Imaging of radio frequency ﬁeld using potassium atomic gas）理学研究科数物系専攻長谷秀秋

(1)

カリウム原子気体を用いたラジオ波強度の空間イメージング

（ Imaging of radio frequency field using potassium atomic gas ^）

理学研究科

数物系専攻

長谷秀秋

(2)

(3)

図目次

1.1 先行研究の実験でのマイクロ波とレーザー光の時系列 . . . . 13

1.2 本研究の実験でのラジオ波とレーザー光の時系列レーザー光はラジオ波の有無にかかわらず常に原子に当てる． . . . . 13

2.1 ³⁹Kの準位構造 . . . . 16

2.2 ³⁹Kの基底状態のゼーマンシフトの様子 . . . . 17

2.3 ³⁹K基底状態の超微細構造とドップラー広がりの概念図 . . . . 19

2.4 実験で用いる状態の遷移：緑線がRabi振動を表している．赤の点線はdark stateから光による励起先が無いことを表している． . . . 22

3.1 実験のセットアップ . . . . 28

3.2 実験系の写真：中央にガラスセル，ヘルムホルツコイル，共振アンテナがある． . . . . 28

3.3 RLC共振直列回路：LとCの順番が本文中と入れ替わっているが，回路の特性は同じである．. . . . 30

3.4 共振アンテナの回路図：ループアンテナの部分からラジオ波が照射される． . . . . 32

3.5 ツイストの長さlの異なるループアンテナ . . . . 33

3.6 作製したRFアンテナ：ループアンテナの直径は左から7 mm，31 mm，52 mmとなっている． . . . . 34

3.7 ヘルムホルツコイルが作る磁場 . . . . 37

3.8 実験で用いたヘルムホルツコイルに流す電流と作られる静磁場の関係 37 3.9 シグナルジェネレーターから出力されるRFの概形 . . . . 39

3.10 図3.9のRFの立ち上がり部分を拡大した図 . . . . 39

3.11 ミキサーでパルス状にしたラジオ波 . . . . 40

3.12 RFスイッチでパルス状にしたラジオ波 . . . . 40

3.13 ガラスセルを乗せる台 . . . . 42

3.14 ヒーターに流す電流と台の温度との関係 . . . . 43

3.15 Rabi振動の一例 . . . . 44

(6)

3.16 第2項が小さいRabi振動の一例 . . . . 44

3.17 アンテナから照射されるラジオ波の空間イメージアンテナの直径は 7 mm．. . . . 45

3.18 ループアンテナの中心軸上の磁場強度：フィッティングではループアンテナの半径aは3.5 mmで固定した . . . . 46

3.19 章動周波数の空間イメージ. . . . 47

3.20 減衰の時定数の空間イメージ . . . . 47

3.21 シグナルジェネレーターの出力とRabi周波数の2乗との関係 . . . . 50

3.22 シグナルジェネレーターの出力とピックアップコイルで測ったラジオ波の振幅との関係 . . . . 50

3.23 磁場勾配による空間分解のイメージ . . . . 51

3.24 量子化軸方向にアンテナを動かしたときのRabi振動の様子 . . . . . 51

3.25 磁場勾配とRabi振動の振幅との関係 . . . . 52

4.1 静磁場の勾配とRabi振動の減衰の時定数τ₂との関係 . . . . 55

4.2 入射光の強度とRabi振動の時定数の関係 . . . . 56

4.3 ^{ビーム径と}Rabi^{振動の時定数の関係} . . . . 57

4.4 ^{ガラスセルの温度と}Rabi^{振動の時定数の関係} . . . . 58

4.5 ループアンテナの直径とRabi振動の減衰の時定数τ₂ との関係 . . . 59

4.6 直径7 mmのループアンテナによるRabi振動の様子 . . . . 59

A.1 ガラスセルを乗せる台の設計図 . . . . 65

B.1 金属剥がし器の設計図1 . . . . 68

B.2 金属剥がし器の設計図2：2つの部品は左右対称の関係になっている．どちらも厚さは6 mm． . . . . 68

B.3 ^{金属剥がし器} . . . . 69

B.4 金属を剥がしたガラスセル：金属が一部分だけに集まっている . . . 69

C.1 リボンヒーターを両端に巻いたガラスセル . . . . 72

C.2 飽和吸収分光で得たカリウムのD1線の吸収スペクトル(青線) 黄線はIFLDのピエゾ素子にかけている電圧，緑線は飽和吸収分光をしなかった場合の光の吸収を表す．緑線では吸収スペクトルのドップラー広がりが表れている．. . . . 73

(7)

表目次

1.1 主なアルカリ原子の超微細構造準位間隔 . . . . 11

3.1 ループアンテナのツイストの長さと回路の共鳴周波数の関係. . . . . 32

3.2 作製した共振回路のループアンテナの直径とC2，ω0の値 . . . . 35

4.1 本研究と先行研究[6]との実験系の比較 . . . . 61

(8)

(9)

第 1 ^章

序論

1.1 ^{電磁波の強度測定}

アンテナに交流電流を流すと電磁波は容易に照射できる．しかし，アンテナから照射された電磁波の絶対強度やその空間分布については容易には分からない．そこで，自作したアンテナから照射される電磁波の絶対強度を測り，それが空間的にどのように広がっているのかを調べてみようと思い本研究に取り組むことにした．

電磁波(^振動磁場)の検出や強度の測定は様々な方法で行われている．なかでも導線で作成したピックアップコイルを用いた方法は一般的でかつ容易に行える．ピックアップコイルを空間中に置いたときにそのピックアップコイルに電流が流れれば，

その場所に電磁波が存在していることが分かる．しかし電磁波の強度の空間分布のイメージングを行う場合にピックアップコイルを用いるのは不向きである．なぜなら，ピックアップコイルの場合イメージの空間解像度はコイルの径の大きさで決まるが，コイルの径を小さくしても数mm程度の大きさは残ってしまい，空間解像度の限界があるためである．また，検出した電磁波の絶対強度を求めるにはピックアップコイル自身のインダクタンスを求める等の作業が必要となる．

ピックアップコイルの代わりに超伝導体を含んだSQUID(superconducting quan- tum interference device, 超伝導量子干渉計)[1]と呼ばれる微小回路を用いた方法も存在する．この方法はピックアップコイルの場合と同様に回路中に生じる電流で電磁波を測定する．SQUID で測定できる電磁波の周波数限界は微小回路中のアンプの帯域で決まる．この方法での電磁波の測定感度はピックアップコイルよりも良く，

典型的な検出感度は470 pT/√

Hzである．

上記のピックアップコイルや超伝導体で空間中の電磁波を電流で検出する方法とは別に，気体の原子を用いて電磁波を測定する方法もある．気体の原子を使う測定はレーザー光が原子を通過する前後での偏光の変化を調べる方法や原子の状態の時間変化を観測する方法が報告されている．どちらの方法でも原子にはアルカリ原子が用いられる．

(10)

レーザー光の偏光の変化を読み取る方法[2]は非常に高い精度で電磁波の強度を測定できる．典型的な検出感度は2 fT/√

Hzである．しかしこの方法は高圧のバッファーガスや高温の環境等が必要となり実験装置を用意が大変である．

原子の状態の時間変化を観測する方法には，冷却原子を用いる方法[3, 4]とガラスセルに封入された常温の原子を用いる方法[5, 6, 7, 8]がある．測定は原子の基底状態の超微細構造準位間で起こるRabi振動と呼ばれる遷移をレーザー光で観測して行われる．この方法は空間解像度の高いイメージングの作成に非常に適している．空間解像度はイメージングの解像度で決まり，電磁波の絶対強度は物理定数のみを用いて容易に計算ができる．冷却原子を用いた方法は，ドップラー効果の影響を除去できるため，電磁波の強度を高精度・高分解能で測定できるが，大掛かりな装置等が必要となる．また，空間イメージを作成するには冷却原子を電磁波を測定したい場所に移動させる作業が必要になり時間がかかる．対してガラスセルに封入された原子気体を使うと，常温付近の実験室の環境で磁場測定を行えるうえに空間イメージの作成で原子を移動させる必要もない．ガラスセル内の原子を使う場合は冷却原子を用いた方法と比べると精度は落ちるものの，大掛かりな装置等が必要ないので比較的手軽に測定ができる．ただし，ガラスセル内には測定に用いるアルカリ原子と共に測定のコヒーレンスタイムを伸ばすためにバッファーガスも封入しておく必要がある．バッファーガスが無いとコヒーレンスタイムが確保されず，測定ができない．

バッファーガスには希ガスや窒素等の不活性ガスが用いられる．典型的な検出感度は冷却原子を使う方法では77 pT/√

Hz，常温の原子を使う方法では12 nT/√ Hzである．

1.2 ^{本研究の目的}

前節で述べたような常温の原子を用いた電磁波の強度測定や空間イメージの作成は，ルビジウムやセシウムを用いた研究が既に報告されている[5, 9]．ルビジウムやセシウムを使った場合はマイクロ波(数 GHzの電磁波)の強度を測れる．本研究では，ルビジウムやセシウムと同じくアルカリ原子の一種であるカリウムの原子気体を用いてラジオ波(数100 MHzの電磁波，RF(Radio Frequency))の強度測定とそのイメージングを目指した．

原子気体を用いた電磁波の測定では，原子の基底状態の超微細構造準位間のRabi 振動を観測する．測定できる電磁波の周波数は超微細構造準位の間隔で決まる．表 1.1に主なアルカリ原子の超微細構造準位間隔を示す．

(11)

表1.1: 主なアルカリ原子の超微細構造準位間隔

原子の種類超微細構造準位間隔[GHz] 文献

6Li 0.2282 [10]

39K 0.4617 [11]

87Rb 6.835 [12]

133Cs 9.193 [13]

ルビジウムやセシウムの超微細構造準位間隔がマイクロ波領域の大きさなのに対し，リチウムとカリウムは1桁小さいラジオ波領域の大きさである．リチウムはカリウムよりもさらに狭い超微細構造間隔を持つ．

リチウムを使う場合はカリウムを使う場合よりも実験が大変になる．表1.1 に挙げた原子はいずれも標準状態では固体であり，実験中は原子を気化させるためにガラスセルごと加熱する．1気圧下でのリチウムの融点は180.54 ℃で，カリウムの

63.65 ℃やルビジウムの38.89 ℃と比べると非常に高い[14]．そのため他の原子で

実験をするときには高々100 ℃あれば事足りるのに対して，リチウムで実験をするには200 ℃前後の非常に高い温度にしなければならない．

原子の種類の違いによって生じる差は測定できる電磁波の周波数の違いや実験系の温度だけではない．Rabi振動は超微細構造の2つの状態のうちどちらか一方の状態の原子のみを光の吸収で観測する．常温付近の気体原子は空間中を飛び回り，数 GHzのドップラー広がりを持つ．ルビジウムやセシウムでは

(^{超微細構造間隔})>(^{ドップラー広がり})

なので超微細構造の2つの準位は光で明確に区別できたが，カリウムではこの大小関係が逆転して

(^{超微細構造間隔})<(^{ドップラー広がり})

となるため2つの状態を光で区別できなくなる．そのため，ルビジウムやセシウムと同じ実験方法ではカリウムのRabi振動を観測することはできない．この課題を解決する方法については第2章で述べる．

1.3 先行研究と本研究の比較

ルビジウムを用いた先行研究[5, 6, 7, 8]について紹介する．4つの文献について紹介するが，これらの文献はいずれもP. Treutleinらのグループのものである．

ルビジウムの超微細構造間隔は前述の通り6.8 GHzで，測定された周波数は2.3 GHzから26.4 GHz[8]，イメージの空間解像度は最小で縦横奥行き方向に50×50×

(12)

140 µm³[7]，イメージの領域の広さは広いもので6×10mm²程度のものが報告されている[5]．ガラスセル中のバッファーガスの種類と圧力には実験によってさまざまなものが使用されており，例えばネオン10 mbar[5]，窒素63 mbar[6, 8]，クリプトンと窒素を3:1の割合で合計100 mbar[7]などが使用されている．マイクロ波源にはマイクロ波が一様なcavity[6] と非一様なマイクロ波集積回路[5, 7]を用いた研究が報告されている．

本研究ではルビジウム原子ではなくカリウム原子を用いてラジオ波について同様の測定を目指す．しかし，本研究は原子の種類や電磁波の周波数だけでなく，Rabi 振動を観測するシステムも先行研究と違っている．先行研究ではRabi振動を観測する光にはパルス光を用いている．はじめpump光を原子に当てておきマイクロ波を照射すると同時に光を切る．それから時間dt後にパルスのprobe光を入射して光の吸収量を測る(図1.1)．この測定をdtの大きさを変えながら何回も繰り返し，パルス光の吸光度をつなぎ合わせてRabi振動の様子を得ていた．また，イメージングはCCDカメラを使って作成している．対して本研究では光は常に原子に当てておき，Rabi振動の様子を1回で観測する(図1.2)．光の検出にはフォトダイオードを用いる．ラジオ波源にはループアンテナを用い，イメージはラジオ波を照射するアンテナを動かす場合と光の通過する場所を動かす場合の2パターンで，空間解像度は1×1 mm² で作成した．バッファーガスとしてネオンを用い，その圧力20 Torr

と100 Torrが封入されたものを用意した．

1.4 ^{本論文の構成}

本論文は以下の構成となっている．

• 第1章ではいくつかの電磁波の測定方法と原子気体を用いた先行研究について述べた．

• 第2章では本研究の背景となる理論について述べる．

• 第3章で実験装置や実験の方法および実験の結果について紹介する．

• 第4章では，Rabi振動の減衰について議論する．

• 第5章では本研究のまとめと今後の展望を述べる．

磁束密度Bの単位について

本論文中に出てくる「磁場」という言葉は磁束密度B のことを指す．また磁束密度の単位にはG(^ガウス)^やmG(^{ミリガウス})^{等を用いる．}SI^{単位系での磁束密度の} 単位T(テスラ)とGには次の関係がある．

1T= 10⁴ G (1.1)

(13)

図1.1: 先行研究の実験でのマイクロ波とレーザー光の時系列

図1.2: 本研究の実験でのラジオ波とレーザー光の時系列レーザー光はラジオ波の有無にかかわらず常に原子に当てる．

(14)

(15)

第 2 ^章

理論的背景

この章では，本研究の理論的背景について説明をする．

2.1 ^{カリウム原子}

この節ではまずカリウム原子のエネルギー構造について説明する．次に，カリウム原子のドップラー広がりと拡散について説明と計算をし，ルビジウムやセシウム原子との状況の違いについて述べる．

2.1.1 エネルギー準位

カリウムには³⁹Kと⁴¹Kの2つの安定同位体が存在する．また⁴⁰Kは放射性同位体ではあるものの，その半減期が1.248×10⁹年と非常に長いため自然界に存在する [15]^．³⁹K^，⁴⁰K^，⁴¹Kの自然界での存在比はそれぞれ93.26%^，0.01%^，6.73%^である [11]．本研究で用いたカリウムも自然界と同じ同位体の存在比でガラスセル中に封入されている．本研究ではガラスセル中にある⁴⁰Kと⁴¹Kの存在は無視し，³⁹Kのみを用いてラジオ波の強度を測る．以下でも³⁹Kに絞って説明をする．

39Kは核スピンI = 3/2を持ち，電子の全角運動量J =L+S (L：電子の軌道角運動量，S = 1/2：電子スピン)との角運動量の合成による超微細構造を持つ．図2.1 に³⁹Kの準位構造を示す．F は全角運動量でF =I+Jである．

基底状態²S_1/2にはF = 1とF = 2の超微細構造があり，そのエネルギー間隔は

461.7 MHzである．実験ではこの2準位間で起こる Rabi振動を観測する．F = 2

からF = 1への自然放出のレートは，Rabi振動の周期と比べて十分に長いため無視できる．原子に静磁場を印加すると，各状態ごとにエネルギーがゼーマンシフトし，

2つの状態のエネルギー間隔もシフトする．

静磁場の大きさとゼーマンシフトの大きさを結び付けるものとして，Breit-Rabi

(16)

2

𝑆

1 2 2

𝑃

3 2

2

𝑃

1 2

𝐹^′ = 0, 1, 2, 3 -2 -1 0 1 2

𝑚_𝐹 =

766.701 nm (D2線)

770.108 nm (D1線)

𝐹^′ = 2

𝐹 = 2

𝐹 = 1 3

-3

𝐹^′ = 1

-2 -1 0 1 2

𝑚_𝐹 = -3 3

461.7 MHz

図2.1: ³⁹Kの準位構造

(17)

図2.2: ³⁹Kの基底状態のゼーマンシフトの様子

の式がある[16]．基底状態(L= 0)のBreit-Rabiの式は次のように書ける．

E^hf(B) = −ℏa^hf

4 +gIµBmFB ±ℏa^hf(I+¹₂)

2 (1 + 4m_Fx

2I+ 1 +x²)¹². (2.1) x= (gJ −gI)µB

a^hf(I+¹₂) B. (2.2)

ここでa^hf = 230.86M Hzは超微細構造の大きさの係数，µ_B = 9.2740×10⁻²⁴ J/T はボーア磁子，I = 3/2は核スピン，g_j = 2.0023とg_I =−1.4193×10⁻⁴ はそれぞれ電子と原子核のg因子を表す．式中の符号はF =I±J(= I±S)の符号に対応する．図2.2に ³⁹Kの基底状態のゼーマンシフトの様子を示す．静磁場がゼロのときは上にF = 2の5つの状態，下にF = 1の3つの状態が存在するが，静磁場が大きくなるにつれて|2,−2⟩のエネルギーが下がって上下ともに状態は4つずつになる．

基底状態から光を吸収して遷移する励起状態には，770.108 nmのD1線を吸収する²P_1/2と，766.701 nmのD2 線を吸収する²P_3/2の微細構造がある．²P_3/2には F = 3の超微細構造があるのでm_F =±3の状態が存在するが，²P_1/2にはm_F = 3 の状態は存在しない．

(18)

2.1.2 ^{ドップラー広がり}

気体の原子は速度を持って空間を飛びまわる．このときの原子の速度分布はマクスウェル分布に従う．原子が角周波数ωの光と同じ向きに飛んでいるとき，原子の速度をvすると原子の感じる光の角周波数は

ω^′ =ω(1− v

c) (2.3)

である．ここでcは光速度を表す．v = 0でωの光を吸収する原子が速度v(̸= 0)で飛んでいるときにはω^′ ^{の光を吸収する}(^{ドップラー効果})^．

次に ³⁹Kのドップラー広がりの大きさを求める[17]．気体原子の最大確率速度は次の式で求まる．

u= 2230m/s ×

√ T 300 K

1a.m.u.

M . (2.4)

ここでT は原子の温度であり，本研究ではT = 373K程度である．a.m.u.はatomic

mass unitsの略で，M は原子の質量数を表す．M = 39を代入すると，

u= 398 m/s (2.5)

となる．気体原子のドップラー広がりは，このuの値を用いて

∆ω = 2√ ln 2u

c ×ω (2.6)

という式で求まる．式(2.5)とω = 2π_λ^c，λ = 770.108 nm を代入すると，³⁹Kのドップラー広がりは

∆ω = 5.41GHz (2.7)

と求まる．この広がりはカリウムの超微細構造準位の間隔461.7 MHzよりも大きい．そのためF = 1,2のどちらかの状態のみを光で観測しようとしても，もう一方の状態の原子も同時に光を吸収してしまう(図2.3)．この問題はレーザーを改良して光の線幅をどれだけ狭くしても解決しない．ルビジウムやセシウムは基底状態の超微細構造準位の間隔が原子のドップラー広がりよりも広いので，2つの状態を光の周波数で区別できた．

2.1.3 平均自由行程と拡散係数

ガラスセル内にはカリウム原子とともにバッファーガスも封入する．バッファーガスにはカリウム原子の動きを制限する役割がある．先行研究[5]を参考にして，本研究ではバッファーガスにネオンを用いその圧力が20 Torrと100 Torrの物を用意

(19)

𝐹 = 2

𝐹 = 1

461.7 MHz 原子の速度の広がり

2𝑆

1 2

図2.3: ³⁹K基底状態の超微細構造とドップラー広がりの概念図

した．このガラスセルを製造した業者によると圧力の誤差は1 Torr 以下である．実験では主に100 Torrのものを使った．

気体原子の平均自由行程lは次の式で求まる．

l = RT

√2N_Aπd²p. (2.8)

R^{は気体定数}8.31J/(K·mol)^，T ^は温度，NAはアボガドロ定数6.02×10²³ /mol^， dは原子の半径，pは圧力を表す．実験系の温度T = 373 K，カリウムの原子半径 d = 227 pm[18]，ガラスセル中のバッファーガスの圧力p = 100 Torr(=13332 Pa) を代入すると，実験中のカリウムの平均自由行程は

l = 1.69µm (2.9)

と求まる．

(20)

原子の拡散係数Dは次の式で求まる．

D= p₀

pD₀. (2.10)

p₀は大気圧(1013 hPa)，D₀ は原子の種類で決まる値である．ネオン中のカリウム

についてのD₀ の値が不明なので，ネオン中のルビジウムD₀ = 0.31 cm²/s[5]を用いると，

D= 0.041 cm²/s (2.11)

と求まる．これはルビジウムの拡散係数だが，カリウムの拡散係数もルビジウムのものと同じオーダーの値のはずである．

この拡散係数を用いると，レーザー光で原子の状態を観測できる時間(コヒーレンスタイム)が求まる．レーザー光の断面積の大きさ (ビーム径)を∆x = 1 mmとすると，コヒーレンスタイムは

∆t= ∆x² 2D

= 0.12 s (2.12)

と求まる．Rabi振動の周期は遅い場合で10 µsのオーダーなので，この時間は十分に長い．

ガラスセル内にバッファーガスが封入されていない場合のコヒーレンスタイムは，

原子の速度に式(2.5)を用いると

∆t = ∆x u

= 2.51µs (2.13)

と求まる．このコヒーレンスタイムはRabi 振動の周期と比べて小さいので，バッファーガスが無い場合はRabi振動の観測ができない．

2.2 ^実験方法

ここでは具体的な実験の方法について説明する．特にドップラー広がりの影響の除去について述べる．

ドップラー広がりの問題は，光の偏光を利用することで解決する．カリウム原子には通常よく用いられるD2線(波長767.701 nm)ではなくD1線(波長770.108 nm) の光を円偏光σ_±にして当てる．光が直線偏光の場合ではドップラー広がりの影響を受けてRabi振動の観測ができないが，円偏光を用いることでドップラー広がりの影響を無視することができるようになる．

(21)

σ_±偏光のD1線の光をカリウム原子当てると，基底状態²S_1/2にある原子はF = 1 と2のどちらの状態も，光を吸収すると∆m_F = ±1という変化をしながら ²P_1/2 に励起される．²P_1/2 にある原子は自然放出により²S_1/2 に減衰する．このサイクルを繰り返すと，最終的には²S_1/2の|2,±2⟩の状態に集まる．このように光を使って原子の状態を制御することを光ポンピングあるいは単にポンピングと呼ぶ．²P_1/2 にはm_F′ = ±3という準位が存在しないため，|2,±2⟩^はσ_±偏光の770.108 nm の光を吸収しない状態である．このような状態をdark stateと呼ぶ．|2,±2⟩^状態の原子にラジオ波を照射すると，|1,±1⟩^{状態との間で}Rabi振動を起こす．|1,±1⟩^は dark stateではないので光を吸収する．よって|1,±1⟩状態の原子は光を吸収するが

|2,±2⟩状態の原子は光を吸収しないので，ドップラー広がりの影響を無視して2つの状態を区別できる．もし光がD2線だと，遷移先の ²P_3/2にはm_F =±3の状態が存在するため|2,±2⟩^{は光を吸収できて}dark stateにはならず，|1,±1⟩^と|2,±2⟩^との状態の区別はできないままである．

|2,±2⟩の状態にポンピングされた原子に，|1,±1⟩^と|2,±2⟩^{との準位間隔に等し} い周波数のラジオ波を照射すると，この2^準位間でRabi^{振動が起こる．光は}|1,±1⟩ 状態の原子にだけ吸収されるので，光の吸収量の時間変化がRabi振動として観測される．2準位のエネルギー間隔は静磁場によるゼーマン分裂で制御できるので，測定できるラジオ波の周波数は可変である．

|2,±2⟩^から|1,±1⟩への自然放出のレートはRabi振動の速さと比べて十分遅い．

2.3 Rabi^振動

本研究ではカリウム原子のエネルギー準位間のRabi振動を観測することによって，ラジオ波の強度を決定する．そのためにまず，2準位モデルを導入しRabi振動という現象を導く．続いてRabi振動の周波数(Rabi周波数)とラジオ波の強度との関係について導出する．

2.3.1 2^{準位モデル}

Rabi振動を導出するには，2準位モデルを用いる[17, 19]．時間に依存するシュレディンガー方程式は

iℏ∂

∂t|Ψ(t)⟩= ˆH|Ψ(t)⟩. (2.14) ハミルトニアンを，時間に依存しない非摂動部分と時間に依存する摂動部分(相互作用ハミルトニアン)との2つに分けて，

Hˆ = ˆH0 + ˆHI(t) (2.15)

(22)

2 𝑆

1 2 2 𝑃

1 2

-2 -1 0 1 2 𝑚

_𝐹

=

dark state

図2.4: 実験で用いる状態の遷移：緑線がRabi振動を表している．

赤の点線はdark stateから光による励起先が無いことを表している．

(23)

と書く．考える系は2準位から成り立つ(2準位モデル)とし，Hˆ₀ についての固有値問題は既に解けていて

Hˆ₀|1⟩=E₁|1⟩ (2.16)

Hˆ₀|2⟩=E₁|2⟩ (2.17)

を満たすとする．ここで， |1⟩^，|2⟩ はそれぞれ基底状態と励起状態の固有状態，

E1 = ℏω1，E2 = ℏω2 はそれらの固有エネルギーを表す．実験で考えるカリウムの超微細構造では |1⟩ = |1,±1⟩^，|2⟩ = |2,±2⟩ に当たる．超微細構造準位間の遷移は磁気双極子遷移によって起きる．磁気モーメント µ を持つ原子にラジオ波 B =B₀cos(ωt)が作用したときの相互作用ハミルトニアンは

Hˆ_I =−µ·B₀cos(ωt) (2.18) と書ける．状態ベクトル|Ψ(t)⟩^の形を

|Ψ(t)⟩=c₁(t)e⁻^iω¹^t|1⟩+c₂(t)e⁻^iω²^t|2⟩ (2.19) と仮定し，この状態ベクトルをシュレディンガー方程式(2.14)に代入すると

ic˙₁|1⟩e⁻^iω¹^t+ic˙₂|2⟩e⁻^iω²^t=−µB₀

ℏ cos(ωt)(c₁|1⟩e⁻^iω¹^t+c₂|2⟩e⁻^iω²^t) (2.20) となる．この式に左から⟨1|^，⟨2|^{をかけると，それぞれ}

˙

c₁(t) = −ic₂(e^i(ω⁻^ω⁰^)t+e⁻^i(ω+ω⁰^)t)Ω_R

2 (2.21)

˙

c2(t) = −ic1(e^i(ω+ω⁰^)t+e⁻^i(ω⁻^ω⁰^)t)Ω_R

2 (2.22)

となる．ここでω₀ =ω₂−ω₁ である．Rabi周波数Ω_Rは Ω_R= ⟨1| −µ·B₀|2⟩

ℏ = ⟨2| −µ·B₀|1⟩

ℏ (2.23)

で定義される．角周波数ω+ω₀を含む振動の項は，原子とラジオ波の相互作用する時間スケールと比べると非常に早いので，時間平均でみてゼロと近似できる(回転波近似)．ω−ω₀ =δとおくと，

˙

c₁(t) =−ie^iδtΩR

2 c₂(t) (2.24)

˙

c₂(t) =−ie⁻^iδtΩ_R

2 c₁(t) (2.25)

(24)

この2つの式を組み合わせると，

¨

c₁(t)−iδc˙₁+ (ΩR

2 )²c₁ = 0 (2.26)

¨

c₂(t) +iδc˙₂+ (Ω_R

2 )²c₂ = 0 (2.27)

という c₁，c₂ についての 2 階の微分方程式になる．初期条件として c₁(0) = 0， c₂(0) = 1を課して解くと，

c₁(t) =ieⁱ^δ²^tΩR

W sin(W

2 t) (2.28)

c2(t) = e⁻ⁱ^δ²^t[ cos(W

2 t) +i δ

W sin(W 2 t)]

(2.29) となる．ここで，

W =

√

Ω²_R+δ² (2.30)

を章動周波数という．原子が各状態をとる確率は式(2.28)^，(2.29)^{の絶対値の}2^乗なので，

|c₁(t)|² = Ω²_R

W² sin²(W

2 t) (2.31)

|c₂(t)|² = cos²(W

2 t) + δ²

W² sin²(W

2 t) (2.32)

となる．実験では|c₁(t)|² の時間変化を観測することになる．

実験で得られるRabi振動は時間とともに減衰をする．上で導出したRabi^振動の式には減衰が含まれていない．実験で得られる減衰を含んだRabi ^{振動の式は以下} のように表される[6]．この式は原子の状態の確率ではなく実験で得られた信号をフィッティングするための式になっている．

f(t) = a−be⁻^τ^t¹ +ce⁻^τ^t² sin(W t+ϕ) (2.33) τ1,τ2 は減衰の時定数を表す．式(2.33)^の右辺第2^{項の減衰は，}Rabi^{振動を考えて} いる2準位以外の状態へ遷移することによる原子数の減衰である．右辺第3項の減衰は，Rabi振動の振幅が時間的に小さくなることを表しており，これはスピンの情報が破壊されたりすることによって起こる減衰である．