九州大学学術情報リポジトリ

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Kyushu University Institutional Repository

薄板および偏平シェルの幾何学的・材料的非線形問 題の離散的近似解析に関する研究

森田, 千尋

https://doi.org/10.11501/3119167

出版情報：Kyushu University, 1996, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

3. 1

矩形板の幾何学的非線形解析

( 1

) 序

前章において， 種々の境界条件， 任意の荷重条件， 曲率および変断面性を有する 偏平シェルの曲げ解法として， 増分形の基礎微分方程式の離散解を求め， その離散 解に基つeく， 直接的， かっ， 半解析的な一離散解法を提示した。 本節においては，

離散的近似解法の実用性を検証するために ， 偏平シェルの曲率およびねじれ率を零 とした矩形板に関して幾何学的非線形解析を行い， 既往の近似解法による数値解と

の比較を行う。

数値解の比較に用いた既往の近似解法による解析結果は， いずれも， せん断変形 の影響を無視したKirchhoffの薄板理論に基つ'いている。 一方， 前章で 提示した基礎 微分方程式(2-13-a)---(2・13-m)は， せん断変形の影響を考慮したMindlin理論に 基づく ものである。 したがって， これらの両者の比較のために， 本節における数値解析に 際しては， せん断変形の影響を十分に 無視できる薄板を取り扱うこととし， 特に断 りのない限り， 板厚 hと辺長αとの比をh/a= 0.01とする。

( 2 )

基礎微分方程式とその離散解

変厚板を含む一般的な 矩形板(Fig.3・1)の 曲げに関する増分形の基礎微分方程式は， 前 章で提示した基礎微分方程式(2・13・a)---(2・13・

m)において， kx = ky = kx y = 0とおき， 鉛直 荷重qを受ける場合は， 次のようになる。

at1Nx at1Nx v �

y

Fïg.3-1 Rectangular Plate and Co-ordinate System.

x

ェ

ー

+

1

f ^{= U (3-14)}

at1Ny . at1Nx y "

�+一一一乙=^U (3・1・b)

ay ax

at1仏 at1Qy

• a2w A IlT a2w �.T � a2w

一一一 十 一一一+一.

:

t1N x +

^{v .�}

t1N

^v

+ 2 一 一 �t1Nx

ax ay ' ax 2 ^{-4' ^ .} ay 2 ^{�L' Y ， ._} ax ay

。2t1W.r

一

τーNx+ーa2t1W.っーNyT +2_a2t1w

一一一

Nxy+t1Nc + t1q = 0 (3・1・c)

ax ^1. ay 2 ^J ax ay ^-J at1u aw at1w ^{. __ 1}

IF+EIJ+A阪c=

京

^{(t1Nx・叫) (3・1・k)}

-48-

hah恥蜘叫hhh-知町 明抑制明明均均均山吋均

uu a d

i

a

i

u

U

4角川町

町助z川崎町ft笥恥lβ怖mjfl崎町βO�Jfl切開JfP.�Jt3句6mj��JgI0 0{J7mJfI 0{J7mJ.ρ0{J7mjβ句7mjfl 007mjflO �7mJgl怜1mJfP. bo7mJ tl t町7mjgJ bo7mJII0

嶋崎1β制mJft "ωm}.βa伽Jfl制mJβO�町fl�JfP.知"'Jtl�JgJ �JgI0 aωm川崎"'Jft暢"'Jβ帽，，，，jfl句"'JflO t切m)gl bo9.隅JfP.句町tl句'm]tJ bo9"'JfIO

"1伽Iβ，，)伽lρ"1O"'iβ"lOmjfl"lOm]jlO bt伽，，1btOmjfP. btOm]tJ btOm]tJ btOm)110 制耐崎町β崎町β畑山β制矧obo6infl bo6問。bo6inρbo6in� bo6聞110 匂7嗣β 0{J7inρ 句7inρ0{J7inft 1l(j7白川匂7闘がめ7問。句7111&3 bo7.，，� bo7infl0 崎町ρ制附a他聞β何蜘'ft制問βo �11I1) boallltJ.句mρbo&.� boalllglO 句刷物ゆ旬inß "ω刷物闘β0句ingl boo回。句嗣ρ陶胴� bo9."glQ

"10悶β al0回'12 "IO�β alO帥ifi "10帥βoblOingl bl0infP. b10Illg3 blOlII� blO回g10

ー ⁺ =0 (3・4)

<1Xr...j

<1X7mj

<1x伽I

<1x伽1

<1Xl伽包l

<1X6i万

<1X7in

<1X8in

<1x効

<1XlOin

(3・1・1) (3-1-m)

。L1v aW aL1w

一

+

一 一一 川町lC= 斗(L1Ny

^{• TTT 1}

-叫ん)

ay ， ay ay ^{. -.. _，}

-

_Eh

aL1u +坐旦+aw竺笠+色。生+

L1Wxy

c ^=主立v)

L1Nx y ay aX aX cJy cJy cJx ^.-.; -

Eh ^{- � J}

式(3-1-d)---(3-1サ)は， 式(2・13・d}-.(2・13サ)と同様である。

(3-2)

なお，

前章2. 6節と同様に無次元化後， 整理すると次のようにまとめられる。

.g ( _

^{cJL1Xç � cJL1Xç . � • TT}

，

Y ( FI ts-一ーと + F 2ts 一 千: ð

_{+ F3tsL1Xs}} +βニO

戸1 l

- CJ'

dη ! 式(3-4)により決定された積分定数， L1X1月= (L1 Qy)fU ， L1X

³

^Jひ= (L1Mx y)[O

^{， L1X 4/0}

⁼

(t = 1，2;・・・・・・・・.，13)

(L1My )fO， L1X 11月= (L1Nx y)fU ， L1X 12[0 ⁼ (L1Ny )1O ^， L1X 20g = (L1{1:)Og ， L1X 30g ⁼ (L1Mx y)Og ^， .，.. _{... ，・4}

、ー、ーV'-， L1X 50g ⁼ (L1M土)Og， L1X 110g ⁼ (L1Nx y)Og ， L1X 130g ⁼ (L1Nx)Og

を式(3・3)に代入することに

FIOlIl = F 10212 = F 10301 = F 1凶3=FI05倒=F10706=FI0鈎7=Fll制=Fll209 =FU310 = F20曲7=F20908

矩形板の各離散点、における断面力および変形の諸量が求められる。

F2D1l3 = F加211=F加302= F 20405 = F 20503 = F 2D回6= F21l1O = F21309 = F31凹6=μ， より，

F30311 = -JX 3，

F30ω4=v D，

F30305 =-μ民X13 -VX12)，

F3側2= F30501 =-μ，

F30304 =-μ郎12- vX 13)，

F30313 =ーμ民X5-ぽ4)

，

F30705 =γぽ)

，

=F30鈎7=

1，

F30303 = -JX 11，

F30312=ーμ戊X4-VXS)，

F30ω5= -D， F307ω- -μ'.D， ( 3 )

数値計算法

F30902 =てK，

F30ω3= -J，

面内力がたわみの影響を受けて 矩形板のたわみ量が板厚に近い大きさになると，

F31112 = 'l-Ll，

F31107 =ーμ(KX2-X7)，

F31102 =μ'K(KX 2 -X 7)，

F31∞1=-μ'K，

たわみと面内力は連 これらのことを考慮して， 次の計算

それらの面内力はたわみに影響を与えるため，

したカくって，

立させて求めなければならない。

また，

F31212 = -Ll ，

変化し，

F31306 =-刈KX2-X7)，

F312D6 =刈'/(XI-X6)，

F31302 =μ'K(KX 1 -X 6)，

f03 = t1Nc

+呼，

fJ1 =μt1Wxc，

other Fkts = ft = 0 F312Dl =μtK.(KX 1 -X 6)，

F31301 =μ'K(KX 2 -X 7) ， F31311 = -L2，

F31113 = -Ll ， F312日= 'l-Ll ，

F31307 =-刈KXI-X6)，

f12=μL1Wyc， f13 =μt1U乍yc 手順により， 矩形板の幾何学的非線形解析を行う。

その時点での既知なるデ- 次のようになる。

Nx ⁼

�

L1Nx， Ny ⁼

2:

L1Ny ，

2 3 ^守

^，

t

⁼

5 2ず

^，

三笠ーミ�

_， ^cJ2L1w _一一

^{cJ2W ミ.;}

_{竺ー ・} cJ2 L1w cJ2W _ー

か�

_cJ

2

_L1w

一 一

，ー ， 一 - ----

cJx

2

^LI _cJx

2

' cJy

2

4J cJy

2

' éJx éJyー ム cJxéJy

この既知データより， 以下のようにして， 次の第(n)街重段階における断面力および

Nxy ⁼

L

L1Nxy，

第(n・1)荷重段階の計算が終了したとすると，

いま，

タは，

前章2.

(3・3)

矩形板上の離散点に関する基礎微分方程式の半解析的な近似解であるが，

7節で明らかにされたように， 次式となるo

L1X叫偽Xんんp戸州iりj

⁼

2 (ほ( í れ 伽今 伽i川 ^Opi j

d企=1

\1戸�O g=O

I

離散解(3・3)を用いた， 矩形板の曲げ問題の解析手法について述べる。 離散 基礎微分方程式(3-2)の矩形板の縦横の等分割線の交点に関する離散解は，

解(3・3)は，

次に，

解析解が得られた場合とまったく同様に行われる。

これを用いた矩形板の解析は，

変形量を求める。

L18y

x=oおよびy=o における境界条件は，

四辺固定支持板を例にとれば，

および式(3-1・k) ---(3-1叩)の非線形項A肋c， L1Wyc， L1Wxycを計算する。

cJ2L1w ^{• >.T} éJ2L1w _ .. OT cJ2L1w L1N c ⁼ L1Nx ^v

��Y

+ L1Nv

一ーァー

+ 2L1Nr;-

一一

， cJxL. ^_， éJy 2

-

-

ノ

a冗cJy

I .... . \乙f_ .

\2

1

I

_{éJ L1 w}

r

^{. __ _ 1}

I

_{éJ L1 w}

r

éJ L1山éJL1山 L1Wxc ⁼

剖 ^一一 I

^' L1Wyc ニ 卦�l

，

L1f竹yc

^{=ー とー 竺}

ペdχf ペ cJy J ^{cJx éJy}

第(n・ 1)荷重段階までのデータ，不平衡力および非線形項を式(3-l-c)および

第(n・1)荷重段階のデータにより式(3・1・c)の不平衡力L1Nc，

(a

)

、1y.0 〆'E‘、

x =aおよびy=bなる 境界辺上の境界条件 L18y

⁼

L18x

⁼

L1w

⁼

L1v

⁼

L1u

⁼

0より得られる次の連立方程式によ り決定される。

未知なる積分定数は，

= L1 8x = L1w = L1ν= L1u ⁼ 0であるから，

する街重ーたわみ曲線を図示したもので 中央 点に関する荷

た わみ に関しては分割 数m=n = 4程度の少な い分割数でも収 中央点、に関

重一応力曲線 を図示したものである。

Fig.3・2より，

8，10をノfラメータに とり，

Fig.3・3は，

あり，

L1Qy L1Qx L1Mxy L1My L1Mx L18y L18x L1w L1v L1u L1Nxy L1Ny t1Nx

断面力および変形量，

(3-1-j)および式(3・1・f)， (3・1-g)より，

òL1w ò2 L1w ò2 L1w òy ' ax2 ' òy2

式(3-1-k)�(3-1-rn)に代入し，

を求める。

式(3-1-i)，

òt1w aχ

を求める。

(c)

。

Fig.

また，

束した解 が得られている。

および式(3・1・kト(3・1・m)の非線形項 式(3・1・c)の不平衡力L1Nc，

あらたに，

(d)

15 20

σ;xa2(l-ν2) Eh2 Fig.3-3 CODvergeDcy of Load-Str回sCurves

uDder Unifonn Load.

5 10

膜応力 および曲げ応力に関

本解析 しては 分割数m=n = 8程度でも十分な

したがって，

解が得られている。

3・3より，

L1�竹c， L1Wyc， L1Wxyc を計算する。

あるいは， 不平衡力が収束するま で行う。 収束した そのときの断面力および変形量により

Nx =

L

^{t1Nx， Ny}

⁼ L

^L1Ny

^，

^Nxy=

L

^t1Nxy

たわみ ， 以上(a)，，-，(d)の計算を，

り，

以後， 横縦方向の分割数をm=n=8とする。

板の横縦の辺長a=

b

= 10 0cm ， 板j字 ポアソン比v= 0 .3とした場合の幾何学 次に， 既往の解析結果 と比較す るために，

弾性係数E= 2.0x106kg!lcm2

，

法による数値計算では，

h = 0.2cm ，

営企 空会 ^， 号 ⁼ 2 守

ò2w _竺竺

ート

去、a2L1w_・司

ーーーーーーーーーーー一

ò2wーーーーーーーーーーー 号、ò2L1w^、

ーーーーーーーーーーーー

ò2w ー・ー �、ò2t1w^、-

òx 2 ^LJ òx 2 . òy 2 ^kJ òy 2 ' òx òy ^LJ òx òy

次の荷重段階に移る。 なお， 矩形板の非線形問題に関しては 収束判定は

Fig.3・5 的非線形解析を行った。

中央点に関する荷重ーたわみ曲線を図示したものであり，

Fig.3・4

，ま，

n-1回目の中央点のたわみをwc.n-lとすると，

を計算し，

たわみにより行い， 収束条件は，

Wm・1

-Wc，n

l

^< 10・3

は， 中央点の圧縮応力， 引張応力および膜応力に関する荷重一応力曲線を閃示した

Wc，n

_市

および ， ものであ る。 破線はWay6)によりエネルギー法を用いて得られた結果，

としている。

一線鎖線はSc hmidt U)により有限要素法を用いて得ら また，

線はKawaiら勾により，

分割数m=n=8程度でも

TOIsùm

れた結果を示しており， 本解 析法による数値解析結果は，

ザ一 助

一一一一Kawai9)

ー一一ー一一-

Way6)

一一一一-

&hmidt 12)

一一一-

^Present

15∞

10∞

500 ヌ)(x)

25∞

2α)()

一- ..

^{- - m=n=4}

一一--m=n=6 一一-一一m=n=8

-ー・ 酔ー -

^m=n=10

qa4 30∞ Dh

5ω 25∞

20∞

15∞

1α)()

本 解析法による数値解の収束性および実用

CCCC)なる境界を持つ正方形板に等分 布荷重が満載される場合の幾何学的非線 四辺固 定 ( 数値解析結果

等厚な薄板(hla= 0.01) に関 して，

性を検証するために， まず，

四辺固定板

( 4 )

[

₁

]

形解析を行った。

^{15 20}

U;xa2(1-ν2) Eh2 Fig3-S Load-Stress Curv回uoder Uniform

Lateral Load (CCCC).

-52-

。 10 1.5 -5

w

h Fig.3-4

Load-DeßectioD Curv回uoder

Unif

o

rm LateraJ Load

(CCCC).

1.0

。 0.5

w 1.5 h Fig.3-2 CODvergeocy of Load-Deßectioo

Curv回uDderUoiform Load.

1.0

。 0.5

Fig.3・2は， 増分 荷 _重L1qa4lDh

_{= 100}

-51-

のとき ， 横縦方向の分割数m= n

=

4，6，

これらの解析解とほとんど一致した曲線が

却∞「五

I ^Dh

得られている。

_ぉ∞

Fig.3・7およびFig.3-8は中央点に関する荷重一応力曲線を図示したものである。

四辺単純支持の場合は， 面内変形に対する境界条件がピン支持とローラー支持の2 種類が考えられ， それぞれの場合についての解析結果をFig.3・7， Fiほg.3-8に示し てあるo 破線はLevy

いて得られた結果でで、あり， たわみに関しては，

Levy

ηの解析結果にほぼ一致してい る。 また， 応力に関しては， 膜応力は荷重の増加に伴って比例的に増加しているの に対し 曲げ応力はあまり増加しなくなる。

[ 3 ] 対辺単純支持他対辺固定板

さらに， 対辺単純支持他対辺固定C scsc)なる境界を持つ正方形板に等分布荷重 [

² ] 四辺単純支持板

つづいて， 四辺単純支持Cssss)なる 境界を持つ正方形板に等分布荷重が満載さ れる場合の幾何学的非線形解析を行った。

Fig.3・6は， 増分荷重ilqa4jDh

⁼

100と して計算した場合の， 中央点に関する荷重

ーた わみ 曲線を図示し たも ので あり ，

MQ7Ibrane Tension

ク γ

。 タ 〆

一一一 一一一ÙIヴη PresOlt

\μ/イ

^{ー a}

-5 。 5 10 15 20 -5 ^。 5 10 15 20

σxa2(l-ν2) σx.a2(1-ν2)

Eh2 Eh2

Fig.3-7 Load-Stress Curves under Uniform Lateral Load (Pin).

pin Roller

15∞

500

1α)(} 15∞

Manbrane 30∞rd

Dh

Tension

一一一一一Berger8) I

2αm

ト

一一一一'ÙIヲη 25∞ 一一一一一一Ba-ger8)

j

一一一一-PrロOIt

J

加∞

500 10∞

。 1.0 2.0 3.0

w h Fig.3.6 Load-DeOection Curves under

Uniform Lateral Load (SSSS).

。 0.5 1.0 ^1.5 2.0 5 10 15 20

Ux.a2(1-νろ Eh2 Fig.3-10 Load-Stress Curves under Uniform

Latera1 Load (SCSC).

h Fig.3-9 Load-DeOection Curves under

Uniform Lateral Load (SCSC).

Manbrane Tension

が満載される場合の幾何学的非線形解析を行った。

Fig.3・9は， 増分荷重ilqa41Dh

⁼

100として計算した場合の， 中央点に関する術 重一たわみ曲線を図示したものであり. Fig.3・10は， 中央点に関する荷章一応力 曲線を図示したものである。 たわみに関して， 一点鎖線はBerger 8)により得られた結 果であり， 四辺単純支持の場合と同程度のずれの解析結果が得られている。 また応 力に関しては， 膜応力は荷重の増加に伴って比例的に増加して いるのに対し， 曲げ 応力はあまり増加しなくなる。

[

4]

集中荷重

次に， 板の中央点に集中荷重が作用する場合の幾何学的非線形解析を行った。 板 の中央点に集中荷重が作用する場合には，

加∞ Pa2

Fig.3-8 Load-Stress Curves under Uniform Lateral Load (Roller).

基礎式(3・1-c)のt1qをilPめ- a12)δ(y - b!2) と変更するのみで解析することができる。

Dh 25∞

20∞ ^{ーーー一一一cccc}

一一一一一-ssss

Fig.3・11は， 四辺固定および四辺単純

_15∞

支持(ピン支持)なる境界を持つ正方形板

10∞

に関して， 増分荷重ilPa21Dh

⁼

50 として 計算した場合の， 中央点に関する荷重ーた わみ曲線を図示したものである。 図中の実 線は四辺単純支持Cssss)の場合であり，

5∞ -

2.0 w一h 3.0

1.0

。

Fig.3-11 Load-DeOection Curves under a Concentrated Load.

さらに. 1回当たりの計算時間に関しても， 本解法は有限要素法と比べ て短縮され ることが示されている。

次に. Fig.3-12には， (a)図に本解析法のフローチャートを. (b)図に各部分((a) 一点鎖線は四辺固定(cccc)の場合である。

[ 5 ]

計算時間および記憶容量

電子計算機の急速な進歩に伴い， スーパーコンビュータなどが出現した今日， 計 算時間はより高速に， 記憶容量はさらに大容量になってきてお り， 個々の問題解析 における計算時間および記憶容量について言及するのは， それほど重要性があると はいえないとしづ見方があるが ， 計算時聞が短く， 記憶容量が小さくて済むことが 小・中型程度の計算機を用いる 場合に極め て重要な要素と考えられる。 そこで， 本 論文における離散的近似解法に対して， 必要となる計算時間および記憶容量の程度 を明らかにするために ， 四辺固定正方形板の場合を例にとか 在来の有限要素法と の比較を行った。 なお ， 比較に用いた 有限要素法は， Ramm位)らが用いている縮退 3次元要素を用いたプログラム(NISA80)であり， 使用した計算機は， SUNワーク ステーションのFunTU S・4/10モデル30である。

Table

3・2は ， 本解法および有限要素法において， 最終的に解かれるべき連立方

程式の元数と1回当たりの計算時間を表示したものである。 なお ， 両解法とも対称 性を考慮、して4分の1部分を対象とし， 増分荷重L1qa4/Dh= 100の 30ステップとして いる。

同表には， qa4メDh= 3000 での無次 元たわみw!hも示してあり ， 比較のために Wayめによりエネルギ一法を用いて得られた結果も示しである。 同表より， 有限要 素法では， Way 6)による解と多少離れているが， 本解法では， Way 6)による解とほぼ 一致している。 また， 本解法 では， 分割数m=n=8においては連立方程式の元数は 有限要素法 とさほど差はないが ， 分割j数m=

n =

12においては大幅に低減できる。

Table 3-1 Number of Unknown Quantities and CPU Ti me.

DAM FEM _Way6)

8 12

Division Number (^m=n) 8 12 (4elements) 。elements) (4elements) (9nodes) (9nodes) (16nodes)

Unknown Quantities 37 57 40 96

CPU Time (sec.) 0.474 1.979 1.155 2.628 5.959

w/h �伊4/Dh

= 3000) 1.552 1.569 1.488 1.493 1.498 1.567 (a)

Fig.3-12 Flow-Chart for Computer Pro gram and CPU Time.

印、

DAM : Discrete Approximate Method FEM : Finite Element Method

-55-

B

(sec.)

皿

N

V

。

-56-

m=n=12

m=n=8 m=n=12 Part ¹ 0.0015 0.0036 P訂t^II 0.3863 1.6892 P紅t皿 0.0740 0.2567 P訂tIV 0.0050 0.0103 Part V 0.0071 0.0192

P訂t

₁

Part

ⁿ

Part

^{m p紅tIV}

P紅tV

図の1 ---V)での1回当たりの計算時間の比較を示しである。

同図より， 本解析法においては， 格問伝達マトリックスを計算するpartnの部分で 計算時間の約8割を占めているが， この部分は， (a)図に示すように1ス テップ1回 の計算で済む。 このように， 本解析法は修正N ewton-Raphson法的な解法であり， 収 束回数は多くなるが， かなりの計算時間の低減にな るものと考えられる 。 しかしな がら分割数を増加させると，

Part

nの部分での計算時聞が大幅に増加するために， 全 体の計算時間はかなり増加してくる。

上記のように， 離散的近似解 法は有限要素法に比較して， 同一分割数 においての 連立点程式の元数および計算時間を低減できることが確認されたが， さ らに， 本解 法は連立積分方程式に基づいて直接的に得られる半解析的な方法である ゆえ， 入力 データを減じることができ， 特に要素分割に関するデータ作成 を直接的 に行う必要 がないなどの利点もある。

( 5

) 結語

本節においては， 前章で提示した離散的近似解法の幾何学的 非線形性 への実用a性 を検証するために， 種々の境界条件を有する矩形板の幾何学的非線形解析を行った。

得られた結果をまとめると， 次のようになる。

(1)本解析法に基づく解 析結果と ， 既往の研究結果と の比較に より， 本 解法による 数値解は一様の収束性を持つこと， また， 分割数m=n=8程度の比較的粗い分割 による解析においても実用性のある解が得られていることなどが確認された。

(2)離散解はすべての離散点においての断面力および変形の諸量を与えるため， 本 解法においては， 有限要素法や境界要素法などのようにあら かじめ変位関数を仮 定する必要がなく， また， 種々の境界条件を持つ矩形板の幾 何学的非 線形挙動を

直接的に解析することができる。

(3)解析結果より， 種々の境界条件において微小変形理論が成り立つのは w/h= 0.3 程度までであり， それ以上のたわみが生じる矩形板を解析す る場合に は， 有限変 形理論によらなければならない。

(4)応力に関し ては， 種々の境界条件において， 膜応力は荷重の増加に伴って比例

的に増加する傾向にある。 それに対して， 曲げ応力はあまり増加しなくなる。

(5)本解法においては， 有限要素法と比較し て， 同一分割数における連立方程式の 元数および計算時間を低減できることが検証された。 さらに， 計算時 間に関して は， 本解 法では伝達 マトリッ クスの格問伝達マトリックスに相当する 係数の計算 にかなり の時聞がかかるが， この計算は1ステップに1回の計算で済むという修 正N側'ton-Raphson法的な解法であり， 収束回数は多くなるが， かなりの計算時間 の低減に なるものと 考えられる。 また， 本解法は連立積分方程式に基づいて直接 的に得ら れる半解析 的な手法であるゆえ， 要素分割を直接的に行う必要がなく，

入力データを減じることが できる。

3. 2

矩形板の複合非線形解析

( 1 ) 序

前節まで は， 有限変形理論による幾何学的非線形問題に関して解析を行ったが，

矩形板の材料特性は， Hookeの法則に従う弾性体であると仮定している。 本節では，

さらに， 材 料が弾性限 度を超えひずみが弾性成分のほかに塑性成分をも含む領域の 計算， すな わち， 矩形板の弾塑性有限変形曲げ問題に対するー離散解法を提示し，

本解法の複合非線形問題への応用性を検討する。

応力が降伏条 件(本論文で は， von -Misesの降伏条件を用いる)に達し 塑性変形 が始まると， 弾性状態における応力とひずみとの聞の関係式， すなわち， Hookeの 法則が成り 立たなくな る。 したがって， 応 力増分とひずみ増分 との聞の関係式， す なわち， 弾塑性状態における増分形の構成方程式が必要となってくる。

本節では ， はじめに弾塑性状態における応力一ひずみ関係式に基づい て， 微小ひ

ずみの前提の下に， 各増分段階における応力一ひずみ関係および断面力一変形関係

においては線形関係が成立するものとして， 矩形板 の複合非線形解析のための基礎

式となる増 分形基礎微分方程式の誘導を行 い， その離散解を求める。 次に， 弾塑性

曲げ解析に おける数値計算法を示したうえで， 既往の実験結果と比較することによ

り本解法の有効性を示 し， 種々の境界を持つ矩形板の複合非線形挙動特 性を明らか

α=匂+v今 ， b =今+V4，c=(1-悦y ' d =α匂+b今+2C2y 次式で与えられる。

ax'弓，'lり は偏差応力を表わし，

庁 2ox- cs

I

�' ^2Oý-ox

山 一

3 ^{' 正予-} 3 ，'l"xy=ちy 基礎微分方程式の導入とその離散解

にする。

(2 )

有限変形での変形一ひずみ関係 [

1

]

弾塑性状態、でのモーメント一変形関係

[ 3 ] ひず

中央面のひずみ成分{de}={Aex，Aey，hxy}T 矩形板の有限変形での変形-ひずみ関係は，

み増分{.1s}={L1ら，L1今，AYxy}Tを，

4節で述べたように，

前章2 .

(3・9)

(3・10)

(3-11) まずず、，式(σ3-8的)を次式のように書き換えるo

( L11ち元勾y ^A コ ^{何 句} / ^=一 ó � ^{L 叫} 心 心

^.

[ ^{| L} [ :じ口α町州1日…1パ川巾 αa21幻1 α31 α32 一 α町旬川 ^{α句2幻 2α均23} … 1ロμ門 1 2げ川α町1 ^{α33 J 川μ|μ』勾今叶| I \L1yx y/ f}

式(3・5)を式(3・9)に代入すると，次式のようになる。

(1 ^1J I l l α1 ² α1 ³ 1 ^{A 1} 1

^J

I ll ^α12α13 ₁

U

勾= � I ^α21α22α23 1 1 ^{L\叶 +五ι} | ^α21α22α23 1 1.1 ん l

Aちy/

_...

. Lα31α32α33 J ^\L1exy}

.L -_.

L α31 U32α33 J _\L\ßx y J 次に示すモーメントと応力の関係式

叶:A句ZdZ叶(A句ZdZ. ^{.1払y= j} : ^{ω z}

モーメントと変形の関係は，次式のように与えられる。

.1Mx = ァ

¹

央 ^{- v � J_} I ⁿ (αl1L1ex + α ^{凶 の+} α ^{1 仰 xy) Zd}

^Z

+jJα11L1ßx +叫ん+ a13.1ßx ^y

^)Z

^{2 dZ}

地=古(1:αllZdZト(1:刊の+(1:α13ZdZ).1凸 +市((1:ω

弾塑性状態でのモーメント一変形関係を導く。

次に，

図心からの距離をz 曲げによるひずみ成分{AF}={APx，APy，APxy}Tに分け，

と，

次式で表わされる。

kx = ky = kx y = 0とすれば，

として，

より，

(3・5)

ò2 L\w

^{òL\ f}y òL\θU}

.1ßx v _{=・2 一一一 = V�}

^�A.

₊

^--

_{_} )'

J òxòy òy òX

{.1s} = {.1e}十Z{L1ß}

Aι òL1u +什òL1W)2 Eιγ 守 下� _{= 一一一一一一+ム吋i}

^{ÒX 2\}

一一一一一I+一一一一一一一一

^{ÒX I}

+

^{òW òχ aχ}

^{òL1w . \}

^{l l}

L1e\J _L1 eι'\J -

^J

^Ò砂y +

^....

吋 2引\ ò砂Iy I 1 一 一一一 I+一一一一一一一 ò砂� ò砂Iy ， ^I

ⁱ

ey一"

eι ' Y '\I _Aノ =一一 _òy ^+一一 _òx +一-一一一一一-+一一一一一一 _{òx òy òx òy} 一+一一一- _{òy òx I} 一一一一 l

Aιレ- - 白 手与 = 盟 ^壬 ， .1ßy = -三 年 ⁼ 竺 ^ι

òx

L.

^dX òy

L.

dy

山田明によると次 弾塑性状態での応力一ひずみ関係

弾塑性状態、での増分形の応力一ひずみ関係(平面応力場)は，

[ 2]

(3・6)

、‘‘，BEE--EBB-EE，，a，F 引VJ b 今 日明 AA A ，，，saga'EBE-EEE‘ー 寸Ill1Illi--J

内3 qJ

SS23

tA 司L円、J ed civ .

44 勾3 ddnp

cu aCU

2 3

2 1SS

F‘ 、

，噌EA 噌'A ed cd

「ill-111111111111L

-

S 、‘BEBEE--1・E，，st'f

uvd

ウー“ 「，Illi--11111J ，gtea-BEBEE--z，EEB、、 A A A h今h

，IF' 、.F

咽EAi--、 ν

nu

。

。

V

1 式のように与えられる。

(コ ^{A句 1=} _dちy/ ^ー 叶 ^{v 1}

�

^.

^{L 0}

さらに，

(3・7)

(3・8)

、‘BEEE・E・-EEaEE''

UJ

xy :

E E

V川 AA A

，，SElaE-EE--1‘1 1lei-Illit---J C C AL a b

b 司，h C

LU

S1=7戸+匂)， ^ー S2 ^{= _E_ 1・V 4 竹+ va�)， S3 = 元戸 y \ 1}

S ⁼ Slax + S2句+ ^{253ちy J}

式(3-7)を式(3・6)に代入すると，次のようになるo

(コ ^{A勾句卜」 J 1 VJ J f 一 斗1 J 2 [ v}

¹

⁰ Iμ|いA今叶叫卜 - 一 ιl判 l a め ^b

d勾ちyJ l ^{L 0} 0(1.V )y /2j {AyhxJ 1.V 2d l aC

-59- -60-

(3・15-b) (3-15・c)

ψイfijd4哨

を考慮すると， d ^下のよう 己 ^{書き表わされるo}

L1Nx = F[引lL1ex+ψ] 2L1ey +ψ13L1ex y] + Fh[Xl1L1ßx + X12L1ßy + Xl叫 ^ん y]

^(3-15-a)

同様にして， 面内力L1NyおよびL1Nxyと変形の関係は， 次式のように与えられる。

[

⁵

^{] 増分形基礎微分方程式}

多軸応力状態にある矩形板の弾塑性状態における応力とひずみの関係式に基つ'い て， 弾塑性有限変形挙動を支配する基礎微分方程式 は， 次の増分形式の変数係数の 連立偏微分方程式で-表わされる。

aL18.... 唱 一 一 一 一

エ 土 =京(仇]L1仏+仇2L1My+仇3L1仏y) _{+ が}

lL1Nx +ふ2L1Ny +ふ州�y) aL18\J唱一 一 一

可 L- =京〈ぬ1L1 +折21L1Nx+れ2L1Ny+わ3叫y) 払 +ぬ2判+仇3L1Mxy) aL18γðL18\J

¹

可三 + 五 L =手〈合]L1Mx+向2L1My+向3L1Mxy) +が31L1Nx+ふ刈+わ刈J

t? ⁼ が ^云llL1Mx +ふ2L1叫+ふ3L1Mxy) Xij =会j〉ijMZ=j:仰

を考慮すると， 以下のように書き表わされる。

L1Mx

= Fh[X11L1ex + X12L1ey + X13L1exy] + Fh 2[ゆ11L1ßx+ゆ12L1β�+ゆ13L1ßxy] F=一品7

¹

-

^{y'" (3・12-a)}

同様にして， 曲げモーメントL1MyおよびねじりモーメントL1Mxyと変形の関係は，

次式のように与えられる。

L1My = Fh[X21L1ex + X22L1ey + X23L1ex y] + Fh 2( thlL1ßx +ゆ22L1ßy+ th叫んy]

^(3・12・b)

L1Mxy= Fh[X31L1ex + X32L1ey + X33L1exy] + Fh2[Ø，31L1ßx +拘2L1βíy+偽外ßx

y] (3・12・c) 式(3・12-a)---式(3・12ーc)をまとめて記すと次式のように書き表わされる。

(1， L1Mxy L1M叫yI=Fh川 D) 払 / ^{( lじ口山 U 口} I ¹ x 幻仰 2幻1 … 1口リ川1リ巾中χ幻知1ロ2げ ^{幻 如川…} 幻31 X幻32X幻33 X X22 コ UI X知2 X幻知 1 1臼 幻 3 1 3 ^J l ^{Iリ 1} \凶L1e白xy}

^L1仏今

lい+�同'Jr2刊| ^L ゆ仇�1 拘2 仇叱1 仇伽2 仇伽3 ^{ø拘ヨ3りJ} 1川1L1�β ^{\L1ßん� y/ I}

^{(σ3子3-1問}

^3勾)

L1Ny

L1Nxy=F[拘lL1ex+拘2L1ey+拘3L1exy] + Fh[X31L1β:x + X32L1ßy + X33L1β� y] = F[仇1L1ex+仇2L1ey+仇3L1exy] + Fh[X21L1ßx + X22L1ßy + X23L1ßx y]

式(3・15・a)---式(3・15・c)をまとめて記すと， 次式のように書き表わされる。

(Uψ11 UC1

_{L1Nx y}^L1Ny _/

^I =FIψ21ψ22 物 L ψ31拘2ψ '33 ^J 1 1 L1の1+Fh

^{\L1ex y/}

I ^l [ X31 X32 X33 X21 X22 X23 …1 ^{J 1 1} \L1ß

^L1ん

1 x

^y

^{} |} [

⁴

] 弾塑性状態での面内力一変形関係

つづいて， 弾塑性状態での面内力一変形関係を導く。

次に示す面内力と応力の関係出

叫=j〉dz什〉dZルj:MZ

と式(3・10)より， 面内力と変形の関係は， 次式のように与えられる。

(3-14)

、BEEZ'a目、、Jazz-'Est­

VJ Ry Z --LPIl

l Z

L11川11

d

X F d ρlu 勾3

、llull' m

F 44

&H

=，a -h - 刊JU

d f llι

七 ilili---

Z α +

.dA h 弓 L an E h MY

! 児 仰

い 川川い

町 vm 印刷 け ‘ 必 h d iW1 4 d d α

1 U

J 町 ー + Uh z h z α '口

r t aEf'ト +

R 門 I lli-- α T

Y A - 2 h h - z -

+

e .2 』SEE - -d z AA 町lili--1 P 2

，ι +

酌 A a

+oui

-4l! + ん l l u l l u 'x

A Z

- -比

1 d 1 3 1 1 α

ー

α

1 2 1 5 2

町 h -z h ( z -

α

1 flI 1 J h -2 h ( E flid--h

UH 2

刈 H

い

ftl』l

. 1 ω v UHHパリHHγ

、 」 r v

iMJト上川Jト

N x

AU

+ μ1叫+私2L1Ny+ 仇州X・

^J

' � -

^{- J J}

^ðx 坐也-L1Wxc

^ÒX

òL1v

^{1 ，一}

^{一 一}

一一= 寸�X21L1Mx+ X22L1My + X23L1Mx y) ðy ^F布、

+ 京 ^弘lL1Nx +弘2叫+ 両州J・2竺坐W_L1肋

^J ノ òy òy

C aL1u aL1v

^{1 ，ー}

一一+一一=

^òy

aX

^F及

^{� r_} (X31 L1Mx + X32L1My + X3 3L1Mx y)

^、

さらに，

(3-16)

(3-17-f)

(3-17-g)

(3-17-h)

(3-17・k)

(3-17-1)

F31311 =-/2物3，

f12=μL1Wyc，

F31306 =-刈KX2・X7)， F31307 =

-/J{KX

l-X 6)，

F31313 =-12似1， fæ=L1Nc+L1雇， 111 =μL1Wxc，

other Fkts= ft = 0 F31305 = -I1X31 ，

F31312= -12似2，

/13 =μL1Wxyc

守 一

-:- . _{_. ，} dW dL1W dW dL1W

+

-!:< あ

lL1Nx + 拘 2t1Ny + 拘3L1Nxy)・一一一ー

一一一

-L1Wxyc (3-17・m)

F\'t':JJ.�"'A. ' ^T.J""-�'J . ，JJ

-

^�N _{dX dy dy dX}

式(3・17吋--(3・17-e)および式(3・17・i)， (3・17サ)は， 式(3-1-a) --(3・1・e)および式(3・

基礎微分方程式(3-18)の矩形板の縦横の等分割線の交点に関する離散解は， 次式と なお，

1-i)， (3-け)と同様である。

(3・19) AXpij 2

2 (ふ

^ijfdL1X初+

さ

^bpijg山g

^�

^{+ L1qpij}

d=1 \f=O g�O ，

Opijfd， bpijgd， L1qpij ^:

APPENDIX II -(A)参照

なる。

Xll X12 X13 Øllゆ12ゆ13 X21 X22 X23 Ø21 Ø22 Ø23 X31 X32 X33拘1 Ø32狗3

ψ12ψ13

仇2ψ23 拘 2 拘 3

一 仙一 一 助一 一 拘

..._ ..._に，

X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33

数値計算法

.... 、- ^.司，

、ー」ー町、ー，

( 3 ) ψ11ψ12ψ13 Xll X12 X13

拘1拘2ψ23 X21 X22 X23 拘 1 拘 2ψ'33 X31 X32 X33

一 一

ゆ13 X11 X12 X13 Ø23 X21 X22 X23 Ø33 X31 X32 X33

2

2 2

一 仇 一 命 一 拘

一 仇 一 'm 一 向

本節における解析の仮定は次の通りである。

矩形板は非硬化性材料から成る。

基礎微分方程式の離散解

[1]

[

6 ]

Mindlinの理論が成り立つ。

材料はvon- Misesの降伏条件に従う。

[仇j]， [Xij] ， [ψïj]等を 部材断面が降伏した後も，

前項の基礎微分方程式は，

[2]

(3・18) [3]

前章2. 6節と同様に無次元化後， 整理すると次のようにまとめられる。

テ[Flts也+F2洋 主 +F3tsL1X s \ _{+ ト0}

出 l

^d�

d η J

^_

(t = 1，2，・・・・・・・・・・，13)

変数係数として含む増分形の基礎方程式であるた 塑性変形状態にある各荷重段階において変数 め，

係数の計算が必要になる。 以下にその計算方法を 幾何学的非線形性に関しての数値計 示す。 なお ，

2\(ho \2 ho

/z

=

/z(x ^， y) =汁1・VL

)t' � ^一 J ^一-

12 ぺ a ^，

h

(^x ， ^{y) ，}

一

-a2W

」-

a a2W - a2W

w，xx=bー_{ÒX L} - ・， W，y Y = b--_ ， W，x y _dy乙 ^{= b一}_dxdy

^一一一 FIOll1 =FI0212 =FI0301 = FI側3= FI0504 =F10706 = F10鉛7= FllOO8 = Fll209 = F1l310 =F20蜘=F30907=

1

日(x

， y) =

会

_{1 -}

州法万r

^，

13 = h(^x，

^y)

⁼

会

_{1- J}

1d可]

³，

F201I3 =F20211 = F20302 = F204fJ5 =F20503 =F20ω7 = F20806 =F21110 = F21309 =F31∞6=μ，

F 30303 = -1J( th3X 13 +必X12+会必小 F却304= -b(仇M13 + Øz:ù( 12 + 仇Mn)， F30305 = -/3(rþll.X 13 +仇IX12+仇IXI小 F河311= 2w，xy - I 1(XJ3X 13 + X23X 12 +

ふ

^3x吋，

ん312=耳打・ I仇M13 + X72X12 +ぞM1小 ん313=

W ，x.r

-h(XIIX 13 + ふ ^IX12+ ふ ^IX11)，

F30ω=-13仇3， F30曲4=-13仇2， F30ω5 = -/3rþ11 ，

F30613 =-}坑11， F30703 = -/3伽， F 30704 = -13Øa ， F30712 = -hX22 ^， F30713 = -hX21 ， F30朗3=-/3仇3，

F30811 = -ltX33 ， ^{F30812 = -11X32， F却813=-}}

ふ

^1，

F3IJ03 = -IIXI3 ， F311倒=-/IX12，

F31112= -12軌2， F31113 =占ψ11，

F31204 = -hX22， F31205 = -/IX21 ，

F31212= -htJ，匂， F31213

=-12悦1，

F31303 = -/tX33 ，

Fig.3-13 SubdivisioD of Cross Section into Layers.

断面を細分割して数値計算 Fig.3-13に示すように，

前節と同様であるので省略する。

本論文においては，

算法については，

まず，

を行う。

その時点で の既知なるデ- 次のようになるo

q

》

^{dq 句}

�

^{A句 ちyミ{t1ちy}

一 一 一 一一 一 一 一 一 句 “何 句 “ aO 句 “ 何

この既知データより， 以下 のようにして， 次の第(n)荷重段階における変数係数 第(n・ 1)荷重段階の計算が終了したとすると，

いま，

タは，

F 30611 = -hX13 ， F30705 =占仇1，

F30加4=

-f3rfm ， F30902= -K ， F30402 = F30501 = -μ，

F30612 = -ltXIZ，

F30711 = -IIX23 ，

F30切5= -13r/131 ，

Yield stress

ζ町

[仇j]， [Xij] ， [ψ'ij]等を求める。

無次元量偏差応力 石 ， 可 ， 五 yの計算を行うo 二一11司笠 Oý\ ^{二， 11司笠} ox\ ^ゴ 1Xy

""x - 3\""'句 aol ' ""y - 3\""'句 句l' ^'X Y一句 (a)

F31105 =-}坑11，

F31304 = -11X32 ， F31102=μK(KX2-X7)，

F31111 =-hψ13，

F31初3= -hX23，

F31211 =-h悦3，

F31302 =μK(KX l-X 6)，

F31∞1=-μK，

F31107 =-刈KX2-X7)，

F31201 =μK依XI-X6)，

F317JJ6 =刈KXI-X6)，

F31301 =μ K(KXZ-X7)，

-6^4- -63-

同図において， 0印は実験 結果， 破線は鶴田ら99)の理論計算結果であり， 本解析法 による解析結果はこれらの値と良好な一致を示している。

[

²

] 四辺固定板

本解析法による， 有限変形を考慮した矩形板の弾塑性挙動を明確にするために，

まず， 四辺固定Ccccc)なる境界を持つ正方形板に等分布荷重が満載する場合の複 合非線形解析を行った。

解析に用いた矩形板は， 降伏応力句= 2500kgf/cm2 ，弾性係数 E = 2. 0

^x

1 ⁰

⁶

^kgf/ c ^m 2

^，

ポアソン比y= 0.3とし， 数値計算では， 横縦方向の分割数m=n=8， 板厚方向の

(Fig.3

-14) により実験 を行って

いる。 解析においては， 中央ノマネ ルを対象とし， 3パネルとも同じ 寸法で、同時に水圧を受けるため同 じ変形を生じ， 中央ノぐネル の周辺 ではほとんど固定に近い条件が得 られるため， 周辺の 支持 条件は四 辺固定支持とし， 横縦方向の分割 数m=n=8， 板厚方向の分割数 nz= 2 0としている。 比較に用い た試験板の材質は高張力鋼(H.T.) であり， その諸元をTable

3・2

に示す。

Fig.3-15には， H.T.-3および H.T.-6の場合の中央点に関する荷 重ーたわみ曲線を図示しである。

(b)α=句+γ弓， b ^=句+ y，句， c ⁼ (1・γ)ちy'

^{d =}

a

^{fYX +}

b oý +

^2c�

y

「α11α12α13 ^{1 í}

¹

^y

⁰

^{l I} a2 ab ac ^I

(c)

，α21α22 a23 ，

⁼

，

^y

1

⁰

ト } ! ab b2 bc !

Lα31 α32 a33 ^{J L} 0 0 (1・吟/2 J

^L

ac bc c 2 ^J (d) Simpsonの数値積分公式を用いて， 次の計算を行う。

仇叶j戸イ=44j[LLb;〉〉〉α町町仇iりj

(令例e吋) 逆行列等の計算を行う。

(り 基礎微分方程式を解く。

L1Mx ， L1My ， L1Mx yおよびA.Nx， A.Ny

^，

A.Nx ^{yの計算。}

(g)増分ひずみ成分の計算を行う。

L1ex \ I五11云12 X13仇1弘2弘3

4今\ I X21瓦22 X23弘1弘2弘3 A.exy I I X31 X32 X33拘1拘2拘3 _{一 一 ­} hL1 β

^�

^I I仇1ゆ12ゆ13 X11 X12 X13 hL1んI 1 Ø21 Ø22ぬ3 X21 X22ふ3 hA.ßx yJ L ØJ1 ØJ2偽3 X31ゐ2 X33

1 A.Ox/aO \ Iα11α12α13 1 1 _{L1ex \ α11α12α13} 1 1 _{L1ßx \}

(h) 1 A.Oý/句トペ | α21α22α23 1 1 L1今 I + ， �

^�，

1 ^α21α22α23 1 1 L1ん | { 九〆句 J ^{(1 ・ vー)句} [ _{α31α32α��} J \ L1e; )

^(1-

_v2)句 l _{α31α32α:�} J い βC) ω号= 2 4t， 号=2 4 7， 言=2 2z

以上(の，._ (i)の計算を幾何学的非線形性を考慮、しながら， 荷重増分のもとで繰り返し 計算を行う。 なお， 数値計算においては， 除荷の場合も考慮、して降伏し た断面にお

日比印刷FFF Mm比九品叫ん d A

M

A A

A

いても降伏判定を行っている。

(4 )

数値解析結果

[

¹

] 実験結果との比較

はじめに， 本解析法の妥当性を検証するために， 既往の実験結果との比較を行っ た。 比較に用いた実験は， 鶴田ら99)による水圧を受ける平板の強度実験であり， 試 験体は水圧を受ける部分が一辺900mmの正方形板で， これに下方より水圧を加えた 時300mm

x

900mmの辺長比3なる連続した3パネルとして変形するような試験装置

Specimen

Fig.3-14 T白t Se佃p.

Table 3・2 Scantling of Test Models.

Specimen E (k gf/c 1T1.、

ζXJ(kg詐，，?)

^{a x b x h} (mm)

H.T.-3 2.06xl06 4850 300 x 900 x 3.49 H.T.-6 2.24x106 4080 300 x 900 x 6.16

分割数nz= 20としている。

Fig.3・16は， 板厚hと辺長a の比h/a= 0.01とした場合の中央 点に関する荷重ーたわみ曲線 を図

^15.0

hy

m

-

c、J

MUq

辺固定正方形板においては， 塑性域は まず引張側となる境界辺の中央部上面 から拡がり， つづいて， 下面から拡が る。 この段階では， 面内力の影響は少 なく， 板の上下 面ではほぼ同じ様な塑

性域の進行図となる。 さらに塑性域は，

面内力が作用してくるため， 引張側と なる中央点下面からも拡がっていくが，

圧縮側となる中央点上面の 塑性化はか なり遅くなる。

さらに， 面内力が 弾塑性挙動にどの ような影響を与えるかを調べるために，

hAαを0.02， 0.03と変化させた場合の 複合非線形解析を行った。 Fig.3・20 は， 三種の板厚に関する荷重一たわみ 曲線であり， 有限変形を無視した場合

o /，

q〆/町一3

/-

示したものであり， ・印は初期降

伏有、. x印は全断面降伏点であるo

^10.0

同図には， 幾何学的非線形性のみ を考慮、した場合， 材料非線形性の

df o o o ρ o p

5.0

みを考慮した場合， 両非線形性を 無視した場合の解析結果も示して ある。解析結果から， 矩形板はま

^0.0

ず面内力による幾何学的非線形の

o Ex:p. (TSUTωa99う

一一一一一-

CaL (Tsuruta9吟) PresentAna加

2.5 5.0 7.5 10.0 12.5

Wc (mm) Fig.3-15 Load-Deftection Cu何回.

影響が現われ ， 有限変形を無視した場合 とほぼ同じ荷重段階において塑性化が始ま る。 その後， 微小変形理論による崩壊荷重以降はし、わゆる 塑性膜状態となり， 荷重 とたわみはほぼ比例してくる。 こ の状態は， 周辺が完全に拘束され， 面内力を支え ることができなければ実現せず， 実際の構造物においては実現し難い。 これらの挙 動は， Ohgaら到のFETM法による計算結果においても同様の傾向を示している。 全 断面が塑性すれば微小変形理論 による崩壊状態であると考えられるため ， 全断面降 伏点程度までが設計における適用範囲であるといえよう。

Fig.3・17は， 降伏開始後の代表的な荷重段階での， y = b/2上の曲げモーメン卜 Mx， 面内力Nxおよびたわみwの分布を示し たものである。 同図より， 面内力 Nx• たわみwは荷重の増加とと もに増加しているのに対し ， 曲げモーメントMxの 分布は塑性化とともに中央部分 が減少して し、く。 これは， 弾性域 を超え 塑性化した 部分はもはや外力に対して抵抗 せず， その近隣部分が増分荷重に対して抵抗するた めであると考えられる。

Fig.3・18は， 有限変形を考慮、した場合の代表的な街重段階での， 板の上面， 下 而の塑性域進行図および板中央断面での塑性域 進行 図を示したものである。 また比 較のために， 有限変形を無視した場合の塑性域の進行図を， Fig.3・19に示す。 四

nu nU 却 お

が一叫

150 200

一一一一一-

^Gw. andMatιNonlinear

-一一ー-

Geo. Nonlwar

一一一ー-

Mate. Nonlinear 一一一一Linear

1∞

./"'"' ./"'"' ./"'"'

I / ./"'"'

1 / ^../"'"'

， '/ ./"'"'

I /

:/ ./"'"'

1 / '/ ./"'"'

// ^"-::;.-./"'"'ー 一一 ー

� 一一

^ー一一ー

ーー

^{ー一一 ­}

50

。 _{0.05 0.1 0.15}

wD Fig3-16 Load-Deftection Curv回for

可2

Clamped Square Plate.

5 nM 唱A nu

叫一叫

0.0

V

の 解析解も示 しである。 同図のx，y

^-1.5

軸は， それぞれたわみ， 荷重を， 有限 変形を無視した同一寸法の板の弾性限 でのた わみ ， 荷重で除しである o h/a = 0.02 ， 0.03 では， 幾何学的非線 形の影響が現われる前に塑性化が始ま り， たわみが急激に増加してL'く。 ま た， 塑性域の進行図はh/a = 0.02のと き は， 有限変形を無視した場合と大差 なく， h/a = 0.03では， 有限変形を無 視した場合と一致している。 これらの 結果は， 岡村らmおよび馬場ら29)によ

-67-

Bending Moments M"along y=b/2

x=a

N，，0.50 N _P

O.∞

0.25

Mt:mbralle Forces N" aloll8 y=b/2 x=a x=a 0.0α)()

0.0025

0.0050 wD Mpal

-一一一一

^qa'/Mp=16.0

一一-ザ/叫=38.4

一一ー- -

^qaγ叫=25.6

一一一伊川=51.2 Deflectiolls w aloll8 y=bl2

町g3-17 TypicaJ Bending Moment， Membrane Force and DeOectioD Diagrams (CCCC).

-68-

A左 ゴA �

ぜ-38.4

型

_Mp 1

.29. 0

る 数値 ^{解と 同} 様 ^の傾 向 ^{を示 して い る。}

[ 3]

四辺単純支持板

つづいて， 四辺単純支持(SSSS) のピン支持なる境界を持つ正方形板に

等分布荷重が満載する場合の複合非線 形解析を行った。

Fig.3・21は， 板厚hと辺長αの比

h/a =

0.01と した場合の中央点に関す る荷重ーたわみ曲線を図示 したもので­

ある。矩形板 はまず面内力による幾何 学的非線形の影響が現われ， かなり面

壁土-25

_mp

.

6

仁窮T Jマ弓ww

堅二 51.2

_Mp

Upper Surface

当主 重

1ρwer Surf泌E

京子・54・4

Fig.3-18 Progressioo of Yield Regioos with Geometri四1 aod Material Noolioearity.

再三-

_mp

23. 0 界二31.0

mp

tf

・33・。

Fig.3-19 Progressioo of Yield R唱ioos with MateriaI Noolioearity.

EJ. I _J EL-Pl.

1 f

4ト

^{1 1}

I I

t s

I I

I I

3

2

一一一一-

^h/a=O.Ol

一一一一

- h/a=O.02

一一

一一一h/a=0. 03

一一一一一-

Geo. Linear

。

w

\11.

2 3 4 ⁵

Fig.3-20 Comparisoo o( Load-Deßectioo Curves with Thickness to Side Ratio (CCCC).

内力が作用 し た後， 塑性化が始まる。

その後はし、わゆる塑性膜状態となり，

荷重とたわみはほぼ比例してくる。

Fig.3・22は， 降伏開始後の代表的 な荷重段階での.

^{y =}

^{b/2上の曲げモー} メントMx• 面内力Nxおよびたわみ wの分布を 示 し たものである。 同図 より， 面内力Nx• たわみwは荷重の 増加とともに増加 しているのに対 し，

曲げモーメン トMxの分布は塑性化と ともに中央部分が減少してし、く。 これ らの結果は， 岡村ら別による数値解と

同様の傾向を示 し ている。

Fig.3・23は， 有限変形を考慮、した 場合の代 表的 ^な荷重 段階で ^の ， ^{板の 上}

面， 下面の塑性域進行図および板中央 断面での塑性域進行図を示 し たもので ある。 また比 較 ^のた め ^に， 有 ^限変 形 ^を 無視 ^{し た} 場合 の塑性 ^{域の 進行} 図 ^を ，

Fig.3・24に示す。 四辺単純支持正方 形板においては， 塑性域はまず隅角点 から拡がり， つづいて， 面内力が作用 するた め ^， 引張 ^{側 と なる} 中 ^央 点 ^下 面 ^か らも拡がり， 対角線上に進行してL、く。

しかしながら， 圧縮側となる中央点上 面の塑性化はかなり遅くなる。 有限変 形を無視した場合は， かなり塑性化が 進んだ段階でも境界辺の中央部に弾性

150 qa2 Mp ，

1∞

一一一一一-

Geo. and Mate. NOlllinear

一一一一-

Geo. NonJinear

-一

一一-MatιNon1mear

-一一一一-

^Linear

• : lnitiaJ Yieldillg x : FuJ.今Plastic 50

。 0.025 0.05 0.075

1111)

石;E

Fig.3-21 !Æad-Deßectioo Curves (or Simply Supported Square Plate (PiO).

並

^0.50

M F

0.25

O.∞

BOIding Moments Mx aJollg y=b/2 x=a

NxO.75

N _P 0.50

ー一一 一一 ・同・- ーー-ー ーー ー一一一ー一 一一一一一 ー 一ーー ー 一一 一 ーーー一

0.25

O.∞

Membrane Forces Nx along y=b/2 x=a 耳=a 0.0∞o

O.∞25

O.∞50

一一一一_ _ _ _

^qa'{，qa

^{'/，め 叫}

^=41.6=57.6

Fig.3-22 Typical Beodiog Momeot， Mem

断

^aoe

Force aod DeßectioD Diagrams (SSSS-Pio).