式で表す。

14

山本祥 弘 。古木功資・ 坂本和 洋 :EBP学習 アル ゴ リズム に よる非線形 関数 の学習 とその適応制御 へ の応用 Ck=f(Zk), Z帝 =Wゝ ―IT a卜.

ak=f(yk), yk=Vk―

lTbk

ここでは代表的な非線形 関数の一つである正弦 関数 を提案す るアル ゴ ジズム を用 いて学習 させ る。すなはち、教師信号 として y,=0.9si■_(Xぃ

_{) (4)}

を考 え る。 学 習 デ ー タ と して の入 力

x"は

、 以 下 の二通 りを行 った。 [方法

11

閉 区 間

[0, 2π

]を等 間 隔 に

T-1分

割 した

T点

、す なわ ち、 2冗 i

Xl=T-1 (5)

とす る。 このときの学習誤差を

E=井

_目

(yl―

yl)2 0

と し、学習の終了条件 を

E<0,001と

す る。また、 汎化能力の評価 と してのテス ト誤差 を

1 99 ^

Et=坂

汀 島

(yt一

y12 (D

とす る。

Et<0,0015の

とき充分に汎化 できてい る とす る。 [方法2〕 _{閉 区関〔}

0, 2π

_{]の値 を とる疑 似乱数} とす る方法。 この ときのテス ト誤差は

_()式

の

Et

と し、終了条件 を

Et<0.Oo15と

す る。 用 い る

NNは

1入 力

1出

力の

3層

NNと

し、中 間層ユニ ッ ト数 を

25と

した。 出力層の非線形関 数 fは 線形 と し、中間層 の各 fは 双 曲線関数 虫 り

= o

とす る。 この ときの シ ミュ レー シ ョン結 果 は以 下 の とお りで あ る。 まづ方法 1によ り

M=3で

学 習 点数

Tに

たいす るテ ス ト誤 差 の結 果 を Table lに 示す。 この結 果 か ら、汎化 能 力 の向上のた めには 学 習点数 を増 す こ とが必 要 で あ る。 木例 で は

T=

8以

上 あれ ば充分で ある。 しか し、

Tを

さ らに増 や して も、学習誤 差 、テ ス ト誤 差 と もに単調 減 少 とな ってい ない。 ただ しこの こ とは 、学習終 了時 点 で の結 果 で あ り、学習終 了条 件 を さ らに激 しく すれ ば、単調 減少 の範 囲 は広 が って い く。 学習回 数 にかん して も

T=6ま

で は大 き く増加 し、 そ の 後 急速 に減 少す るが 、や は り単調減 少 とな ってい (la) (lb) こ こに添 え字

kは

時刻 を表す。 また 、ベ ク トル 、 行 列 の サ イ ズ は適 切 とす る。 この ときd贅を もkに 対 す る教 師 信 号(目標 信 号)と して以 下 の よ うな学 習 アル ゴ リズム[4〕が提案 され てい る。 [学習 アル ゴ リズ ム]

1)酒

Ak=w卜

I(WトーlT Wi-1) i(: !(dk)

―

wttlTAk)T(2a)

2)ANk'=Ar+ZAk (2b)

3)ANゝ =H*ANr' (2c)

4)2Vk_1=B卜 _{(Bkt B贅 )1(f '(ANk)} 一

VI_]TB長

_)T(2d)

5)Vk=Vk l+塑 Vk l (2e)

6)酒

wk_1=Ak(A NkTA Nk)1(fコ

_(dk) ―

wk lTAょ

_)T(2o

7)w残

=w卜

:+∠

Wk_】

₍₂₈₎

た だ し、 こ の ア ル ゴ リズ ム は_(1)式の デ ー タ を

M組

一 括 した 場 合 で あ り、

Ak=(ak,aキ

l,Ⅲ ….,ak_Mキ

1) (3a)

Bk=(b贅

_{,bk l,… … ,bk_Mキ}

1) (3b)

dk=(dr,d‐

_1,_..,d世

一M千

1) (3c)

で あ る。(2c)式の

Hは

、 関 数 fの値 域 を越 え た 分 を カ ッ トす る操 作 を表 す 。 このアル ゴ リズ ム を論理 関数 の学習 に用い る と、 文献[5〕にみ られ るよ うに良好 な結果 を得 て い る。 また別 の特徴 としては、

NNを

aを

入力 と す る(la)式 の

2層

NNと

すれ ば、アル ゴ リズムは (2o式のみ とな り、 さらにユニ ッ トを線形、す な わ ち 〔

=1と

すれ ば、(2つ式 は文献i5〕 ,[6〕で与え ら れ て い る TLSM適 応 ア ル ゴ リ ズ ム と 一 致 す る 。 す なわ ち、提案す る学 習 アル ゴ リズ ム は 、従 来 の 適 応 アル ゴ リズ ム の非線 形 系へ の 自然 な拡 張 で あ り、学 習 アル ゴ リズ ムは 、そ の用 い方 に よ って は 適応 アル ゴ リズム と見 なす こ とが で き る。 そ こで 本 論 で は 、 このアル ゴ リズム を非線 形 系 の適応 制 御 に応 用 した結 果 を以 下 に記す。

3.非

線 形 関 数 の 学 習

鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 28巻

Tablc l Silnulation resuit of illcdlodl、vidl M=3 Table 2 Siinulation ttsult of lllediod l Ⅵritll T=11 M 学習回数 学習誤差 テ ス ト誤 差 1

110)

(0.572)

(0.494)

2

110)

(0.357)

(0,388)

3 1」

_0

0,0002

o.0003

4

(110)

(1.374)

(1.497)

5

110

0.0010

0.0011

してい る。次に、

Mに

たいす る変化 を Table 2に 示す。表中括弧付きは収束 しなかった場合であ り、 学習回数

HOの

ときの値を参考 に記 してい る。 こ の ときのグラフを FiB 2に 示す。 1 ない ことは興味深い。

Mの

値 にたいす る最適 な

T

の値が存在す ると思われ る。 この中で最小の学習 回数である

T=11の

場合の学習が収束す る様子 を Fig lに 示す。 繰 り返 しの初期の うちは図 中左 0。9 0.6 O` T 学 習回 数 学習誤差 テス ト誤 差 4

391

0.0010

00093

5

15318

0.0010

00069

6

81509

00010

00018

7

1750

0.0010

0,0015

8

1008

00009

0,0011

9

441

0.0008

0.0009

10

160

0.0005

00004

110

0,0002

0

0003

12

156

0.0009

0.0010

234

0.0010

0.0010

14

322

0.0005

0,0532

4.71 6.28 1.57 3.14 4.71 inpuitrad,〕

Outplits of hJN、vith T=1l andヽ 1=1,2,3

3.14

inputtrad.〕

Fig.2 2 0utputs of blN lllidl T=1l and M=4,5

Tabic 3 Sil■u13tiOn rcsu1l of inctllod 2

M 3 4 5 6 7 N 14634 146 77 6 6 Eι 0,147 0133 0075 0.004 0.002 ︸コ α 一 っ 〇 -1

o l.57 inp311と

d.〕

Figl.1 011lputs of NN witil M=3 and T=H(No l)

1.

O.

0.6

刊.57 3.14 4.71

input trad.〕

Fig l.2 011lputs of NN witll M=3 alld T=110W02)

側 か ら収束 して い るの は、学 習 点 に起 因 してい る。 す なわ ち 、学 習す る

3点

では教師信 号 とほ ぼ一致 り入力 点 を選 択す る方 法

2の

結

3は

各

Mに

たいす る学 習 結 果 で ともに回 数 、誤 差 ともに急激 に O 一。 一。 一。 一． ︺ コ α ︸ コ Ｏ 次 に、舌し数￨こよ 果 を記 す。 Tおlc あ り、

Mの

増加 と

16

山本祥弘・ 古木功資・坂本和洋:EBP学_{習アルゴ リズムによる非線形関数の学習 とその適応制御} への応用 減少 してい る。

M=3を

_{除 けば、方法 1よ りも良} 好である とい える。

M=5の

ときの出力 を Fig。 3 1こテ漁〕。 y氏十二=θ

TVk

た だ し、 θ

T=(pl,p2,ri,■

っ

_,f(y,u))

V kT=(―

yk,一

y貨

-1,uk,uk_1, 1)

(12) (13a) (13b) ︸ コ ａ 一コ 〇 -1.乳 1.57 3,14 4.71 6.28 input trad〕

Fiと 301】tplit or NN with M=5 Q ed10d 2)

4.適

応 制御

ここでは簡単のため、次の

2次

系 を考 える。 よ

リー般化が可能であることは当然である。

y貰Ⅲ

l=-1)lyk―

p2y★ _i

+rtuk+r2uゝ

i+f(y,u) (9)

ここにy上_は出力、u生は入力であ り、最後の非

線形項 の変数の添 え字は省略す る。 また、希望出 力 をyJ、 ￨+1と _{す る。 この希望出力は}

yd贅 キi= lD a】 yJ象 ―pa2ydゝ l

+r di udk+r d2 u dk-1(lo)

な る規 範 モデ ル の 出力 と して もよい。 この とき、 制 御入 力

ukは

、 シ ステ ムの出力yk+Iが希 望 出力

yd贅キiと

致

す る よ うに、

uk=ri ・

_(yむ、上

+1+ptyk+p2y卜

I

―

r2uk l―

f(y,u))(11)

とすれ ば よい。 た だ し、

ri≠

oを

仮 定す る。 こ こで 、パ ラメー タ

(pl,p2,ri,r2)と

非線 形 関数

f(y,u)が

未 知 の場 合 、 これ らをそれ ぞれ 推 定 値 で 置 き換 え る こ とに よ り、 シ ステ ム(9)式 の 同定 器 を

NNで

構 成 す る こ とに な るが 、 その方 法 と して以 下の

2つ

を考 え る。

4.1方

法 1 システ ム_{(9)式を次 の よ うに表現す る。}

とする。 この

(7)式

に対する同定器を

,k+1‐

θ常

Tv牧

(14)

とし、これを

NNlと

呼ぶことにする。すなわち、

θk=(θ !r,θ 熟

_,03k,04貨

,θ

5k) (15)

で あ り、θ lk∼ θ4kはpl,p2,ri,■ 2の推 定値 で あ る。θ5kは非線 形 関数

f(y,u)の

推定 値 で あ り、 以 下 に示す

NN2の

出力c卜_{で あ る。 も し}

ciが

_定 数 で あれ ば、す で に知 られ てい る任 意 の適 応 アル ゴ リズム を用 い る こ とが で き る。 しか し、 c贅 は 非線 形 関数

f(y,u)の

推 定 値 で あ り、定数 で ない の で 、

NNlの

推 定(学習)と して は 、提 案 してい る学 習アル ゴ リズム を

M=1と

して用い る こ とに す る。 この とき、

NNlに

対 す る教 師信 号 はyむ 贅キiであ る。 一般 に、 この よ うな推 定 で は 、

Mの

値 が 大 きい ほ うが安 定 した推 定 値 が得 られ る。 従 って 、サ ンプ リング時間や応 答 の速 さに もよるが、

M=2, 3,・

・ と して 、 局所 的 に

ckを

定 数 と 近 似す るの も一 つ の方法 と思 われ る。 次 に 、

NNと

で 更新 した θ sk+1を dkと し、 こ のd長_{を仮 の教 師信 号 と して 、}

dkの

_{推 定値 を 与え} る の が_(1)式で あ り、 これ を

NN2と

呼 ぶ こ とに す る。 す なわ ち、

NN2は

非線 形 関数

f(y,u)の

同定器 の役割 を果 たす こ とにな る。 い ま仮 に、パ ラメー タ

(pl,p2,■

1,■ 2)の値 が既 知 で あれ ば、 d資は

NN2に

_{対す る真 の教 師信 号 とな るが、}dト が 推 定値 で あ るの で 、真 の教 師信 号yd、 _{ゝ+1か ら} 眺 め る と、

NNlと NN2と

を合 わせ た

4層

の

N

Nで

_{あ る とも解釈 で き る。 以上 をま とめ る と次 の} アル ゴ リズ ム1とな る。 [アル ゴ リズ ム 1] 1)θ

5k=Ckと

した(12)式か ら、θkの修 正 を行 う。 そ の結果 をO Nkと 記す。 2)θ N上の第

5成

分 を θ sNk=d卜 とす る。

3)dと

を仮 の教 師信 号 と して、

NN(1)式

の学 習 を 行 い 、そ の出力 をcI十iとす る。 4)c嶺 +:を θ 卜+こ の 第 5成 分 、 1∼ 4ま で は O NI ―O.3 -O.6 -0, 一一sin ―・_output 0 1oarning dala

下

︲

シ ス テ ム (9)式 を 、 次 の よ うに 表 現 す る。

yk+1=OTvゝ

た だ し、

OT=(1):,p2,■ 1,r2,1)

V kT=(V Ik,V21,V3k,V4k,V Sk) '上

+:=θ

ttT v k

とする。ただし、

θl=(θ lk,θ っ長,θ

3k,94k,1)

とす る。従って、

VI崇

=一

yk,v2k=一

y贅

_1,v3H=uk,

V4k=u"1,v5

=f(y,u), (18)

と対応 してい る。 ここで以下のよ うに

NNを

構成 す る。 最初 に出力層 を と同 じとす る。 5)θ k+lを用いて、制御(11)式、および同定出力(14) 式を再kめ る。

4.2方

法 2 鳥 取 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 28巻 (16) (17a) (17b) (19) (20) ら θ‖子

1=0,士 *g,N貨

_{0=1,2,3,4)と す る。}

3)v5Nk=d佐

と し、 これ を(1)式に対す る仮 の教 師信 号 と して、学習アル ゴ リズム を実行す る。

4)そ

の出力 ckを θ3ユ+:と して制御_(11)式、お よ び 同定出力(19)式を求 める。 (注意

)M=1の

ときは これで よいが、

Mが

2以

上 の ときはv Nkが行列 で与 え られ θ‖+1が

M通

り与 え られ る。 この ときにはそれ らの平均値 を θ,日i とす る。 以上

2つ

のアル ゴ リズムの違いは、

2以

上の

M

に対 して顕著である。 アル ゴ リズム

1で

は

NN2

の仮 の教師信号を定数 と近似す るのに対 して、ア ル ゴ リズム

2で

は、線形部のパ ラメー タを平均化 してい る。

4.シ

ミュ レー シ ョン結果 数値例 と して

pl=-1.6,p2=0,6,■ 1=0,29,r2=0,

f(y,u)=0.29Ksin(y上

-1) (23)

を用い てい る。非線形関数の

Kは

非線形 の強 さ を可変にす るために導入 してい る。 この ときシス テ ム(9)式の平衡点は 0と πであ り、

K=1の

と きの平衡点近傍 での線形近似式の極

zは

z=0.8±

0.5j(y=0)

z=■ 37,0.23 (y=冗

_{) (24)}

で あ る。 従 って 、 これ は実 際 の システ ム を対象 と したモデル で は ない が 、倒 立振 子 の主要 な特徴 を 備 えてい る。 次 に(1)式の構 成 が 重 要 とな る。 非線 形 関 数 が ま った く未 知 の場 合 には 、

NNの

入 力bと しては 、 システ ム の入 手 可能 な入 出力変数 を多 く用 い る こ とが必 要 とな る。 同時 に、 中間層 ユ ニ ッ ト

aの

個 数 も影 響 を与 え る。Fig.4は、

M=1,K=1と

し、

bを yk-1の

1入

力 、

aの

個 数 を10と してい る。 ま た 、(la)式のユ ニ ッ トは線 形 、(lb)式に は 双 曲線 関数 を もちい てい る。 重 みパ ラメー タの初 期 値 は 、

NNlの

線 形 部 は 真 値*0.1と し、

NN

2は

乱数 を用い てい る。 また 、希 望 出力 は

TO,8,p d2=0.15,

03125, rJヮ

=00375

で あ る。 次 の層 を

2つ

に分 けて 考 え る。

Vl贅

= gik y上

_,V夕

k=一 g2kyk_1,

V3k=g3kui, V4士 =g4ru貨

―

t, (21)

g‖

=19=1,2,3,4)

お よび V5k=C豪 ₍₂₂₎ と し、(22)式のc慎以 下 は(1)式とす る。 結 局 、 全 体 と して は

4層

の

NNと

な り、アル ゴ リズ ム を以 下 の よ うにす る。 [アル ゴ リズ ム

2]

1)出

力誤 差 か ら次 の層 へ の仮 の教師信 号 を決 定 す る。 これ は(2a)式に相 当す る。 言 い 換 えれ ば、(19)式に対 して 、θkでな くvン_{の修 正 を} 行 う。 そ の結果 をv wkと _記す。 2)(21)式よ りg,w k ti=1,2,3,4)が 求 ま り、 これ か (25)

呵 山本祥弘・ 古木功資・ 坂本和洋:EBP学習アルゴリズムによる非線形関数の学習 とその適応制御 への応用 と した_(10)式で あ り、

udは

oと πの矩 形 関数 と したも そ の結 果 、 出力応 答 は か な り うま くい って い るよ うにみ えるが 、 これ は線 形部 の補償 による ものが 大 で あ る。 実際 、非線 形 部 を無 視 した適応 制 御 で も同 程 度 の 出 力 応 答 が 得 られ 、

K=2,

3,,,と

す る と、応 答 は どち らの 場 合 も同 様 に 悪化 す る。 この理 由の一つ と して 、 フ ィー ドバ ッ ク補償 が うま くい くこ とに よ り出力応 答は ほ とん どが 日標 値

0,

冗の近傍 に集 中 してお り、非線 形 関数 の学 習 と して のデ ー タが偏 ってい る こ とも理 由 の一つ と考 え られ る。 方法

2の

結 果 は類 似 で あ るので省 略 す る。 5。 ま とめ 本 論 で は 、

EBP学

習 アル ゴ リズ ム に よ る非線 形 関数 の 学習 とそ の非線 形 系 の適 応 制御 の 一つ の 試 み を示 した。正弦 関数 の学習 は成功 してい るが 、 初 期 値 にたい す る問題 は残 ってい る。 一 方 、非線 形 系 の適 応 制御 にたい して は 、期待 しただ けの結 果 は得 られ なか った。 そ の最 も大 きな理 由は、

N

Nを

_{用 い た制 御 系 の構成 に あ る と思 われ る。 線 形} 部 のパ ラ メー タも同時 に推 定 してい るので 、非線 形 部 に対 す る教 師信 号 が近 似 的 な もの とな り、学 習 が うま く行 われ ない もの と推 定 され る。 第

2の

理 由 と して は 、学 習 アル ゴ リズム と して逐 次修 正 法 を用 い て い る こ とで あ る。 文 献[41か らも明 ら か な よ うに、一括 処理 法 の ほ うがす ぐれ てい るが 、 そ の適 応 制御 に適 した形 式 につい て は現在 検討 中 で あ る。

3番

目 と して 、(9)式の 表 現 に問題 が あ るのか も しれ ない。 非線 形部 が線 形 部 を含 むか ど

醤

´建

■ うかで、(9)式の表現に一意性がない。た とえば、 Sin(y)は

yを

線形部 と して含 んでい る。 今後は、 これ らの点を考慮 して、改善 していきたい。 参 考文献

1)K,SoNarelldra:Adapt e ColllЮl of Dyllamic江 Systems usil18 NcumI Nct■ vorks,in Halldbook of

l■tdlgent Contrc11,D.A,Wllite&D.A,SofBc Eds,

,pp141■84,V佃l Nostrrllld,1992.

2)大

松 :ニュ ー ロ コ ン トロー ル と適 応 制 御 、 シ ステム

/制

御

/情

報 、36巻

,12号

,pp769‐775, 1992.

3)田

中 :ニュー ロ コン トロール ∼適 応制御か ら のア プ ロー チ 、システ ム

/情

報合 同 シ ンポ ジ ウム講 演 論文集 、pp12卜 125,1997.

4)山

本 、佐藤 i EBP学 習アル ゴ リズ ムの逐 次 修正 法 と一括 処 理法 、第17回適応 制御 シ ンポ ジ ウ ム資料,pp37‐40,1996.

5)山

本 :修正 最小

2乗

法 に よる適応 アル ゴ リズ ム、計測 自動制御学会論 文集 、

26巻

,12号

, pp22‐27, 1990,

6)山

本 :最小 二乗 法 の一般 化 に よる適応 アル ゴ リズ ム とその液位 プ ラン トヘ の応 用 、 システ ム制御情 報学会論文誌

_,7巻

_,3号

,pp77‐83, 1994.

7)山

本 :一般 化i薗応 アル ゴ リズ ム の代 数 学的導 出 とその性 質 、第16回適 応 制御 シ ンポ ジ ウム 資準,、 pp23-26,1996. (受理 平成

9年

8月

30日

) etep● →20

Fig 4 Nolltillett adapt e contЮt using neuml llctlvolk (SOlid linci dcsired output, dottcd lillei systein output)

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