アルカリ原子の光会合の研究

アルカリ原子の光会合の研究

指導教員  井上 慎 准教授

平成

25

2

東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻

37116525

第1章 イントロダクション 3

1.1

. . . . 3

1.2

. . . . 4

1.3

. . . . 4

第2章 理論的背景 6

2.1

. . . . 6

2.1.1

. . . . 6

2.1.2

. . . . 7

2.2

. . . . 10

2.2.1

. . . . 10

2.2.2 LeRoy-Bernstein

. . . . 15

2.2.3

. . . . 18

第3章 冷却原子集団への光会合 21

3.1 Rb

. . . . 22

3.2

. . . . 24

3.2.1

. . . . 24

3.2.2

. . . . 26

3.2.3

Rb

(

P

)0

PA

. . . . 27

3.2.4

LeRoy-Bernstein

. . . . 30

3.2.5

. . . . 32

第4章 PA用光源の中心周波数安定化 35

4.1

. . . . 35

4.2 ECDL . . . . 38

4.3 Transfer cavity . . . . 40

4.4 Rb

. . . . 41

4.4.1

. . . . 42

4.4.2 FM

. . . . 43

4.4.3 Modulation transfer

. . . . 46

第5章 まとめと今後の展望 49

付録Ｂ 

ECDL

. . . . 56

PD(

) . . . . 57

. . . . 61

参考文献 65

謝辞 68

1.1

原子気体の研究では

,

1980

,

[1]

 例えばボーズ粒子は

,

,

1920

,

,

(BEC)

,

1995

Li[2],

N a[3],

Rb[4]

BEC

, 1997

[5][6][7], 2001

BEC

BEC

,

[8], [36]

,

,

,

,

,

,

1999

JIRA

K

,

(

)

[9]

,

BEC

(BCS-BEC crossover)

[10][11],

 冷却原子を用いた実験によって様々な成果が得られる中

,

,

K

Rb

41

K

Rb

R

,

( ∼ 1/R

)

,

( ∼ 1/R

)

,

,

[31], [32]

,

,

,

,

,

JILA

,

K

87

Rb

,

Feshbach

(STIRAP)

合わせた手法

[33], [34]

,

K

Rb

K

Rb

STIRAP

,

Feshbach

,

Feshbach

binding energy

Feshbach

,

, Feshbach

,

,

,

(

)

,

Rb

K

,

Mott

[35]

,

,

,

,

, Mott

shell

(

3.1)

,

,

,

Rb

,

K

,

K

Rb

,

,

1.2

以上の点を踏まえ

,

Rb

K

,

, KRb

,

BEC

から

Feshbach

,

BEC

,

子としてロードされる効率」と「⁸⁷

Rb

K

Feshbach

,

1.3

•

,

,

binding energy

, WKB

ReLoy-Bernstein

,

Rb

,

•

Rb

,

,

ReLoy-Bernstein

binding energy

,

•

PA

•

2.1

分子は原子よりも多くの内部自由度を持ち

,

,

Hund’s case

, WKB

LeRoy-Bernstein

,

図 2.1 (a)二原子分子の振動運動及び(b)回転運動の模式図  原子核の運動に着目すれば,原 子は並進運動のみだったのに対して, 分子には振動と回転が新たに加わる。

2.1.1

原子の会合によってできた分子は複数個の原子核をもち

,

,

,

, [19]

子のエネルギー準位を考える。分子全体のシュレディンガー方程式は (

−

α

~²

2M

∇

−

i

~²

2m

∇

+ V

{ −→

R

} , {− → r

}

Ψ

(

{ −→

R

} , {− → r

}

= EΨ

{ −→

R

} , {− → r

}

(2.1)

M

α

, −→

R

, − → r

α

, i

(α = 1, · · · , M , i = 1, · · · , N

)

{ −→

R

} = −→

R

, · · · , −→

R

, {− → r

} = − → r

, · · · , − r →

,

Ψ = Ψ( −→

R

, − → r

)

V ( −→

R

, − → r

)

,

,

-

,

,

, Born-Oppenheimer

,

Ψ

(

−

i

~²

2m

∇

+ V ( −→

R

, − → r

)

Ψ

( −→

R

, − → r

) = U ( −→

R

)Ψ

( −→

R

, − → r

) (2.2)

U ( −→

R

)

,

Ψ

(

−

α

~²

2M

∇

+ U ( −→

R

)

Ψ

( −→

R

) = EΨ

( −→

R

) (2.3)

で表される。これを解き

,

E

Ψ = Ψ

Ψ

(2.1)

,

U ( −→

R

)

R

,

,

Ψ = ψ(R)

R Y

(θ, ϕ) (2.4)

の形になる。

Y

(Θ, Φ)

ψ(R)

,

−

2µ

d

dR

+ U (R) +

l

2µR

)

ψ(R) = Eψ(R) (2.5)

となる。

µ

, l

, R

2.1.2

前節のように

,

,

,

·

うに結合するかが決定され

,

[19]

,

Hund’s case

,

1, 2

,

− →

l

, − → s

(i = 1, 2)

,

m

, m

,

− →

L = − → l

+ − →

l

,

− →

S = − → s

+ − → s

,

M

, Σ

(

Λ = | M

|

)

,

,

N

,

Hund’s case (a)

(c)

図 2.2 Hund’s case  Hund’s case(a)では, LとSの分子軸方向の射影ΛとΣが保存さ れ, よい量子数となっている。一方Hund’s case(c)ではΛとΣが保存されず, Ja=L+Sの射 影が保存される。いずれの場合も,全角運動量JはJ = Ω +Nとなっている。

· Hund’s case (a)

 電子系の相互作用とても強く

,

·

,

Λ

Σ

,

Ω = | Λ + Σ |

,

− →

Ω

− →

N

,

− →

J

− → J = − →

Ω + − →

N

Λ

, Λ = 0, 1, 2, · · ·

Σ, Π, ∆, · · ·

Λ = 0

Σ

,

σ

(

)

,

Σ

(Σ

)

(Σ

Λ

,

+, −

)

,

g(gerade), u(ungerade)

Λ

記されるが

,

(gerade)

(ungerade)

B

E

= B −→

N

, − →

N = − → J − − →

Ω

− → J · − →

Ω = ( − → N + − →

Ω ) · − → Ω = −→

Ω

, E

= B ( − →

J − − →

Ω )

= B( − → J

− 2 − →

J · − → Ω + − →

Ω ) = B( − → J

− −→

Ω

) (2.6)

となる。なお

,

B

I = µr

B =

− → J

J (J + 1), − →

Ω

Ω

E

= B(J(J + 1) − Ω

), J = Ω, Ω + 1, · · · (2.7)

· Hund’s case (c)

 重い分子など

,

·

,

,

Λ, Σ

− →

L

− →

S

, − → J

= − →

L + − →

S

− →

J

Ω

,

− →

Ω

− →

N

,

− → J

−

→ J = − → Ω + − →

N

Ω

,

Hund’s case (a)

case

Hund’s case

(a)

(e)

,

E

,

E

,

·

E

,

case

case(a)

E

≫ E

≫ E

, case(b)

E

≫ E

≫ E

, case(c)

E

≫ E

≫ E

, case(d)

E

≫ E

≫ E

, case(e)

E

≫ E

≫ E

·

 続いて

,

,

,

J

,

∆J = 0, ±1 (

J = 0 ←→ J = 0

)

(+/−)

,

+ ←→ −

+ ←→ +,

− ←→ −

gerade(ungerade)

,

g ←→ u

g ←→ g,

u ←→ u

となる。ここからは

Hund’s(a)

Hund’s(c)

Hund’s case(a)

, Λ

∆Λ = 0, ±1, (

Σ

Σ

←→ Σ

, Σ

←→ Σ

)

,

S

Σ

∆S = 0, ∆Σ = 0 Ω

∆Ω = 0, ± 1 (

∆J = 0

Ω = 0 ←→ Ω = 0

)

 一方

Hund’s case(c)

, Ω

∆Ω = 0, ± 1 (

∆J = 0

Ω = 0 ←→ Ω = 0

)

,

Ω = 0

0

←→ 0

, 0

←→ 0

, 0

←→ 0

という制限がある。しかしこれらは

, Hund’s case

,

2.2

2.2.1

ここでは

,

[20]

,

,

A

(ns)

,

ω

この時

ω

,

ns − np

ω

∆

, ω

= ω

− ∆

,

A(ns) + A(ns) +

ω

→ A

(Ω

(ns, np

P

; v, J)) (2.8)

,

A(ns) + A(np

P

)

dissociation limit

Ω

,

(v, J )

binding energy

E

(v, J )

,

~

ω

− E

(v, J)

ここで

, N

図 2.3 光会合に用いる分子準位の断熱ポテンシャル  原子核間距離が大きくなると,それぞれ ２原子状態に漸近する。基底状態(ns)の原子対を用意し,~ωL=~ωA−Eb(v, J)をみたすような 周波数ωLを照射すると, A2(Ω_g/u(ns, np²P_1/2,3/2;v, J))のエネルギー分子準位と断熱ポテンシャ ルが一致するような原子核間距離まで近づいたところで光会合が起こる。

する。

Born-Oppenheimer

, H ˆ

=

∑N a=1

(

p

2m + H

+

a>b

V (r

) (2.9)

と表せる。_2m^p2a は原子

a

, H

-

, V (r

)

a

b

(

r

= |− → r

− − → r

| )

ここでは特に

,

H ˆ

=

∑2 a=1

(

p

2m + H

)

+ V (r

) +

a̸=1

V (r

) +

a̸=2

V (r

) (2.10)

,

,

,

− → r

, − → r

− → p

, − → p

−→ R

=

−

→ r

+ − → r

2 , − →

R = − → r

− − → r

(2.11)

− →

P

= − → p

+ − → p

, − → P =

−

→ p

− − → p

2 (2.12)

これを用いると

, ˆ H

H ˆ

= P

2M + H

(2.13)

H ˆ

= P

2µ + H

+ H

+ V (R) (2.14)

M = 2m, µ = m/2

,

レーザー光を周波数

ω

,

− →

k

,

E

(

− → ϵ

)

, z

,

−

→ E (z, t) = − → ϵ

E

cos(ω

t − k

z) (2.15)

,

,

W (t) ≈ − ( − → ϵ

· (D

+ D

))E

cos(ω

t − k

z) (2.16)

,

( ∼ 1nm)

10

,

ρ(t)

, ρ(t)

i

d

dt ρ(t) = [H

+ W (t), ρ(t)] (2.17)

ρ(t) = exp(−iH

t)σ(t)exp(iH

t) (2.18)

W (t) = exp( − iH

t) ˜ W (t)exp(iH

t) (2.19)

i

d

dt σ(t) = [ ˜ W (t), σ(t)] (2.20)

,

t = 0

,

i~ d

dt σ(t) = [ ˜ W (t), σ(0)] + 1 i

[

W ˜ (t),

∫ _t

0

dτ[ ˜ W (τ ), σ(0)]

]

(2.21)

σ(t) = σ(0) + 1 i

∫ _t

0

dt[ ˜ W (t), σ(0)] − 1

~²

∫ _t

0

dt

W ˜ (t

),

∫ _t′

0

dτ[ ˜ W (τ ), σ(0)]

]

(2.22)

と表される。ここで遷移する２つの準位について記述する。最初に基底状態

(ns + ns)

|α⟩ = |ns, ns,

Λ

, E, J

, M

⟩ (2.23)

Λ

(ns + ns)

dissociation limit

, J

,

M

E

,

E = 1 2 µ( −→

V

− −→

V

)

(2.24)

と表される。次に光会合で遷移する分子準位を

| n ⟩ = | ns, np(

P

), Ω

, v

, J

, M

⟩ (2.25)

( | n ⟩

n

, ns, np

n

)

Binding energy

δ

Ω

(ns + np(

P

))

dissociation limit

, J

M

| α ⟩

t = 0

,

ρ(0) = Z

T r(Z) = exp(−βH

)

T r(exp( − βH

)) (2.26)

(β = 1/k

T

)

|α⟩

s(E)

T r(Z ) =

∫

dEexp( − βE)s(E) (2.27)

と表され

,

V

s(E) = 4πV

h

µ

(2E)

(2.28)

であるから

,

T r(Z ) =

2πµ

β

2

V

h

(2.29)

したがって

, t = 0

ρ(0) = h

V

β

2πµ

2

exp( − βH

) (2.30)

と表される。相互作用

W (t)

| α ⟩

| n ⟩

,

⟨ n | W (t) | α ⟩ = w

(α)cos(ω

t − k

z) (2.31)

w

(α)

− →

d

| α ⟩ , | n ⟩

F

(R), F

(R),

− →

d ,

q

d

(R)

,

⟨ n | − →

d · − → ϵ

| α ⟩ =

q,q^′=0,±1

( − → ϵ

)

M

∫ _∞

0

dRF

(R)d

(R)F

(R) (2.32)

と表される。

M

angular factor

, d

(R)

ns − np

D

Binding energy

, d

(R)

R

,

w

(α) = 2

KC(Λ, Ω, J

, M

, J

, M

, − → ϵ

)S

(α) (2.33)

2K = E

D/

, S

(α)

S

(α) =

∫ _∞

0

F

(R)F

(R)dR (2.34)

であり

,

δ

, C

δ

δ

,

w

(α) = 2

δ

δ

K

S

(α) (2.35)

,

| n ⟩

R

,

, R ≈ R

F

(R)

F

(R) ≈

2µ

π

E

sin(k(R − A(k)), J = 0 (2.36)

F

(R) ≈

2µ

π

E

kR · j

(kR), J ̸= 0 (2.37)

と表される。

k =

2µE/

, j

| n ⟩

, − C

/R

R ≈ R

V (R) = −~ δ

+ 3C

(R

)

(R − R

) (2.38)

,

F

(R)

えていく。 ∫

dα | α ⟩⟨ α | = 1 (2.39)

⟨ α | σ(t = 0) | α

⟩ = exp( − βE)

T r(Z) δ(α − α

) (2.40)

,

t

|n⟨

⟨ n | σ(t = 0) | n ⟩ = 1 2~

∫

dα | w

(α) |

exp( − βE ) T r(Z)

1 − cos((ω

− ω − ω

)t)

(ω

− ω − ω

)

(2.41)

| α

⟩ (

E

)

,

⟨ n | σ(t = 0) | n ⟩ = π

2

| w

(α

) |

exp( − βE)

T r(Z ) t (2.42)

であり

,

t

N

(t) = N (N − 1)

2 ⟨ n | σ(t) | n ⟩ (2.43)

よって全原子数のうち単位時間当たりに光会合する比率は

R

(E

) = πN

4~ | w

(α

) |

exp( − βE

)

T r(Z) (2.44)

となって

,

,

R

(E

) =

(

3 2π

)_3/2

h 2

N

V λ

exp(−βE

)K

J,M

δ

δ

S

(α

) (2.45)

と表される。

λ

= h

β/3µ

,

2J

+ 1

,

−

,

, J

= 0

R

(E

) =

3

2π

h 2

N

V λ

exp( − βE

)K

sin

(k

(R

− A(k

)))

(3E

δ

)

(2.46) J

̸ = 0

R

(E

) = (2J

+ 1)

3

2π

h 2

N

V λ

exp(−βE

)K

J

n+1/2

(k

R

)

(3~

ω

δ

)

(2.47) ω

=

2µ(R

)

(2.48)

のように表される。

2.2.2 LeRoy-Bernstein

分子の断熱ポテンシャルと振動準位の

binding energy

, [21]

WKB

LeRoy-Bernstein

,

V (R) = E

− C

R

, n ≥ 3 (2.49)

のような形のものを考える。

E

dissociation limit

Bohr-Sommerfeld

,

v

E

分子は

,

2µ π~

∫ _R+

R₋

√

E − V (R)dR = (v + 1

2 ) (2.50)

をみたす。

R

, R

,

V (R) = E

β

dβ dE = dv

dE =

√

2µ h

∫ _R+

R₋

√

dR

E − V (R) (2.51)