第
1回 電気磁気学Ⅲ
竹内 哲也（天野 浩） 2009年4月7日(水) 1限 2限 N-10４ 学習・教育目標 A5 : 自然科学の基礎能力，工学基礎および自主的に学習できる能力 電気磁気学Ⅲの目的 電気磁気学Ⅲは電気磁気学の集大成！ マクスウェル方程式の意味を確実に理解し，その応用が出来る真の 実力を身につけること。 http://nitride.meijo-u.ac.jp/takeuchi/index.html 竹内のHPアドレス 講義ノートへのアクセス方法 受講の条件：関数電卓と講義ノート チェックシート提出による出席確認を忘れずに！材料機能工学科における
電気磁気学の身に付け方
1. 法則の意味をよく理解する。
2. 法則を数式で表す。
3. 数式を応用できる力を身につける。
→さらに根本原理を探求した人は，“なぜ？”を追求する。
(電気磁気学では，根本原理の追求は行いません。)
ガウス，ビオサバール，ファラディなど，さまざまな法則は，決し て“なぜ？”の解答ではありません。自然界はこのようになって いるようだ，ということを数式化しただけのことです。 例えば，なぜクーロン力は生まれるか？なぜ重力があるのか？ という疑問に対しての解答はありません。物理学は，電荷があ ればクーロン力，質量があれば重力がこのようになると言って いるだけです。本講義の方針・特徴
y 方針 y電磁場の根本原理を理解（実感）する y 物理的イメージを湧かせる y 応用ができるようになる y（そのために）たくさん演習をする y 数学的処理ができる y 基本が理解できるようになる y 特徴 y大枠から細部の理解へ y天野先生の資料使用 y そこに強弱をつけるために補助資料使用法則の発見・定式化の歴史
1773 ヘンリー・キャベンディッシュ 1731～1810 1785 チャールズ・クーロン 1736-1806 クーロン力 距離の逆二乗則の定式化 ウィキペディアより http://www15.wind.ne.jp/~Glauben_leben/Buturi/History5.htm http://maeda3.c.u-tokyo.ac.jp/lecture/j_ele_2005_ppt.pdf#search=' キャベンディッシュの実験 クーロン' 導体球 1820.9.18 Andre Marie Ampere (1775-1836) アン ペールの法則 1[m：メートル]間隔の平行な2本の電線 に，どちらにも同じ大きさの電流が同じ 方向に流れているとき，引き付け合う力 が電線1[m]あたり，2×10-7[N：ニュート ン]のときの電流が1[A：アンペア] ⇒1[A]の電流が1[s：秒]に運ぶ電気量 を1[C：クーロン]と呼ぶ。 定常電流による磁界の大きさの定式化 定常電流による磁界の大きさの定式化 1820.7.21 Hans Christian Oerested (1777-1851) エ ルステッド http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k2jiki/20jiki.htm http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/32denjk/090elc.html 1820.10.30 Biot, Jean Bapiate+F. Savart ビオ・サバー ルの法則 34 r
r
s
Id
H
d
π
r
r
=
×
法則の発見・定式化の歴史
http://www.geocities.jp/hiroyuki0620785/k2jiki/20jiki.htm 電磁誘導の発見 電磁誘導の発見 1831-45 Michael Faraday (1791-1867)法則の発見・定式化の歴史
電気磁気学Ⅲはここから 電磁誘導の定式化 電磁誘導の定式化 http://ijinten.com/contents/ijin/lenz.htm dt d n e dt d n e Φ Φ − = ：起電力 ：コイルの巻数 ：コイルの鎖交磁束の時間変化 電磁誘導の法則：静止している導線の閉 じた回路を通過する磁束（鎖交磁束）が 変化するとき，その変化を妨げる方向に 電流を流そうとする起電力が生じる。⇒ 鎖交磁束保存則 Heinrich Friedrich Emil Lenz(1804-1865)法則の発見・定式化の歴史
電磁誘導の定式化 電磁誘導の定式化 ジョン・フレミング 1849-1945 問1-1 右手の法則と 左手の法則を説明し なさい。 http://ijinten.com/contents/ijin/fleming.htm
法則の発見・定式化の歴史
右手v
r
B
r
正電荷が受け る力の方向B
v
q
f
r
=
r
×
r
フレミングの法則は ローレンツ力 発電機 （電流が生じる）B
v
q
f
r
=
r
×
r
：ローレンツ力v
r
B
r
左手 正電荷の運動方向 正電荷の速度 電動機 （電流を流す）電磁誘導を利用すると何ができるか
? 電動機(モーター)
http://www9.wind.ne.jp/fujin/diy/denki/kiso/denji.htm 問1-2 コイルの回転 の向きを書きなさい。 フレミングの左手の法則を利用した装置電磁誘導を利用すると何ができるか
?
http://www9.wind.ne.jp/fujin/diy/denki/kiso/denji.htm電磁誘導を利用すると何ができるか
? 発電機
http://www.nucpal.gr.jp/website/support/hatuden/power_generation.pdf 問1-3 誘導電流の向きを確認しなさい。 火力発電の原理 水力発電の原理エネルギー問題の解決の基礎は電気磁気学！
http://www.te.fukuoka-u.ac.jp/matumoto/super.html http://motor.days.co.jp/its/tournews/20050416203908.html http://www.kurasc.kyoto-u.ac.jp/space-group/people/matsumot/opinion/sps_99.htm 超電導 (超伝導) ハイブリッド/燃料電池車 太陽光発電 太陽電池パネル マイクロ波 送電 http://toyota.jp/prius/concept/ concept/index.html 身近な電化製品の動作原理を理解するのは電気磁気学！ http://www.t-scitech.net/kitchen/mono/renji.htm 電子レンジ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F:Microwave_oven.jpg 問1-4：電子レンジの加熱原理および加熱に 用いられている素子を説明しなさい。 固体素子にする と効率アップ！最先端の半導体デバイスの解析の基礎は電気磁気学！
http://www.oitda.or.jp/yh/laser/answer/a_laser1.htm Sapphire substrate LT-buffer layer n-Al0.18Ga0.82N contact layern-Al0.18Ga0.82N cladding layer p-Al0.18Ga0.82N cladding layer
GaN/Al0.08Ga0.92N MQW p-GaN
GaN i-Al0.08Ga0.92N guide layer
i-Al0.08Ga0.92N guide layer
LT-AlN interlayer SiO2 p-contact (Ni/Pt/Au) n-contact (Ti/Al)
p-Al0.25Ga0.75N blocking layer
Sapphire substrate
LT-buffer layer n-Al0.18Ga0.82N contact layer
n-Al0.18Ga0.82N cladding layer p-Al0.18Ga0.82N cladding layer
GaN/Al0.08Ga0.92N MQW p-GaN
GaN i-Al0.08Ga0.92N guide layer
i-Al0.08Ga0.92N guide layer
LT-AlN interlayer SiO2 p-contact (Ni/Pt/Au) n-contact (Ti/Al)
p-Al0.25Ga0.75N blocking layer
http://panasonic.jp/diga/products/bw/index.html
http://www.nichia.co.jp/jp/product/laser-main.html
電気磁気学Ⅲの評価基準：
皆さんの到達目標：
１．静電界，静磁界の法則を整理して理解し、使うことができる。 ２．時間的に変化する場，すなわちマクスウェル方程式の意味を理 解し，使うことができる。 ３．物質の磁気的性質が理解できる。 皆さんはこれから何をすべきか？本講義の特徴
• 式の理解と沢山の演習
• 複数の理解度チェックテスト
• 講義中油断すると，問題の解答が分からなくなる。
そこで，
→私語は慎むこと。
→居眠りや携帯メールは自己責任。
教員は一切関知しません。
ただし，鼾は迷惑なので注意するかも。
→質問大歓迎！分らないことがあったら，なんでも
聞いてください。
テキスト：HPの講義ノートがテキストです。
参考書 電気磁気学を使いこなしたい人 は，演習書をお勧めします。 例えば， 共立出版株式会社 後藤憲一，山崎修一郎共編 詳解電磁気学演習など。 講義内容予定 回数 日付 項目 内容 1: 4月7日 電気磁気学Ⅲの内容紹介 電気磁気学IIIで学ぶ内容の確認、静電場・磁場の各種法則の整理 2: 14日 電気磁気学Ⅱの復習 クーロンの法則（電場）、ビオサバールの法則（磁場） 3: 21日 電気磁気学Ⅱの復習 ガウスの法則（電場）、アンペールの法則（磁場） 4: 28日 理解度確認演習1 1～3の内容理解を深めるための演習 5: 5月12日 9章 時間的に変化する場：電磁誘導1 ファラデーの法則、レンツの法則 6: 19日 9章 時間的に変化する場：電磁誘導2 自己インダクタンス，相互インダクタンス 7: 26日 9章 時間的に変化する場：変位電流 変動する電場による磁場の発生 8: 6月2日 付録 マックスウェル方程式の微分形 マックスウェル方程式の確認（微分形）とヘルムホルツ方程式 9: 9日 理解度確認演習2 5～8の内容理解を深めるための演習 10: 16日 10章 過渡現象と交流回路 LCR回路の過渡応答とインピーダンス 11: 23日 11章 物質の磁気的性質1 反磁性、常磁性、強磁性 12: 30日 11章 物質の磁気的性質2 媒質が異なる場合の境界条件 13: 7月7日 12章 電場・磁場のエネルギー 電磁界のエネルギーについて 14: 14日 理解度確認演習3 11～13の内容理解を深めるための演習 15: 未定 定期試験 試験前に出題方針を連絡電気磁気学Ⅲの内容概説
９．時間的に変化する場 ー電磁誘導・変位電流密度ー １０．過渡電流と交流回路 １１．物質の磁気的性質 １２．電場・磁場のエネルギー ＊附録 マクスウェル方程式，電磁波の伝搬 ＊電界，磁界 → 工学部系 ＊電場，磁場 → 理学部系 •慌てて次に進んでも，分らなかったら時間の無駄！ 常に一つ一つしっかり理解してから，次に進む! 1864 ジェームス・マ クスウェル 1832-1879 ”電磁場の力学的理 論”発表 電気磁気学Ⅲの総まとめ(到達目標) 電気磁気学Ⅲの総まとめ(到達目標)t
D
J
H
t
B
E
B
D
∂
∂
+
=
×
∇
∂
∂
−
=
×
∇
=
⋅
∇
=
⋅
∇
r
r
r
r
r
r
r
0
ρ
：電界の源は電荷である。 ：磁界には源がない。 ：磁界が時間変化するところに 電界が生じる(電磁誘導)。 ：電流があり，電束の時 間変化があるところで磁 界が生じる。 D:電束密度 E：電界 H：磁界 B：磁束密度 D=εE B=μH J：電流密度 ρ：電荷密度 ε：誘電率 μ：透磁率 http://www.ijinten.com/contents/ijin/maxwell.htm電磁気学でよく用いる単位：随時確認します。
SIの電磁気の単位 名称 記号 次元 物理量 ジュール J W・s=N m= kg·m2·s-2 エネルギー アンペア（SI基本単 位） A A 電流 クーロン C A·s 電荷・電気量 ボルト V J/C = kg·m2·s−3·A−1 電圧・電位 オーム Ω V/A = kg·m2·s−3·A−2 電気抵抗・インピーダンス・ リアクタンス オーム・メートル Ω·m kg·m3·s−3·A−2 電気抵抗率 ワット W V·A = kg·m2·s−3 電力・放射束 ファラド F C/V = kg−1·m−2·A2·s4 静電容量 ファラド毎メートル F/m kg−1·m−3·A2·s4 誘電率 ジーメンス S Ω−1= kg−1·m−2·s3·A2 コンダクタンス・アドミタンス・ サセプタンス ジーメンス毎メートル S/m kg−1·m−3·s3·A2 電気伝導度 ウェーバ Wb V·s = kg·m2·s−2·A−1 磁束 テスラ T Wb/m2= kg·s−2·A−1 磁束密度 アンペア毎メートル A/m m−1·A 磁場（磁場の強さ） ヘンリー H Wb/A = V·s/A = kg·m2·s−2·A−2 インダクタンスヘンリー毎メートル H/m kg·m·s−2·A−2 透磁率 式の取り扱いに慣れるために x y z ) a , a , a ( Ar= 1 2 3 ) b , b , b ( Br= 1 2 3 θ 内積 3 3 2 2 1 1b ab ab a cos B A B Ar⋅r= r r θ = + + 外積 z ) b a b a ( y ) b a b a ( x ) b a b a ( b b b a a a z y x sin B A B A r r r r r r r r r r 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 2 1 3 2 1 − + − + − = = = × θ 問1-6 内積及び外積を，各成分で示しなさい。
講義で用いる数学の復習：問1-7
スカラーの勾配 （grad） ベクトル演算子 ナブラ ( x, y,∂z) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇)
z
,
y
,
x
(
grad
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
∇
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ベクトルの 発散（div）z
a
y
a
x
a
a
a
a
z
y
x
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⋅
∇
1 2 3 3 2 1,
,
)
(
)
,
,
(
r
ベクトルの回転 （rot）)
y
a
x
a
,
x
a
z
a
,
z
a
y
a
(
a
a
a
z
y
x
z
y
x
)
a
,
a
,
a
(
)
z
,
y
,
x
(
A
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1r
r
r
r
→ベクトル →スカラー →ベクトル講義で用いる数学の復習：問1-8
ベクトル恒等式)
B
A
(
C
)
C
A
(
B
)
C
B
(
A
)
A
C
(
B
)
B
A
(
C
)
C
B
(
A
)
B
A
(
A
A
A
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
−
⋅
=
×
×
×
⋅
=
×
⋅
=
×
⋅
=
×
⋅
=
×
0
0
分からない人は，復習しましょう。講義で用いる数学の復習：問1-9
ラプラス演算子ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
∇
=
Δ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
⋅
∇
2 2 2 2 2 2 2z
y
x
)
(
問1-10 次の演算をしなさい。
)
z
,
y
,
x
(
r
z
y
x
r
=
+
+
=
r
2 2 2 とする。0
3
2=
×
∇
=
⋅
∇
=
∇
r
r
r
r
)
r
(log
r
r
r
講義で用いる数学の復習
ガウスの定理S
d
A
dV
A
S
V
r
r
r
∫∫
∫∫∫
∇
⋅
=
⋅
ある空間にベクトル場 とその発散場 がある場合，任意の領域V内で発散 を加え合わせたものは，Vの全表面Sにおいて ベクトル場 の流束 を加え合わせた ものに等しい。 Ar ∇⋅Ar Ar ⋅ ∇A
v
Av⋅dSr講義で用いる数学の復習
ストークスの定理∫
∫∫
∇
×
⋅
=
⋅
C
S
A
d
S
A
d
r
r
r
r
r
ある空間にベクトル場 とその回転場 がある場合，任意の局面Sを貫く の流束 を加え合わせたものは，Sの外周C上 でベクトル場 について， を加え合わせ たものに等しい。A
r
∇
×
A
r
A
r
×
∇
S
d
A
r
⋅
r
×
∇
A
r
Ar⋅drr電磁気学
IIIで学ぶこと
電磁気学IIの復習 （静電場、静磁場の法則） 9．時間的に変化する場 （マックスウェル方程式） 10．過渡現象と 交流回路 11．物質の 磁気的性 質 付録：マックスウェル方程式 の微分形 （電気回路） （量子力学） （光波光学） 12．電場・磁場の エネルギー 電荷 電場 「電荷」が「電場」をつくる 「電場」は「電荷」に力を及ぼす 磁場 「 」が「磁場」をつくる 「磁場」は「 」に力を及ぼすD
、
E
、
B
、
H の分類について（p158）
E
D
=
ε
0H
B
=
μ
0静電場の法則まとめ
電荷 ρ 電場 E 電位 φE
q
F
r
=
r
静磁場の法則まとめ
電流 ｊ 磁場 B A ベクトル ポテンシャル B q Fr= υr× rマックスウェル方程式の対称性
① 電場の起源となる 「 」の存在 ②` 電場に対しては 存在しない（=0） ② 電場の起源として 変動する「 」 ④ 磁場に対しては 存在しない（=0） ③` 磁場の起源となる 「 」の存在 ③ 磁場の起源として 変動する「 」マックスウェル方程式について（
p268）
（電荷のガウスの法則） （磁束密度に対するガウスの法則） （クーロン（保存）場） （誘導電場） （アンペールの法則） （変位電流） （電場の変動により生じる磁場の追加） （磁場の変動により生じる電場の追加） ① ②´ ② ③´ ③ ④ （p177） （p164） （p197） （p182） （p58） （p43）積分形と微分形
積分形：ある範囲の電場や電荷など、距離、面積、体積などで足した量 微分形：ある一点での電場や電荷など、距離、面積、体積あたりの微小極限量 積分形 微分形 ガウスの定理 ストークスの定理 →空間のすべての点で成り立つ →電磁波の理解：時間的変動と 空間的変動を結びつける具体的な利用例
マックスウェル方程式の利用①
ポアソン方程式ρ
=
⋅
∇ D
r
0 = × ∇ Er Er=−∇φ
cf. ラプラス方程式（ρ=0の場合） 0 2 = ∇φ
マックスウェル方程式 （時間変動なし） ⇒ 有限要素法などを適用することで任意の構造において ポアソン方程式の数値解析が可能①に類似した方程式
ラプラス方程式 0 = ⋅ ∇ jr E j r r=σ
φ
−∇ = Er 電荷の保存則 とオームの法則 ⇒ 有限要素法などを適用することでポアソン方程式の数値解析が可能 ex. 様々な抵抗体構造における電流分布の数値解析（次ページ）フリーソフトによる解析例
0 1 2 3 0 5 10 Z (micron) R (micron) | j | ( A / m 2 )File prefix: 7-3baseline.EOU Plot type: Surface Quantity: |j| (A/m2) ZMin: 0.000E+00 RMin: 0.000E+00 ZMax: 3.550E+00 RMax: 1.300E+01 DzGrid: 8.875E-02 DrGrid: 3.250E-01 ZMin: 0.000E+00 ZMax: 2.000E+08 < 1.333E+07 < 2.667E+07 < 4.000E+07 < 5.333E+07 < 6.667E+07 < 8.000E+07 < 9.333E+07 < 1.067E+08 < 1.200E+08 < 1.333E+08 < 1.467E+08 < 1.600E+08 < 1.733E+08 < 1.867E+08 > 1.867E+08 計算結果表示（上図） （電流分布） http://www.fieldp.com/sate.html static-field analysis toolkit (SATE6.2)
0.00000 3.55000 X 0.00000 13.00000 Y File: cylin NNodes: 9432 NElements: 18460 P-MAIN 14100F P-ALGAINP 780F P-DBR-BOTTOM 1560F P-DBR-TOP 1560F P-CONTACT 260F AL2O3 200F BOTTOM-ELECT 131U TOP-ELECTROD 31U 構造およびメッシュ作成（上図） 材料パラメータ入力（σ） 有限要素解計算 （ポアソン方程式を ほとんど意識しないが）
