3章 確率分布

確 率 分 布

3-1

確 率 変 数 試行 の結果 に対応 してい ろい ろな値 を とる変数 を確 率変数 とい う。確率変数 には整数 な どの値 を とる離散 型確率変数 と

,あ

る区間内の任意 の実数値 を とり 得 る連続 型確率変数 とが ある

.以

下 においては

,確

率変数 を表 すの に

X,y等

の大文字 を用 い る。

3-2確

率 分 布 離散 型確 率分 布 離散 型確 率 変 数 χ の とる値 を ″1,χ2,° …,″ら

Xが

こ れ らの値 を とる確率 を 夕1,夕2,…°,沙たとす る。すなわち,

P(χ

=χ′)=夕

J (グ

=1,2,…

0,力) Σ 夕

J=1

この とき,″1メ2,・ …,χたと夕1,夕2,°…,夕んとの対応関係 を χ の確率分布 (ま たは離散型確率分布

)と

い う。確率分布 は通常

,次

のような表で示す ことが多 い. 表

l Xの

確率分布 ″

∬1 ″2 °°° ″た

P(X=∬ )

夕

1

夕

2

… ° 夕た 連続型確率分布 /( 計 １ カ 僻       ゝ つ ・ る         い と         と

睦

 

 

 

敵

的

 

 

 

難

蹄

励

［

連       を χ で表 され る とき,

32 /(″)の

性質

3確

率 分 布

(i)F(―

∞

_{)=0, F(+∞}

₎₌₁

(ii) F(″

)は 非 減 少 関数

m響

=/1rl

3-3

結合確率分布 結合確率分布

2つ

の離散型確率変数

X,yが

それぞれ χJ,yJを とる確 率 を

P(X=χ

J,y=yJ)=夕

″

(グ =1,2,…

・_,力;ノ

=1,2,…

0,解) とするとき,これを

2次

元確率変数

(X,y)の

結合確率分布 (または同時確率 分布

)と

いう。 結合確率分布 も

1次

元の確率分布の場合 と同 じく

,次

のような表で示す こと が多い. 表

2(χ

,y)の

結合確率分布 y ″ ク1 y2 yπ _P(χ=∬) ∬   ∬ ． ． ． ″ 夕

H

夕12 °°°

夕lπ 夕21 '22 °°° '2π

: : :

夕た1 夕た

2

…・

夕たπ 夕1・ 夕20 : タル・

P(y=y)

夕・1 ク・2 ク・″ 周 辺 分 布

_P(χ

_{=χ J)=夕′}

_.=自

タガ (グ

=1,2,…

,力)

P(y=yJ)=夕

。

_ノ

=忍

夕

″

(プ =1,2,…

,解) この とき,χ Jと 夕J.の対 応 を

Xの

周 辺 分 布

,同

様 に yJと 夕,プ の対 応 を

yの

周辺分布 とい う. 確率変数 の独立性

2つ

の離散型確率変数 χ と

yが

独立 で ある とは すべての グ,ノに対 して, と 数 関 布 分 こ 単 ま ０             た ≧ 一                   ま ︸ 淘       励   麟

＞

＞

π

た

＜

 

＜

 

 

 

Ｈ

数

麟  

  ”

姉

 

_誌

ン

つ・

_時

で   い

33

3-4

確率変数の期待値 と分散

P(χ

=∬J, す なわ ち, が成 り立 つ ときをい う.

y=yJ)=P(χ

_=″

_J)P(y=yJ)

夕JJ=夕J.夕.ノ

３

_．

４

師

 

 

 

御

確

期 き     き と     と の     の 型   型

る。



 

撒

 

晰

す       が     が 分

34 分散 の正 の平 方根 標 準偏 差

σ=/7(スつ

=/E[(χ

一μ

)2] を標 準偏 差 とい う。

Xの

平 均値 を μ

,標

準偏 差 を σ とす る とき 標 準 化 __χ一μ

Z=

σ を

Xの

標 準 化変量 とい う。

Zの

平 均 は

0で

,分

散 は

1で

あ る。

E(Z)=0, 7(Z)=1

3確

率 分 布 題 例 昭和

55年

発行のジャンボ宝 くじの賞金金額 は 1ユ ニ ッ ト(1000万本)当 た り

,次

の ようであつた.

1等 30,000,000円

組違 い150,000円

2等 10,000,000円

組違 い 80,000円

3等

5,000,000円

組違 い 50,000円

4等

1,000,000円

5等

100,000円

6等

10,000円

300円

2,000,000本

宝 くじ

1本

の獲得 賞金額

Xは

離散型確率変数 で あ る。

Xの

期待値 を求 め よ。 10冽ヽ 90冽ド 10冽ド 90冽ヽ 10冽ヽ 90冽ヽ 300冽ヽ 100冽ヽ 1,000本 解 はず れ くじの本 数 は

10,000,000-(10+90+10+90+10+90+300+100+1,000+2,000,000)

=7,998,300 よ って

,Xの

期 待値 の定 義 よ り

]X浄

地 ∞Q∞

0×

十

bQ∞

0×

+…

+∞

0×

+0×

=B脱

ジ

0

例 題 例題

2 (離

散型確率分布の平均 と分散) χ の確率分布が 35 ∬

1

P(χ=∬

) 0。

1 1 0.4 2 4 0。3 0.2 の と き,

(a)E(χ

),E(χ

2),

(b)y=2χ

-3の

と

7(χ

)を 求 め よ。 き

,E(y),7(y)を

求 め よ.

解

(a)E(ス

つ

=(-1)×

0。

1+1×

0。

4+2×

0.3+4×0.2=1。 7

E(χ

2)=(_1)2× 0。1+12×0。4+22×0.3+42×0.2=4。9 7(ス

つ=E(χ 2)_{E(χ

)}2=4。9-1。 72=2。01

(b)y=2χ

-3の

確率分布は

y -5 -1

P(y=y) 0.1 0.4

1 5 0.3 0.2 で あ るか ら

E(y)=(-5)×

0.1+(-1)×

0。

4+1×

0.3+5×0。2=0。4

7(y)=E(y2)_{E(y)}2

=(-5)2×

0.1+(-1)2× 0.4+12× 0.3+52× 0.2-0.42=8。 04

解

E(ス

つ

=μ

_,7(χ

)≡

σ

2=E(χ

2)_μ 2ょ

り

(a)E(2X)=2E(χ

)=2μ

(b)E(3X+1)=3E(χ

)+1=3μ

+1

(c)E(χ

2)=μ2+σ2

(d)E(2χ

2+5X+7)=2E(χ

2)+5E(ス

つ+7=2(μ

2+σ 2)+5μ

+7

=2μ 2+5μ

+2σ

2+7

(e)7(3χ

)=97(χ

)=9σ2

(確率変数の平均 と分散)

χ が平均 μ

,分

散 σ2をもつ とき

,次

の値 を μまたは σ2によって表せ。

(a)E(2X) (b)E(3X+1) (C)E(χ

2)

(d)E(2X2+5X+7) (e)7(3ス

つ

(f)7(2X-3)

36

(f)y(2X-3)=47(ス

つ

=4σ2

(g)7(3χ

+1)=97(ス つ

=9σ2

(h)E(χ

2+4χ

)=E(χ

2)+4E(χ

)=μ2+σ 2+4μ

3確

率 分 布

例 題

4 (独

立 な確率変数の1次結合の平均 と分散)

解 題意 よ り

E(χ

)=E(y)=μ ,7(χ

)=σ

2,7(y)=2σ

2で ぁることを用 いる。

(a)E(χ

-2)=E(χ

)-2=μ

-2

(b)7(χ

+y)=7(ス

つ

+7(y)=σ

2+2σ2=3σ2

(C)7(χ

一

y)=7(ス

つ

+7(y)=3σ

2

(d) 7(2X+3y)=47(ス

つ

+97(y)=4σ

2+9×2σ2=22σ2

(e)7(χ

-3y_5)=7(ス

つ

+97(y)=σ

2+9×2σ2=19σ2

(f) y(α X― by)=α

27(ス

っ十b27(y)=α

2σ2+b2×

2σ2=(α2+2b2)σ2 解 赤球 を

R,青

球 を

Bで

表 す。

Xの

確 率 分布 は

Xが

とる値 とそれ に対 す る確率 を求 めれ ばよい. ∬ 事象系列 確率 P(χ=∬) 2

RB

4 3 3

RRB

3 3 ３ 一 ３５ ２ 一 ７ ｌ Ｂ ３ 一 ７ ３ 一 ７ 7 6 6 5 6 35 4

RRRB

3 2

7654

5

RRRRB

+・ =・

=0÷

01 1 35 χ は平 均 μ

,分

散 σ2をもち

,yは

平 均 μ

,分

散2σ2を もつ。

Xと

yが

独 立 の とき

,次

の値 を μ と σ2によって表 せ 。

(a)E(χ -2) (b)y(X+y) (C)7(χ

―

y)

(d)7(2X+3y)(e)7(χ

-3y_5)(f)7(α

χ ―

by)

(ある離散 型確 率分 布 の平均 と分散)

箱 の中 に

4個

の赤球 と

3個

の青球が ある.この箱 か ら

,非

復元抽 出で青 球 が 出 るまで球 の と り出 しを続 ける。

Xを

青球 が 出 る まで の球 の と り出 し回数 とす る とき

,Xの

確率分布 を求 め よ.また

,Xの

平均 と分散 を求 め よ.

例 題 よつて

,Xの

確率分布 は 37 χ P(χ=″) ゆ えに,

E(χ

)=1×

÷

+20子

+3×

会

+4×

金

+5×

士

=2(回

)

7(χ

)=E(χ

2)_22

=12×

÷

+22×

子

+32×

会

+42×

金

+52×

士

_22=1。

2(回

) 解

(a)試

合 が

3ゲ

ームで終 わ るの は

,Aが

3連

勝 す るか

Bが

3連

勝 す るかのいずれかであるか ら

,求

める確率 は

p3+α

3。

(b)試

合 が

4ゲ

ームで終 わ るのは

,Aが

第4セ ッ トに勝 ち

,通

算

3勝

して 終 わ るか

,Bが

第4セ ッ トに勝 ち

,通

算

3勝

して終 わ るかのいずれかである。

Aが

勝 つ場合 は

,Aの

勝 を○

,負

を ×で表 す と ５ １ 一 ３５ ４ ３ 一 ３５ ３ ６ 一 ３５ ２ ２ 一 ７ １ ３ 一 ７ 第 1セ ッ ト 第 2セ ッ ト 第 3セ ット ×

_○

_○ ○

×

o

第4セ ッ ト ○ 確率 aヴ)3 ○

″3

0

″3 の

3通

_{りで,そ の確率 は 3″}3と _{な る}.夕 _{とαを入 れ替 えれ ば}

Bが

_{勝 つ確 率} 3″ 3が得 られるか ら

,試

合が

4ゲ

ームで終わる確率は 3“り3+3夕σ3=3pα(p2+α2) ○ ○ (離散型確率分布 の応用) バ レーボールの試合 は

,ど

ち らか一方 のチームが先 に3セ ッ トを勝 てば 試合 は終 了す る。1セッ トで

Aチ

ームが

Bチ

ームに勝 つ確率 を 夕

,負

ける 確率 を σとし

,各

セ ッ トの試合 は独立で,夕 はゲームを通 して一定 とす る. この とき

,次

を求 めよ.

(a)試

合 が

3ゲ

ームで終 わ る確率.

(b)試

合 が

4ゲ

ームで終 わ る確率.

(c)試

合 が終 わ るまでのセ ッ ト数 を χ とす る とき

,Xの

確率分布.

(d)夕

=÷

のと

き

,Xの

期

待

値と

分

散

.

38 3確

率 分 布

(C)(b)と

同様 に考 えて

,試

合 が

5ゲ

ームで終 わ るの は第1セッ トか ら第 4セ ッ トまで に

Aが

2回

勝 ち

,第

5セ ッ トで

Aが

勝 つ か

,第

4セ ッ トまで に

Bが

2回

勝 ち

,第

5セ ッ トで

Bが

勝 つ か の い ず れ か で あ る

.前

者 の 確 率 は 4C2夕2α2×夕で

,後

者 の確 率 は4C2夕2σ2×αで ぁ るか ら

,試

合 が

5ゲ

ームで終 わ る確率 は 4C2夕2σ2×夕+4C2夕2σ2×σ=4C2夕2α2=6夕2σ2 試合 は

5ゲ

ーム まで に必ず終 わ るので

,試

合が終 わ るまで に要 したセ ッ ト数 を

Xと

すれ ば

,Xの

確率分布 は ″ P(χ=∬)

(d)

の確率分布 は ″ P(χ=″) よ っ て, 解 この人 の会社への行 き方 は

,車

を

A

くかの

2通

りで

,Aか

らの所要時間 は

8分

, 3 4 5 ク3+α3 3夕α(夕2+α2) 6夕2α 2 Ｘ き と の １ 一 ２ 〓 ク ５ ３ 一 ８ ４ ３ 一 ８ ３ ２ 一 ８ ３９ 一 ６４ 〓 ３３ 一 ８

３３

一８

 

３

一

８

３

一

８

 

牧

隊

 

 

馬

卜

群

×     ″

↑

÷

〓３×



 

Ｈ

姻

 

_暉

に駐車 して行 くか

,Bに

駐車 して行

Aに

駐

車

する

確

率は÷

,Bか

ら

の

(確率分布の応用) あ る人 は毎 日車 で会社 に通 い

,会

社 の近 くの

A駐

車場 を利 用 してい る。

A駐

車 場 か ら会 社 まで は歩 い て

8分

で あ る

.彼

の車 が

Aに

着 い た とき, ここが空 いておれ ば駐車 す るが

,満

杯 の ときは

Aか

ら少 し離 れ た

B駐

車 場 を利用す る ことに してい る

.Bは

十分 な スペ ース を もつのでいつで も駐 車 で きる

.Bか

ら会社 まで は歩 いて

15分

,Aか

ら

Bま

で は車 で

9分

か か る。彼 が

A駐

車場 に着 いた とき,そ こが満杯 で あ る確 率 は常 に1/4であ る。彼が

A駐

車場 に着 いてか ら彼 の会社 まで χ 分かか る とき

,Xの

平均 と標準偏差 を求 め よ。

例 題 所要時間 は

9+15=24

分布 は 39 (分

),Bに

駐 車す る確率 は_÷で ある。よって χ の確率 ∬ P(χ=″) ２４ １ 一 ４ ８ ３ 一 ４ ゆ えに, 解

(a)2元

表 で それ ぞれの周辺和 を求 めれ ば,

Xの

周 辺分 布

μ

=E(ス

つ

=8×

÷

+24×

÷

=12(分

)

=6.9(分

)

yの

_周辺分布 ３ ２ 一 ５ ２ １ 一 ５ １ ２ 一 ５ ｙ 〓 ｙ   ｙ Ｐ ２ ２ 一 ５ １ １ 一 ５ ０ ２ 一 ５ ∬ 〓 ″   χ Ｐ

(b)(a)よ

り E(ス

つ

=0×

÷

+1×

÷

+2×

÷

=1

σ

=/7(ス

つ

=4/82×

阜

+242×

斗

_122

(結合確率分布) 次の

2元

表 は

2つ

_{の離散型確率変数の結合確率分布 を示す。}

(a)Xの

周辺分布 と

yの

周辺分布 を求めよ。

(b)E(χ

),E(y),E(χ y),7(χ

),7(y)を

求めよ.

(C)E(χ

y)=E(χ

_E(y)は

_{成 り立つが}

_,χ

_と

yは

_{独立ではない こ}

とを示 せ 。

(d)Z=χ +yの

分散 を求 め よ。 ３ 一 ２０ １ 一 １０ ３ 一 ２０ １ 一 １０   ０   １ 一 １０ ３ 一 ２０ １ 一 １０ ３ 一 ２０

40

3確

率 分 布

E(y)=1×

÷

+2×

÷

+3×

÷

=2

7(ス

っ

=02×

÷

+12×

÷

+22×

÷

_12=÷

7(y)=12×

÷

+22×

÷

+32×

÷

_22=÷

E(ス

「

y)=1×

1×

ギ

号

+1×

_,×

ギ

号

+2×

1×

ら

む

+2×

2× :号

+2×

3×

ら

む

=2

(C)(b)よ

り

E(χ

y)=E(X)E(y)

は成 り立つ。しか し,た とえば

P(χ

=0,y=1)=会

,P(χ

=0)=÷

, よ り

P(χ

=0,y=1)≠

P(χ

=0)P(y=1)

で あるか ら

,Xと

yは

独立で はない。

(d)Z=X+yの

確率分布 は

,2元

表 よ りの直接計算 に よって,

z(-r*u)

P(Z

_-

z)

で あるか ら

E(Z)=3 (分

布 の対称′性よ り)

y(z)=12×

_発

+22×

÷

+32×

壽

+42×

÷

+52×

発

_32=1。 6 ２ 一 ５ 〓 〓 ｙ Ｐ ５ ３ 一 ２０ ４ １ 一 ５ ３ ３ 一 １０ ２ １ 一 ５ １ ３ 一 ２０ (確率密度関数) ≦ 一 χ

≦

 

し

_，

一   一 不 ＜   を と ＞   こ ノ   る 一   あ は   で 二 ８ 数 一 一 関 確             ・ 型   ＞   ＞   よ 続   ａ     ｂ   め 連   ＜   ＜   求

題 例 解 ある関数/(χ)が密度関数であることを示すには

(i)す

べての χに対 して/(χ)≧0

(ii)I1/(χ

)″

=1

の

2条

_{件が成 り立つ ことをいえばよい。}

明ら

か

に

,=(1-χ

4)≧

_{0(_1≦}

″

≦

_1)だ

から

,(i)は

成

立

.

f=(1_″

4)″

==[″

一

￨「

1:1=1

より(ii)も成立. よって

,与

えられた関数は密度関数である.

(a)P(χ

>÷

_)=fホ

1-χ4)″

==[χ

一

千

_L=轟

(b)P←

χ

2<場

_ぅ

_=P(一

÷

_<χ

_<÷

) ７９ 一 ・２８ 〓 １ 一 ２ ． 一２

が

一

５

一 χ ５ 一 ８ 〓

″

∬ 一 ５ 一 ８ １ 一 ２ １ 一 ２ ｒ 上 〓 (密度 関数 の平 均 χ の確率密度関数が (1≦″≦2) (その他) の とき,

(a)ε

の値,

(b)χ

の平均,

(C)χ

の分散,

(d)χ

のモー ド を求 め よ。

り

 

３

_ァ

″

ノ

_．

・

２

＋

歩

ａ＞   ″ ｌ   Ｅ ｒ ヽ       ε 解

(b)

2_千

]i=1

⇒ ε

=6

42

3確

率 分 布

=6/2(_2″

+3χ 2_″3)″

=6[一

χ

2+∬

3_千

_1=号

(C) y(ス

つ=E(χ 2)_{E(χ

)}2

=6/2χ

2(1_∬ )(″

-2)″

一

÷

=6卜

_争

3+÷

″

4_千

_{1_÷}

23 9 1

10 4 20

/(χ

)=6(1-∬

)(χ

-2)

/′(χ

)=18-12χ

=0

⇒

χ

=

３ 一_２

よ

っ

て

,モ

ード

は

=:

(d)

(b)

解

上

げ

ゴ

フ

一     ． 一       ＞

８

一

３

月

_眸

Ｗ

一

一

 

８

一

３

一性

_ヮ

一．

_一８

α

ｌ

⋮

_〓

↓

じ

⇒

 

︲

一π

 

″

一が

 

・６

一３

一         ２ 〓

り

別

Ｉ

判

リ

よ

陽

↑

 

器

〓︲     α   ハ ｆ ノ ．

″

 

 

 

上

３

 

ズ

一_一     ２ 一 が       勁 ｆ       ≦ χ ＞         Ｐ ａ (密度関数のメ

Xの

確率密度関数が (1≦χ≦2) (その他) の とき,

(a)α

の値,

(b)P(χ

≦

y)=2P(χ

≧

y)を

_{満 たす}y,

(C)Xの

メジア ン, を求 めよ。 よ り

,y=√

。

例 題

(C)メ

ジア ンを ″ とす る と 例題

12 (密

度関数と分布関数) χ の確率密度関数が ″

) (0≦

″≦2) (その他) の とき (a) αの値 を求 め よ。

(b)

P(0≦χ ≦1)を求 め よ。

(C)

Xの

平 均 は

1で

,分

散 は ÷ で あ る こ とを示 せ.

(d)

χ の累積 分布 関数 を求 め よ。 解

(a)

２ ． ０ ″ α 〓 χ ／

÷

/″

1籍

=÷

÷

(÷

―

百

券

7)=÷

″

2=÷

⇒ 〃

=牢

１     〓

雄

 

物

的一 

_わ

２

″ 

 ″

Ｈ︻

幻

ｒ ｆ ノｏ     α

α

[∬

2_千

1=1

P(0≦

χ≦

1)=÷

ズ

lχ(2-″)″

=÷

[χ

2_千

1=÷

E(χ )=ズ

2″ .÷

″

_(2-″)″

=÷

_[午

一

千

₁₌₁

7(ス

つ

=E(χ 2)_{E(χ

)}2

=÷

_f2″

3(2-χ )″

-12

３ 一 ４ 〓 α ⇒

(b)

１ 一 ５ 〓 一

が

一

５

一

ノ

丁

３ 一 ４ 〓

44

(d)P(X<0)=0よ

り,

P(χ

>2)=1よ

り, 0≦χ≦2の範 囲で は, 方

=0の

とき, よって, ∬

<0に

対 して はF(χ)=0。 ″

>2に

対 して はF(″)=1.

3確

率 分 布

ギ

イ

司

χ               ，

Ｉ

 

 

 

ゝ

ら

カ だ 〓 ″ Ｆ

争鬱

一

″

)″ ″2__￨￨)+ε

一

_千

_)①

≦

″

≦

2)

1 (χ

>2)

解

1=五

ぼ

“

一

″

2)″_=ε [“

″

一

千

14=疑

奔ε⇒ε

=壕

≒

(a)ズ

X>2)=万

4嘉

は

6-″ 2)″

=嘉

[“

″

一

千

1=島

(b)ズ

χ

<-1)=I11会

は

6-χ 2)″

=尭

_[“

″

一

千1=轟

(C)ズ

1<χ

<3)=/3会

は

6-χ 2)″

=嘉

[“

χ

一

千

1=器

χ ３ 一 ４ 〓 ″ Ｆ (密度関数の応用問題) 列車が

R駅

に到着す る ときの誤差 χ(分 )の確率密度 関数が

嗣

=icl161ノ

)￨】

昴

「

→

で与 えられ る とき

,cの

値 を定 め よ。この列車 が定亥Jよ り

(a)少

な くとも

2分

遅 れ る,

(b)少

な くとも

1分

早 く着 く,

(C)1分

か ら

3分

遅 れ る 確率 を求 めよ。

累積分布関数が

０

繊

１

〓 ∬ Ｆ (″

<0)

(0<″≦2) (■

>2)

χ の確率密度関数/(χ),

Xの

平均 と分散 /(χ)のグラフを示せ. 例 題 45 例 題

14

χ の累積 (分布関数 と密度関数) の と き,

(a)

(b)

を求 め,

解

(a)/(χ

)=∠

勇■

=3繊

2

F(2)=1よ

り 8カ

=1

よって, 一 例 題

15

あるガ ソ リンスタ ン ドは毎週 月曜 日の朝, のスタ ン ドの週 当た リガ ソ リン販売量 を χ 過去 の経験 か ら

,Xの

確率密度関数 は

バか去

15-げ

ガ ソ リンの補 給 を受 け る.こ (1000リ ッ トル単 位

)と

す る. (0≦″≦5) １ 一 ８ 〓 カ ⇒

ｆ

ｆ

諸

７

，

 

′

﹁

 

﹃

砿

障

押

ｔ

_ｏ

ル

爵

″

一 一     ，＜ ¨ く ユ   И   ブ の ／     ＞＞       ↓ ″) ３ 一 ２０ 〓 ９ 一 ４ 一

３

一

２

が

一

５

卜

引

需

併

と

お

り

_。

り

 

 

 

し

＜         ／ ∬       ″     上 ２           ２         ﹂ コ で あ る こ とが知 られ て い る.

(a)こ

の ス タ ン ドの あ る週 の販 売 量 が 2000リ を求 め よ. トル未満 で あ る確 率

46

3確

率 分 布

(b)こ

の スタ ン ドのガ ソ リンタ ンクの容量 は 4000リ ッ トルで あ る と き,ある週 に,このス タ ン ドが ガ ソ リンの需要 を満 たせ ない確率 を 求 めよ. χ

0 2 5 9

P(χ=″

) 0.4 0.1 0.2 0。

3 解

(a)週

販売量 χ は 1000リ ッ トル単位 で測 られてい るか ら

ズ

x<幼

=ズ

2去

G_χ

ソ

″

=去

_15y2ヵ

6_″

=yと

おく

)

=去

_[千

_1=器

=仇

784

(b)需

要 を満たせ ないのは

,Xが

4000リ ッ トル を超 える ときであるか ら

ズχ

>4)=/5去

t5-χ

ソ

″

6-″

=yと

おく

)

=去

_[千

_1=去

=仇

008

3章

の問題

3。

1

次の各確率分布の平均 と分散を求めよ

.

(a)

(b)

″ P(χ=∬)

-2 -1 0 1 2

0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 ∬

(C) P(χ

平″) ５ １ 一 ４ ４ ３ 一 ８ ２ １ 一 ４ ・２ ︲ 一 ８ 3。

2 Xの

確率分布 が ∬ P(χ=″) ９ １ 一 １２ ６ １ 一 ６ ４ １ 一 ２ １ １ 一 ６ ０ １ 一 ・２

3章の問題 の とき,この確 率 分布 の グ ラ フを示 せ。

E(χ

), 7(χ )を

求 め よ.

y=5X+2の

_とき

_{,E(y),7(y)を}

_{求 め よ}.

3.3

χ の確率分布が

47

ま た, ″

0 1

P(χ=∬

) 0.1 0。

1 ２ ０ ・ ３ 3 4 0.3 0.2 の とき,

(a)Xの

期待値 と分散 を求 めよ.

(b)χ

2の_{期待値 と分散 を求 め よ。}

3.4

χ が確率分布 ∬ P(χ=∬) 0 1 2 タ タ

2 2,2

３ タ を もつ とき

,Xの

平均 と分散 を求 め よ.

3.5 Xの

平 均 が

2,分

散 が

5の

とき.

(a)χ -1 (b)3χ

(C)2X+1

(e)5-3χ

の平 均 と分散 を求 め よ.

(d)÷

(χ

+3)

3.6

数1,2,3,4,5,6が記 入 され た

6個

の球 の入 った箱 が あ る.この箱 か ら

,非

復元抽 出で

2個

の球 を とり出す。とり出 された球 の数 の和 を χ

,積

を

y

とす る とき

,Xと

yの

確率分布 をそれぞれ求 め よ. 3。

7 4人

で競 う トラ ンプゲームで

,あ

る

1人

に配 られ た13枚の札 の中の “エース"の数 を χ とす る とき

,確

率変数

Xの

確率分布 を求 めよ.

3.8

次 の式で正 し くないのは どれか。その理 由は.

(a)E(X+χ

)=E(χ )+E(χ )=2E(χ

)

(b)7(χ

+スつ

=7(χ

)+7(χ

)=27(χ

)

(C)7(χ

ttχ

)=7(2ス

つ

=47(χ

)

3.9

サイコロを2回 投げ,最 初に出た目をχ

,2回

目に出た目を

yと

す

48

3確

率 分 布

(a)Z=lχ

一

yl

(b)7=min(χ

,y)

の確率分布 をそれぞれ求 めよ.また

,Zと

ア の平均 と分散 をそれぞれ求 め よ.

3.10

χ と

yの

結合確率分布 が の とき,

(a)Xと

yの

周辺分布 をそれぞれ求 めよ.

(b)χ

と

yは

独立 か どうか.

(C)2X―

yの

平均 と分散 を求 め よ。

3.11(X,y)の

結合確率分布が の とき

,次

を求 め よ。

(a)Xの

周辺分布 と

yの

周辺分布.

(b)E(y)と

フてy).

(C)χ

と

yは

独立 か どうか。

(d)E(X+y).

(e)E(χ

y).

3.12

赤球

2個

,青

球

1個 ,自

球

5個

を含 む袋 か ら非復 元抽 出で

4個

の球 を と り出す とき

,赤

球

1個

と白球

3個

が とり出 され る確 率 は_子 にな る ことを １ 一 ２０ １ 一 １０ ３ 一 ２０ １ 一 １５ １ 一 ３０ １ 一 １５ １ 一 ・０ ２ 一 １５ １ 一 ６０ １ 一 ３０ １ 一 ２０ １ 一 １５

3章の問題

49

示せ.この袋 か ら非復元抽 出で

4個

の球 を と り出す とき

,得

られ た赤球 の数 を χ

,青

球 の数 を

yと

す る。その とき

,Xと

yの

結合確率分布 を与 える

2元

表 を示せ。この表 か ら χ と

yは

独立 でない ことを示せ

.Z=X+yの

確率分布 を導 き,その平均 と分散 を求 め よ. 3。

13

ある自動車 セールスマ ンの基本給 は月

12万

円で

,新

車 を 1台 売 る ごとに

3万

円の歩合が もらえる。セールスマンの月間新車販売台数は確率変数 で,そ の平均 は 1.85台

,標

準偏差 は 1.24台 である。このセールスマ´ンの月間 収入の平均 と標準偏差 を求めよe 3。

14 Xの

密度関数が (0≦χ≦1) (その他) の と き,

(a)

(b)

(C)

(d)

3.15

χ の確率密度関数が

/1rl=F+≒

+α

21舅

痛

￨)

で

,そ

の

平

均

は

÷

,分

散

は

券のと

き

,

cの

値 を求 め よ.

(a)α

,ら, この分布 の モー ドとメ ジア ンを求 め よ. (b)

”

 

０

〓 ″ ／ 散   ・ 分 数

ｍ

よ め 求 χ ↓ ↓ ↓ る ス バ バ れ ６                     ら

３

_．

．

 

０

 

０

 

 

０

 

城

で

50

3.17

次の密度関数か ら分布関数 を求めよ。

(a)/(χ

)=÷

(1-″

2) (_1≦

χ

≦

1)

(b) /(″

)=3(1-χ )2 (0≦

″≦1)

(C)バ

″

)=3″

“

―

∬

)(0≦

χ

≦

4)

3確

率 分 布

3.18

シ リ で与 え られ る と 取 り替 えね ばな も

500時

間以 内 に 3。

19

ある人 が半径

4cmの

円形 の標 的 に向 けて ライ フル を発射 す る。標 的 は中心 の半径 が それ ぞれ

lcm,2cm,3cmの

同心 円か らな る

.標

的 の 中心 か ら着弾点 までの距離 χ は確率変数で,その確率密度関数が /(″ )=0。 03(″

2+3) (0≦

χ≦4) で ある とき,

(a)弾

丸が小 さい円に当たる確率 を求 め よ。

(b)弾

丸が小 さい円に当た る と

5点

,この 円 と中間の円の間 に当た る と3 点

,中

間の円 と大 きい円の間 に当た る と

1点 ,大

きい円の外 にはずれた ら

0点

が与 え られ る。この場合,

(i)確

率が最 も大 きいの は何点の ときか。

(ii)1発

当た りの得点の平均 を求 め よ。 3。

20 Xの

確率密度関数が /(″

)=÷

θ

日

(一

∞

<″

<∞

)

のとき

,/(χ )の

グラフを図示し

,Xの

平均 と分散を求めよ

. と 方 コ             き ら