保険会社の存続問題

は じ め に

 保険関連のリスク理論として，“ 保険会社の存続問題 ” がある。

   初期資産（初期サープラス）をU₀ 0，

   時刻tまでの総保険料収入（保険料過程）をPt ， ⑴    時刻tまでの保険金支払い総額（クレーム支払い額過程）をSt ，

とするとき，保険会社が すべての契約を時刻tで清算した直後の残存資 産（サープラス）Ut は，

   ⑵

となる^1）。このUtが負になった時点で会社は破産するが， 破産せずに，

Ut＝U0＋Pt−St.

商学論纂（中央大学）第55巻第３号（2014年３月）  635

保険会社の存続問題

西 岡 國 雄 五  十  嵐  徹

   目   次  は じ め に １ 存 続 確 率

２ Lundberg modelの積分微分方程式 ３ 積分微分方程式 ⑽ の解

４ クレーム支払い額が任意の分布の場合 ５ コンピューター・シミュレーション

⎫⎜

⎜⎬

⎜⎜

⎭

ずっと存続する確率φ（u） （定義は，後述の ⑶ 式）を計算することが 保 険会社の存続問題 である。

 Lundberg model⑷ の場合，このφ（u）は，ある積分微分方程式⑽の解

となる。ところが，その ⑽ を解くことは容易ではなく，クレーム支払い 額の分布が 指数分布 や ガンマ分布 などのごく限られた場合にし か，φ（u）を求めることが出来ない。本論文では，クレーム支払い額の分 布がどのようなものであっても（例えば，過去のデータから得られる分布で も），φ（u）の 任意精度の近似解 が 計算できる形 で得られること

（定理９）を報告する。

１ 存 続 確 率

 まず存続確率を定義する。u＞0を定数，初期サープラスU₀＝uとする とき，⑵で与えられる確率過程      に対し，

      有限期間，

    ⑶

という，有限期間と無期間，２つの存続確率がある。次の不等式は自明で ある。

 本論文で，我々の取り扱う対象は無期限の存在確率 ⑶ である。今後，

⑶を単に 存続確率 と呼ぶ。

1） ここでは資産の運用収益や経費などは無視した。

Ut，t$0

# -

, P ,

u T / Ut$0 t# ;T U0＝u

z] g _{7 A}

, lim

u u T

T  無期間．

/ →

z z

3

] g ] g

, , u$ u T

z] g z] g u lim u T, .

T

＝

z → z

3

] g ] g

２ Lundberg modelの積分微分方程式

 保険会社にとって，存続確率φ（u）を知ることは重要であり，特に，初 期サープラスuおよび次に述べる 安全割増率θ とφ（u）の関数関係を 知ることが出来れば，経営上で有益である。

 1926年にF. Lundbergは，

   クレーム支払い額過程Stは複合ポアッソン過程，

   保険料過程Pt＝κt，κは ⑹ で与えられる正定数， ⑷

と し， 存 続 確 率 φ（u）が 満 た す 積 分 微 分 方 程 式 を 導 出 し た。 こ こ で

Lundbergによって導入された複合ポアッソン過程は，次で定義される確

率過程である。

定義１（複合ポアッソン過程）．確率過程{S_t , t 0}が次の条件を満たすとき，

複合ポアッソン過程という。

   複合ポアッソン過程{N_t , t 0}，    独立同分布な確率変数X₁，X₂， . . . ，    {N_t , t 0}，X₁，X₂， . . .は互いに独立，

があり，

          0 とする．  ⑸

注意２．Ntは時刻tまでのクレームの件数であり，X₁，X₂， . . .は各々の クレームでの支払い額を表している。また，{N_t , t 0}のパラメータをα とすると，E[N_t]＝αt，t 0． 

 クレーム支払い額の平均をμ≡E[X₁]とおくと，Lundberg model ⑷の .

S_t X_k X

k N

0 0

t

＝  ただし

＝

/

⎫

⎬⎭

単位時間当たりの保険料支払の平均値 はαμとなるので，公平な保険 料はαμである。だが，その保険料のθ倍を 安全割増率 として上乗せ すると，

    ⑹

が単位時間の保険料となる。つまり⑸の複合ポアッソン過程{S_t , t 0}と

⑹ の正定数κに対し， 初期サープラスu 0 から出発したサープラスの 時刻tでの値U（u）t は，

    ⑺

となる。

 次に，時刻がtから微少量dtだけ増加したとき，サープラスUt＋dt（u）

がどう変化するかを調べよう。⑺から

      if St＋dt＝St that is Nt＋dt

    ＝Nt

     and its probability is 1−αdt,

       ＝    if St＋dt＝St＋X₁ that is N_t＋dt−Nt

     ＝1 and its probability is αdt,          the other case of small order probability,

となる。すなわち，(dt)²以上の微少項を無視すると，サープラスUt＋dt（u）

の増減は，

1 l＝ ＋] i ang

, .

U ut] g＝ ＋ −u lt St  t$0

U_t＋dt]ug＝ ＋u l]t＋dtg−S_t＋dt

u dt St d St t St

＝#] ＋l g−_ ＋t− i-＋ −l

U ut] ＋ldtg

U u_t] ＋ldtg−X₁

⎧

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎨

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎩

  クレームが無く，保険収入κdtのみ発生

⑻    ⇒ 初期サープラスがu→u＋κdtに増加 と同じ，

  クレームと保険収入κdtが発生

   ⇒ 初期サープラスがu→u＋κdt−X₁ に変化 と同じ， ⑼

のどちらかが起こる。

 すると，初期サープラスuから出発した時刻tでの存続確率

は，⑻および⑼の増減分を初期サープラスとする存続確率に等しいので，

それらの発生確率を考えて，

ここで，X₁ の確率分布をFX(x)≡P[0 X₁ x]とし，X₁^2）の支払い額がu

＋κdt以下との条件も考慮した。上式を整理して,

最後にdt→0として，Lundberg modelの存続確率φ（u）が満たす積分微分 方程式が得られる：

     ⑽

 更に，このφ（u）は以下の境界条件を満たすことが判っている，証明は

2） 最初のクレームと考えている。

for 0

P 0

u＝ U_t$ 6t$ ;U₀＝u

z] g _{7 A}

u＝ −1 dt u＋ dt z] g ] a gz] l g

dt ^{u d t} u dt x

＋a &

#

dt u dt

u dt

＋ u

＝ ＋

z] l g−z] g az] l g ^{u dt} u dt x dFX x .

−a

#

u u ^u u x dF_X x,

＝ − 0 −

zl] g cz] g c

#

⎫⎜

⎬⎜

⎭

⎫⎜

⎬⎜

⎭

岩沢（2010）。

命題３．⑽の解φ（u）は次の境界条件を満たしている。

    ⑾

３ 積分微分方程式 ⑽ の解

 ⑽の解を求めるためLaplace変換を利用する。

Step 1. φ（u）はuに関して連続かつ有界だから，そのLaplace変換 が存在し，次の等式が成立する：

       ，

 以上の計算結果に注意して，⑽の両辺のLaplace変換をとると

  について整理し，

     ⑿

Step 2. 存続確率φ（u）のLaplace変換   は ⑿ で与えられた。残され た問題は   のLaplace逆変換を行い，φ（u）の具体型を得ることである。

, ,

1 0 1

＝ ＝

3 ＋ /

z z

i

i b

] g ] g 0 .

1 ²

＝ ＋  

z i n

l] i g ]

g

z mt] g

du e ^u u 0

0^{3 −m} zl] g＝−z] g＋m

# #

u 0

0^{3 −m}

#

#

dF_X x e ^x du e ^{u x}

u x

＝ 0 ^{− − −}

−

3 _m 3 _m

] g ^{] g}

# #

zu t] g

zt] gu zt] gu

 φは有界なので，そのLaplace変換の収束座標は 0。よって，任意のc

＞0に対し，

⒀     

最後の積分が実行出来ると，積分微分方程式⑽の解φ（u）が得られる。

例４．クレーム支払い額が指数分布. η＞0 として，クレーム支払い額 X₁ の分布を指数分布FX(dx)＝ηe^−ηxdxとする。するとμ＝E[X]＝1/η となる。またFX(dx)のLaplace変換は

    とし，

 は１位の極が，λ＝0，γ−1/μにあるので，留数定理より    

 今後利用するLaplace変換を用意する。集合Aの特性関数をIA(・)と する。

lim

u i d e

21

R

＝ u

z →

r m z m

3

m t ] g

#

.

lim i d

F e

21 0

R X

R u

＝ c i

− ＋

→

＋

r m

m c c m z

3

m

] ]

g g \

#

exp

F x 1x

Xm ＝ 0 − −m

n

] g 3 ( 2

\

#

0 / b z] g

u /

1 1

＝ − ＋ ＋ ＝ z m c c mn −

b

cn

t] g ] g b 1 / .

1 1 1

− − ＋ −

m cn

bcn

m c n zt]

u＝1 1−  

− −

z cn

bcn cn

] g b exp c−1 u

d nn

( 2

.

exp u

1 11

＝ − 1

＋ −

＋  

i i

i ] gn

( 2

補題５．nを非負整数，b，cを正定数とする。λ＞cのとき

    ⒁

証明 実際に計算する。y＝u−bの変数変換を行い，

   ⒁の右辺 

            ＝⒁の左辺. 

例６．クレーム支払い額が定数a。クレーム支払い額は定数a＞0とする。

するとXの分布FX(dx)＝δa(dx)^3）となるので，E[X]＝μ，すなわち，

μ＝a。また

となるので，

ここで    なら，        となるので，Laplace反転 公式⒀の被積分関数

は    で正則となり，⒀ での積分路の実部，   は任意に大きく取

3） δa(dx)は，単位質量がaにあるデルタ分布を表す。

c

e du e

b

u

n ¹ 0

− ＝

− −

m ＋ m 3

m

] g

#

! n

e dy e y

bc

c y b n

＝ 0

−

#

#

!

n c

e ds e s

b

s n n ¹ 0

＝ −

− −

m ＋ m 3

] g

#

Rm2c ;m c c− ＋ exp^"−ma^,;20

Rm2c Rm＝c

れる。よって，⒀の積分路上で      となる。

 一般に，    のとき

     ⒂

と展開できるので，⒀の被積分関数は

と変形出来る。積分路上で，この級数はλに関して一様に収束するので，

項別積分が行える。

 まず

     ⒃

次に補題５より

⒄    

 ⒃，⒄の被積分関数は共に連続だから，Laplace変換の一意性より

/

exp − a − 11

;c " m , ]m cg;

x 11

; ;

x x x x

11 1 ² 1 ^{k k}

＋ ＝ − ＋ −…＋ −] g ＋…

exp a

1 1

＋ −

− m c

c ^" m ^,

. du e e

1 ^{u u}

− ＝ 0 ⁻

m c

3 _{m c}

#

e du e

k

k a u

k ¹ 0

− _＋ ⁻ ＝ ⁻ m c

c m ³ c

] g

#

! .

e ^u k e u ka I u

k

ka k

u ka

× c ⁻ −

c c] g 2 ] g

) _{" ,} 3

z^ hu＝z^{^ h}0 e^cu 1＋ ^{^}−1^hk k!

c^k e^{−k ac}^u−kah^kI_{"u2k a,}^ hu

k＝1

/

* 4. 

⎫⎜

⎜⎬

⎜⎜

⎭

４ クレーム支払い額が任意の分布の場合

  ク レ ー ム 支 払 い 額 の 確 率 変 数Xの 分 布GX（dx）が 一 般 の 場 合 に，

Lundberg modelの積分微分方程式⑽の近似解を与える。

 まず，Xの分布G（dx）X をM個のデルタ分布で近似する。

⒅    

と定義し，GX（dx）を近似する分布を

            ， ⒆

と定める。なお今後は，各成分が非負のM次元ベクトルをｐ≡(p₁, p₂, . . ., pM)と表記する。

注意７．

   例えば 過去のクレーム支払い額の実績データ など，

  G（dx）X がどんな分布であっても，⒆のFX（dx）は定義できる。

 F（dx）X はG（dx）X を近似する確率分布で，M→∞のときGX（dx）に弱 収束する。もしE[X]が存在すれば，

 主定理を述べるのに必要な記号を定義する。

定義８．

 ⒤ 自然数nと⒅のMに対し，         と定める。

, , , ,

pk GX dx k 1 M 1

k ka

1 ＝ −

− f

/ _a ]

] g

#

p_M G_X dx

M−1

/ ³ _a ]

] g

#

F_X dx p_{k ka} dx,

k M

1

＝

/ d

] g

/

M＝n²， ＝a 1/nとおいて

lim x F dx lim

M X

0 ＝n

→3 →3

3 ] g

#

k M

1 ＝ ＝   

＝

6 @ n

/

, min

M n] g/ "n M,

⎫⎜

⎜⎬

⎜⎜

⎭

 各成分が非負整数であるM（n）次元ベクトル

        に対し，以下の記号を導入する。

             であるようなk（n）全てについて和をと ること。

 更に⒅のp≡（p₁, p₂, …, p_M)に対し，以下のように定める。

 いよいよ，我々の主結果を述べる。

定理９．クレーム支払い額の分布FX（dx）が⒆の場合，Lundberg modelの 積分微分方程式⑽の解は，以下の通り：

⒇    

注意10．これまで存続確率φ（u）が得られているのは，指数分布やガンマ 分布など，ごく限られたクレーム支払い額分布GX（dx）に対してだけであ った。

 一方，ここでは，どのようなクレーム支払い額の分布G（dx）X にたいし ても，⒇ の右辺，すなわち存続確率の 任意精度の近似解 が（Mを大き く，aを小さくすることで） 計算出来る形 で得られている。  

k]ng/_k₁, k₂, f, k_{M n]g}i

k^{^ h}n / kj k^{^ h}n!/ kj! ただし0!/1

j＝1 M n] g j＝1

%

M n] g

/

n

k n

： は固定し，

)

/

M n

1 ・ ＝

＝

/

p^kn pj 0

kj j M n

1  ただし

＝

/ ^,/

] ]

g g

%

if .

0   ,$1 

p

⎧⎨

⎩

⎫⎜

⎜⎬

⎜⎜

⎭

証明．      に注意して，⑿を変形する：

       .

Laplace反転公式⒀で，被積分関数       は    で

正則だから，積分路の実部  ＝c＞0 はどんなに大きな正数でもよい。

このことと，a＞0にも注意すると    

    for λ＝c＋iy where y is real となるc＞0が取れる。⒂を に使い    

右辺をexp{−naλ}，n＝1, 2…，毎にまとめて，

exp

F_X p_k ka

k M

1

＝ −

＝

m m

] g " ,

\

/

F 0

X

＝ − ＋ z m m c c m

t_] z

] g ]

g g

\ p exp ka

0

k k M

1

＝m c c− ＋ _＝ − m z] g

" ,

/

＝ m−c z^{^ h}0 1＋

m−c

p₁e^−am＋p₂e^−2am＋g＋pMe^−Mam

* 4⁻¹

/

e ^u − ＋ F_X b ^m m c c m

_ i ` \] gj Rm2c

Rm

11

＋ ^{^}m−c^h2

p₁e^−am＋p₂e^−2am＋g＋p_Me^−Mam

` j²

＋g4

1 p

0 1 e ^a

＝ − −

− ⁻ ＋ z m m c

z

m c

c _m

t_{] g} ^{] g}₌

!

p ! p

2 e

2 ^a

2

2 12 2

2

− ＋

−

−

m c c

m c

c _m

] g

* 4

＋ m−c p₃c

＋ 1!・1! 2!

m−c

^ h² p₁p₂c²

− 3! 3!

m−c

^ h³ p₁³c³

* 4_e^−3am

!

! p 22

2 22 2

＋ m c− c

] g

の収束はλ＝c＋iy（y：実数），に関して一様なので，項別積分が可能 である。項別に補題５を適用すると，Laplace変換の一意性より，定理９ の結論が得られる。

５ コンピューター・シミュレーション

 コンピューター・シミュレーションにより，定理９によって得られた存 続確率φ（u）の挙動を調べる。

例11（単一クレーム支払い額）．クレーム支払い額Xの分布がデルタ分布 δ（dx）₁ に 従 う 場 合， ⒇ で 与 え ら れ る 存 続 確 率 φ（u）を 初 期 サ ー プ ラ ス ０ u 15として計算した。なお，安全割増率θ＝0.5，0.2，0.1の３種類

g＋ ^{^}−1^{hk] gn}

k n] g

/

m−c

^ h^{k] gn} e^{−n am}

＋gH.

survibal probability

theta＝0.5 theta＝0.2 theta＝0.1

initial surplus 1

0.8

0.6

0.4

0.2

00 2 4 6 8 10 12 14

としている。

⇒ 安全割増率θ＝0.2 では 平均支払額の８倍 ，θ＝0.1 では 平均支 払い額の14倍 程度の初期サープラスが必要となる。

例12（指数分布）．クレーム支払い額Xの分布が指数分布に従う，存続確 率φ（u）は，例４で述べたような簡単な表現が得られている。

ここではμ＝１，θ＝0.2の場合に 指数分布の99％地点までを９等分し た近似分布 （M＝９）に対して求めた我々の解⒇ と厳密解 とを比較 する。⇒よく一致している。

1 .

u exp u

1 11

＝ − ＋ − z ＋

i i n

] g ⁽ ] i g ²

survibal probability

initial surplus 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Approximation 1−e^{−0.2u/(1＋0.2)}/(1＋0.2) 2

0 4 6 8 10 12 14

例13（ガンマ分布）．クレーム支払い額の分布がガンマ分布Γ（2, 2/μ）

に従う場合にも存続確率φ（u）の簡単な表現が知られている，岩沢（2010）：

 μ＝１，θ＝0.2とし，指数分布の時と同様に， 分布の 99％地点まで を９等分した近似分布 （M＝９）に対して求めた我々の解⒇と厳密解   を比較する。⇒経営上問題となるφ（u）＞0.8以上ではよく一致している。

,

C 2 1

3 4 9 8

2 ＋

− − − ＋

/ n i

n in i n

] g ^D 2 1

3 4 9 8

2 ＋

− − ＋ ＋

/ n i

n in i n

] g

A ,

C D D

1

2

− 2

− / n ＋i

] g] i ng ^B _C ^C_{D 1} ^2.

2

− ＋ / −

i n n i

] g] g

survibal probability

initial surplus 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Approximation Ae^{−Cu}＋Be^{−Du}＋1 2

0 4 6 8 10 12 14

参 考 文 献

Cramér, H. (1969), Historical Review of Fillip Lundbergʼs Work on Risk Theory, Skand. Aktua (Suppl.), 52, 6‑12.

Lundberg, F. (1930), Über die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Risikenmasse.

Skand. Aktua, 13, 1‑83.

岩沢宏和（2010）『リスクセオリーの基礎─不確実性に対処するための数理』，培風 館。