Microsoft PowerPoint - 04.誘導起電力 [互換モード]

(1)

第４章誘導起電力

(2)

磁界中のコイルと磁束（復習）

S S: コイルの断面積 Φ : コイルを貫く磁 B Φ B S θ Φ 力線（磁束） θ : コイル面と磁界 のなす角 Φ Φ _θ のなす角 B: 磁束密度 a) 磁界に対して垂直 b) 傾きθ の位置図_{a)のように，面積Sの１回巻きコイルを}Φ の磁力線が貫くときを考える。このような磁力線の数を磁束（_{magnetic flux）}と呼び，_{[Wb（ウェーバー）]と} いう単位で表すまた単位面積あたりの磁束を磁束密度といい_Bで表すという単位で表す。また，単位面積あたりの磁束を磁束密度といい_Bで表すと， Φ = BSとなる。一般的に磁界を表すときは，この磁束密度_{Bを用いる。} 図_{b)のように磁界Bに対してコイルが}θ の角度を持つとき Φ _{= BScos}θと図_{b)のように，磁界Bに対してコイルが}θ の角度を持つとき，Φ _BScosθとなる。また，磁界の強さを_Hとすると，Φ ₌ μ₀_SHとなる。

(3)

磁石による電磁誘導

コイルと検流計を直列に接続し，磁石を１個用意する。

×

N N N コイルに永久磁石永久磁石の動きをコイルから永久磁を近づけると，検流計の針は一方へ動く止めると，検流計の針の動きも止まる石を離すと，検流計の針は初めとは逆方向に動くく。る。逆方向に動く。永久磁石による磁界の変化を妨げるようにコイルに電流が流れる。

(4)

磁石による電磁誘導

（

Faradayの実験）

磁

電磁誘導

y

コイルに電流計をつけて電流を計る。 I (a) 磁石を近づける (b) 磁石を止める (c) 磁石を離す N S N S I_B N S I_B N S

(c)

I

_B

(b)

( )

0 (a)

電流計の指示

0 ( )

(5)

コイルによる電磁誘導

電磁誘導

（

Faradayの実験）

y

磁石を大きなコイルに変えて，電池とスイッチを用意する。 I _I I_A I_A I_B I_A I_B A A I_A ( ) SW ONS (b) SW ON _{( ) SW OFF} (a) S (b) S (c) (a) SW-ON 電流_I_Aが流れ始める (c) SW-OFF_電流_I Aを止める (b) SW-ON 電流_I_Aが流れ続ける大コイルの電流 I_A 0 I_B (a) (b) (c) 電流計の指示 0

(6)

Lenzの法則

Faradayは電磁誘導に関する様々 な実験から「誘導起電力 _{V は大} な実験から，「誘導起電力 _{V は，大} きさが回路を貫く磁束 Φ，すなわち回路を垂直に貫く磁力線の数 Φ の時間的変化の割合に比例する。」ことを発見した。これを_{Faradayの法} 則（1831）という 則（1831）という。 同様に，_{Lenzは，「}誘導起電力，したがって誘導電流は，それによって誘導電流，そ新しく生ずべき磁束が，もとからその回路を貫いている磁束 Φ の変化を妨げる向きに起こる」ことを発見 MKSA単位系を用いて，誘導起電_力 _磁束 _時間 _をを妨げる向きに起こる。」ことを発見し，これをLenzの法則（1834）という。 これらを磁束 Φ，時間 _t，誘導起電力 _{V [V]，磁束} Φ _{[Wb]，時間 t [s]を} 表すと，比例定数 _{k = 1 となる。} 力 _V を用いて表すと， k V = − dΦ となる。 t k V d =

(7)

コイルによる誘導起電力

n

Φ

S

スイッチを入れたり切ったりすると，その速度に比例した電流がプラス，マイナス交互に電流計に表示される。コイル面を貫く磁束が変化するとコイルイナス交互に電流計に表示される。コイル面を貫く磁束が変化するとコイルに誘導起電力（_{induced electromotive force）が生じ，その結果電流が流れ} る。コイルの巻き数を n，コイルを貫いた磁束を Φ とすると，誘導起電力 V はは， t n V d dΦ − = となる。 t d

(8)

導体板と磁界

導体板に磁石を近づけると，導体内に渦状に電流が流れるこれを渦 _高 _波 _電流を電磁調理器内に渦状に電流が流れる。これを渦電流という。導体には電気抵抗があるため，この電流によってジュールコイルに高周波（_{25kHz）の電流を} 流すと，コイルによって発生する磁界の変動により鉄やアルミの鍋に渦熱が発生する。このような加熱法を誘導加熱と呼び，これを利用したのが電磁調理器（ IH: Induction 界の変動により鉄やアルミの鍋に渦電流が発生し，中の食材を加熱することができる。が電磁調理器（ IH: Induction Heater ）である。

(9)

モーターの概念図

コイル

整流子

_N

整流子

S

ブラシ

_リード線

(10)

交流発電機

図のような長方形（面積 S）の導線を XX’軸を中心 S）の導線を，XX 軸を中心 に角速度 ω で矢印方向に回転させると，コイルの面を磁束 Φ が貫く。この貫いた磁束がコイル内に起電力を生じるコイルが回転すると生じる。コイルが回転するとき，コイルの法線と磁界_B のなす角度 θ は θ ₌ ω_{t とな} る。この装置(図)はモーター の逆原理で，発電機の基本構成となる構成となる。

(11)

磁界の中で回転するコイル

面積 _{S のコイルが一様な磁場内で角速度} ω で回転するとき，コイル面と磁束密度 _{B のなす角度を} θ ₍₌ ω_{t)とするとコイルを貫く磁束} Φ は Φ = 磁束密度 _{B のなす角度を} θ ₍₌ ω_{t)とすると，コイルを貫く磁束} Φ は Φ = BScosθ = BScosωt となり，電磁誘導からコイルに生じる誘導起電力 V_c は， t V t BS d V Φ ωsinω ωsinω となる。ただし，_V₀ は誘導起電力の最大値（振幅）である。 t V t BS dt V_c = − = ωsinω = ₀ωsinω 0

ω

S

θ

N

θ

=

ω

t

ω

θ

うを使た発電時間経と共方向が変わる電流

θ

=

ω

t

このようにコイルを使った発電では，時間の経過と共に方向が変わる電流が発生する。このような電流を交流という。

(12)

コイルの磁束と誘導起電力

図中の _V_c の周期_(cycle) _T_[s]，すなわち _{0 (ゼロ)から0 (ゼロ)までの} BS

Φ

= BScos

ω

t なわち _{0 (ゼロ)から0 (ゼロ)までの} 時間はコイルの回転周期に等しい。このときの１秒当たりの振動数を周 t BS 波数_{(frequency) f} といい，その単位をヘルツ_{[Hz]で表す。また，}角速度 (または角周波数) ω は t −BS

2 T

T

(または角周波数) ω は， a) コイルの磁束変化

_f

T

π

ω

=

2 =

2

と表される。 BSω

d

t

d

Φ

c

V

T

t

T

−BSω

2 T

T

b) コイルへの誘導起電力

(13)

コイルによる自己誘導

回路に流れている電流 _{I が，抵抗} や起電力の変化によって変わるとき，ヘンリー［_{H，(=V･s/A)］で表す。} や起電力の変化によって変わるとき，この電流による磁場も変化し，それに応じた誘導起電力が生じる。この誘導起電力は電流変化と反対の方 N 回巻きで断面積 S 長さ l のコイ 自己インダクタンス誘導起電力は電流変化と反対の方向に発生する。このような現象を自己誘導（_{self-induction）}という。いま， N 回巻きで断面積 S，長さ l のコイ ルに透磁率 μ の磁性体が入っているとき，単位長さ辺りの巻き数が _n より磁束密度は己誘導（_{self induction）}という。いま，電流変化によって回路を横切る磁束の変化を _dΦ とすると，_dΦ は電流変化 _{dI に比例するので} = N / l より，磁束密度 B は， B = μnI = μNI / l となる磁束 Φ _BS _{NIS / l より} 流変化 _{dI に比例するので，} となるこの _dΦ による誘導起電力となる。磁束 Φ _{= BS =} μ_{NIS / l より，} 誘導起電力 _Vは，

I

Ld

d

Φ

=

I S N d d

Φ

2 となる。この _dΦ による誘導起電力 V はファラデーの法則から， となり自己インダクタンス _{L は} I d d

Φ

t I l S N t N V d d d d

Φ

₌ ₋

_μ

− = となる。式中の _{L はコイルよって決} となり，自己インダクタンス _{L は，} t I L t V d d d d ₌ ₋ − =

Φ

l

S

N

L

2

μ

=

となる。式中の _{L はコイルよって決} まる比例定数で，自己インダクタンス_{(self-inductance)といい，単位は} となる。

l

(14)

コイル対による相互誘導

L₁ L₂ M₁₂ ２つのコイルを，図のように近づけておき，コイル１ B Φ に近づけておき，コイル１に電流 _I₁ を流す。コイル１の電流が，時間 _{dt の間に} dI だけ変化すると イル I₁ dI だけ変化すると，コイル １に _{dI による磁束変化} dΦ が現れる。この磁束変 S 1 dΦ が現れる。この磁束変化が，電流の流れていなかったコイル２を貫き，コイル内に比例定数 _{M を通} して，ル内に比例定数 _M₂₁ を通

dI

21

I

n

M

=

Φ

の誘導起電力を発生させるこの現となる。この比例定数 _M₂₁ を相互インダクタンス_{(mutual inductance)}と

dt

dI

M

V

₂₁

=

−

₂₁

⋅

1

I

1 の誘導起電力を発生させる。この現象を相互誘導（_{mutual induction）}という。比例定数 _M₂₁ は，コイル２のンダクタンス_{(mutual inductance)}といい，単位は自己インダクタンスと同様にヘンリー［_{H］で表す。} 巻き数 _{n，およびコイル１の電流 I}₁ や磁束Φ などで決められ，

(15)

変圧器

強磁性体のリングに図のように２つのコイルを巻き付けたものを変圧巻き数 N1 巻き数 N2 つのコイルを巻き付けたものを変圧器という。電源をつないだコイルを１次コイル，もう一方のコイルを２次コイルといい，入力する電源には交流電源を用いる。_{N1回巻きの１次コイ} ルとN2回巻きの２次コイルを用い 電圧 _V₁ 電圧 _V₂ ルとN2回巻きの２次コイルを用い， １次コイル側に_{V1(t)の交流電源を} つなぐと，コイルには，誘導起電力の比をとると内部の磁束 Φ 誘導起電力の比をとると，

t

N

V

d

1 1

Φ

−

=

1 1 2 2

_N

V

N

V

=

の磁束変化が生じる。磁束がリングから漏れないとすると，２次コイルにはという関係が得られ，電圧を変えることができるということがわかる。な 1

N

は，お，電力の消費がないと仮定すると，エネルギー保存の法則より，次式が成り立つ

t

N

V

d

2 2

Φ

−

=

の誘導起電力が生じる。このときの成り立つ。

t

d

2 2 1 1I V I V =

(16)

コイルに蓄えられるエネルギー

コイルに電流を流すと，磁界が変化し誘導起電力によりその磁界 _{点火プラグ} トランスの応用化し，誘導起電力により，その磁界の変化を妨げようとする。そのため，コイルに電流を流すためには，電源・点火プラグにこの起電力に逆らって仕事をしなければならない。仕事率（電力）は _P _{dW / dt} _IV 仕事率（電力）は _{P = dW / dt = IV} であり，誘導起電力は _{V =} −LdI / dt で表されるので，この起電力に逆表，起電らってする仕事は，・非接触式充電器

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

d

1

2

d

LI

I

LI

W

となる。これより電流が _{I になるまで} にする仕事 _{W は} 非接触式充電器

⎟

⎠

⎜

⎝ 2

d

t

LI

t

LI

にする仕事 _{W は，} 2

2

1 d

d

LI

t

W

=

∫

=

となる。

2 dt

∫

(17)

例題

例題₁ 図のように単位長さあたり回巻か半径_{rの円を考える。コイル内に発} 生する磁界は _{B =} μ _{nIで図のよ} 図のように単位長さあたり_n回巻か れた半径_{Rの長いソレノイドがある。} 電流_{Iが変動しているとき，ソレノイド} 生する磁界は，_{B =} μ₀_{nIで，図のよ} うに対称性から電界は円に接する方向にできる。円内の磁束は，Φ = 内外の電界の強さを求めなさい。 BS = (μ0nI)(πr2)で，誘導起電力は，あるよ rE r d E V =

∫

r ⋅ r = 2π である。よって，より t I n r t rE V = 2π = −dΦ /d = π 2μ₀ d /d より， ) ( , d d 2 0 _r _R t I nr E = − μ < となる。また，ソレノイド外側では，Φ = μ₀nI(πR2_{)で一定なので} d 2 t μ₀nI(πR )で定なので， ) ( , d d 2 2 0 _r _R t I r nR E = − μ > となる。 d 2r t

(18)

例題

例題₂ 図のように半径の導体とこれと絶 1) アンペールの法則より，aからb の間には _{B =} μ _{I / 2}π_{r で求められ} 図のように半径_{aの導体とこれと絶} 縁された半径_{bの導体円筒で構成さ} れた同軸ケーブルがある。内側を電の間には，_{B =} μ₀_{I / 2}π_{r で求められ} る電流が流れる。半径_{rでの幅drの} 区間を貫く磁束密度は，軸あ。側を電流Iが流れて外側を−Iの電流が流れ る。単位長さあたりの自己イダクタ r r I r B d 2 d d 0 π μ Φ = = 1) 単位長さあたりの自己インダクタ ンスを求めなさい。 2) 電流が変化することによる内 なので，ケーブル内の磁束密度は， ) / ln( d 0 0I _r I _b _a bμ μ Φ =

∫

= 2) 電流が変化することによる，内 部の導線内の電界の強さを求めなさい。となる。これより， ) / ln( 2 d 2 r r b a a π π Φ

∫

I b/ ) d l ( dΦ となるので t I a b t V d d 2 ) / ln( d d ₀ π μ Φ ₌ ₋ − = となるので， π μ 2 ) / ln( 0 b a L = である。 π 2

(19)

例題

例題₃ 図のように半径の導体とこれと絶 2) アンペールの法則より，磁束密 度は図のように半径_{aの導体とこれと絶} 縁された半径_{bの導体円筒で構成さ} れた同軸ケーブルがある。内側を電度は， ) ( 2 2 0 I a r a rI B = < π μ 軸あ。側を電流Iが流れて外側を−Iの電流が流れ る。単位長さあたりの自己イダクタ 0 ( ) ) ( 2 0 r b B b r a r I B < = < < = π μ 1) 単位長さあたりの自己インダクタ ンスを求めなさい。 2) 電流が変化することによる内 となる。よって図の区間内の磁束は， ) ( + = = l

∫

xBdr' l

∫

bBdr' l

∫

adr' Φ 2) 電流が変化することによる，内 部の導線内の電界の強さを求めなさい。 ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ + − = + = =

∫

a r a I l r l r B l r B l b r r ln 1 d d d 2 2 0 μ Φ よって誘導起電力は， ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ + = b a I l ln 2 4 2 0 _π _π μ ⎞ ⎛ t I b a a r a l t El V d d ln 2 1 4 d d 2 2 2 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = − = = π π μ Φ となる。これは，中心で一番大きい。

(20)

例題

例題₄ 図のようにインダクタンス_Lで抵抗 電流が変化すると_{V =} −LdI / dtの 誘導起電力が生じるよって図のようにインダクタンス_Lで抵抗 Rのコイルを起電力V₀の電池につないで，スイッチを入れた。スイッチを誘導起電力が生じる。よって，となる。これは RI t I L V₀ − d /d = ，を。を入れたときの時刻を_{t = 0とすると，} 流れる電流_{I(t)を求めなさい。} となる。これは， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = R V I L R t I ₀ d d と書くことができ，_V₀は定数なので， ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ V I R V I 0 0 d ⎠ ⎝ となる。微分して元に戻る関数であ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − R I L R I t 0 0 d I V _{ることから解は} Aを定数として， ば L Rt Ae R V I − ₀ / = − / R V₀ とすればよい。_{t = 0 で I = 0 なので，} A = −V₀ / Rであることがわかり， R V I (1 −Rt/ L)/ となる。 R e V I = ₀(1− Rt/ L)/ t

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第４章 誘導起電力

第４章 誘導起電力

磁界中のコイルと磁束（復習）

磁石による電磁誘導

×

磁石による電磁誘導

（

Faradayの実験）

磁

電磁誘導

y

(c)

I

(b)

( )

0

(a)

電流計の指示

0

( )

コイルによる電磁誘導

電磁誘導

（

Faradayの実験）

y

Lenzの法則

コイルによる誘導起電力

n

Φ

S

導体板と磁界

モーターの概念図

コイル

コイル

整流子

N

整流子

S

ブラシ

リード線

交流発電機

磁界の中で回転するコイル

ω

S

θ

N

θ

=

ω

t

ω

θ

θ

=

ω

t

コイルの磁束と誘導起電力

Φ

ω

2

T

T

f

T

π

π

ω

=

2 =

2

d

t

d

Φ

V

T

T

T

2

第４章誘導起電力

第４章誘導起電力

_N

_リード線

_f

_μ

_N