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不偏分散 課題

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Academic year: 2021

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不偏分散

課題

X

1

, X

2

, · · · , X

nを平均

µ

、分散

σ

2の母集団からの無作為抽出とする。このとき、母分散

σ

2の推計量

S

2

= 1

n Σ(X

i

− X) ¯

2 は

σ

2の不偏推計量か。

解説 不偏分散かどうかは、定義に基づき確認すればよい。

E(S

2

) =

1n

E [ Σ (

X

i2

− 2n XX ¯

i

+ ¯ X

2

)]

=

1n

E [

ΣX

i2

− n X ¯

2

]

=

1n

ΣE(X

i2

) − E( ¯ X

2

)

=

1n

n(σ

2

+ µ

2

) − (

V ar( ¯ X ) + E( ¯ X )

2

)

= σ

2

+ µ

2

−

1n

σ

2

− µ

2

= ( 1 −

n1

)

σ

2

=

n−1n

σ

2

よって、

S

2は母分散の不偏推定量ではない。

上の式の両辺を n−1n で割ると、

E ( n

n − 1 S

2

)

= σ

2

なので、n−1n

S

2

=

n−11

Σ(X

i

− X) ¯

2が母分散の不偏推定量となる。これを、不偏分散

(unbiased variance)

と いう。

1

参照

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