自然科学研究所共同研究，特異点の総合的研究の報告

─ ─243 （ ） のように生じるのだろうか？という根源的な問題をネッ トワークという全く新しい視点から明らかにすることを 目標に研究を進めた．ネットワークというアイディアを 導入することにより，双曲結び目のSeifert手術をトー ラス結び目のSeifert手術と関連づける手段が得られ， その起源を記述することが可能となったことは本研究の 大きな成果であった．特に今年度はその起源となるトー ラス結び目のSeifert手術の分類に重点を置いて研究を 進めた． 解析学の立場から 許容関数を変数として微分不可能な 「特異汎関数」に対して，その時間発展解を構成するこ とを目的とした．微分可能な汎関数の場合と異り， Euler-Lagrange方程式が定義できないため，いわゆる偏微分方 程式の発展方程式の扱いを直接施すことは出来ない．そ こで，時間変数の差分化に基づいて，Morse flowを構成 することを目指した．この方法は，Minimizing movement method，あるいは，Discrete Morse flow methodとよば れ，イタリア学派や慶応大学菊池 （名誉） 教授らによっ て研究されている．特にDiscrete Morse flow methodは， 解の解析に大局的評価のみならず，局所評価を導入した 点が大きな特徴である．この局所評価を利用して，近似 指数によらない （従属しない） 一様な正則性を有する近 似解を構成することが大きな目的となる．その研究の中 で，関数が正値をとる点の集合上の特性関数を有するエ ネルギー汎関数に対するDiscrete Morse flowの構成に 取り組んだ．この問題は，いわゆる自由境界問題とし て，1980年代にAlt−Caffarelliによって導入された変分 問題である.．この汎関数は，特性関数が連続性をもた ないため特異汎関数と位置づけられる．理想的には直接 このエネルギー汎関数に対するDiscrete Morse flowを 構成することであるが，特性関数の特異性のため，かな り困難であることが予想される．そこで今回の研究で 平成 22年度， 23年度の自然科学研究所共同研究「特異 点の総合的研究」は 代表者 森   真（数学 教授） 分担者 茂手木公彦（数学 教授） 山浦 義彦（数学，教授） 渡辺 敬一（数学 教授） 泊  昌孝（数学 教授） 田村 純一（自然研 研究員） によって行われた． 研究の概要および結果 数学の研究の中心課題の一つである特異点の研究を数 学の多様な分野，代数，幾何，解析それぞれの立場から の視点で研究を行った． 代数学の視点から 特異点の代数的性質を，代数幾何 学，可換環論を用いて研究した．より具体的には ［1］ 特異点の埋め込み次元と重複度に関する研究．有 理特異点，F-regular特異点，F-pure特異点の場 合に埋め込み次元と重複度に関する不等式を与え た． ［2］ F-threshold （F-閾値） と重複度に関する不等式を 提示し，次数付き環の場合にそれを証明した． ［3］ 半群で与えられる特異点を研究し，半群が 3 個の 生成元をもつときにpesudo.symmetric半群の構 造を決定した． 幾何学の視点から 結び目のDehn手術でSeifert多様 体が生じる典型的な例はトーラス結び目のDehn手術 で， そ の 仕 組 み は ト ー ラ ス 結 び 目 の 補 空 間 のSeifert ファイブレーションの拡張という観点から理解すること ができる．本研究では，双曲結び目のSeifert手術がど

森 真

自然科学研究所共同研究，特異点の総合的研究の報告

＊ _{Department of Mathematics, College of Humanities and Sciences,}

Nihon University 3-25-40 Sakurajousui, Setagaya-ku, Tokyo 156-8550, Japan

＊ _{日本大学文理学部数学科：}

森　真 ─ ─244 （ ）2 は，特性関数を滑らかな関数によって近似し，Euler-Lagrange方程式の解の性質の助けも借りることによ り，空間変数に関して一様Lipschitz正則性，時間変数

に 関 し て 一 様Hölder連 続 性 を 有 す るDiscrete Morse flowを構成することに成功した． 力学系の立場から 力学系のエルゴード性を決定づける 力学系に対応するPeron・Frobenius作用素のスペクト ルを求めるのに，対応する力学的ゼータ関数の特異点の 研究を進めた．その中で，Perron・Frobenius作用素の essential spectrumが小さい力学系を高次元の場合に構 築することが応用数学的に重要なことがわかってきた． 具体的に2 次元と 3 次元の場合に，そのような力学系の 構成に成功し，その学系を用いると数値積分の計算に重 要な役割を果たす疑似乱数を構成することに成功した． 高次元のディオファンタス近似では4 次以下の実代数 体について1 万個以上の数体について，例外なく周期軌 道をみつけることのできるような2 次元と 3 次元の連分 数のアルゴリズムを報告した，また，4 次体の中でも， とくに興味深い双2 次拡大体に関する研究を行った．こ れにより，2 つの実 2 次無理数の同時近似や合成型Pell-Fermat方程式の解が計算できるようになった． 研究発表 ・Y. Yamaura:

［1］ A scheme of construction of minimizing movement associated to the singular functional ” 2.6.2010. Research institute WIAS, Humboldt, Germany. ・K. Motegi

［1］ Workshop: Lefschetz fibration and category theory A survey of Seifert Surgery Network I, II, 2010年 6

月25，26日，大阪大学

［2］ トポロジーとコンピュータ 2010 Seifert surgeries, chain links and volumes， 2010年 9月10日東京工 業大学

［3］ Fifth InternationalConference Japan-Mexico on Topology and its Applications On primitive/Seifert positions, 2010年9月27日， Universidad de Colima （Mexico）

［4］ 東北結び目セミナー Seifert Surgery Network and chain links, 2010年10月23日，遊学館（山形県） ［5］ Group Seminar@Murakami Lab Seifert Surgery

Network and chain links， 2010年11月11日東京工 業大学

・M. Mori

［1］ Dynamical systems generated by algebraic method and low dis-crepancy sequences (with Masaki Mori), 2010 年 12 月 11 日，Pu-con, Chile, Information and Randomness, 2010

［2］ 高次元の疑似乱数の新しい構成（with森真樹 ）， 2011年3月7日，北海道大学，Dynamics of Complex Systems

・J. Tamura

［1］ On continued fractions, Number Thery and Ergodic theorey，金沢大学，2011年2月 ［2］ 整数行列の巾のエルミート標準形と高次元連分数 の p進値，RIMS，夏の学校，連続講演，2010年 8月 論文 ・K. Watanabe

［1］ Coefficient ideal of ideals generated by monomials, To appear in Communications in Algebra (with S. Ohnishi).

［2］ F-signature of graded Gorenstein rings, To appear in J. Pure and Allp. Algebra (with A. Sannai). ［3］ Pseudo-symmetric and atomic numerical semigroups

generated by three elements, To appear in Proc. Inst. Natural Sci., Nihon Univ., 46 (2011), (with H. Nari and T. Numata).

［4］ Multiplicity bounds in graded rings, To appear in Kyoto Journal of Mathematics (with C. Huneke and S. Takagi).

・Y. Yamaura :

［1］ Uniform Lipschitz continuity of solutions to discrete Morse flows, Int. J. Pure and Applied Math. Vol 67, No.2 (2011), 193-223.

・K. Motegi:

［1］ Networking Seifert surgeries on knots (with Arnaud Deruelle and Katura Miyazaki), Memoirs Amer. Math. Soc.（出版受理）

・ J. Tamura（いずれも，安富真一氏と共著）

［1］ Combined fractions for quadratic elements in formal power series, Ramanujan J. (accepted)

［2］ A new algorithm of continued fractions related to real algebraic number fields of degree five, Integer (accepted)

［3］ Algebraic Jacobi-Perron algorithm fo biquadratic numbers, DARF vol.1264 (2010)