等円術(I) : 鉤股中等円術
著者名(日)
米山 忠興
雑誌名
東洋大学紀要. 自然科学篇
号
49
ページ
87-110
発行年
2005-03
URL
http://id.nii.ac.jp/1060/00002499/
Creative Commons : 表示 - 非営利 - 改変禁止 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja等 円 術Ⅰ＊
鉤 股 中 等 円 術
米 山 忠 興＊＊Equi－radial Circles in Segmental Triangles I
Rectangular Triangle
Tadaoki YONEYAMA
1．はじめに
「等円術」とは，直角三角形または一般の三角形を界斜で分けて，それぞれに半径の等 しい「等円」を入れる問題であり，算額や和算書にはこれに関するさまざまな算題が残さ れている．さらに一般に，三角形を界斜で分けて，いろいろな半径の円を内接させるもの もある．全国を探せば，すでに失われたものも含めて，さらにたくさんのものが有ると思 われるが，ここでは代表的なもののみを紹介する． この「等円術」シリーズでは，これらの等円術をA）直角三角形（鉤股），B）一般の 三角形（三斜），さらに，C）等円術の応用としての発展問題，を順次とりあげる． 三角形が直角三角形の場合と一般の場合，また，中に入っている等円の数が二個の場合 と一般のn個（n≧3）の場合によって，解法の難しさも変わってくる． じつは最終的には，三角形の形や等円の個数には無関係であることが，比較的かんたん に証明出来る．しかし，そのためには多くのことを考察しながら計算し，一般法則を見い ださなければならなかった． 「数学者」ならば，途中の過程は一切省略して，最後にたどり着いた「命題と証明」だ けを記すところかも知れないが，数学者ならぬ私には，その思考過程が多少（というより は，かなり）煩雑ではあったが，最後の命題を得るときに劣らずに面白かったので，あま ’この研究のうち，和算書及び算額の資料収集・調査の多くは，平成13～15年度の東洋大学特別研究（個 人研究）の研究期間に行った． また，この取りまとめは，平成15～16年度学術振興会科学研究費補助金基盤研究（C）（2）「算額及び和 算の数学史・文化史的な調査・研究と解法の探究」によって行なわれた． ＊＊ 圏m大学自然科学研究室 〒351－8510埼玉県朝霞市岡2－11－10 Natural Science Laboratory， Toyo University，11－10，0ka 2， Asaka－shi， Saitama 351－8510， Japan88 米 山 忠 興 り省略せずに書き記す事にする． 今回はじめにとりあげる［A1］～［A6］の「鉤股中等円術」は，直角三角形の中に「界 斜」で仕切られた2つ，またはそれ以上の数の部分三角形に内接するいくつかの等円に関 する問題で，いろいろな和算書・算額において，かなり広く取りあげられていて，算法に おける，かなり代表的な問題だったのであろう．
2．算額面
算額目次
★［A］鉤股中等円術 1（藤岡市牛田）諏訪神社第一問 いかるが 2（揖保郡太子堂）鵤太子堂第四間 3（大和郡山市）庚申堂第二問 4（播州龍野）三社権現第六間 5（算額鉤致下巻解術）試の十一 6（高崎市）八幡宮第一問 （掲額時期） （不明 ） （明治26年） （明治3年） （文化12年） （文化11年） （文化7年） 鉤股弦 → 二等円径 鉤股弦 → 二等円径 鉤股弦 → 二等円径＋界斜勺玄→四個の等円径
鉤，弦一股→ n個の等円径 鉤股弦 → 六個の等円径 ［出典］ ］ ］ ］ ］ ］ ］ ユリムつり らなりAAAAAA
「群馬の算額」（昭和62年刊）p．217 「近畿の算額」（平成4年刊）p．99 「近畿の算額」（平成4年刊）p．136 「山口炊山道中日記」（文化文政年間） 「算額鉤致下巻解術」（2000年復刻版刊）p．239 「群馬の算額」（昭和62年刊）p．2589 等円術1 鉤股中等円術
［A1］
（群馬県藤岡市牛田）
諏訪神社
鉤
第一問
今有如図鉤股内容隔斜等円牛只
股
云鉤三寸股四寸問等円径幾何
六厘六
答日 等円径一寸弐分 有奇
術日 立天元一為等径自之名天即
置鉤加股名地内減等径乗等径減
股因鉤余乗鉤二段寄左・禦加
地名人乗等径内減人因鉤及天乗
等径与寄左相消得開方式立方開之得等径合間
（掲額年・奉納者ともに不明）
米山忠興
90［A2］
（揖保郡太子堂町）
鵤太子堂 第四間
今有如圖方面内設斜容等圓四個只云
方面若干問等圓径幾何
答日 施是施精術如左 即
術日置試個開平方減壱個除開平方以
減壱個乗方面得等圓径合間
右 尾田佐須太郎義光 撰
明治二十六年巳第二月中旬
中 井 直 正
門 人 謹 奉
等円術1 鉤股中等円術 91
［A 3 ］
（明治十三年）レ1
§
冨
‘
上
乗之甲位列甲巾内減甲位余開テ平方得数
乙位列勾内減乙位余リ為円径口列甲位ヲ
、＼ ＼、以乙位二段ヲ除之得数加入シ勾ノ内減円
術日以勾股求弦勾股和内減弦余リ以勾ヲ
答斜 円
径至寸二分六厘八余
寸四分六四一余
両円径同寸ニシテ問斜ト及円径ヲ
庚申堂
第二間
勾三寸
股四寸
（大和郡山市）
図3 奈良県大和郡山にある算額で，鉤・股・（弦）を与えて二つの等円径と界斜を求める問題であ る．術文に解法の手掛かりらしき文があるが，よく分からない．『近畿の算額』に，すでにほと んど読みとれないとあるので，すでに文献に頼るしかない．左上の図は解法のヒントを与えるも ので，円を挟む二直線のなす角が等しいことを利用せよと示唆しているらしい．米山忠興
［A4］
山口炊山道中日記
播州龍野三社権現
第六間
只云勺三十二寸玄二百五十七寸問等
円径
答日等円径一十六寸
馳
術日置勺加玄半之乗勺開平方加勺半
之乗勺名乾開平方名坤置勺自之以減乾
余開平方加勺内減坤余得等円径合間
緒 方 義 一
文化十二年乙亥年
等円術1一鉤股中等円術一
［A5］
（石黒藤衛門信由著 文化十一年刊）
算額鉤致下巻解術 試の十一
今有如図勺股内隔斜容等円敷個
謡書鈎若干股弦差若干等円線
計若干問等円径幾何
答日依左術得等円径 郎
術日置等円線計内減一個除為開
方之乗敷○置股玄差以鈎除之得
藪如乗藪開之珊勲赫酬諸以減一
個除乗鈎得等円径合間
興 忠 山 米 94 ］
6
［A
（高崎市） 崩
蘭
八幡宮 第一問 ，打
ま
今有如図鈎股内容逐斜等円六個
は刊
庚
唯云鈎若干股若干問得等円径術 次
鞭
如何 比
閲
@
@
@股答日依術求等円径 隠
術日蜘求置弦内減股余以鈎除
ゴ
之得数立方及平方開之商以減一
鈎個余乗鈎得等円径合問
文化七年歳次庚午 冬十一月四日
上毛 小野良佐栄重門人
上州吾妻郡岩下 西山太郎衛門房†
掲額時期について一言．たとえば，ここのLA6」の「文化七年歳次庚午」は，ます1 たか ら西暦下1桁が0年． 次に，最近では2002年が「午」の年であり，その12年前の1990年は午で，しかも下1桁が0 だから「庚午」年である． 庚午は60年に1回だから1930，1870，1810，1750，……である． よって江戸時代後期「化政期」の「文化庚午年」を選び出せば，1810年である．3．鉤股中等円術（二等円）
［解1］ （鉤股弦 A CB
・等円術1一鉤股中等円術一 ［A1］～［A3］ ⇒ 界斜x ⇒ d ⇒ 等円径） 、一D 一F ’一一d D ～～一一一一 a 図7 95 図のように，△ ABCの三辺をα， b， c，等円径を2r，界斜ADをκとし， BD＝dとする． また，α＋b＋c＝2sとおく． 直角三角形だから， C2十α2＝b2 C2十〔ゴ2＝ac 2 ． ・aABD，△ADCの面積から， cd rT＝2（c＋d＋x）
c（字一丁（・寸・一鋼
これから d （c十d十x） （a－d） （x＋α一d十b） d（x十α一d十b）＝（α一の（c寸d十x） d（x＋a＋b）－d2一α（c＋x）＋ad－d2－d（c＋x） d（b＋c十2x）＝a（c十x） ．・．d＿a（c＋x） b十c十2x’96 米 山 忠 興 さらにこれを用いて，
α2（c＋x）2 22
（b＋。＋2x）・＝＝ x’－c α2（x十c）2＝（x2－c2）（b十c十2x）2 a2（x一トc）＝（x－c）｛4x2十4（b－Lc）x十（b一トc）2｝ a2x十a2c＝4x3十4（b－Fc）x2－十一（b十c）2x－4cx2－4c（b－十一c）x－c（b十c）2 4x3十4bx 2十｛（b十c）2－4c（b十c）－a2｝x－c｛（b十c）2十a2｝ ＝0 4x3十4bx2－2c（b十c）x－2bc（b十c） ＝0 2x2（x十b）－c（b十c）（x十b） ；0 （x十b）｛2x2－c（b一トc）｝ ＝ O c（b＋c） x十b≠0 ⇒ x＝ 2 このxが，［A3］奈良・庚申堂第二間の界斜である． さらに， 2bc一ト2c2 b2－F2bc－fc2十c2－b2 x＝ ＝ 4 ＠＋C）2一α2 （b＋C＋α）（b＋C一α） 4 ＝s（s－a） これは次号に示す，直角でない一般の三角形の場合に一致する． α（c＋x） a（Vli。＋，［2 x） α｛（」・＋c（b＋・）｝ d＝b＋，＋2。＝Vli（b＋，）．2后＝E（b＋。）．2，（b＋。） avz“（万十∨后一） aVEJ －vGivs］rE（v5：FE十nt） 万ltFJ α万cd c’jV57E ac
「＝・＋d・X＝。＋・万．・伍＋・）＝・π・后・・＋（b・・） 万～后 2 一α1蒜霊需一c｛（a十b－←c）一∨2c（b十c 2a（α一トb十c））｝㊧ ∴÷－1－（2c（b十c） 2c（b十e）。＋b＋，）・＝1－2（。＋b）（b＋c））（b＋。）－1ン（ cα十b）－1－～願一1ン≡⇔
㊧いずれも，αで展開し必要に応じてb2－c2＝α2を用いる．等円術1一鉤股中等円術一 97 0r ・一疏嵩三。．b．。一、s（acs－a）＋、、（注1） －s（s一α）（s－b）（s－c厄＋∫）（注・） （s－a）（s－b）（s－c） tS＋v（FiJ これも一般の場合に一致する． （注1）前ページのxの式より． （注2）ヘロンの公式より． ［奇零］ 「奇零」とは，端数あるいは余りが無いことを謂う． 2等円の場合，直角三角形の三辺と円の半径が整数になるのは，次のような数値のとき である． c α b r
；㍍ll ・一丁（1－～巨）
72 65 97 2498 米 山 忠 興 4．n個の等円に対する鉤股中等円術 ［A4］～［A6］ ここまでは鉤股内に界斜を挟んで二個の等円が内接しているときの三辺・界斜・等円径 の関係を調べてきた． それをさらに一般にn個の等円に拡張した算題も掲げられていた． ［A6］の高崎市八幡宮の第一問がその一例で，鉤股（弦）を与えて， n個の等円径を答 える問題である． 先に示した［解1］は，［A1］～［A3］のように等円が二個の場合には簡単で有効である が，一般のn個の場合には，始めからn個に拡張することを考えておかないと，うまく いかない． 以下の⑭式までの解法の道筋は『群馬の算額』pp．293（11）～290（14）による． ［解2］ 鉤股中等円術（n個の等円） （鉤股弦 ⇒ n個の等円径）
A
CB
一一blyD2
a2図8
△ABC1と・（N AC，C2の内接円を，それぞれ， Oi（R），02（r）とすると，△ABC1は直角 三角形だから，c2＋αi2 ＝・bi2．①
△ABC、の三辺と内接円に関して，c＋a1＝b，＋2i～．②
あるいは，②の代わりに△ABCIの面積からαtC＝R（ai＋bi＋c）を用いてもよい． △OID，Clじつ△CID202だから等円術1一鉤股中等円術一 99
．，≧。÷ ③
また△ACIC2に対しては，b1＋（α2一α1）＝b2＋2y．④
a2， b2は④だけに入っているから，あとで考えることにして，まずはじめは，①～③ を考える．②⇒bl－al＝c－2R
③⇒1～r＝y（αrR）
∴ R（r＋y）；al9 ①⇒c2＝（b「α1）（bi＋ai） ＝ （bl－al）（b，一α1一ト2α1） ②’ ③’ 一（・一・R）（（・一・R）・2t（；＋y））（∵②，③） 一（c－・R）（c＋2；γ） 2Rr ＝c2－2c、『～十（c－2R）・ y よってcy＝（c－2R）r ②を逆に用いてcy＝（b，－al）r つぎに，④を用いてyを消去する．⑤⑤
⑧×2⇒2（b「α1）r＝2cy＝c｛（b，－al）一（b2一α2）｝ （∵④）∴（c－2r）（b「al）＝c（b2－a2）⑥
ここまでの計算から分かるように，この⑥式は，Rの大きさにはよらない． とくに，R＝r（2つの等円）のときには，②⇒brα1＝c－2r ⑦
⑥，⑦⇒（c－2r）2＝c（b2－a2） ⑧ ．’． c－2r＝ c（ろ2－a2） ・・て・・一・一π可一・（i－・／b・：α・） ⑨ つぎに，第3の等円O，；（r）も含めて考える． ⑥はRの大きさにはよらないから，次ページ図9の△ABC，と△AC、C，の内接円に関し ても成り立つはずである．すなわち，⑥において ｛ll：1：，｛1：：1： とおきかえると， （c－2r）（b2－a2）＝c（b3一α3）．⑩ とくに△ABC2に2つの半径rの等円が入っているときには， ⑧がそのまま成り立つ．100 米 山 忠 興
A
C B 一 一一～一一一一一 a3 －一一一’一’図9
⑧，⑩⇒（c－2r）3＝c（b2－a2）（c－2r）＝c2（b3－a3） ⑪・・て・r－・（1－・b3言α3）・ ⑫
同様に，a4， b4；as， b5；a6， b6；……に対しても，これを繰り返せばよい． その結果，一般に，半径rのn個の等円に対して，次の関係が成り立つことが分かる． （c－2r）（bn＿1一αn＿1）＝c（bn－an），（c－2r）n－♂－1（ bn一α。）．⑬
∴・r－・（1－n竺）・ ⑭
等円術1一鉤股中等円術一 ［界斜］ ここで再び，奈良・庚申堂第二間で要求 A されている界斜について考えてみる． ①から C2＋ai2＝bi2 同様に C2＋a22＝b22 bl Cまた，⑦，⑧から brα1－c－2γ一cω2一α2） これらを用いて， （b「α1）ω1＋α1）一 C2
。・ B・ 一一a・1’Cl
∴ b，＋α1＝ c－2r 、一一一a2 一一’ よって 図10 C2 2bl＝（c－2r）十 c－2r C2 －C（b2一α，）＋ c（b2一α、） ＿C（b，一α，）＋C2＿C（C＋b、一α，） VE（5」、＝i；」2） ぽ c（c十b一α）2 （b2－a2） 101C2
｛c2－十2c（b－a）十（b一α）2｝ （b2－a2） （、，≒，）｛（・・…）（・・一・・）…伍・一・・）＋（・・一・・）2｝ ∴ bl＝ ＝ c｛（b2十a2）十2c十（b2一α2）｝ ＝ c（2b2十2c） c（b2＋c） 2 これは，当然のことながら，2等円の場合の界斜の式に一致する．102 米 山 忠 興
5．大円径
以上述べた，2個あるいはn個の等円径に関する算題の考察から，次の事が言えるよう である． ［命題］ 次の図のように天と地の平行線Z，mと， mに接する半径ρの大円がある． Z上の 任意の一点Aから大円に2本の接線を引くと，この大円を内接円とする三角形が描 ける．さらに，Aを通る適当な直線によって三角形を二分し，それぞれの三角形の内 接円（小円）の半径（r）を等しくすることが出来る． この小円の半径rは，点Aの位置によらずに，つねに一定である． この問題は，すでに2000年（H12年）に，兵庫県高砂神社に，算額第二間として奉納 した．詳細は次号の［三斜中等円術］に示す．等円術1一鉤股中等円術一 103
A
天104 米 山 忠 興 ［直角三角形に内接する大円の径］ 先に，下の図のように，各々の部分三角形に内接する等しい小円を考え，その半径を計 算した．そのとき，△ABCI，△ACIC，，△AC，C、に内接する半径rの小円については，① ～⑭の関係が成り立っていた． 次に，△ABC2と△AC，C3に内接する大円の半径ρ1，ρ2を，それぞれ計算する． A C B ～｛一一一一一一 ≠R－一≡一’” ”
図12
三角形の面積の関係から，匡：∴∵1早
⑥～⑬に現れる c－2r≡hとおくと， ⑦⇒b，一α1＝le ⑧⇒c（b2一α2）＝k2 ⑪⇒C2（b3－a3）＝k3また，①⇒C2＋ai2＝ゲ
同様に C2＋α22＝b22 ！・ C2＋a32－b32 これらの式から bl＝α1十ん C2＋a、2－（al＋h）2 ＝α12－十一2んα1一ト々2 c2一丘2 α1＝ 21e k2 b2＝a2十c
等円術1一鉤股中等円術一 ・・＋α22－（ k2a2十 c）2 一α22＋・三・，＋芸 ・・－gi－・…2・， CC4－le4 CL々4 α2＝＝ 2k2 c2 ＝ 2cん2 ・ ん3 b3＝α3十一T c ・・＋・、・一 i ん3α3十 2 c）2 一α32・・1；・、＋芸 2 k6 2ん3 CT－：丁＝ 2 a3 c c C2 C6一ん6 C6一ん6 α3＝ 2h3 c4 ＝ 2c2k3 ・ これらから，ρ1を求める． ＿ Cα2 ρ’・＋（b，一・、）＋2α2 c4一ん4 c2cん2 le 2 cLん4 c＋噤{22。々・ c c4－k4 c c4－k4 2 c2h2十ん4ヨーc4－々4 『 2 c2k2十c4 C4－々4 C2－le 2 － 2c（c2十k2） － 2c ’ 同様にして， ＿ c（a3－al） ρ2 （bi－ai）十（b3－a3）十2a3 ・（C6－k6 C2－k22c2ん3 2h） 々3 c6－々6 丘＋ C・＋22。・々・ CC6一ん6－C2ん2（C2一ん2） 2々3（c2々十ん3）十（c6一ん6） C（c2－k2）（〆＋C2々2＋〃4）－C2々2（。2一ん2） （＃）
2c2h4十た6一トc6－一ん6
C（C2一ん2）（C4＋允4） C2－々2 2 コ ・・@ρ！＝ρ2・ C2 iC4＋k4） 2c ’ （＃） 105106 米 山 忠 興
これが二等円に対する大円径である．
この（＃）は，一般のρnについても成り立つ． あとの［appendix 一般のρnの導出］に示す．
等円術1一鉤股中等円術一 ［一般の三角形に内接する大円の径］
A
一ρ21 r‘ 107 B Cl C2 C3 図13 さらに，一般に上の図のように，△ABC1の内接円の半径がRで，他の△AC。C。＋1（n≧1） に内接する二等円の半径がrのとき， c－2、R≡l c－2r≡le とおき，②，⑥，⑩を再度ここに書くと，｛
c－21～ ＝ bl－aI （c－2r）（bl－a1） ＝c（b2一α2） （c－2r）（b2一α2）＝c（b3一α3） だから また，／。li’i；’≡：，ぽ≡；ii
以下は，R＝rの場合とほぼ同様にして， b，＝ai十l C2＋al2－（α1＋の2 ＝al2－十一21ai十12 c2－12 α1＝ 21 α2，α3も同様にして， C4－12k2 C6－12k4 a2＝ 2clk ・ a3＝ 2c21k2108 米 山 忠 興 これから，前と同様にして， P2－ Cs？1，ag？i．lele‘，）－4，”・ （＃） が得られる．ρ3以下も同様である． このように，まずはじめに，直角三角形を分割して，半径rの小円を内接させる場合が 証明され，つぎに直角でない一般の三角形（三斜）の場合にも，R≠rのときとして証明 された． ゆえに，さきの［命題］は，一般の三角形について成り立つことが分かる． これらの等しい大円径をρとおき， 式（＃）をrについて逆に解くと，k＝c－2rだから， 2cp＝c2－（c－2r）2 （・一・r）2－c2（1一警） ∴2・一・（1一ン1－¢） となる． このことから，等円径は，大円径とその大円が外接する三角形の高さによって決まり， 外接する三角形が直角三角形であるかどうかに無関係であることが分かる． （注1） （注2） k＝c－2r＝ c（b2－a2） だから， C2－k2＿C2－C（b、一α，）＿C＋α、－b， ρ＝
@
2c － 2c － 2 この式は，直角三角形について（ρ1だけならば）， AB＋BC2＝AC2＋ 2p，から，かんたんに求めることが出来る． しかし，ρ2や直角でない三角形については，この関係が使えないので，上の ようにして，ρ2＝ρ3＝……＝ρnを示した． また上のrは，直角三角形のときは，当然ながら⑨式に一致する． 上記の計算から， （ 2r1－ c）2－（1－C） （※） これが等円径と大円径の間の関係である． さらに一般に，等円でない場合にも，2つの小円rr， r2と大円ρに対して，（※） をさらに一般化して，次の関係が成り立つことが知られている． （1＿2「i c）（仁竺）一（1一㌣） ［この関係式については，次号の三斜等円術で詳しく議論する］等円術1 鉤股中等円術一 109 ［n個の等円と大円］ ここまでは，2つの等円を含む三角形に内接する大円の場合であったが，さらに拡張し て，3等円（あるいはそれ以上の個数の等円）を含む三角形に内接する大円についても考 えてみる．
A
C B a3 Cz 図13 3等円の場合，やはりこれまでと同様に計算できる． ℃t3一号（・＋…b・）だから， c6－ le 6ca3 c2。2々・
σ’＝c＋b、一・、＋2。，＝ le・ c6－k6 c＋7＋22，・k・C C6－k6 C C6－h6 C3－le3
2 c3ん3十h6十c6一ん6 － 2 c3（c3－←ん3） － 2c2 ’ 同様に，4等円を含むときには，cLん4
τ1＝ 2c3 となる．一般に，n等円を含む鉤股弦（直角三角形）の大円の半径を㍍すると， ♂一々η 9．＝ 2♂－1 ただし，ん＝c－2rである． 逆に大円径から等円径rを求めると； 24．c”Ll＝cn－（o－2r）n （c－・・）n－cn（1－2ξ） 2ζn c－2r＝cn 1－ c ・・一・（1－・1－2ξ）・110 米 山 忠 興 ［appendix］ 一般のρnの導出 △ AC。一、C。＋1に内接する大円の半径ρnについて．（ただし， n＝1のときはC。－1＝B） ♀（bn－1＋an＋「an－1＋bn．1）－c（an・1li：1“｛・・＝ln 1） ． c（α。＋「α。．1） ”ρ・＝b，－i＋an＋「・n－1＋bn＋1’ ⑬⇒c”’1（b。－an）＝kn， んη ∴ bn－an＝ n－1． c 直角三角形だから C2＋a。2＝b。2， ・・＋an・一（・。・。：ll）2 －an・＋・。：11・。＋。ピ、 ・・一。肇，一・、：：1αn c2”－k2n ” an＝ 2cn－1丘η ・ c（α。＋1一α。．1） Pn（bn－1－・。．1）＋（bn＋「・n＋1）＋2an＋1
