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「微分積分」

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監修の言葉

「宇宙という書物は数学の言葉を使って書かれている」とはガリレオ・ガリレイの言 葉である．この言葉通り，物理学は微積分の言葉を使って書かれるようになった．今 日では，数学は自然科学や工学の種々の分野を記述するための言葉として必要不可欠 であるばかりでなく，人文・社会科学でも大切な言葉となっている．しかし，外国語 の学習と同様に「数学の言葉」を学ぶことは簡単でない場合が多い．とりわけ大学で 数学を学び始めると高校との違いに驚かされることが多い．問題の解き方ではなく理 論の展開そのものが重視されることにその一因がある． 「原論」を著し今日の数学の基本をつくったユークリッドは，王様から幾何学を学ぶ 近道はないかと聞かれて「幾何学には王道はない」と答えたという伝説が残されてい る．しかし一方では，優れた教科書と先生に巡り会えば数学の学習が一段と進むこと も多くの例が示している． 本シリーズは学習者が数学の本質を理解し，数学を多くの分野で活用するための基 礎をつくることができる教科書を，それのみならず数学そのものを楽しむこともでき る教科書をめざして作成されている．企画・立案から執筆まで実際に教壇に立って高 校から大学初年級の数学を教えている先生方が一貫して行った．長年，数学の教育に 携わった立場から，学習者がつまずきやすい箇所，理解に困難を覚えるところなどに 特に留意して，取り扱う内容を吟味し，その配列・構成に意を配っている．本書は特 に高校数学から大学数学への移行に十分な注意が払われている．この点は従来の大学 数学の教科書と大きく異なり，特筆すべき点である．さらに，図版を多く挿入して理 解の手助けになるように心がけている．また，定義やあらかじめ与えられた条件とそ こから導かれる命題との違いが明瞭になるように従来の教科書以上に注意が払われて いる．推論の筋道を明確にすることは，数学を他の分野に応用する場合にも大切なこ とだからである．それだけでなく，数学そのものの面白さを味わうことができるよう に記述に工夫がなされている．例題もたくさん取り入れ，それに関連する演習問題も 多数収録して，多くの問題を解くことによって本文に記された理論の理解を確実にす ることができるように配慮してある．このように，本シリーズは，従来の教科書とは 一味も二味も違ったものになっている． 本シリーズが大学生のみならず数学の学習を志す多くの人々に学びがいのある教科 書となることを切に願っている． 上野 健爾

ii

まえがき

このたび，大学工学系のテキストシリーズとして，『基礎数学』，『微分積分』，『線形 代数』，『応用数学』，『確率統計』が刊行されることとなった．このシリーズの最大の 特徴は，実際に教壇に立つ多くの教員の経験を生かして書かれたということにある． 執筆にあたっては，どの章，どの節にあっても，これを手に取る学生がその内容を理 解しやすいように，教員が教室の中で使いやすいように，ということに十分な配慮を 払った． そのために，私たちは，説明のための紙面を節約しないことにした．できる限り日 常的に用いられる表現を使うように心がけ，理解を助けるために多くの図版を配置し た．また，定義や定理，公式の解説のあとには必ず例または例題をおき，その理解度 を確かめるための問いをおいた．本書を読むにあたっては，実際に問いが解けるかど うか，鉛筆を動かしながら読み進めるようにしてほしい． 微分積分学はあらゆる工学の基礎である．本書に書かれた内容を自分のものとする ことは，技術者としての大きな力になることは間違いない．文章をできるだけ正確に 読み，焦らず，諦めず，その考え方のひとつひとつを理解していく姿勢が望まれる． 京都大学名誉教授の上野健爾先生にこの新シリーズ全体の監修をお引き受けいただ いたことは，私たち執筆者一同の望外の喜びである．上野先生は本書の監修を通じて， 暗黙のうちに，数学というものはこういうものだ，ということを私たちに語りかけて いただいたようである．ここに心からの感謝を申し上げる． 最後に，本シリーズを書く機会を与えてくれた森北出版の森北博巳社長，私たちの 無理な要求にいつも快く応えてくれた同出版社の上村紗帆さんに，ここに，紙面を借 りて深くお礼を申し上げる． 2014年10月 工学系数学テキストシリーズ 執筆者一同

本書について

「と定める」と書かれているこの枠内のものは，数学用語の定義を表 す．用語の内容をしっかりと理解し，使えるようになることが重要 である． 「成り立つ」「である」などと書かれているこの枠内のものは，証明 によって得られた定理や公式を表す．それらは数学的に正しいと保 証されたことがらであり，あらたな定理の証明や問題の解決に使う ことができる． [note] 補助説明，典型的な間違いに対する注意など，数学を学んでいく上 で役立つ，ちょっとしたヒントである．読んで得した，となること を期待する． 関数電卓を利用して解く問いを示す．現代では関数電卓やコンピュー タを活用して，効率よく計算できるようになる能力も必要である． 数学という学問がどのように発展してきたか，実際の社会において 果たす役割はなにか，どのような分野と関連しているかなどが書か れている．

内容について

◆第1節「数列と級数」では，ごく小さな数を無限に加え合わせていくとどのような 値になるかという考え方を学ぶ．これは，細かく分割された区間に含まれる量を合計 してその総量を調べるという積分法の考え方につながる．第2節「関数の極限」では， 限りなく近づくとはどのようなことを意味するかという考え方を学ぶ．これは，ごく 短い時間の変化量から瞬間の変化率を求めるという微分法の考え方につながっている． これらの考え方は極限とよばれ，微分積分法の基礎をなす重要な概念となっている． ◆第3節は微分法の入門というべき部分である．ここでは，多項式で表される関数だ けに限定して，その微分法の計算を扱った．この節を通して，微分法の考え方をしっ

iv 本書について かりと身につけることが大切である．第4，5節では，分数式や無理式で表される関数 や指数・対数関数，三角関数と逆三角関数について，その微分法の計算と応用とが展 開される． ◆第3章では積分法を学習する．積分の計算は必要ではあるが，それだけでは決して 十分とはいえない．ここで身につけてほしいのは，「積分とは何か」「積分を計算した 結果，何がわかるのか」ということである．そのために本書では，第6節「定積分」に 重点をおき，積分の考え方がよくわかるように心がけた． ◆第4章「関数の展開」では，これまでに学んだ関数をべき関数の和として表すこと を学ぶ．たとえば，xが0に近い場合に関数sin xをxに置き換えるといったことは， 工学を学ぶ中でしばしばみられる．このようなとき，機械的に置き換えを行うのでは なく，それが可能となる理由や，置き換えたときにどれくらい「ずれ」が生じるのか， などを知ったうえで使えるようになってほしい． ◆通常，現象を表す関数は複数の独立変数を含んでおり，独立変数が1つだけという のはまれなことである．第5章「偏微分法」と第6章「2重積分」では，2つの独立変 数を含む関数z = f(x, y)に対して，微分法と積分法の考え方がどのように適用でき るのかを学ぶ．このとき，1変数y= f(x)の場合と同様に考えてよい部分と，異なる 考え方をしなければならない部分とが出てくる．その違いに注意しながら，これらの 章を学んでほしい． ◆本書では，内容理解が得られるよう，随所にいろいろな工夫を施した．また，重要 公式と基本的な関数のグラフは見返しに挙げておいた．必要に応じてこれを参考にし ながら読み進め，微分積分法の知識を確実に身につけてほしい． ◆数学の理解をより確かなものにするには，多くの問題を解いて学んだ知識を確実に 身につける必要がある．そのため本書では，主要な章の終わりには章末問題を設けた． その解答は詳しく，道筋がわかるようにしたので，参照してほしい．

目 次

第

1

章 数列と級数 1 数列と級数 ··· 1 1.1 等差数列と等比数列··· 1 1.2 いろいろな数列の和··· 4 1.3 数列の極限 ··· 8 1.4 級数とその和 ··· 11 1.5 数列の漸化式と数学的帰納法 ··· 15 練習問題1 ··· 17 第

2

章 微分法 2 関数の極限 ··· 18 2.1 関数の収束と発散 ··· 18 2.2 関数の連続性 ··· 21 練習問題2 ··· 24 3 微分法 ··· 25 3.1 平均変化率と微分係数 ··· 25 3.2 導関数 ··· 28 3.3 合成関数と関数の積の導関数 ··· 32 練習問題3 ··· 35 4 いろいろな関数の微分法 ··· 36 4.1 分数関数と無理関数の導関数 ··· 36 4.2 対数関数の導関数 ··· 39 4.3 指数関数の導関数 ··· 42 4.4 三角関数の導関数 ··· 44 4.5 逆三角関数の導関数··· 47 練習問題4 ··· 51 5 微分法の応用 ··· 52 5.1 導関数の符号と関数の増減 ··· 52 5.2 不定形の極限 ··· 57 5.3 第2次導関数の符号と関数の凹凸 60 5.4 関数の最大値・最小値 ··· 66 5.5 微分と近似 ··· 69 5.6 いろいろな変化率 ··· 72 5.7 媒介変数表示と微分法 ··· 74 練習問題5 ··· 80 第2章の章末問題 ··· 81 第

3

章 積分法 6 定積分 ··· 82 6.1 定積分 ··· 82 6.2 定積分の計算と面積 ··· 86 6.3 定積分の置換積分法 ··· 92 6.4 定積分の部分積分法 ··· 95 6.5 いろいろな定積分 ··· 96 練習問題6 ··· 102 7 定積分の応用 ··· 103 7.1 面積 ··· 103 7.2 体積 ··· 105 7.3 速度と位置 ··· 108 練習問題7 ··· 111 8 不定積分 ··· 112 8.1 不定積分 ··· 112 8.2 不定積分の置換積分法 ··· 115 8.3 不定積分の部分積分法 ··· 118 練習問題8 ··· 122 9 いろいろな積分法 ··· 123 9.1 媒介変数表示と積分法 ··· 123 9.2 極方程式と積分法 ··· 128 9.3 数値積分 ··· 133 9.4 広義積分 ··· 136 練習問題9 ··· 140 第3章の章末問題 ··· 141

vi 目 次 第

4

章 関数の展開 10 関数の展開 ··· 142 10.1 高次導関数 ··· 142 10.2 べき級数 ··· 144 10.3 テイラーの定理とテイラー展開 148 10.4 マクローリン多項式と関数の近似 154 練習問題10 ··· 159 第

5

章 偏微分法 11 偏導関数 ··· 160 11.1 2変数関数 ··· 160 11.2 偏導関数 ··· 166 11.3 合成関数の導関数・偏導関数 ·· 170 11.4 接平面 ··· 173 11.5 全微分と近似 ··· 176 練習問題11 ··· 180 12 偏導関数の応用··· 181 12.1 2変数関数の極値 ··· 181 12.2 極値の判定法 ··· 183 12.3 陰関数の微分法 ··· 186 12.4 条件付き極値問題 ··· 188 練習問題12 ··· 191 第5章の章末問題 ··· 192 第

6

章

2

重積分 13 2重積分 ··· 193 13.1 2重積分 ··· 193 13.2 変数変換 ··· 200 13.3 2重積分の応用 ··· 205 練習問題13 ··· 211 付録 いくつかの証明 A1 正弦関数の極限値 ··· 212 A2 平均値の定理 ··· 213 A3 テイラーの定理 ··· 215 解答

217

さくいん

243

ギリシャ文字 大文字 小文字 読み 大文字 小文字 読み A α アルファ N ν ニュー B β ベータ Ξ ξ グザイ（クシィ） Γ γ ガンマ O o オミクロン Δ δ デルタ Π π パイ E , ε イプシロン P ρ ロー Z ζ ジータ Σ σ シグマ H η イータ T τ タウ Θ θ シータ Υ υ ウプシロン I ι イオタ Φ ϕ, φ ファイ K κ カッパ X χ カイ Λ λ ラムダ Ψ ψ プサイ（プシィ） M μ ミュー Ω ω オメガ

3

_微分法

3.1

平均変化率と微分係数

平均変化率 a, bをa= bを満たす定数と

する．関数y= f(x)において，xがaからbま

で変化するときのx, y の変化量をそれぞれΔx,

Δy とすれば，Δx= b − a, Δy = f(b) − f(a)

となる．このとき，ΔyとΔxの比 Δy Δx = f(b) − f(a) b− a を，x= aからx= bまでのf(x)の平均変化率という．平均変化率は，y= f(x)の グラフ上の2点A(a, f(a)), B(b, f(b))を通る直線の傾きを表している． とくに，x= aからx= a + h (h = 0)までの f(x)の平均変化率は， Δy Δx = f(a + h) − f(a) h となる． [note] 変化量は，変化後の値と変化前の値との差 (difference) を意味する．そこで，変化量を表 す記号として，D に相当するギリシャ文字の Δ（デルタ）を用いる． 例題

3.1

平均変化率 次の範囲における，関数f(x) = x2の平均変化率を求めよ． (1) x = −1からx= 2まで (2) x = aからx= a + hまで 解 (1) Δy Δx = f(2) − f(−1) 2 − (−1) = 22_{− (−1)}2 3 = 1 (2) Δy Δx = f(a + h) − f(a) h = (a + h)2_{− a}2 h = 2ah + h 2 h = 2a + h 問3.1 指定された範囲における，関数f(x)の平均変化率を求めよ． (1) f(x) = −4x, x = 2からx= 2 + hまで (2) f(x) = x2_{− 5x, x = a} からx= a + hまで 接線の傾きと微分係数 関数y= f(x)の，x= aからx= a + h までの平均 変化率 Δy

Δx は，y= f(x)のグラフ上の2点A(a, f(a)), B(a + h, f(a + h))を通る

26 第2章 微分法 Δx= hが限りなく0 に近づいていくとき，直線が点Aを通るある直線に限 りなく近づいていくならば，この直線を，点A(a, f(a))におけるy= f(x)のグラ フの接線といい，点A を接点という． すなわち，平均変化率 f(a + h) − f(a) h の，h→ 0としたときの極限値が存在す れば，その極限値は点Aにおける曲線y= f(x)の接線の傾きである． 例

3.1

関数 y = x2 のグラフ上の点 A(2, 4) における接線の傾きを考えよう． y= x2 の，x= 2 からx= 2 + h までの平均変化率の，Δx= h を限りなく0に 近づけたときの極限値は lim Δx→0 Δy Δx = limh→0 (2 + h)2_{− 2}2 h = limh→0 4h + h2 h = limh→0(4 + h) = 4 となる．したがって，求める接線の傾きは4 である． 一般に，関数f(x)の，x= aからx= a + hまでの平均変化率の極限値 lim Δx→0 Δy Δx = limh→0 f(a + h) − f(a) h が存在するとき，関数y = f(x) は x= a において微分可能であるという．このと き，この極限値を，x= aにおけるf(x)の微分係数といい，f(a)で表す．

3.1

微分係数 f(a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h y= f(x)がx= aで微分可能であるとき，微分係数f(a)は，y= f(x)のグラフ

上の点 (a, f(a))における接線の傾きである． 例

3.2

関数f(x) = x2− 2x − 1のx= 3における微分係数は， f(3) = lim h→0 f(3 + h) − f(3) h = lim h→0 {(3 + h)2_{− 2(3 + h) − 1} − (3}2_{− 2 · 3 − 1)} h = lim h→0(4 + h) = 4 である．したがって，y= x2− 2x − 1のグラフ上のx= 3に 対応する点における接線の傾きは，4である． 問3.2 次の関数f(x)の，( )内に指定されたxの値における微分係数を求めよ． (1) f(x) = 2x2_{+ x (x = 2) (2) f(x) = x}3 _{(x = 1)} (3) f(x) = 1 x (x = −1) (4) f(x) = √ x (x = 4) 微分係数と速さ 自動車が運動を開始してからt 秒間に走った距離が，関数 y= f(t) [m] で表されているとする．このとき，Δy= f(3 + h) − f(3)は，t= 3か らt= 3 + hまでのΔt= h [s]の間に走った距離を表す．したがって，平均変化率 Δy Δt = f(3 + h) − f(3) h は，h秒間の平均の速さ[m/s]である．ここで，経過時間hを限りなく0に近づけた ときの極限である微分係数f(3)は，走り始めてから3秒後における速さ[m/s]を表 している． 例

3.3

ある容器に水を入れるとき，入れ始めてからt秒後の水面の高さh[m]が， 関数h= f(t) で表されている．このとき，微分係数f(10)は，t= 10 [s]におい て水面が上がる速さを表している． 微分可能性と連続性 関数f(x)がx= aで微分可能であるとする．x− a = h とおくと，x→ aのとき h→ 0であるから， lim

x→a{f(x) − f(a)} = limx→a

f(x) − f(a) x− a · (x − a) = lim h→0 f(a + h) − f(a) h · h = f _{(a) · 0 = 0}

28 第2章 微分法 となる．したがって，lim x→af(x) = f(a)となるから，f(x)はx= aで連続である．

3.2

微分可能性と連続性 関数f(x)がx= aで微分可能であれば，f(x)はx= aで連続である． この定理の逆は成り立たない．次は，連続であるが微分可能ではない関数の例である． 例

3.4

f(x) = x は実数全体で連続である．ところが， lim h→+0 f(0 + h) − f(0) h = limh→+0 |h| h = limh→+0 h h = 1, lim h→−0 f(0 + h) − f(0) h = limh→−0 |h| h = limh→−0 −h h = −1 となるから，微分係数 lim h→0 f(0 + h) − f(0) h は 存在しない．よって，f(x) = |x| は x= 0 で微 分可能ではない．このことは，原点 O において y= x のグラフの接線が存在しないことを意味 する．

3.2

導関数

導関数 関数 y = f(x) が，ある区間Iのすべての点で微分可能であるとき， y= f(x)は区間Iで微分可能であるという． 関数y = f(x)が区間Iで微分可能であるとき，x= a における微分係数は区間I のすべての点aで定まる．この区間の点aに，x= aにおける微分係数f(a)を対応 させる関数をf(x)の導関数といい，f(x)と表す．

3.3

導関数 f(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h f(x)の導関数は，f(x)のほかに y, dy dx, d dxf(x)

と表すこともある．導関数を求めることを，関数y= f(x)をxで微分するという． [note] 導関数の記号 dy dx は，極限値 limΔx→0 Δy Δx を表す記号であり，分数ではない． dy dx は「ディー ワイ・ディーエックス」と読む． 例

3.5

関数y= x2 の導関数は， y= lim h→0 (x + h)2_{− x}2 h = lim h→0 (x2_{+ 2xh + h}2_{) − x}2 h = limh→0(2x + h) = 2x である．このことを (x2)= 2x, dy dx = 2x, ddx(x2) = 2xなどと表す． 問3.3 定義にしたがって，次が成り立つことを証明せよ． (1) y = xのときy= 1 (2) y = x3 のときy= 3x2 導関数の公式 例3.5と問3.3の結果から，(x) = 1, (x2)= 2x, (x3) = 3x2 が成り立つ．このことから，nが自然数であるとき，(xn₎_{= nx}n−1_{であることが予} 想される．これを数学的帰納法を用いて証明しよう． n= 1 のときは，すでに問 3.3 (1)で示されている．ある自然数 k に対して，  xk_{= kx}k−1 _{が成り立つと仮定する．そのとき，}  xk+1= lim h→0 (x + h)k+1_{− x}k+1 h = lim h→0 (x + h) · (x + h)k_{− x · x}k h = lim h→0 x(x + h)k− xk+ h(x + h)k h = lim h→0  x· (x + h) k_{− x}k h + (x + h) k  = x lim h→0 (x + h)k_{− x}k h + limh→0(x + h) k _{= x(x}k₎_{+ x}k = x · k xk−1_{+ x}k_{= (k + 1)x}k となる．これは，n= k + 1 のときに(xn) = nxn−1 が成り立つことを示す．よっ て，数学的帰納法により，すべての自然数nに対して(xn₎_{= nx}n−1 _{が成り立つ．}

30 第2章 微分法 また，定数関数y = cの導関数は次のようになる． (c) _{= lim} h→0 c− c h = 0

3.4

x

nと定数関数の導関数 自然数nと定数c に対して，次のことが成り立つ． (xn₎_{= nx}n−1_{, (c)}_{= 0} 例

3.6

x4= 4x3, x5= 5x4 さらに，関数の定数倍，和・差の導関数について，次の性質が成り立つ．

3.5

関数の定数倍，和・差の導関数 f(x), g(x)が微分可能であるとき，cf(x), f(x) ± g(x)は微分可能で，次のこ とが成り立つ．ここで，cは定数である． (1) {cf(x)}_{= cf}_(x) (2) {f(x) ± g(x)}_{= f}_{(x) ± g}_{(x) （複号同順）} 証明 (1) F (x) = cf(x)とおくと，F(x + h) = cf(x + h)であるから， {cf(x)}_{= lim} h→0 F(x + h) − F (x) h = lim h→0 cf(x + h) − cf(x) h = c limh→0 f(x + h) − f(x) h = cf _(x) となる．したがって，{cf(x)}= c f(x)が成り立つ． (2) F (x) = f(x) + g(x)とおくと，F(x + h) = f(x + h) + g(x + h)であるから， {f(x) + g(x)}= lim h→0 F(x + h) − F (x) h = lim h→0 {f(x + h) + g(x + h)} − {f(x) + g(x)} h = lim h→0 f(x + h) − f(x) h + limh→0 g(x + h) − g(x) h = f _{(x) + g}_(x) となる．したがって，{f(x) + g(x)}= f(x) + g(x)が成り立つ． {f(x) − g(x)}_{= f}_{(x) − g}_{(x)も同じように証明することができる． 証明終}

154 第4章 関数の展開 問10.11 次の関数f(x)の，( )内に与えられた点のまわりのテイラー展開を求めよ． (1) f(x) = 2x3_{+ 6x}2_{+ 3x (x = −1) (2) f(x) = x}4 _{(x = 1)}

10.4

マクローリン多項式と関数の近似

関数の近似式 マクローリンの定理によれば，関数f(x)とそのマクローリン多 項式の間には，cを0とxの間の値として， f(x) = f(0) + f_1!(0)x+ f_2!(0)x2+ · · · + f(n)(0) n! x n₊ f(n+1)(c) (n + 1)! xn+1 の関係がある．x 0 であれば f (n+1)_(c) (n + 1)! xn+1 0であるから，近似式 f(x)  f(0) + f ₍₀₎ 1! x+ f(0) 2! x2+ · · · + f(n)(0) n! x n が成り立つ．これをマクローリン多項式によるf(x)のn次近似式という． いくつかの関数f(x) の，マクローリン多項式による近似式と近似値を調べよう． 例

10.9

関数cos xのマクローリン展開は cos x = 1 − x_2!2 + x4 4! − · · ·+ (−1)n x 2n (2n)! + · · · であるから，cos xのマクローリン多項式による2次近似式は cos x  1 − x_2!2 である．この式でx= 0.2とすれば，cos 0.2の近似値 cos 0.2  1 − 0.2_2!2 = 0.98 が得られる（実際の値は0.98006 · · · である）． 例題

10.5

関数の近似（

I

） 関数f(x) =√1 + x のマクローリン多項式による2次近似式を用いて，√1.08 の近似値を小数第3位まで求めよ．

解 f(x) = 1 + xのとき， f(x) = 1 2(1 + x)− 1 2_{， f}(x) = − 14 (1 + x)−32 であるから f(0) = 1， f(0) = 1 2， f(0) = − 14 となる．したがって，f(x) =√1 + xのマクローリン多項式による2次近似式は √ 1 + x  1 + 12 x − 18x 2 となる．この式でx= 0.08とすれば，√1.08の近似値 √ 1.08  1 + 12 · 0.08 − 18 ·0.08 2_{ 1.039} が得られる（実際の値は1.03923 · · · である）． 問10.12 次の関数f(x)のマクローリン多項式による2次近似式を求め，( )内の値の 近似値を小数第3位まで求めよ． (1) f(x) = ex ₍√4_{e) (2) f(x) = log(1 + x) (log 1.1)} (3) f(x) = _{1 + x}1 _0.961  物理学や工学では，マクローリン多項式による関数の近似がよく使われる． 例題

10.6

関数の近似（

II

） (1) f(t) =√1 + t2_{のマクローリン多項式による2次の近似式を求めよ．} (2) (1)の近似式を用いて，L, a, xが正の数で，a，xがLに比べて十分に小さい とき，次の近似式が成り立つことを証明せよ．  L2+  x+ a₂ 2 −  L2+  x− a2 2  ax L 解 (1) f(t) = √ t 1 + t2, f _{(t) =} 1 (√1 + t2₎3 であるから，求める近似式は f(t)  f(0) + f(0)t + 1 2f(0)t 2 = 1 + 1₂t2 となる． (2)条件から，1 L  x± a2  は十分0に近いので，(1)の近似式により，

156 第4章 関数の展開  L2+  x± a2 2 = L  1 +1 L  x± a2 2  L  1 + 1 2  1 L  x±a 2 2 = L + 1 2L  x± a2 2 （複号同順） であるので，次のようになる．  L2+  x+ a 2 2 −  L2+  x− a2 2  1_2L x+ a 2 2 −x− a2 2 = ax L [note] この近似式は，物理学の 2 重スリットによるヤングの干渉実験で用いられる． 問10.13 (1) f(t) =√1 − t2 _{のマクローリン多項式による2次の近似式を求めよ．} (2) (1)の近似式を用いて，x, Rが正の数で，xがRに比べて十分に小さいとき，近似式 R−√R2− x2 x 2 2Rが成り立つことを導け．なお，この近似式は，物理学のニュートン リングの観察で利用される． 関数 x = 0.2 誤差 f (x) = 1 1− x 1.25 — f1(x) = 1 + x 1.2 0.05 f2(x) = 1 + x + x2 1.24 0.01 f3(x) = 1 + x + x2+ x3 1.248 0.002 誤差の見積もり f(x) = 1 1 − xのと き，f(0.2) = 1 1 − 0.2 = 1.25である．こ の値と，n= 1，2，3 のときのマクローリン 多項式f_n(x)による近似値および誤差（真 の値との差）は，右の表のようになる． マクローリン多項式による近似式によっ て得られる関数の値の近似値を求めたとき，その誤差はどのくらいになるだろうか． 関数sin xとsin xのマクローリン多項式を比較しながら，これについて考えよう． f(x) = sin xをマクローリン展開すれば， sin x = x − x_3!3 + x_{5! −}5 x_7!7 + · · · となる．したがって，f(x) = sin x の1次，3次，5次マクローリン多項式は， f₁(x) = x, f₃(x) = x − x_3!3, f₅(x) = x − x_3!3 + x_5!5

となる．ここで，y= f1(x), y = f3(x), y = f5(x)のグラフをかくと，上図のように なる． これによって，次数nが大きくなるにしたがって，y= f_n(x)のグラフはy= sin x のグラフに近づいていき，近似式から得られる近似値の誤差は小さくなっていくこと がわかる． n次近似式による近似値の誤差の大きさは f(x) − f_n(x) = R_n+1(x) = f_{(n + 1)!}(n+1)(c)xn+1 となり，剰余項の絶対値 Rn+1(x) と一致する． 例

10.10

sin x のマクローリン多項式による5 次近似式を用いて，sin 1 の近似 値を小数第4位まで求めると， sin x  x − x_3!3 + x5 5! よって sin 1  1 − 13! + 5! 1 0.8417

となる．(sin x)(6)= − sin xであり，− sin x  1であるから，この近似値の誤差 の大きさは，

R6(1) = − sin c_6! · 16 < _6!1 = 0.0013 · · ·

と見積もることができる．このように，誤差の大きさは大きめに見積もる必要がある．

問10.14 cos xのマクローリン多項式による6次近似式を求めよ．また，この近似式によ

第

6

章

2

重積分

この章では，1変数関数の積分の考え方を2変数関数に広げて，その定義や計算法に ついて学ぶ．1変数関数の積分の考え方が「区間を細分して，分割された小区間で定め られる量の総和」であったのに対して，2変数関数の積分の考え方は「領域を細分して， 分割された小領域で定められる量の総和」である．この考え方が，工学で必要とされる さまざまな量の算出につながっていく．

13

₂

_重積分

13.1

2

重積分

2

重積分 曲面z= f(x, y)とxy 平面およびxy平面に垂直な柱面で囲まれた 立体の体積を求める方法を考えよう． 関数 f(x, y)は領域D で連続であり，つ ねに f(x, y)  0であるとする．このとき， 曲面z= f(x, y)とxy平面の間にある部分 のうち，領域 D の境界を通り xy 平面と垂 直な柱面で切り取られる柱状の立体（右図） の体積V を求める．ここで，領域はその境 界を含むものとする． 領域Dをn個の小領域D_k に分割し，D_k の面積を ΔSk (k = 1, 2, . . . , n)とする．各小領域に含まれる点(xk, yk)を任意に選 ぶと，f(xk, yk) ΔSk は，高さがf(xk, yk)で底面積がΔSk の柱状の立体の体積であ る．したがって，それらの和 n  k=1 f(xk, yk) ΔSk は，求める立体の体積 V の近似値となる．

194 第6章 2重積分 分割を限りなく細かくしていくと，この値は求める立体の体積V に限りなく近づいて いく．すなわち，n→ ∞として分割を限りなく細かくしていくとき，この和の極限値 lim n→∞ n  k=1 f(x_k, y_k) ΔS_k · · · 1 が求める立体の体積V である． 極限値1 は必ずしも f(x, y)  0でない場合でも考えることができる．一般の関 数f(x, y)について，領域 D の分割の仕方や点(x_k, yk)のとり方によらず，極限値 1  が存在するとき，f(x, y) は領域D で積分可能であるという．このとき，極限値 1 を，領域D におけるf(x, y)の2重積分といい，  Df (x, y) dS と表す．Dを積分領域という．f(x, y)が領域Dで連続であれば，f(x, y)はD で積 分可能であることが知られている．

13.1

2

重積分 領域Dを小領域D_k (k = 1, 2, 3, . . . , n)に分割し，D_k 内に任意の点(x_k, y_k) をとる．D_k の面積をΔSk とするとき，関数f(x, y)の領域D における2重積 分を，極限値  Df (x, y) dS = lim n→∞ n  k=1 f(xk, yk) ΔSk として定める．ただし，n→ ∞のとき，各小領域は限りなく小さくなるものと する． 2重積分の定義から，次の性質が得られる．

13.2

2

重積分の性質（

I

） kを定数とするとき，次の式が成り立つ． (1)  Dk f (x, y) dS = k  Df (x, y) dS (2)  D{f(x, y) + g(x, y)} dS =  Df (x, y) dS +  Dg (x, y) dS

13.3

2

重積分の性質（

II

） 領域Dが，境界線以外に共通部分をもたない2つの領域D₁, D₂ に分解される とき，次の式が成り立つ．  Df (x, y) dS =  D1 f(x, y) dS +  D2 f(x, y) dS 領域Dでf(x, y)  0であれば，f(xk, yk)ΔSk 0 (k = 1, 2, . . . , n)であるから，  Df(x, y)dS  0 である．このことと

13.3

から，2つの領域D, ,DがD ⊂ ,Dを満たし，D,でf(x, y)  0 ならば，次のことが成り立つ．  Df(x, y)dS   , Df (x, y)dS 累次積分

13.1

の極限値を計算することによって2 重積分の値を求めることは，一般には難しい．そこで，積分 領域Dが右図のような，連立不等式 a x  b, ϕ₁(x)  y  ϕ₂(x) によって表される領域の場合に，2重積分の値を求めよう． f(x, y)  0であるとき，2重積分  D f(x, y) dSは，底面が領域D，上面がz= f(x, y) で，側面が z軸に平行な柱状の立体の体積である．立体の体積は，断面積を積分する ことによって求めることができるから，これを利用して2重積分の値を計算する．す なわち，a x  bに対して，この立体を，(x, 0, 0) を通りx軸に垂直な平面で切断 したときの断面積を A(x)とすると，求める2重積分の値は

196 第6章 2重積分  Df (x, y) dS =  b a A(x) dx として計算できる．断面積A(x)は，z= f(x, y) を，xを定数とみなして，y 軸方向 にy= ϕ₁(x)からy= ϕ₂(x)まで積分することによって求められるから， A(x) =  _ϕ2(x) ϕ1(x) f(x, y) dy となる．したがって，  Df (x, y) dS =  b a A(x) dx =  b a  ϕ2(x) ϕ1(x) f(x, y) dy  dx が成り立つ．上式の最後の式を，領域D上のf(x, y)の累次積分という． 領域Dが c y  d, ψ₁(y)  x  ψ₂(y) で表される ときも同じようにして，  Df (x, y) dS =  d c  ψ2(y) ψ1(y) f(x, y) dx  dy であることを示すことができる．これらの式は，必ずしもf(x, y)  0でない場合で も成り立つ． このように，2重積分は変数x, yによる積分を繰り返して計算することができる． このことから，以後，領域Dにおける2重積分を次のように表す．  Df (x, y) dxdy 以上をまとめると，2重積分の値は次のようにして計算することができる．

13.4

累次積分による

2

重積分の計算 f(x, y)は領域D で連続であるとする． (1) D = {(x, y)| a  x  b, ϕ1(x)  y  ϕ2(x)}のとき：  D f(x, y) dxdy =  _b a  ϕ2(x) ϕ1(x) f(x, y) dy  dx

(2) D = {(x, y)| c  y  d, ψ1(y)  x  ψ2(y)}のとき：  Df (x, y) dxdy =  _d c  ψ2(y) ψ1(y) f(x, y) dx  dy 領域が長方形D = {(x, y)|a  x  b, c  y  d} の場合には，次のように2通り の方法で計算することができる．  Df (x, y) dxdy =  _b a  d c f(x, y) dy  dx=  _d c  b a f(x, y) dx  dy 例題

13.1

長方形の領域における

2

重積分の計算 次の2重積分の値を求めよ．  D (x2_{y+ 2x) dxdy, D = {(x, y) | 0  x  2, 1  y  2}} 解 先にy軸方向にy= 1からy= 2まで積分し，次に x軸方向にx= 0からx= 2 まで積分すると，次のようになる．   D (x2 y+ 2x) dxdy =  2 0  2 1 (x2 y+ 2x) dy  dx =  2 0  x2 * _y2 2 +2 1+2x * y +2 1  dx =  2 0 ₃ 2x 2_{+ 2x} dx = 3 2 * x3 3 +2 0+2 * x2 2 +2 0= 4 + 4 = 8

198 第6章 2重積分 問13.1 次の2重積分の値を求めよ． (1)   D (x2_{+ y}2_{) dxdy, D = {(x, y)| 0  x  1, 1  y  2}} (2)   D

ex+2ydxdy, D = {(x, y)| 0  x  2, 0  y  1}

(3)  

D

sin(x + y) dxdy, D =_{(x, y)| 0  x  π2 , 0  y } π 2  領域が長方形でない場合には，与えられた積分領域の形に応じて，まずどちらの軸 方向に積分するかを決める． （図1） D = {(x, y) | a  x  b, ϕ₁(x)  y  ϕ₂(x)} （先にy軸方向に積分する） （図2） D = {(x, y) | c  y  d, ψ₁(y)  x  ψ₂(y)} （先にx軸方向に積分する） 例題

13.2

累次積分による

2

重積分の計算 次の2重積分の積分領域を図示し，その値を求めよ． (1)  D(y − x) 2_{dxdy, D = {(x, y) | 1  x  2, x  y  2x}} (2)  Dy dxdy , D =(x, y)_{0  y } π 2, 0  x  cos y  解 (1)与えられた領域Dは，1  x  2の範囲で2直線y= xとy= 2xに挟まれた 部分であるから，右図のようになる．したがって，先にy軸方向に積分する．   D (y − x)2dxdy=  2 1  _2x x (y − x)2dy  dx =  2 1 * _{(y − x)}3 3 +2x x dx =  2 1 1 3x 3 dx= 1 3 * x4 4 +2 1= 54

(2)与えられた領域Dは，0  y  π2 の範囲でx= 0（y軸）とx= cos yに挟まれた 部分であるから，右図のようになる．したがって，先にx軸方向に積分する．   D y dxdy=  π 2 0  cos y 0 y dx  dy =  π 2 0 y * x +cos y 0 dy=  π 2 0 ycos y dy =*ysin y +π 2 0 −  π 2 0 sin y dy = π 2 − * − cos y+π2 0 = π2 −1 問13.2 次の積分領域Dを図示し，2重積分の値を求めよ． (1)   D xy dxdy, D = {(x, y)| 0  x  1, −1  y  x2} (2)   D

x dxdy, D = {(x, y)| 0  y  π, 0  x  sin y}

(3)   D x x2+ y2 dxdy, D = {(x, y)| 1  x  2, 0  y  x} (4)   D √ x+ y dxdy, D = {(x, y)| 0  y  1, 0  x  y} 積分順序の変更 右図で表される領域Dにおけるf(x, y) の2重積分を累次積分に直すことを考える． 与えられた領域はD=  (x, y) | 0x2, 0y − 12 x + 1 と表すことができるから，  Df (x, y) dxdy =  ₂ 0  −1 2x+1 0 f (x, y) dy  dx である（図 1）．一方，y = − 12 x + 1を xについて解くとx= −2y + 2となるか ら，Dを D = {(x, y) | 0  y  1, 0  x  −2y + 2} と表すことができる．このとき，与えられた2重積分は次のようになる（図2）．  Df (x, y) dxdy =  ₁ 0  _−2y+2 0 f (x, y) dx  dy

さくいん

英数字 2 回微分可能 60 2 回偏微分可能 168 2 重積分 194 2 変数関数 160 n 次近似式 154 あ行 アステロイド 75 値（2 変数関数の） 160 アルキメデスの螺旋 129 位置 108 一般項 1 陰関数 186 陰関数の導関数 187 上に凸 61 オイラーの公式 152 凹凸 61 か行 開区間 22 回転放物面 163 回転面 162 ガウス記号 24 拡張された二項定理 159 カージオイド（心臓形） 130 加速度 72 片側極限値 21 下端 84 加法性 89 関数の商の導関数 36 関数の積の導関数 34 奇関数 96 逆関数の導関数 37 逆三角関数 47 逆三角関数の導関数 49 逆正弦関数 47 逆正接関数 47 逆余弦関数 47 級数 11 ——の部分和 11 ——の和 12 ——の和の性質 14 極 128 極限値 2 変数関数の—— 164 関数の—— 18, 19 関数の——の性質 19 数列の—— 8 数列の——の性質 9 極座標 128 極小 54, 181 極小値 54, 181 曲線の長さ 125 極大 54, 181 極大値 54, 181 極値 54, 181 極値の判定法 185 極方程式 129 偶関数 96 区間 22 原始関数 84 懸垂線（カテナリー） 46 原点 128 項 1 広義積分 136 公差 1 高次偏導関数 169 合成関数 32 合成関数の導関数 33, 171 合成関数の偏導関数 172 公比 2 項別積分 147 項別微分 147 誤差の大きさ 157 さ行 サイクロイド 75 最大値・最小値の原理 213 三角関数の導関数 44 シグマ記号 4 指数関数の導関数 43 始線 128 自然数の累乗の和 6 自然対数 41 自然対数の底 40 下に凸 61 重心 209 収束 2 変数関数の—— 164 関数の—— 18, 19 級数の—— 12 数列の—— 8 収束半径 144 従属変数 160 条件付き極値問題 188 上端 84 剰余項 149 初項 1 初速度 77 振動 関数の—— 20 数列の—— 9 数学的帰納法 16 数列 1 正弦関数の極限値 45, 212 積分可能 83, 194 積分順序の変更 200 積分する 84, 86 積分定数 86 積分変数 84 積分領域 194 接する 174 接線 26 接線ベクトル 77 接点 26, 174 接平面 174 漸化式 15 線形性 定積分の—— 89 不定積分の—— 114 全微分 177 全微分可能 177 双曲線関数 46 双曲放物面 164 増減表 54

244 さくいん 総和の記号 4 ——の性質 7 速度 72, 108 速度ベクトル 77 た行 第2 次導関数 60 第2 次偏導関数 168 第 n 次導関数 142 台形公式 134 対数関数の導関数 39 対数微分法 42 対数螺旋 133 体積 回転体の—— 106 立体の—— 105 断面曲線 163 値域 160 置換積分法 92, 115 定義域 160 定積分 82 テイラー級数 148 テイラー多項式 148 テイラー展開 150, 153 テイラー展開可能 150, 153 テイラーの定理 149, 153, 215 等角螺旋 133 導関数 28 等差数列 1 ——の和 2 等比級数 13 等比数列 2 ——の和 3 独立変数 160 な行 二項展開 159 は行 媒介変数 75 媒介変数表示 75 発散 関数の—— 20 級数の—— 12 数列の—— 9 正の無限大に——する 9, 20 負の無限大に——する 9, 20 パラメータ 75 被積分関数 84, 86 左側極限値 21 微分 70 微分可能 26 微分係数 26 微分する 29 微分積分学の基本定理 84, 112 不定形の極限 57 不定積分 86, 112 部分積分法 95, 118 平均速度 72 平均値の定理 52, 214 コーシーの—— 58 平均変化率 25 閉区間 22 べき級数 144 べき級数展開 146 ヘシアン 185 ヘッセ行列式 185 変曲点 62 変数変換 200 偏導関数 167 偏微分可能 166, 167 偏微分係数 166 偏微分する 167 法線 180 放物螺旋 140 ま行 マクローリン級数 148 マクローリン多項式 148 マクローリン多項式による近似式 154 マクローリン展開 150 マクローリン展開可能 150 マクローリンの定理 149 右側極限値 21 無限級数 11 無限数列 8 無限大 8 無限等比級数 13 面積 103 や行 ヤコビアン 201, 203 ヤコビ行列式 201, 203 ら行 ラグランジュの乗数法 189 累次積分 196 連続 22, 165 ロピタルの定理 58 ロルの定理 214

工学系数学教材研究会 執筆者（五十音順） 阿蘇 和寿 石川工業高等専門学校教授 梅野 善雄 一関工業高等専門学校名誉教授 小中澤聖二 東京工業高等専門学校教授 小林 茂樹 長野工業高等専門学校教授 佐藤 直紀 長岡工業高等専門学校准教授 佐藤 義隆 東京工業高等専門学校名誉教授 高田 功 明石工業高等専門学校教授 中谷 実伸 福井工業高等専門学校教授 長水 壽寛 福井工業高等専門学校教授 松澤 寛 沼津工業高等専門学校准教授 馬渕 雅生 八戸工業高等専門学校准教授 安冨 真一 東邦大学教授 柳井 忠 新居浜工業高等専門学校教授 山田 章 長岡工業高等専門学校准教授 山本 茂樹 茨城工業高等専門学校教授 渡利 正弘 沖縄工業高等専門学校准教授 （所属および肩書きは2014年10月現在のものです）

理学博士 編集委員（五十音順） 阿蘇 和寿 石川工業高等専門学校教授 梅野 善雄 一関工業高等専門学校名誉教授 佐藤 義隆 東京工業高等専門学校名誉教授 長水 壽寛 福井工業高等専門学校教授 馬渕 雅生 八戸工業高等専門学校准教授 柳井 忠 新居浜工業高等専門学校教授［執筆代表］ 編集担当 上村紗帆（森北出版） 編集責任 石田昇司（森北出版） 組 版 ウルス 印 刷 丸井工文社 製 本   同   工学系数学テキストシリーズ 微分積分 _{ 工学系数学教材研究会 2014}C 【本書の無断転載を禁ず】 2014 年 12 月 24 日 第 1 版第 1 刷発行 編 者 工学系数学教材研究会 発 行 者 森北博巳 発 行 所 森北出版株式会社 東京都千代田区富士見1–4–11（〒102–0071） 電話03–3265–8341 ／ FAX 03–3264–8709 http://www.morikita.co.jp/ 日本書籍出版協会・自然科学書協会 会員 ＜（社）出版者著作権管理機構 委託出版物＞ 落丁・乱丁本はお取替えいたします．