class No. Name 解答 No-1 ☆公式・Point P2 光の性質 ア）光が横波である証拠を示せ。 イ）光が粒子である証拠を示せ。 ◎ P1 光基礎 次の空白を埋め、問題に答えよ。（色は赤、又は青を入れる） 光は の 1 種で媒質の振動方向と波の伝達方向が な である。さらに進行方向をｚ軸にとるとｘ軸方向と y 軸方向の という 2 つの自由度が加わる。光の速さは真空中では一定で である。しかし物質中では波長が大きいと なり、波長が短いと なる。これを という。 よって様々な波長が混じった白色光はプリズムなどを通ると 色の光が 色よりもよく屈折するので虹色の色が人間には見える。人間に見える色 の領域は可視光と呼ばれ、これより振動数が大きく、波長は く、エネ ルギーが い領域の電磁波が で、化学反応と関係深い。 逆に可視光の領域より振動数が く、波長が く、エ ネルギーが い領域の電磁波が で、分子運動に影響を与 え、 と関係深い。 ◎ P3 屈折 ア）図のように水（屈折率 1.3）の入ったビーカーにレーザーを入射する。 水中でのレーザーの経路をかけ。 イ）また、同じ角度でまっすぐな棒を同じ水の入ったビーカーに入れる。 図の観測点 P からこの棒を見るとどう見えるか。 ウ）また、水と同じ屈折率のコップを沈めるとどうなるか。 エ）中央の図のように棒を 60°の角度で 10cm だけ水中に入れる。点 Q か ら観測した棒の先端の深さは何ｃｍか。視点を P 側に写すと深さはどう 変化するか。 P Q 60° 光は電磁波の１つで横波、偏光の２成分を持つ。振動数が大でエネル ギーも大になる。 光学距離 nd みかけの距離は d/n P2 ア）偏向をしていて 2 枚の偏光板を回転させると通過する 光の量が変化する。 イ）光電効果 光の量と電流の量に不連続な関係がある。 ＊光は波と粒子の両面を持っている。 P1 順に 電磁波、垂直、横波、偏光、3.0 × 108m/s、少し遅く、より遅く、分散、青、赤、 短か、大き、紫外線、小さ、長、小さ、赤外線、熱 ア）水中の方が遅いの で図のように下に折れ たように屈折する。 P イ）棒の先端は図のよ う に 屈 折 し て P 点 に いく。よって人からは 棒の先端はもっと浅い 位置点 Q に見えるの で上に折れたように見 える。 Q ウ）屈折率が同じであ ればその境界が見えな くなるので透明になっ たかのように見える。 屈折率が同じだと反射 もおきないことを知っ ておく。 P3 光は物質中では遅くなり、下にドロップ。 エ）棒の先端は 10Sin60 ＝５√ 3 ＝ 8.5cm の深さにある。みかけの距離が d/ ｎだから Q 点からの深さは 8.5/1.3 ＝6.5 ｃｍ P 側にずれると光が水中を通る距離が長くなるので屈折率の影響をより受 けることになり、より浅くみえる。 赤色：650nm, 青色 350nm
基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-2 解答 No-2９光基礎 ☆公式・Point P1 光の性質 色・明るさ ア）黄色の光と青色の光がある。波長が 400nm に近いのはどちらか。 イ）黄色の光と紫の光でエネルギーの大きいのはどちらか。 ウ）ある光源から１ｍ離れたところでの照度が２００lux である。 この光源から２ｍ離れると照度はどうなるか。 エ）赤色と青色に着色したフィルムに 633nm のレーザを照射する。 透過する量が多いのはどちらのフィルムか。 ○◎ P2 光の種類 次は A. 白色光、B, 太陽光、C. 単色 LED、D. レーザー光のうちどれか ア）分光器でスペクトルを観測したら黒い吸収スペクトルが見えた。 イ）分光器でスペクトルを観測したらほぼ一様な虹色が観測できた。 ウ）分光器でスペクトルを観測したらある波長の輝線が見えた。 エ）波長と位相が一定の電磁波である。 ○◎ P3 光の種類 ヤングの実験 次のように 2 つのスリットに A レーザー、B、赤色 LED、C 白色光を当 てた。その結果できるスクリーンの像を描け。この現象を何というか。 図は２つのスリットから同位相の波が出ているとして描け。 スリット スクリーン P1 ア）可視光の中では短い領域だから青 イ）波長が短い、つまり振動数が大きいほどエネルギーは大きい よって紫 ウ）照度は距離の 2 乗に反比例するから 1/4 で５０lux エ）赤色に見えるのは赤以外の色を吸収してしまうから。 ６３３nm は赤に近いから赤色のフィルムの方が透過量は多い。 P2 ア）大気の中の分子が特定の波長の光を吸収するので B イ）可視光の領域のあらゆる波長を含んでいるので A ウ）特定波長のみ含んでいるので C エ）位相も波長も揃えて進行方向に広がらない波である D レーザー光 LED 光 白色光 位相も波長も 揃った波 位相はバラバラだが 波長は揃った波 どの場合も中心付近 が明るくなる。レー ザに比べると点でな く広がりを持つ。 位相も波長もバラバ ラなので赤ほどよく 曲り外側にいく。 逆に青は中心側に片 寄る。中心はほとん どの光が混ざるので 明るく白い。色のつ いてない所は黒 中心は明るく 等間隔に点状 にやや暗くな る点が出る。 この現象は光がスリットによりホイヘンスの原理に従って回折がおきて、 さらにその回折波が干渉し、強め合ったり弱め合ったりする現象である。 光の波動性を示している。回折なので波長の長い赤色ほどよく曲り、外側 にずれ、青色は曲りが少ないことは分散と反対なので注意する。 ヤングの実験：回折による干渉、赤ほどよく曲がる。光は波である証明 レーザー光：位相も波長も揃っている。LED：波長が揃っている 太陽光は吸収スペクトル 白 【次数ｍ】これから波が干渉する条件として半波長の偶数、奇数倍になる ことをよく使う上図の点や模様がこの次数 m に相当し、中心が ｍ＝０に対応する。
class No. Name 解答 No-3 ☆公式・Point ○◎ P2 光の種類 ヤングの実験 次のように 2 つのスリットにレーザを当て、スクリーンの干渉の様子をその 強度で示してある。（右にいくほど明るい） ア）A、同じスリットの数を増やした場合 B、スリットの穴の大きさを小さくした場合 C、スリットの間隔を広げた場合 D、間隔を d/2 にして増やした場合 ○◎ P1 光の種類 ヤングの実験 公式 次のように 2 つのスリットにレーザを当て、スクリーン上の明るい点の間隔 をΔｘを求めよ。また d を大きくするとΔｘはどうなるか。 ただし、L はｄに比べ十分に長いとしてよい。 ｄ スクリーン L Δｘ O スクリーン A B C D スクリーンまで の距離は十分長 く一定 2 1 1 2 1 2 3 4 ｄ ｄ /2 ｄ /2 ｄ /2 P1 レーザー光源だから 1 枚の複スリットから位相が揃って出てくる。 行路差をΔとして、図のように記号を置くとΔ＝ｌ１ーｌ２三平方の定理から i 原点から位置ｘではΔ＝√ (L2+(x+d/2)2) ー√ (L2+(x+d/2)2) =L( √ (12+((x+d/2)/L)2) ー√ (12+((x+d/2)/L)2) ここで x が小さければ√ (1+x) ≒１＋ x/2 から Δ＝ xd/L となる。 行路差がｍλであれば強めあう。よってｍλ＝ｘｄ /L ① 変化量をとるとｍ、ｘが変数だからΔｍλ＝Δｘｄ /L Δｍ＝１より としてΔ x=L λ / ｄ② よってｄが大きいとΔｘは小さい。 L ｘ x+d/2 x-d/2 l1 l2 x<< １なら (1+x)ｎ≒１＋ nx ヤングの実験：輝点間隔Δｘ＝ L λ / ｄスリット間隔が狭いほど広がる。 スリット数が増えると強度が強くなるだけ、輝点の数は変わらない。 こ の 結 果 は 重 要 で 他 の 干 渉 で も ス リットや格子幅が狭いほど輝線の間 隔は広がる。よって非常に幅の狭い ものを測ることができる。 2 1 1 2 5 10 15 2 1 1 2 0. 2 0.4 0.6 0.8 1.0 2 1 1 2 1 2 3 4 A B C D スリット数が増 えても点の数に 変化はない。 コントラストが はっきりして明 るくなる。 スリットの大きさが 小さいと回折は大き くなる。そのためコ ン ト ラ ス ト が ぼ や け、暗くなり、点の 明るさの差はなめら かになる。 B を拡大して見 れ ば C に な る の で B の 明 る さが増した像に なるが点の数に 変わりはない。 P1 の②より スリット間隔ｄ が小さくなると 明暗の間隔は広 がるので概略は 上図のようにな る。
基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-4 解答 No-4９光基礎 ☆公式・Point ☆ P3 偏向 光の偏向について次に答えよ。 ある光のｘ成分とｙ成分が次のように表されている。 これを進行方向からみたｙ－ｘグラフにしてみよ。 ア）ｘ＝ sin ２πｔ ｙ＝ cos 2 πｔ イ）ｘ＝ sin ２πｔ ｙ＝０ ウ）ｘ＝ sin ２πｔ ｙ＝ cos 4 πｔ エ）ｘ＝ sin ４πｔ ｙ＝ cos ２πｔ この中で直線偏光、円偏向はどれか。また単色光の偏向ではないのは どれか記号で答えよ。 P1 光の性質 ア）波の現象が素元波をもとに説明できることを示した人はだれか。 イ）光が最短時間の経路を選ぶことを示した人はされか。 ウ）紙に開けた小さな穴がレンズの役割をするのは何という性質か。 エ）複数のスリットを通した光は明暗の干渉模様をスクリーンに作る。 この干渉模様の間隔はスリットの幅が小さくなるとどうなるか。 オ）この時のスリットの役割をいえ。 ◎ P2 分散 穴埋めをして問題に答えよ。色は赤、青で答えよ。 ア）プリズムなどに白色光を通すと光は し、色に分かれる。 これは虹ができる原理でもある。屈折角は の法則から 媒質中の光の速さによって決まる。物質中では 色が振動数が 大きいので なり、逆に 色は なる。 よって 色の光ほどよく屈折するために色に分かれる。 イ）次のようなプリズムを通したあとの光の分散を色でスクリーン上 に示せ。 白色光 白色光 ☆ P3 直線偏光はｙ成分のないイ、円偏向は 2 乗してたすと１になる成分を 持っているア。ウ、エは振動数が異なるので単色光の偏向ではない。
1.0
0.5
0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
ア）円偏向↓ イ）直線偏向↓ ウ）→ エ） ▽参照：物理数学リサージュ P1 光の性質 ア）ホイヘンス イ）フェルマー ウ）回折 エ）間隔は大きく広がる。 オ）位相を揃える。 P2 ア） 屈折、スネル、青、より遅く、赤、やや遅く、青 ＊分散と回折では曲り方が反対、スリットでは波長の長い方がよく まがり、プリズムでは振動数が大きいとみかけの速度が遅くなるの でよくまがる。前者は回折、後者は分散 イ） 白色光 白色光 赤 赤 紫 紫 物質中では運動エネルギーの大きい紫、青の光は大きく遅くなる。 赤の光はやや遅くなる。class No. Name 解答 No-5 ☆公式・Point P1 光の性質・スネルの公式 ア）虹ができた時の一番上と下の色を示せ。 イ）相対屈折率を n12絶対屈折率を n1,n2とし、波長λ1、λ２， 速さｖ１、ｖ２、入射角θ１，屈折角θ２としてスネルの公式を書け。 ◎ P2 光の性質 スペクトル ア）分光器で白熱灯を見た時の様子を図示せよ。 また、このスペクトルを何というか。 イ）分光器で蛍光灯を見た時の様子を図示せよ。 ウ）分光器で太陽光を見た時の様子を図示せよ。 また、このスペクトルを何というか。 エ）スペクトルが不連続に見えたとき、その原因は何か。 ◎ P4 平行版プリズム 媒質 I、Ⅱの絶対屈折率は１，√２とする。図のように入射角 45°で光を入射 させた。c=3.0 × 10８[m/s] とする。 ア） 媒質Ⅱでの屈折角、さらに 3 枚目の媒質Ⅰ の屈折角を求めよ。 イ）Ⅰでの波長を４００nm( 青）とすると Ⅱでの波長と速さはどれだけか。 また、外から見ると何色に見えるか。 ウ）媒質Ⅱ中で光が５０mm 進んだ。 これは媒質Ⅰ中では何ｍになるか。 Ⅰ Ⅰ Ⅱ ◎ P3 光学距離 次の空白をうめよ 屈折率がｎの媒質内で距離 d は屈折率が１の媒質内では距離 になる。 これを という。また、真空中で距離 d は屈折率ｎの 媒質内では真空中から見れば距離 に見える。 P1 ア）Ａ６のイの球の分散を参考にして考える。人間の視点は下の方に あるので虹の上が赤、下が紫になる。 イ）絶対屈折率だけ反対になる
n
sin
sin
n
n
V
V
12 1 2 2 1 2 1 2 1=
=
i
i
=
m
m
=
赤 紫 人の視線 虹 水滴n
sin
sin
n
n
V
V
12 1 2 2 1 2 1 2 1=
=
i
i
=
m
m
=
スネルの 公式 P2 光の性質 スペクトル ア） 連続スペクトル イ） 図の色は正確ではない。 多くの輝線が見える、原子から発光したものである。 ウ） 吸収スペクトル イとは逆に原子に吸収されるため暗線が観測できる。 エ）電子の軌道はエネルギー準位で決められている。従ってこの準位 が変化するとそのエネルギーＥ＝ｈνに等しい振動数の光が放出さ れる。また、逆に光のエネルギーが吸収され準位が変化するそのた めイ、ウのような輝線や暗線ができる。原子の特定にも利用さる。 P4 ア）スネルの式からⅠ、Ⅱでの屈折角をθ１，θ２とすると これからⅡでの屈折角は 30°、つまり３層 目への入射角も 30°だから次に、 ⅡからⅠでは元の入射線と平行になるはず だから４５° イ）スネルの式からλ＝４００/ √２ ２８３nm 紫の領域だが、外からみれば変わらず青 ウ）光学距離の式からｎＳ＝√２× 50 × 10ー３＝7.0 × 10ー２ｍsin
sin
n
122
45
2=
=
i
レーザーは単色で位相も一定 LED は単色、白熱は混色、 太陽光は吸収スペクトル P3 順番に nd、 光学距離、d/n基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-6 解答 No-6９光基礎 ☆公式・Point ○◎ P1 みかけの位置 次のような幅３ｍ、深さ４ｍの池がある。この池の点 P の位置に発光体があ る。水の屈折率は４／３としてよい。 ア）観測点を B から C に動かすとき、発光体の見か けの深さはどう変化するか。 D A B P C ４ｍ ３ｍ イ）次に観測点を C から D に動かすと発光体の見か けの深さはどう変化するか。 また、D 点から見る見かけの深さを求めよ。 ウ）C 点から観測点をさらに図右に移動していく、 あるところで発光体は見えなくなる。この位置は C' は C からどれだけか、またその時の発光体のみか けの深さを求めよ。ただし、BC の高さは２ｍとする。 エ）次に AP 上で発光体を上方に動かす。ある深さになると B 点を通る発光体 からの光がなくなった。この深さを求 めよ。ただし、√７＝２．７とする。 また、この時 C’ の位置から発光体の光は見ることができるか。 P2 レンズ基礎 次の空白をうめよ レンズの公式においてｂが負なら ができ正なら になる。 また、ｆが負なら レンズで正なら レンズである。 レンズを半分覆いでかくしてできる像はかくす前と比べて なる。 実際のレンズの焦点は１点からずれることがあるこれを という。 例えば赤色は青色に比べて焦点距離が なる がある。 これは赤色の方の屈折角が ためである。 P1 ア） 図のように B から C に移動すると屈折後の光線は垂 線 AP に近づく。垂線に近づくほど 水面下の長さが小さく見える影響は減る。（水中での 経路が短い）従って深く見える。 イ）同様にして C から D は垂線 AP に近づくので見 かけの深さは深く見えるようになっていく。 D 点では見かけの深さは最も大きくこの時は直線上に あるから見かけの深さｈは 光学距離がｎ S になることから ｈ＝４/ ｎ＝４×３/ ４＝３ ３ｍ ウ）この時、左図のような関係になっている。特にθ２については △ PQB が３：４：５の 直角三角形であるから sin θ２＝３/ ５ 従ってスネルの法則から
sin
sin
sin
n
n
3
4
3
5
1 2 2 1 1=
=
i
i
=
i
sin
5
4
1=
i
よって３４５の 直角三角形からcos
5
3
1=
i
AB の長さ３は比でいえば４だから見かけの深さは ３× 3/4 ＝２．３ｍ BC の長さ２は比でいえば３だから CC' ＝４× 2/3 ＝２．７ｍ A B θ３ ｈ 水→空気では全反射が起きるこの時の角度をθ３とすると スネルの法則から屈折角はπ / ２だから sin θ３＝ 3/4 と なる。よって cos θ３＝√７/ ４ ∴ tan θ３＝３/ √７ 一方で深さをｈとすると図から tan θ３＝ 3/h よってｈ＝√７＝２．７ｍ C' では B 点より左の水面で屈折した光が届くから見える。 ３ｍ D A B P C ４ｍ ３ｍ A B C ４ｍ θ２ θ１ 見かけの深さ C' 光学距離は nS 見かけの距離は S/n Q エ） 空気の屈折率は１、液体屈折率をｎとする。 みかけの距離 ( 液体中での長さ ) は s'=d/ ｎ 光学距離（真空中になおした距離）はｓ =n ｄ P2 順番に 虚像、実像、凹、凸、暗く、収差、長く、色収差、小さいclass No. Name 解答 No-7 ☆公式・Point P1 レンズ レンズの公式を導け。 ◎ P3 凸レンズ ア）焦点距離が１０ｃｍのレンズの手前１５ｃｍに高さ４ｃｍの物体を置い た、像の位置を図示し、その種類をいえ、また像の高さを求めよ。 イ）焦点距離が１０ｃｍのレンズの手前５ｃｍに高さ４ｃｍの物体を置いた、 像の位置を図示し、その種類をいえ、また像の高さを求めよ。 ◎ P2 レンズの性質 ア）図のように空気中で焦点距離がｆのレンズを屈折率が空気より大きい 液体の中に入れた場合焦点距離はｆより大きくなるか、小さくなるか。 ｆ P 物体 イ）上図の物体の位置に P から見て F という文字を切り抜き置く。 P 側から光を当てｆ側にスクリーンを置くと像が写ったその像を描け。 ただし、スクリーンは透過せず、レンズ側から見るとする。 また、レンズの上半分を暗幕で覆うとこの像はどうなるか。 ◎ P4 凹レンズ ア）高さ６ｃｍの物体をレンズの手前 24cm に置いたところ物体からレンズ の方向に 16cm の所に像ができた。この像とレンズの種類、像の高さを求めよ。 像の位置を図示し、その高さ , 種類をもとめなさい。 イ）．焦点距離が１０ｃｍの凹レンズを置き、図のように６ｃｍの高さのピン をレンズから２０ｃｍの所に置く
f
a
b
m
a
b
1
=
1
+
1
=
焦点距離ｆ：物体までの距離 a: 象までの距離ｂ ｍは倍率 ｂ＜０なら虚像、 ｂ＞０なら実像ｆ＞０なら凸レンズ、ｆ＜０なら凹 レンズ P3 ア）１／１０＝１／１５＋１／ｂからｂ＝ 30 ｃｍ 倒立実像 ｍ＝ 30/15 倍率は 2 倍 よって像は４×２＝８ｃｍ イ）１／１０＝１／５＋１／ｂからｂ＝ー 10 ｃｍ 正立虚像 ｍ＝ 10/5 倍率は 2 倍 よって像は４×２＝８ｃｍ １．焦点の線を描く ２．中心線を直線で 描く ３．交点に像をつくる。 アの倒立実像 イの正立虚像 P1 証明は簡単なので略 テキスト参照せよ P2 ア）屈折率がレンズと同じまで大きくなれば光は直進する。 よってｆは大きくなる。 イ）レンズの像は左右上下反転がおきるので結局 180°の回転になる。 しかし F をｆ側から見た時には左右が反転した になっているので スクリーンの後ろからは に見えるが前からは に見える。 ＊反転が 2 回起きているので結局 F を 180 度回転させればよい。 レンズの一部を覆っても像に変化はなく、光量が減るので暗くなる。 F F P4 ア）問題から a=24,b= ー８である。これから像の種類は正立虚像 レンズの公式から ｆ＜０から凹レンズ 倍率ｍ＝８/24 ＝１／３ よって高さは２ｃｍf
f
1
24
1
8
1
12
=
-
=-f
a
b
m
a
b
1
=
1
+
1
=
焦点距離ｆ：物体までの距離 a: 象までの距離ｂ ｍは倍率 ｂ＜０なら虚像、ｂ＞０なら実像ｆ＞０ なら凸レンズ、ｆ＜０なら凹レンズ イ）図のように正立の虚像ができる。レンズの公式から.
b
b
cm
10
1
20
1
1
6 7
-
=
+
=-ｍ＝２０／６０＝１／３ よって高さは２ｃｍ ｂ F基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-8 解答 No-89 光基礎 ○◎ P1． 望遠鏡 レンズ センター 図のように光学台にろうそくと焦点距離が 6cm の凸レンズとスクリーンを つけ、はじめにろうそくとレンズの距離が 10cm の時スクリーンに倒立した 像が現れた。 ア）この状態でろうそくをレンズ から遠ざかる方向（図左）に移動させた。 次にスクリーンを動かすと丁度ろうそく とスクリーンの距離が初めと同じ位置になった時に倒立の像が現れた。 この像ははじめの像と比べると大きいか小さいか。 イ）アの時のろうそくの高さを 5cm とすると像の高さは何 cm か。 ウ）このレンズを水の中に入れた場合焦点距離は長くなるか短くなるか。 エ）ろうそくのかわりにレンズの左側にレンズ側からみてＦという字が発光さ れる電光板を置く。スクリーンにうつる像を描け。また、レンズの上半分を 不透明な紙で覆った場合の像の変化を示せ。 オ）次にこの凸レンズと焦点距離が 4cm の凹レンズを用いて凹レンズを凸レ ンズの右に置き、望遠鏡をつくりたい。物体は図左の遠方にあると考えてよ い。凹レンズを接眼レンズとしてのぞいた時に凹レンズから像までの距離を 20cm になるように筒の長さを決めたい。凹レンズと凸レンズの距離を 何 cm にすればよいか。ただし、レンズの厚みは無視してよい。 ◎ P2． レンズ センター 図のように光学台に凸レンズから 10cm 離れた位置 O に光源 ( 点源 ) があり、 レンズから 2cm 離れた位置 Q にスクリーンを置いたら スクリーンに光源の鮮明な像が映った。 P の位置を原点に Q 方向にｘ軸をとる。 ア）この凸レンズの焦点距離を求めよ。 イ）次に光源のみを十分遠方に遠ざけ、同じ位置の凸レンズに光を通しても 鮮明な像は映らなかった。そこで凸レンズと P 都の間の位置ｘに別のレン ズを置いたら鮮明な像が映った。このレンズの種類と焦点距離を求めよ。 ウ）はじめのアの状態にもどす。Ｑ点に鮮明な像が写し出されている状態で 装置全体を屈折率がより大きい液体の中に入れる。鮮明な像はＱ点からどう 変化するか。 Q P ｘ 0 P1 ア） 1/f=1/a+1/b より 1/6=1/10+1/b だから b ＝ 15 よって逆順から次の位置は a=15、b=10 倍率が小さくなるので 小さくなる イ）a=15、b=10 よって高さｈ＝５× 10/15=3.3 ｃｍ ウ）屈折率がレンズに近づくほど伸びてレンズと同じになれば平行線になり 焦点はできない。よって 焦点距離は水中のほうが長い。 物体と凸レンズまでの距離は無限大と考えられるから 1/f=1/a+1/b で a= ∞とする とｆ＝ｂ＝６となるので凸レンズから右に 6cm のところに実像ができる。① 凹レンズと凸レンズの距離ｘとし、凹レンズにから負に 20cm の所に像ができる から 1/f=1/a+1/b より -1/4=-1/20+1/a から a=-5 となるのでレンズの右に 5cm の ところに①の実像があればよいのでレンズの間隔は１ｃｍ
F
像が暗くなるだけで 全体が見える。 エ） レンズは回転の作用しかしない。しか し電光板を F でみている向きと反対を 向くので反転が 1 回入る。 レンズは回転の作用しかしない。観測方向を反転させると（裏→表）反転が 加わる。 オ） Q P P2 ア） レンズの公式から 1/f=1/a+1/b f=ab/(a+b) だから a=10,b=2 を代入し ｆ＝ 5/3 ＝ 1.7 ｃｍ イ） Q P 遠方からは平行線が来るので図のように凹レ ンズを入れてアと同じように上向きに変え る。図のように焦点距離ｆはｘに等しい。 ｆ =x ウ） 外の屈折率が大きくなると焦点距離はのび、レンズに一致するとレンズ は平行に光りを通す。よって鮮明な像の位置はＱ点よりｘ軸の正方向に 移動していく。class No. Name 解答 No-9 ☆公式・Point ○ P2 逆行原理 レンズの位置を動かす時の像 高さｈの物体とスクリーンの距離を a+b に固定する。はじめ物体からスクリー ン側 a の所に凸レンズを置くとスクリーンにちょうど像ができた。この時の 像の高さを求めよ。さらにレンズをスクリーン側に移動させたら再び像がで きた。この時の物体からレンズまでの位置と像の高さを求めよ。a ＜ b とする。 P1 凹面鏡 鏡像法 図のようにある焦点距離 30 ｃｍの凹面鏡と平面鏡を 20 ｃｍ離して置く。 中心線上に点光源 P を置く。平面境から P までの距離がある距離なると点 P からの光が元にもどったという。この距離を求めよ。 ２0cm P P3 【顕微鏡】 焦点距離が A ６．２５ｃｍと B ０．９ｃｍの 2 枚の凸レンズで顕微鏡を作り たい。ただしレンズ AB の間隔は構造上１４ｃｍとする。 ア）A と B どちらを対物レンズにしたらよいか。 イ）この顕微鏡で小物体を見るために対物レンズからどれだけの距離に小物体 を置くのが理想か。図を描いて示せ。 作図の線はレンズの中心を通る線の みでよい。ただし、構造上接眼レンズから像までの長さを２５ｃｍとする。 ウ）この顕微鏡の倍率を求めよ。また観察物体を右に 動かすと観察している像 はどちらに動くか。 P2 逆行原理 図のようにレンズは像と物体を入れ替えても同じ焦点距離で像 を結ぶ。この場合は a>0,b>0 よって最初の像の倍率はｍ＝ b/a よって ｈ ’ ＝ hb/a 次に像を結ぶ位置は物体からｂだけ離せばよい。倍率はｍ＝ a/b よって高さｈ ’’ ＝ ha/b となる。 ｆ ｆ a+b が一定なら像と物体を 入れ替えても同じ焦点距離 30cm P' ｄ ｄ P1 焦点距離が鏡の間隔を超えている場合は下図のような鏡像点 P' ができる 位置。従ってｄ＝３０－２０から１０ｃｍ 反射は鏡像法！ 20cm a b h a+b が一定 a+b が一定なら像と物体を入れ替えても同じ焦点距離 組合わせレンズではまず、像をもとめて、物体とする。 P3 ア）観察物体との距離が近いので焦点距離の短い B。 イ） 接眼レンズ A についてレンズの公式から b= ー２５として
.
a
a
6 25
1
1
25
1
5
=
+
-
=
従ってｂ＝１４－５＝９ これから対物レンズ B について.
a
a
0 9
1
1
9
1
1
=
+
=
l
l
ウ）倍率は２つのレンズの倍率のかけ 算になる ｍ＝｜ 25/5 ｜×｜ 9/1 ｜＝４５ ４５倍 図より倒立の像になっているから逆 向きで左に動く。 よって１．０ｃｍの位置に観察物体を置く。 B A a=5 物体 b=9 a'=1 １４ 観察像 ２５基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-10 解答 No-10９光基礎 ☆公式・Point ○ P1 ガリレオ式望遠鏡 組み合わせレンズ 図のように凸レンズ B と凹レンズ C を組み合わせて望遠鏡を作る。( ガリレオ 式 ) 物体 A を高さ６cm とする。 ア）AB 間が８cm、BC 間が４cm、B の焦点距離 4cm、C の焦点距離 2cm とし 物体 A の像を図示し、その大きさを求めよ。 物体 A B C イ）次に実際の望遠鏡を考えよう。非常に遠い所にある物体 A の像が C の右 側から見たら図のようになればよい。像 A の C からの距離が C から左に 8 にしたい。BC 間をいくつにしたらよいか。 B C 像 A ウ） レンズ B は固定するとしてレンズ C を少し右にずらすと像 A は拡大され るか縮小されるか？ 物体 A B C B C 像 A まず、Ｂによる像は からｂ＝８cm にできる。
4
1
=
8
1
+
b
1
b=8 次にこの像を仮の物体としてＣで見ると C の焦点距離より大きいので a ＝－４とする。凹レンズの公式からb
2
1
4
1
1
-
=-
+
からｂ＝－４よってＣの手前４ｃｍ 倍率はｍ＝｜ b/a ｜＝１、 ４ よって像の高さは６ｃｍ a ＝∞としていいからレンズ B の式から 1/4 ＝ 1/ ｂ ' として ｂ ’ は４cm ここに仮の物体をつくる。 次に凹レンズＣの式からｂ＝－８だから 8a
2
1
8
1
1
-
=-
+
よって a ＝ー８／３＝ー２．７ｃｍ ＢＣ間はＢと仮の物体までの距離ｂ ’ が４だから４－２．７＝１．３ｃｍ ２．７ Ｃを右にずらすと a の大きさは小さくなる。倍率の公式から a が小さくなれ ば倍率が大きくなるので像は拡大される １．３組み合わせレンズでは像を仮の物体として考える。
2 枚めの作図は凹凸逆になる。
凹レンズに入る光線は平行ではない。
P1 ア） P1 イ） P1 ウ） ここに仮の物体があるとしたとき、 あたかも凸レンズのように赤点線 で作図する。 ｂ ’ ＝４ ガリレオ式は凸と凹レンズで正立虚像 ケプラー式は凸と凸レンズで倒立虚像 aclass No. Name 解答 No-11 ☆公式・Point ◎ P2 プリズム 偏角 正三角形のプリズムをある液体に沈める。プリズムの真空に対する屈折率は n2、液体は n1である。これに図のようにＡ面に単色光を入射させたらＢ面か ら光が出てきた。この光は図のように 45°をなしている。 Ａ面での屈折角をθＡ、Ｂ面への入射角をθＢとする。 比 sin θＢ/sin θＡを求めよ。 45° 30° Ａ Ｂ ◎ P1 プリズム 偏角 入射光と射出光の延長線のなす角を偏角という。 ア）図のように入射角、θ１，射出角θ２、頂角α、偏角θがある。 これらの間の関係式を求めよ。 イ）図のように入射角、θ１，射出角θ２、屈折角θ１’、偏角θがある。 これらの間の関係式を求めよ。また、θ１とθ２の関係を求めよ。 α θ1 θ θ２ θ1 θ θ1’ θ２ P2 プリズム ア）頂角をαとして P1 の偏角の式を用いると入射角θ１＝ 60°、 射出角θ２とすればθ＝ 45°、α＝ 60°だから 45°＝ 60°＋θ２ー 60° 従ってθ２＝ 45° またスネルの式から Ａ面について n２/n１＝ sin60/sin θＡ① Ｂ面について n２/n１＝ sin45/sin θＢ② ① = ②から sin θＢ/sin θＡ＝√ (2/3) ＊このようにプリズムは太い方（厚い方） に曲がる。これを連続的につなげれば レンズができる。 30° Ａ Ｂ α 45° θ２ θ１ P1 ア）θ＝θ１＋θ２ーα ヒント：θ１’ ＋θ２’ ＋β＝π α＋β＝π θ＝θ１ーθ１’ ＋θ２ーθ２’ イ）θ１＝θ２ θ＝πー４θ１’ ＋２θ１ ヒント： ×＝πーαーθ１ α＝πー２θ１’
α
θ
1θ
θ
２θ
1θ
θ
1’
・ ・ ・ ・ × × β θ１’ θ２’ α 三角プリズムは太い方に曲がる。頂角α、偏角θ、入射角θ１ 射出角θ２としてθ＝θ１＋θ２ーα基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-12 解答 No-12９光基礎 ☆公式・Point ○◎ P1．ヤングの実験 下図のようにスリット S1、S2から単色光を出す。波長をλ、光速をｃとする。 スリット間隔はｄ、スクリーンまでの距離は L(L>>d) である。図の原点より上 向きを x 軸の正にとる。次に答えよ。 ｄ S1 S２ L X ０ ア）S1、S2から同位相の光が出るようにするにはどうしたらよいか。 以下 S₁、S₂ からの波は同位相とする。 イ）位置 x での行路差Δを求めよ。 ウ）位置ｘ１で原点から次の明線が出た。この時、x１をλ、Ｌ、d を用いて求めよ。 エ）中心から数えてｍ番目とｍ＋１番目の明線の間隔を求めよ。 オ）スリット S2 の手前に屈折率ｎ (n>1) 長さ s のガラスを設置した。先と同 様に明線の位置、明線の間隔はどうなるか。ただし、ガラス板は十分短く光 源からの光は S1 に入るのもガラスの中も水平であるとする。 カ）単色光の代りに白色光を入射するとどういう変化が起きるか具体的に示せ。 キ） カと同じように色が生じるのがプリズムである。白色光が色に分かれる この現象を何というか。またより屈折が大きいのは赤か、青か。 P1 ヤングの干渉実験は波の干渉の基本であるので単色光だけでなく、白色光やレー ザー等を入射したときの様子、明線の間隔の変化などよく理解しておくこと。 ア）S1,S2 の前の中心にもう一つの単スリットを置く。 スリットの役割は位相をそろえ、中心に点波源をつくる。 ホイヘンスの原理を作図できるようにしておく。 イ）下記の結果からヤングの実験の公式としてΔ＝ xd/L となる。 ウ）強め合うからΔ＝λ / ２・2m-=xd/L ｍ＝１としてｘ１＝λ L/d エ）干渉条件はイからｘ d/L= ｍλ、変化量をとるとΔｘｄ /L= Δｍλ Δｍ＝１だから Δｘ＝λ L/ ｄ 先の結果と一致する。 カ）回折により波長の長い方がよく曲がるので 中心に近い方が青、遠い方が赤に分かれる。 キ）プリズムは分散、 振動数が大きいと速度がおそくなるのでよく曲がる。 よって青 オ）S2 側の行路は長いことに注意する。行路差は長い方から短い方を引くの で S1 側で距離 s 光が通過すると S2 側では光学距離の関係から ns だけ通過 するのでΔ ’ ＝ ns-s=s(n-1) だけはじめに行路差が生じている。これをイ） の結果に代入し、スクリーンのずれΔｘ ’ ＝ s(n-1)L/d となる。 ずれる方向は S2 側の位相が進むので下（負方向）にずれる。 ｄ、距離 L、スクリーン上ｘでの ヤングの干渉実験の行路差Δ＝ xd/L (d<<L の時） 明線の間隔Δｘ＝λ L/ ｄ ｄ S1 S２ L X ０ 行路差Δは S2X-S1X でありこれは三平方の定 理から次のように L が d より大きいとして 近似（1+x)n≒１＋ nx が使えるように L を外に出す。 Δ＝√ (L2+(x+d/2)2)- √ (L2+(x-d/2)2) ｘが１より小さければ （1+x)n＝ 1+x+n(n-1)/2・x2+.... 普通は１＋ｘまでで十分 ∆ =L 1 + x + d/2 L 2 − L 1 + x − d/2 L 2 L 1 + 12 x + d/2L 2 − 1 −12 x − d/2L 2 = xdL
class No. Name 解答 No-13 図 波源 壁 平面波 ○◎ P1 波の反射と光のヤングの実験 定期試験 図１のように波源 G から波長λ、振幅 A、周期 T の平面波が壁に向かって 進行している。点 Q は波源 G と壁の中点である。また、波源 G と Q との距離 は５λ /2 で原点から右に x 軸をとる。時刻 t=0 でちょうど点 Q まで進んでいた。 t=0 からほんの少し時間がたつと Q 点の媒質は原点から上向きに変位した。 ア）波の速さを求めよ。また波が壁に到達する時刻を T で表せ。 イ）t=0 で波源と Q までのｙ－ｘグラフを描け。 ウ）波源 G におけるｙ－ｔグラフを０≦ｔ≦３T の範囲で描け。 エ）壁は固定端反射する、Q の位置でｙ－ｔグラフを０≦ t ≦６T の範囲で描け。 オ）十分時間がたった。Q と壁の間にできる節の数は何個か。（端点を含む） 原点 O カ）AB の位相は揃っていて波長λの単色光とする。この時、壁に映る明るい 点の間隔はどれだけか。 キ） 光源を白色光に変えた場合、壁に映る像の様子を示せ。 （ただし、色は赤、青、白のみを文字で示せばよい） ク）次に光源を単色光にもどし、スリット B と光源との間に屈折率ｎで幅 S のガラス板を置いた。ｘが正の時、P 点からｍ番目の明るい点の位置ｘｍを 求めよ。また、この時、明るい点の間隔、P 点にあった明点はどう変化するか。 ケ）ガラス板をとりさり、L を大きくして壁を遠ざけた。P 点が明るくなった時、 明点の間隔はどう変化するか。 コ）スリット A,B を光源 A,B 置き換え、単色光で位相を揃える。光源 A のみ 少しずつ O に近づける。明点の間隔と点の位置はどう変化するか。 次に図２のように波源 G を取り、代わりに原点 O から上方に d/2 の距離に スリットＡ、下方 d/2 の位置にスリットＢをおく。そのスリットの後方に光 源を置く。原点Ｏと壁までの距離をＬ、壁と直線ＯＱの交点をＰとし、Ｐから 上方にｘ軸の正の向きをとる。光源の光は等方的でＬ >> ｄとしてよい。 O A B P L ｘ ｄ 図２ S 5 λ /2 ｘ ウ ｙ A 3T A Q イ ｙ A ６T エ ) ｙ P1 ア）Ｖ＝λ / Ｔ t=0 で Q にいるから時刻は５T/2 波源と Q では位相にしてπずれている 点 Q は少し波を右にずらした時正になる。 点 Q は定常波ができてからは節の位置である。 オ）壁が節になり 間隔はλ / ２だから Q ま で は 5 λ /2 な ので６個 ヤングの行路差から行路差△＝ xd/L である。強め合う条件は xd/L=m λだから変化量をとるとΔｍ＝１からΔｘ＝ L λ / ｄ カ） キ） Ｐ 白 赤 青 赤 青 青 赤 青 赤 同位相なのは S の手前までなのでここからの行路差をだす。 ｘが正なので行路差は B からの方が長くなることから △ =nS+BX-S-AX であるが先の結果から BX-AX=xmd/L なので強め合う条件が△ =xmd/L+S(n-1)=m λとなる。 よってxm=(m λ -S(n-1))L/d この式の変化量をとるとカと同じだから間隔には変化はない n>1 なので明点はｘ軸の負方向にずれることがわかる。 ク） ケ） カの結果からΔｘは L に比例するの間隔は大きくなる。 コ） A 点のみ下にずらすことは中点も下にずれる。よって明点もｘ軸の負方向 にずれることになる。また、間隔Δｘはカ）の結果からｄが小さくなると 間隔は大きくなる。
基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-14 解答 No-149 光基礎 ○◎ P1．光速の測定【マイケルソンの干渉計】 図のようにレーザー光源から位相を揃えて平行なビームが発射される。ビー ムはビームスプリッター (BS) を通ると半分は反射し鏡 (M1) に、もう半分は透 過し、鏡 (M2) に達して反射し、再び BS で重ね合わされ共に観測器 (D) に向かう。 M2 の鏡は図の x 方向に自由に動かすことができて x=0 の時、D では明るく見 えた。このビームの振動数はｆで一定とし、真空の光の速さをｃ、この実験を している場所の屈折率を n とする。 M1 BS レーザー 光源 M2 D ｘ ｘ =0 ア）この実験におけるレーザー ビームの波長を求めよ。 イ）M2 を x=L の位置に変化す るまでに D では明→暗→明 の変化をｍ回繰り返した。 これかこのビームの速さを求 めよ。 ウ）次にはじめの状態 (M2 は x=0) に戻し図の点線の部分 ( 幅ｄ ) のみを真空 ポンプを用いて真空にしていく。真空になるまでに D では明→暗→明の変 化をｋ回繰り返した。これから屈折率ｎを求めよ。 ｄ ○◎☆ P2．光速の測定【フィゾーの実験】 図のように弱いレーザー光源からビームが発射される。光源と同じ位置に観 測器を置く。光源から鏡まで距離 L ありそのすぐ前に半径ｒ、歯の数ｎから なる歯車がある。光線は丁度この歯にさえぎられ、歯車が回転すると光線を通 す。歯車の回転数を上げていき図右のようにちょうど光が距離Ｌを往復する時 間に距離ｓだけ歯車が移動すると明るい光が連続して観測できる。 ﾐﾗｰ 光源＆ 観測器 L ｓ ア）s をｒとｎで表せ。 イ）光線の速さを求めよ。 ウ）さらに回転数を上げていくと再び、ｆ ’ のところ で明るい光が連続して見えた。ｆ ’ を求めよ。 ここでのみかけの光の速さは c'=c/n である。よって v=f λだから λ ’ ＝ c'/f=c/(nf) P1 ア） 行路差は往復を考えて２L になる。強め合う条件から２L=m λ ' ＝ mc/(nf) これからc=2Lnf/m イ） 往復で 2 倍になり、光学距離が nd になることから行路差は 2(nd-d)=k λ よって 2d(n-1)=kc/f n=kc(/2df)+1 ウ） P2 ア）ｓは丁度歯車２個分なので円周２πｒを 2n で割り 2 倍する ｓ s=2 πｒ / ｎ イ）歯車の速さはｖ＝ｒω＝ｒ 2 πｆだから距離ｓだけ進むのに t=s/v=1/(nf) ①の時間がかる。 一方で光線の速さを c とするとミラーまで往復する時間 t=2L/c ② ① = ②からｃ＝ 2nfL ウ）光が往復する間に図のように 2 ｓだけ進むことになるf'=2f 2s
class No. Name 解答 No-15 ☆公式・Point ◎ P1 行路差 位相差 空白を埋めよ。 波長をλ、ｍを自然数とする。 光は粒子であり波でもあるので波と同様に干渉する。つまり行路差が の偶数倍であれば 合い、奇数倍であれば 合う。ただしこれ は A と B の光が の場合である。位相が変化するのは途中 がある場合で、この時屈折率が から への であれば位 相はずれないが屈折率が から への であれば位相が だけずれる。これは波の形がちょうど するので強め合う条件 と弱め合う条件が入れ替わる。さらに片方の経路中で屈折率ｎ、長さｄの物 質を通過すると行路差は で位相差が だけ生じる。 また、長さに関係なく半波長板を通ると位相差が だけ生じる。波 はこの位相差が であれば強め合うし、 であれば弱めあう。 同じ屈折率の液体の中に固体を入れるとこの固体は になり、境 界がわからなくなる。この液体から固体にレーザーを照射した場合、固体と 液体の境界面では がおきなく、全ての入射光が固体を することになる。 ○◎ P2 薄膜 図のように屈折率が 1.5 の厚さの調整できる膜 A を屈折率が 1.2 の物質 B の上に貼る。これに 600nm の単色光を垂直に入射させた。厚さを 少しづつ増やしていき厚さｄになったら明線ができた。 ア）厚さｄでの行路差を求めよ。 イ）ｄを求めよ。 ウ）次に明線ができる厚さを求めよ。 A 1.5 B 1,2 ｄ P1 順に、半波長、強め、弱め、同位相、反射、大、小、反射、小、大、 反射、π、反転、nd-d=d(n-1)、2 π d(n-1)/ λ、π、２ｍπ、（２ｍ－１）π、 透明、反射、透過 ＊干渉は波の合成でおきる行路差で考えればいいが、背景には位相があり、 位相差がなければ強め合い、ちょうどπなら弱あう関係は全ての波で通用す る。行路差を位相差に直す関係式は波動のところで学習したように 行路差をｄ、波長をλとして である。強弱条件は結局このθ が２ｍπか（２ｍ－１）πかで決まるのである。
2 d
=
i
r
m
2 d
=
i
r
m
厚さｄ、屈折率ｎの薄膜の行路差は２ndCos θ 位相πずれるのは屈折率小から大への反射 屈折ではπずれはない。 行路差ｄの位 相差θは P2 ア）行路差は光学距離を考えて、屈折率 1.5 の中を往復しているので 行路差Δ＝２ｎｄ＝ 3 ｄ イ）A の上面でπずれが１回あるから強め合う条件は半波長の奇数倍に なる。最初に強め合うのは m=0 として 行路差Δ＝（2m+1) λ / ２＝λ／２① ∴３ｄ＝λ／ 2 ｄ＝ 100nm ウ）m=1 とすれば Δ＝３ｄ＝３λ／２ よってｄ＝ 300nm ｄ A 1.5 B1.2 空気１ πずれ基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-16 解答 No-16９光基礎 ☆公式・Point ◎ P2 薄膜 反射 水たまりに油が浮いていると見る角度によって様々な色にみえることがある。 これを説明するために次のような図を考える。空白を埋めよ。（色は青か黄色） 水と油では油の方が比重は小さく、屈折率は大きいので行路差を考える時は 膜の の面で位相がπずれる。 液面 観測点 P 反射点 B 反射点 A 膜の厚さｄ 観測点 P にくる光の反射点 A と B では の方が反射角が大きい。反射点 B が緑色に見えたとする。屈折角をθとし、膜の屈折率をｎとすると行路差は となるので B より屈折角が い A 点で強めあう条件はｍを 自然数として となるからθが大きいと Cos θは くなるので波長は同じｍの値であれば B 点より くなることがわかる。 よって A 点は 色に見える。観測点 P をずらすとｍが変化するので 強め合う条件を満たす が変化し、色も変化する。 ※行路差の公式を作図し導くこと。 ○ P1 薄膜 図のように屈折率が√３の厚さの調整できる膜を屈折率が√２の物質の表面 に貼る。これに入射角 60°で 480nm の単色光を入射させた。厚さを少しづ つ増やしていき厚さｄになったら明線ができた。 ただし、√６＝２．４とせよ。 ア）厚さｄでの行路差を求めよ。 イ）ｄを求めよ。 ウ）次に明線ができる厚さを求めよ。 エ）イの薄膜の屈折率が√２まで変化させると干渉模様はどう変化するか。 また、ｄが変化する場合はどうか。（ただし、視点は固定する） n= √３ n= √２ ｄ P2 入射角 ｄ ２ｎｄ cos θ πずれ θ 薄膜の行路差は図の赤線になる。辺ＢＣを反転 させてＢＣ ’ を作り、直角三角形ＡＣＣ ’ をつ くれば行路差は２ｄ Cos θになる。光学距離 を考慮して行路差は２ｎｄ Cos θである。 反射角が大きければ屈折角も大きくなる。 θ 順に、上、A、２ｎｄ Cos θ、大き、 (2m －１）λ / ２＝２ndCos θ、 小さ、短、青、波長 Ｂ Ｃ Ｃ ’ Ａ 行路差は２つの経路の同位相 の部分をまず見つける。その ために波面を描くこと。 60° B A ２ｎｄ cos θ πずれ P1 ア）まず屈折角θを求めるとスネルの式から sin60 ／ sin θ＝√３ sin θ＝ 1/2 θ＝ 30° 行路差は光学距離を考えて、屈折率√３の中を往復しているので 行路差Δ＝２ｎｄ cos30 ＝２√３・√ 3/ ２・ｄ＝ 3 ｄ イ）A の上面でπずれが１回あるから強め合う条件は半波長の奇数倍 になる。最初に強め合うのは m=0 として 行路差Δ＝（2m-1) λ / ２＝λ／２① ∴ 3 ｄ＝λ／ 2 ｄ＝ 80nm ウ）m=1 とすれば Δ＝ 3 ｄ＝３λ／２ よってｄ＝ 240nm エ）膜の上の面では干渉縞の間隔は上の図から2dTanθである。n、ｄを固定し、強め合う時、 2ndCos θ＝ m λなのでθが正に変化するとｍが負に変化し、干渉縞が見える。 n を小さくしていくと同じｍで Cos θは大きくなるのでθは小さくなり、tan θも小さ くなり干渉縞の間隔は狭くなっていく。そして√２まで下がると下の物質と同じ屈折率 にるので境界面での反射はなくなり、全て透過するので干渉は消える。 d が同じように小さくなっても間隔はせまくなるが消えることはない。 πずれは屈折率小→大の反射面で πずれは屈折率小→大の反射面で 反射は屈折率の異なる面で起きる 屈折率ｎAからｎBの厚さｄ薄膜の 行路差は屈折角をθBとして △＝２ｎABｄＣｏｓθB ｄ θ
class No. Name 解答 No-17 ☆公式・Point ○◎ P1 回折格子 穴埋めをして問題に答えよ。 図のように格子が間隔ｄで規則正しく並んでいる時、この間隔は原子の並びで ある場合は原子の大きさにほぼ等しくｄを という。 図のように入射角がα、反射角がβであれば光１と光２の行路差は入射の段回 で であり、さらに反射の段回で である。
α
β
d
ア）反射後、光１と光２ははるか遠方で干渉する。 この時の行路差を求めよ。 光１ 光２ イ） 光の波長が 600nm、αは 30°、d は 3.0 × 10-6m の時、 強め合うβはいくつあるか。sin βの値を求めよ。 P2 回折格子 図のように 26cm あたり 100000 本の溝がある回折格子板 A を置き、これ に 650nm のレーザー光を角度 30 度で照射する。天井のスクリーンには明点 が図のような位置にいくつか現われた。天井までの高さは 5 ｍである。 ア）レーザーの色は何色か イ）格子板Ａからの反射角を小さい順に求めよ。 ウ）格子板Ａの真上に近いところでの明点の間隔 ｘを求めよ。 30° ｘ A 格子定数ｄの回折格子の行路差△＝｜d(sin αー sin β ) ｜ 垂直反射の時はβ＝０とする ｄ α β A B P Q ア）左図より行路差は PB ー QA ＝d(sin αー sin β ) イ）回折格子では同じように反射するので位相のずれは考えなくてもよい。 アの結果から sin β =sin α - ｍλ /d =1/2 －ｍ× 0.2 0 ≦ sin β≦１であるから可能性のあるｍは －２，－１，０，１，２の５つである。対応する sin βは順に ０．９、０．７、０．５、０．１となる。 P1 順に 格子定数、ｄ Sin α、ｄ Sin β P2 ア）650nm だから赤色 青が 400nm 程度であることも知っておく。 30° ｘ A θ１ イ）まず P1 から回折格子の行路差Δ＝ｄ｜ sin α－ sin β｜とおく 中央に近い位置ではβの方が小さいからこの場合はΔ＝ 2(sin30°ー sin θ ) となる。経路は同じだからπずれは考えなくてもいいので強め合う条件からｍλ＝ｄ sin30 ーｄ sin θ sin θ＝０．５ーｍλ／ｄ ｄ＝０．２６／１０５から sin θ＝０．５ー 0.25 ｍ・・・①となる。m=-2 は天井にいかないので条件を満たすｍは－１，０, １,2 ①から対応するθは ０と sin θ＝１/ ４を満たすθと 30°sin θ＝ 0.75 を満たすθ、の４つ。 ウ）イの結果から真上に１つ明点が出る。２つめの点はｍ＝１を①式に代入 すると sin θ＝１／４から cos θ＝√ (1-1/16)= √１５／４ tan θ＝ 1/ √１５ 求める長さｘはｘ＝ｈ tan θの 関係があるから この時のｘ＝５tan θ ＝５/ √１５＝1.3 ｍ ＊回折格子は回折板が透明なら A の下側の透過光も干渉する。 θ１＝０なら ｘ＝ｈ tan θ２ θ２ 光を当てる実物の厚さやスリット、格子間隔が小さくなると 干渉縞の間隔は大きくなる。反射は屈折率の異なる面でおきる。
基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-18 解答 No-18９光基礎 ☆公式・Point ○◎ P1 くさび 十分に細い糸の直径を求めるのに次のように光の干渉を利用した。ガラス板 の幅は 10cm ある。単色光の波長はλ [cm] とする。ガラスの屈折率 N とする。 B A 10cm ア）糸の直径をｈ [cm] とする。垂直に単色光を入射させた。この時 A の下面 と B の上面からの反射で干渉がおきた。図の左端からｘ cm での行路差ｄ を求めよ。また、上方から眺めた時の干渉模様の様子を図示せよ。 また、白色光を入射させた場合の干渉模様の様子を図示せよ。 （色は赤と青のみでよい） ｘｃｍ イ）単色光を A の上から観測した場合、明線の間隔Δｘはどうなるか。 ただし、自然数 m を用いてよい。 ウ）x=5 とｘ＝ 5.2 ｃｍ のところに明線が見えた。これから入射光の波長が 400nm の時、糸の直径は何 cm か。 エ）このように光の干渉を用いると非常に短い長さの測定が可能になる。 上の実験で糸の直径が小さくなると明暗線の間隔はどうなるか。 オ）糸の直径はもどしておいてこのくさび系の中に屈折率ｎの液体を充填した。 (1<n<N) この屈折率を連続的に N まで増やすと上からみた干渉模様の間隔 はどう変化するか説明せよ 【行路差】ヤングの実験の行路差Δ＝ xd/L (L>>d) の近似 薄膜はΔ＝ 2ndCos θ ( 屈折角 ) ニュートンリング、くさびの行路差は △＝ 2nd 空気中であれば n=1 縞の間隔はｈが小さくなると大きくなる。 P1 ア）図のように入射した位置の隙間の高さをｙとすると三角形の相似 からｘ：ｙ＝ 10：ｈである。従ってｙ＝ｘ h/10 行路差は往復するから ｄ＝２ｙよってｄ＝ｘｈ /5 cm 上から見た図 ( 単色光上、白色光下 ) イ）B の上面ではπずれが起きる。したがって強め合う条件は逆転する。 行路差 d ＝ xh/5 ① 強めあう条件は位相の反転が 1 回あるので d ＝ (2m-1) λ /2 ② よって① = ②からｘ＝ 5(2m-1) λ /(2h) この式の変数はｘと m なので変化量Δｘは Δｘ＝ 5 Δ m λ /h Δ m ＝１なので Δｘ＝５λ / ｈ [ ｃｍ ] ③ これからくさびの明線の間隔は一定であることがわかる。 ウ）上の結果③からｈ＝５λ / Δｘ ) これにΔｘ＝ 0.2 λ＝４× 10ー 5cm を代入するとｈ＝１．０×１０ー 3cm エ）①からｈが小さければΔｘは大きくなり間隔は広がることがわかる。 これは干渉の一般的な重要な性質で次の内容が一般に成り立つ。 B A ｘ ｙ ｈ オ）光学距離の公式から行路差がｄから nd に変化する。πずれの条件は不変、 よって nd=nxh/5=(2m-1) λ /2 x=5m λ /nh-C( 定数 ) Δｍ＝１だから 変化量をとると定数 C は消えてる。よってΔ x=5 λ /nh これをｙとして Δｘ＝ｙがｎの関数としての変化をみればいいので n で微分すればいい。 dy dn = d dn 5λ nh =−5λ hn2 ∆y = −5λ hn2∆n となる。従って n が増加していくと Δｘの変化はー 1/ ｎ２に比例して減少していくしかし、ｎが N になると ガラスと同じ屈折率になるので全て透過し、反射はおこらず干渉縞は消え る。n が N を越えると B 面ではπずれが起こらないが A の下面でおこる ので干渉条件は変化しない。 白色光を入れると下の式からｘはλに比例するよってｘが大きい方が赤に 小さい側が青 ( 紫）にずれて観測される。
class No. Name 解答 No-19 ☆公式・Point ◎ P1 ニュートンリング 2008 定期試験 図のように半径 R のニュートンリング ( 屈折率ｎ ) があり、これに屈折率 n' の液体を中に入れる。波長λの光を真上から当て観察した。 ｘ m R ｄm ｎ ’ ア）ｎ ’ ＞ｎの時中心は明るいか暗いか。 イ）ｎ ’ ＜ｎの時中心は明るいか暗いか。 上からみたニュートンリングの干渉模様を図示せよ。 また、入射光を白色光にした場合の模様を図示せよ。 ＊以下単色光λを入れるとし、ｎ ’ ＜ｎとする。R は十分大きい ウ）ｍ番目の明円環の位置での高さをｄｍとする。行路差Δを求めよ。 エ）中心からの距離ｘｍを求めよ。 オ）次の円環との距離Δｘｍを求めよ。 カ）n' を大きくするとΔｘｍはどうなるか P1 ア）イ）ｎ ’ ＜ｎの時は下図の青○でπずれ、ｎ ’ ＞ｎの時は下図の赤○ でπずれがそれぞれ 1 回あるから、どちらも中心は暗くなる。 ｘ m R ｄm ｎ ’ O B C 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 ニュートン環は同心円だが√ R に比例するので間隔は外側ほど小さくなる、中心はガラス より屈折率の大きい液体を充填しても暗い。 ｍ番目の明線はｘｍ＝√ ( λ R(2m-1)/(2n')) 中心は暗い 明線の間隔はｎが大きいと小さくなる。 曲率半径 R のニュートン環、屈折率ｎ、波長λの光 ウ）光学距離を考慮し、Δ＝２ｎ ' ｄｍ ① エ）図の△ OBC について R2=(R-d m)２＋ｘｍ２ 展開し、ｄｍ２を小さいとして 無視すれば Xｍ＝√ (2Rdm) ② ①より強め合う条件はπずれが 1 回 あるからΔ＝２ｎ ' ｄｍ＝λ (2m-1)/2 ②に代入し、 ｘｍ＝√ ( λ R(2m-1)/(2n')) ② オ）ΔｘｍはΔｍ＝１だからｘｍをｍについて微分すればよい。 よって変化量はΔｘｍ＝ｘｍ’ ＝√ ( λ R/2n'(2m+1)) カ）オの結果から１/ √ｎ ’ 倍になる。 単色光の場合 白色光の場合（拡大） 下の式②から 単色光については等間隔ではなく√に比例し、半径が大きいほど密になっていく。 白色光ではｘｍが√λに比例しているので波長が大きい赤ほど外側にリングができ る。 PC シミュレーション
基礎物理問題集
９．光基礎
class No. Name
No-20 解答 No-20９光基礎 ☆公式・Point ◎ P1 スリット間隔の変化 2005 早稲田 改
S
1S
２L
x
０
d x 単色光源 図のように間隔ｄだけ離したスリット S1、S2、スクリーンまでの距離が L、 スクリーンの中心 O から上向きにｘ軸をとる。光源の波長はλ、空気中での 光の速さはｃ観測点の位置はｘとする。L はｄに比べ、十分大きく、必要なら ｘ <<1 の時、(1 + x)n 1 + nxを利用してよい。 ア） 位置ｘでの S₁、S₂ からの行 路差 D を求めよ。 スクリーン上の干渉稿の間隔 Δｘを求めよ。 イ） ｄが 2 倍になるとΔｘは何 倍になるか。 ウ） エ）単色光ではなく白色光を光源にした場合、スクリーンにはどんな像が みられるか。 次に単色光にもどし、スリットとスクリーン間に空気に対する屈折率が n(n>1) の媒質を満たした。 オ）単色光の場合この媒質中を進む光波の速さと振動数を求めよ。 もし、白色光だとどうなるか。 カ）干渉稿の間隔Δｘはどうなるか。 キ） 次に図のように S₂ の近くだけ幅 a で媒質を除き、空気を満たす。 カの 状態からスクリーン上の明線の位置が変化した。この変化量Δｘ ’ を求めよ。 移動が上か下かも答えること。 ク）次に媒質は全て取り去り、光源を O から遠ざかる向きにｖで運動させた。 この時スクリーン上の干渉稿の間隔をΔｘで表せ。 ケ）次に光源は静止させ、スリットの間隔を次のように変化させて上下に等し く穴を増やす。 ⅰ )d,2d,d,2d,d'… ⅱ）d,d/2,d,d/2,d,… ⅰ、ⅱそれぞれについて明線はどうなるか P1 ア）行路差は正で答えるべきだからヤングの公式から L ＞＞ｄ よりD=|x|d/L イ）ｘ＞０として強め合う条件はア）から D=xd/L ＝ n λ Δｎ＝１として 変化量をとると Δｘ＝ L λ /d ① ウ）1/2 倍になる。 エ）明線のところに内側が青、中心から遠い側が赤になる。O 点では全ての 波長が混じるので明るい白に naru. オ）速さは 1/n 倍、振動数には変化がない。v=c/n f=c/ λ 白色光では振動数が高いほどより、遅くなる。 カ）①のｄが nd に変わるのでΔｘ＝ L λ /(nd) キ）行路差は S₁ 側のほうが na-a だけ長くなる。よって全体の行路差 D として x>0 の時、強め合う条件が D'=x'nd/L-a(n-1)=m λ x'=(m λ +a(n-1))L/(nd) 一方で①から x=mL λ /(nd) Δ x'=x'-x=a(n-1)L/(nd) ∆x = 1−n1 aL d x>0 としているので上に移動する。 ク）波長のドップラー効果によりλ ’ ＝λ (c+v)/c よってΔｘ＝ L λ (c+v)/(cd) ケ）間隔が 2d でも強め合うのでスリット数が増えればⅰは明るくなる。 ⅱは暗くなる。 λ = λV − vs V − vo 光のドップラー効果 音と反対で観測者の速度が下、 音源の速度が上class No. Name 解答 No-21
