絡み目の character variety と bifurcation locus

絡み目の character variety と bifurcation locus

太田 沙樹

(奈良女子大学)^∗ 2014

年

1

月

31

日

概 要

 複素平面上の変換には一次分数変換と呼ばれるものがあり、その中でも2 つの一次分数変換とその逆変換及び合成変換全体によって得られる集合のこ とを2元生成一次分数変換群(以下F2)と呼ぶ。F2からSL(2,C)への凖同型 写全体の集合をHom(F₂, SL(2,C))とする。このときHom(F₂, SL(2,C))に はSL(2,C)が共役により作用しており、この作用による商空間χをcharacter varietyと呼び、以下のように表される。(ここで2つの一次分数変換を行列 で表したものをa, bとした時、x=T r(a), y =T r(b), z =T r(ab)で(x, y, z) は求められる。)

χ = Hom(F₂, SL(2,C))//SL(2,C)

= {(x, y, z)|x, y, z ∈C}

また絡み目群からSL(2,C)への凖同型写像を考えることにより、絡み目群の character varietyがすでに研究されている。そこで本研究では3つの絡み目 を対象に具体的に計算機実験を行い、様々な比較をすることで一次分数変換 の複雑さについて考察していく。一次分数変換群の複雑さをはかる指標とし て、本研究ではBQ条件、Lyapunov exponent、Bifurcation locusを考えて いく。Lyapunov exponentとは力学系においてごく接近した軌道が離れてい く度合いを表す量のことであり、L(ρ) = lim

n→∞

1 n

∫

G

log||ρ(g)||dµⁿ(g)と定義 されている。またBifurcation locusは、力学系においてパラメータの小さな 動きによって一次分数変換のタイプ(eliptic,parabolic,loxodromic)が変化す る写像の軌跡のことである。

 研究内容としては、まず絡み目のcharacter varietyに対応する2×2行列 とその逆行列を求め、求めた行列をランダムに発生させる。そしてそこから Lyapunov exponentとBifurcation locusを求めていく。

 本研究では以下の5つの比較を行い、結果を考察する。

• BQ条件とZ set

• BQ条件とLyapunov exponent

• ^{それぞれの目と}Lyapunov exponent

• CASE1とCASE2

• ^{様々な確率}

∗〒630-8506 奈良市北魚屋西町 奈良女子大学 人間文化研究科

e-mail:[email protected]

1. 研究背景

まず初めに研究背景として基礎知識の説明をする。

1.1. 一次分数変換

複素平面上での平行・回転・拡大・縮小の変換は

T(z) =az+b

と表すことが出来る。

これに変転を加えたものを一次分数変換といい、

T(z) = az+b

cz+d

と表される。

(a,b,c,d

は

ad−bc= 1

を満たす任意の複素数) これを

2×2

行列

T =

( a b c d

)

に対応させる。

T

全体からなる集合を以下で定義する

SL(2,C) =

{(

a b c d

)

a, b, c, d∈C ad−bc= 1

}

行列

T

の対角成分の和を

trace

といい、T r(T

) =a+d

と表す。

一次分数変換は

trace

の値によって以下の３種類に分類される。

• eliptic・

・ ・Tr(T) の値が-2 から

2

のとき

• parabolic・

・ ・Tr(T) の値が+2,-2 のとき

• loxodromic・

・ ・それ以外のとき

1.2. character variety

2

つの生成元

X, Y

からなる

2

元生成自由群

(F₂ =< X, Y >)

を考える。F

2

から

SL(2,C)

への凖同型写像を

ρ

とし、その凖同型写像全体の集合を

Hom(F₂, SL(2,C))

とする。

Hom(F₂, SL(2,C))

には

SL(2,C)

が共役により作用している。

SL(2,C)

が共役により作用するとは、

c∈SL(2,C)においてρ(a)∈SL(2,C)をcρ(a)c⁻¹

とすることである。

この作用による商空間

χ

を

character variety

と呼び、以下のように表す。

χ = Hom(F₂, SL(2,C))//SL(2,C)

= {(x, y, z)|x, y, z∈C}

このとき次の定理が知られている。

1.1 定理

χ

は

C³

と同一視出来る

ρ →(x, y, z) = (trρ(X), trρ(Y), trρ(XY))∈C³

1.3. 2成分代数的2橋絡み目

絡み目の中でも

2

成分代数的

2

橋絡み目と呼ばれるものは

5²₁,6²₂,6²₃

の

3

種類しかない。

5²₁

は

2

成分

5

交点絡み目

6²₂,6²₃

は

2

成分

6

交点絡み目 である。(図

1.1,1.2,1.3：http://katlas.org.wiki)

図

1.1: 5²₁

図

1.2: 6²₂

図

1.3: 6²₃ 2

元生成群

G₅²

1, G₆²

2, G₆²

3

は

5²₁,6²₂,6²₃

の補空間の基本群である。

Hom(G₅²

1, SL(2,C))、Hom(G₆²

2, SL(2,C))、Hom(G₆²

3, SL(2,C))には SL(2,C)

が共役 により作用しており、これは

SL(2,C)

が共役により作用している

Hom(F₂, SL(2,C))

の部分集合である。

5²₁

の

character variety

は以下の多項式を満たす

C³

の部分集合である。

F1 =P1×Q , G1 =P1×(y+ 2)×(y−2)

ただし

P₁ =z³−xyz² + (x²+y²−2)z−xy

Q=x²+y²+z²−xyz−4

6²₂

の

character variety

は以下の多項式を満たす

C³

の部分集合である。

F₂ =P₂×Q , G₂ =P₂×(y+ 2)×(y−2)

ただし

P2 =z⁴−xyz² + (x²+y²−3)z² −xyz + 1 Q=x²+y²+z²−xyz−4

6²₃

の

character variety

は以下の多項式を満たす

C³

の部分集合である。

F₃ =P₃×Q×(x+y+z−xyz−3) ,G₃ =P₃×(x+y+z−xyz−3)×(y−2)×(y+ 2)

ただし

P₃ =z³−xyz² + (x²+y²−1)z−xy

Q=x²+y²+z²−xyz−4

1.4. BQ条件

BQ

条件とは

Bowditch

と

Tan-Wan-Zhang

により導入された、2 元生成一次分数変換群 の複雑さを測る指標の一つである。これは

Farey triangulation

と

Markov map

を用い て定義される。Farey triangulation とは単位円板を無限個の三角形に分割する方法であ る。(図

1.4)

ここで

character variety(x, y, z) ∈ χ

が与えられたとき、markov map(φ

x,y,z : V → C)

を以下で定義する。V は

Farey triangulation

の頂点の集合である。

φ_x,y,z(v₁) = x, φ_x,y,z(v₂) =y, φ_x,y,z(v₃) =z

その他の頂点は以下によって決まる。(図

1.5)

φ_x,y,z(w₄) = φ_x,y,z(w₁)φ_x,y,z(w₂)−φ_x,y,z(w₃)

図

1.4: F areytriangulation

図

1.5: M arkovmap

これらをふまえて

BQ

条件を以下で定義する。

1.1 定義

Markov map

の初期値が

(x, y, z)

となる

Farey triangulation

の頂点を

v ∈V

とする。

以下の条件を満たすときこの

character variety

の点は

BQ

条件を満たすという。

• φ_x,y,z(v)

が実数で、

−2< φ_x,y,z(v)<2

となる

v

が

1

つもない

• |φ_x,y,z(v)|<2

となる

v

が有限個である

1.5. Lyapunov exponent

力学系においてごく接近した軌道が離れていく度合いを表す量を

Lyapunov exponent

と呼ぶ。これは距離が大きくなると値が大きくなる。

また一次分数変換群の

Lyapunov exponent

は

Deroin-Dujardin

により導入されてお り、F

2

の

Cayley graph

上の

Random walk

を用いて計算される。

1.5.1. cayley graph

2

元生成自由群

(F₂ =< X, Y >)

を考える。このとき

F₂

の

Cayley graph

を

Γ(F₂)

と すると、Γ(F

2)

の頂点の集合

V(Γ(F₂))

は

F₂

と同一視される。また

Γ(F₂)

の辺の集合

E(Γ(F₂))

は、(g

1, g₂)

から成り立つ。

以下の図

1.6

は、群

G

が

F₂ =< x₁, x₂ >

の場合の

Cayley graph

の例である。

図

1.6: Γ(F₂)

1.5.2. Random walk

Random walk

とは、次に現れる位置が確率的に無作為に決定される運動である。本研

究では

Cayley graph

上での

Random walk

を考えていく。

本研究では次の

2

つの場合を考える。

• CASE1

µ({X}) = µ({Y}) = µ({X⁻¹}) = µ({Y⁻¹}) = ¹₄

となる場合を考える。µは確率 測度 である。

図

1.6

でスタート地点を真ん中の

E

として、1 回目の移動で

1

4

の確率で

X

に移動し、

1

4

の確率で

Y

に移動し、

1

4

の確率で

X⁻¹

に移動し、

1

4

の確率で

Y⁻¹

に移動する。

2

回目以降は前の移動で移動した場所がスタート地点となる。

• CASE2

µ({X}) = µ({Y}) =µ({XY}) =µ({X⁻¹}) =µ({Y⁻¹}) = µ({Y⁻¹X⁻¹}) = ¹₆

となる場合を考える。

図

1.6

でスタート地点を真ん中の

E

として、1 回目の移動で

1

6

の確率で

X

に移動し、

1

6

の確率で

Y

に移動し、

1

6

の確率で

XY

に移動し、

1

6

の確率で

X⁻¹

に移動し、

1

6

の確率で

Y⁻¹

に移動し、

1

6

の確率で

Y⁻¹X⁻¹

に移動する。

2

回目以降は前の移動で移動した場所がスタート地点となる。

CASE2

では

XY

と

Y⁻¹X⁻¹

の場合は

2

つ分進むことになり、このことから同じ

回数移動したとすると

CASE1

より

CASE2

の方がよりスタート地点から遠くに

いくと考えられる。

1.5.3. Lyapunov exponent

g

を群

G

の要素とし、ρ

∈Hom(F₂, SL(2,C))

とする。このとき

Lyapunov exponent

は 次の式で定義される。

1.2 定義

L(ρ) = lim

n→∞

1 n

∫

G

log||ρ(g)||dµⁿ(g)

ここで

|| ||

は

operator norm

であり、

||γ|| =√

A^∗A

と表される。これは

A^∗A

のスペ クトル半径の固有値の絶対値の最大値の平方根を表している。ここで

A^∗

は

A

の転置共 役である。

また

µⁿ(g)

は

n

回移動したときの

µ

の

convolution power

である。これは

n

回移動した ときに文字

g

の場所にいる確率のことである。

また

Lyapunov exponent

に関しては次の定理も知られている。

1.2 定理 ([4]Theorem2.10)

ρ ∈ Hom(F₂, SL(2,C))

とする。このときほとんど全ての

F₂

の要素の列に対して次の 等式が成立する。

L(ρ) = lim

n→∞

1

nlog|tr(ρl_n(g))|

ここで

g

は

F₂

の要素列で、l

n(g)

は

g

の最初の

n

個の列である。

1.6. Bifurcation current

Bifurcation current T_bif

は

L(ρ)

を使って定義される。

T_bif

については以下の定理が知られている。

1.3 定理

1

2n ×[Z(l_n(g), t)] →

n→∞T_bif

ここで

t

は複素数である。

以下、Z(g, t) =

{(x, y, z)|tr²ρ_x,y,z(g) = t}

となるところを

Zset

と呼ぶことにする。本

研究では

t= 4

として計算していく。

1.7. Bifurcation locus

力学系において、パラメータの小さな動きによって一次分数変換のタイプ(eliptic,parabolic,loxodromic) が変化する写像の軌跡を

Bifurcation locus

と呼ぶ。

1.1 系 ([4]Corollary 2.7)

t∈[0,4]

において、tr

²ρ_λ(g) = t

となるような

g ∈G

が存在し、

λ → tr²ρ_λ(g)

のタイプが一定ではないような

λ = (x, y, z)

の部分集合は

Bifurcation locus

内で稠密である。

1.4 定理 ([4]Theorem3.13)

(G, µ, ρ)

が

admissible family

であり、

∫

Gexp(σlength(g))dµ < ∞

となるような

σ > 0

が存在するとき以下のことが言える。

Bif urcationlocus: Bif =Supp(T_bif)

ここで

admissible family

は群

G,

確率測度

µ,

凖同型写像

ρ

が以下の条件を満たす

(G, µ, ρ)

のことである。

•

凖同型写像

ρ

が

non-elementary

である。

•

群

G

上の確率測度

µ

が以下の式を満たすものとして

G

を生成する。

∫

G

length(g)dµ <∞

non-elementary

であるとは、一次分数変換群において固定点と集積点が

3

点以上あ

るもののことを言う。また

length(g)

は文字

g

の最小限の長さのことである。

2. 研究目的

2

元生成一次分数変換群の複雑さを理解することが本研究の大きな目的である。

これまで

2

元生成一次分数変換群の複雑さを測る指標として

BQ

条件や

Lyapunov expo- nent、Bifurcation locus

の説明をした。しかし

BQ

条件と

Lyapunov exponent

や

Bifur- cation locus

との関係性はまだ知られていない。そこで本研究では

Lyapunov exponent

や

Biburcation locus

の可視化を行い、以下のような視覚的な比較を行うことで

2

元生 成一次分数変換群の複雑さについて考察していく。

1. BQ

条件と

Bifurcation locus

の関係性を理解する。

t∈[0,4]

において、

tr²ρ_λ(g) = t

となるような

g ∈G

が存在するところは

Bifurca-

tion locus

である。よって前述の

BQ

条件とあわせて考えると、BQ 条件を満たさ

ないところが

Bifurcation locus

であると予想される。

2. BQ

条件と

Lyapunov exponent

の関係性を理解する。

BQ

条件を満たさないところは

trace

の値が小さくなるところが多く、満たすとこ ろは

trace

の値が小さいものが少ないところである。また

Lyapunov exponent

に ついては定理

1.2

が成立する。よってこれらのことから、BQ 条件を満たすとこ

ろではの

Lyapunov exponent

の値は大きくなり、満たさないところでは小さくな

ると予想される。

3. 3

つの代数的

2

橋絡み目における

Lyapunov exponent

を理解する。

BQ

判定を行った結果、それぞれ違った形をしていたので、Lyapunov exponent の違った様子が見られるのでないかと予想する。

4. CASE1

と

CASE2

での

Lyapunov exponent

の値の違いを理解する。

前述にあるように、Lyapunov exponent は力学系においてごく接近した軌道が離 れていく度合いを表す量であり、距離が大きくなるほど値が大きくなる。また

CASE1

よりも

CASE2

の方が同じ回数移動させた場合より遠くにいくと予想出来

る。よってこれらのことから、CASE1 よりも

CASE2

の方が

Lyapunov exponent

の値は大きくなると予想する。

5.

確率を変えて、Lyapunov exponent の値の動きを観察する。

確率は偏りをつけた場合よりも均等にした場合の方が、同じ回数移動させた場合、

より遠くにいくと考えられる。よって

Lyapunov exponent

の値は偏りがある場合

に小さくなると予想される。

3. 研究内容

この章では研究内容を述べる。

3.1. 3つの絡み目

•

絡み目

5²₁

P₁ =z³−xyz²+ (x²+y² −2)z−xy Q₁ =x² +y²+z²−xyz−4

本研究では

{(x, y, z)|P₁Q₁ = 0, P₁(y+ 2)(y−2) = 0}

において、z

= 3、y

をパラメータとし、x は

P₁ = 0

を解いて

(x, y, z)

を求める。

その

(x, y, z)

に対し、行列

X, Y

で

T r(X), T r(Y), T r(X×Y) = (x, y, z)

となるも のを計算し、X, Y それぞれに対応する一次分数変換を求める。

BQ

判定を行った結果が以下の図である。

図

3.7:

色のついているところが

BQ

条件を満たすところで、色のついていないところが

満たさないところである。また

2

つの一次分数変換を求める際に

2

次方程式を解

いて

x

を計算しており、2 つの解それぞれを色分けしている。(後述の絡み目

6²₂

、

6²₃

においても同様である)

•

絡み目

6²₂

P₂ =z⁴−xyz²+ (x²+y² −3)z²−xyz+ 1 Q₂ =x² +y²+z²−xyz−4

本研究では

{(x, y, z)|P₂Q₂ = 0, P₂(y+ 2)(y−2) = 0}

において、z

= 3、y

をパラメータと し、x は

P₂ = 0

を解いて

(x, y, z)

を求める。その

(x, y, z)

に対し、行列

X, Y

で

T r(X), T r(Y), T r(X×Y) = (x, y, z)

となるものを計算し、X, Y それぞれに対応 する一次分数変換を求める。

BQ

判定の結果は以下の図である。

図

3.8:

•

絡み目

6²₃

P₃ =z³−xyz²+ (x²+y² −1)z−xy Q₃ =x² +y²+z²−xyz−4

本研究では

{(x, y, z)|P₃Q₃(x+y+z−xyz−3) = 0, P₃(x+y+z−xyz−3)(y+ 2)(y−2) = 0}

において、z

= 3、y

をパラメータとし、x は

P₃ = 0

を解いて

(x, y, z)

を求める。

その

(x, y, z)

に対し、行列

X, Y

で

T r(X), T r(Y), T r(X×Y) = (x, y, z)

となるも のを計算し、X, Y それぞれに対応する一次分数変換を求める。

BQ

判定の結果は以下の図である。

図

3.9:

3.2. 2つの一次分数変換の計算

character variety(x,y,z)

か

2

つの一次分数変換に対応する

2×2

行列

ρ(X), ρ(Y)

は以下 のようにして計算する。(文献

[5])

1. ta =T r(X) = x t_b =T r(Y) =y

t_ab =T r(XY) =z

と定める。

2. t_c =t²_a+t²_b +t²_ab−xyz−2

とおく

3. Q=√

2−t_c

とおく

4. |tc+IQ√

tc + 2| ≥2

ならば

R=√ tc+ 2

|t_c−IQ√

t_c+ 2| ≥2

ならば

R=−√

t_c + 2

 とする

5. z₁ = (t_ab−2)(t_b+R)

t_bt_ab−2t_a+IQt_ab

とおく

6.

行列

A,B

をそれぞれ次のようにして求める

ρ(X) =





t_a 2

t_at_ab−2t_b+ 2IQ (2tab+ 4)z1

(tatab−2tb−2IQ)z1

2t_ab−4

ta

2





ρ(Y) =





tb −IQ 2

tatab−2ta+IQtab (2t_ab+ 4)z₁ (t_bt_ab−2t_a+IQt_ab)z₁

2t_ab−4

t_b +IQ 2





3.3. ランダムに行列を生成する

無限にランダムに文字を発生させ、先頭の

n

個を左から順にかけていく。そして出来 た文字列に対応する行列を計算する。

例えば

n = 4, g₁ =X, g₂ =Y, g₃ =X⁻¹, g₄ =Y⁻¹

の場合を考えると、

l₄(g) = Y⁻¹X⁻¹Y X

となり、この文字列に対応する行列は

ρ(l₄(g)) = ρ(Y⁻¹)ρ(X⁻¹)ρ(Y)ρ(X)

となる。

4. 研究結果

この章では研究結果について延べ、考察を行う。

4.1. (研究1)BQとZ set

BQ

と

Z set

に関係性があるのかを調べる。

x

軸が

y

の実部、y 軸が

y

の虚部で、青と紫

(x

の

2

つの解それぞれを色分けしている) が

tr²(ρ_x,y,z(g)) = 4

になるところである。n は

2000

として計算している。

図

4.10:

絡み目

5²₁

図

4.11:

絡み目

6²₂

図

4.12:

絡み目

6²₃

この結果から、予想とは違い今回調べた範囲では、3 つの絡み目全てでほとんどの点

が

Bifurcation locus

になると考えられる。

4.2. (研究2)BQ条件とLyapunov exponent

BQ

と

Lyaounov exponent

に関係性があるのか調べる。

x

軸が

y

の実部、

y

軸が

y

の虚部、z 軸が

L(ρ)

で、青と紫が

Lyapunov exponent

である。

Lyapunov exponent

は

n = 5000

として計算している。

図

4.13:

絡み目

5²₁

図

4.14:

絡み目

6²₂

図

4.15:

絡み目

6²₃

この結果から

Lyapunov exponent

は

BQ

条件を満たすところでは値が大きくなり、満

たさないところでは値が小さくなる傾向にあると考察される。

4.3. (研究3)それぞれの絡み目とLyapunov exponent 3

つの絡み目の

Lyapunov exponent

の値を比較をしていく。

上の図

3

つはそれぞれ

x

軸方向から見た図で、

下の図は

y

軸方向から見た図である。

図

4.16: 5²₁

図

4.17: 6²₂

図

4.18: 6²₃

図

4.19: 5²₁

図

4.20: 6²₂

図

4.21: 6²₃

この結果から、3 つの絡み目では大きな変化はないことがわかった。いずれも

Lya-

punovexponent

の値は上の赤のシートは真ん中一ヶ所が小さくなっていて、下の青の

シートは端の

2ヶ所が小さくなっている。

4.4. (研究4)CASE1とCASE2

CASE1:µ({X}) = µ({Y}) = µ({X⁻¹}) =µ({Y⁻¹}) = ¹₄

と

CASE2:µ({X}) = µ({Y}) =µ({XY}) =µ({X⁻¹}) = µ({Y⁻¹}) =µ({Y⁻¹X⁻¹}) = ¹₆

それぞれの場合について

Lyapunov exponent

の値を調べ、違いを考察していく。

CASE1

は

n= 5000、CASE2

は

n= 1000

として計算している。

図

4.22: CASE1 5²₁

図

4.23: CASE2 5²₁

図

4.24: CASE1 6²₂

図

4.25: CASE2 6²₂

図

4.26: CASE1 6²₃

図

4.27: CASE2 6²₃

この結果から、確率を均等にした場合、Lyapunov exponent の値に大きな違いがな いことがわかった。

そこで次は確率を変えて調べていくことにする。

4.5. (研究5)様々な確率

2

つの

CASE

で確率を変えて

Lyapunov exponent

の様子の変化を調べていく。

本研究では

3

つの絡み目で実験を行っているが、研究

5

に関しては

5²₁

のみを掲載する。

•

絡み目

5²₁ , CASE1

図

4.28: µ({X}) =

1

20,µ({Y}) = ₂₀⁹

図

4.29: µ({X}) =

2

20,µ({Y}) =₂₀⁸

図

4.30: µ({X}) =

3

20,µ({Y}) = ₂₀⁷

図

4.31: µ({X}) = ₂₀⁴

,µ({Y}) =₂₀⁶

図

4.32: µ({X}) =

5

20,µ({Y}) =₂₀⁵

図

4.33: µ({X}) = ₂₀⁶ ,µ({Y}) = ₂₀⁴

図

4.34: µ({X}) =

7

20,µ({Y}) = ₂₀³

図

4.35: µ({X}) = ₂₀⁸ ,µ({Y}) = ₂₀²

図

4.36: µ({X}) =

9

20,µ({Y}) = ¹⁰₂₀

この結果から、CASE1 では確率に偏りがある場合に

Lyapunov exponent

の値は

より小さくなると考えられる。

•

絡み目

5²₁ , CASE2

図

4.37: µ({X}) = ₁₂¹

,µ({Y}) =₁₂¹ ,µ({XY}) =₁₂⁴

図

4.38: µ({X}) = ₁₂¹ ,µ({Y}) = ₁₂² ,µ({XY}) = ₁₂³

図

4.39: µ({X}) = ₁₂¹ ,µ({Y}) = ₁₂³ ,µ({XY}) =₁₂²

図

4.40: µ({X}) = ₁₂¹

,µ({Y}) =₁₂⁴ ,µ({XY}) =₁₂¹

図

4.41: µ({X}) = ₁₂² ,µ({Y}) = ₁₂¹ ,µ({XY}) = ₁₂³

図

4.42: µ({X}) = ₁₂² ,µ({Y}) = ₁₂³ ,µ({XY}) =₁₂¹

図

4.43: µ({X}) = ₁₂³ ,µ({Y}) =₁₂¹ ,µ({XY}) =₁₂²

図

4.44: µ({X}) = ₁₂² ,µ({Y}) = ₁₂² ,µ({XY}) = ₁₂¹

図

4.45: µ({X}) = ₁₂⁴ ,µ({Y}) = ₁₂¹ ,µ({XY}) = ₁₂¹

この結果から

CASE2

では、確率を変化させると

Lyapunov exponent

の値は変化

するが、CASE1 のような規則性は見られないと考えられる。

5. 考察と今後の課題

ここでは本研究においての考察と今後の課題を述べる。

5.1. 考察

1.

今回調べた範囲・条件では予想とは違い、代数的

2

橋絡み目ではほとんどの点が

Bifurcation locus

になることがわかった。BQ と

Bifurcation locus

では調べる範 囲が異なり、BQ 判定を行う範囲は

Bifurcation locus

の判定を行う範囲の部分集 合になっている。当初この範囲がほぼ同じになると考えていたが、予想とは違い 範囲にかなり差があることがわかった。

2. BQ

条件を満たさないところでは、Lyapunov exponent の値は小さくなる傾向に あることがわかった。しかし

BQ

条件を満たさないところでも値が小さくなって いないところもあり、BQ と

Lyapunov exponent

に明確な関係性は見られなかっ た。また、一次分変換群は幾何系と力学系の両方から考えることが出来る。よっ て今回の結果から、片方だけではその複雑さを理解することが出来ず、幾何系と 力学系それぞれで違った振る舞いをすることがわかった。

3. Lyapunov exponent

は

3

つの代数的

2

橋絡み目では大きな変化は見られなかった。

4.

確率を均等にした場合は

CASE1

と

CASE2

では

Lyapunov exponent

の値の変化 は見られなかった。

5. Lyapunov exponent

は確率を変えると値が変化し、確率に偏りがある場合はCASE1 より

CASE2

の方が大きくなった。また

x

の

2

つの解

(赤・青2

枚のシート) で、全 く別の動きをすることがわかった。

5.2. 今後の課題

•

本研究では

BQ

判定や

Lyapunov exponent

の計算を実部、虚部それぞれ-4 から

4

までで行っている。これはランダムに行列を発生させ、順に掛け算を行っていく ため値が大きくなりすぎるためである。よって範囲を大幅に広げるにはどのよう にするべきか、またその場合どのような動きをするのかを調べることが今後に課 題になると考える。

•

今回の実験で一次分数変換群は幾何系と力学系それぞれで違った振る舞いをする ことがわかったので、今後は双方からアプローチすることでその複雑さについて さらに研究していく必要がある。

•

今回の実験で確率を変えると

Lyapunov exponent

の値が変化することがわかった

ので、その変化の細かい動きや規則性について今後考察する。

参考文献

[1] Francis Bonahon

“Low-Dimensional Geometry”

American Mathematical Society(2009) [2] SHINYA HARADA

“CANONICAL COMPONENTS OF CHARACTER VARIETY OF ARITHMETIC TWO BRIDGE LINK COMPLEMENTS”

arXiv:1112.3441v2

[3] Ser Peow Tan,Yan Loi Wong and Ying Zhang

“Generalized Markoff maps and McShane’s identity”

Advances in Mathematics 217(2008) 761-813 [4] B.Deroin,R.Dujardin

“Random walks,Kleinian groups,and bifurcation currents”(2012) [5] David Mumford,Caroline Series,David Wright

“INDRA’S PEARLS”

CAMBRIDGE Univ,Press(2002) [6] 谷口里奈

“Primitive stableの判定アルゴリズムとその応用” 平成22年修士論文

[7] 大森万梨子

“Character varietyにおけるBowditch空間の補集合について” 平成24年修士論文