横 山 佳 充

第79巻 第2号 2006年9月 127‑148

日本の所得不平等の継続性に関する考察

マルコフスイッチングモデルを用いた検証

横 山 佳 充

1  . 

従来，所得不平等度を計算し比較を行う目的は，ひとつには横断面データを 用いて他国との比較など異なった地域の比較に用いたり，また時系列データを 用いることで，時間的な流れの中で不平等度が今後継続しているか否かを見極 める判断材料にするために用いることである。前者に関しては，様々な制度上 や統計整備上の問題もあり，特に国際間にわたる比較を行おうとする場合，比 較自体が可能でない場合もある。また後者は前者に比べ統計制度上の問題はあ まりないといえるが，それでも長い期間にわたって推定する場合，定義や母集 団となる観測対象の変遷によって比較が困難な場合もある。

しかしながら，時系列データを用いる利点としては時間の変化自体が情報を 含んでいることである。通常時系列的な比較の場合には簡単に不平等尺度を計 算し，その大小によって序数的な変化を探るに過ぎないことが多い。もちろん，

基数的な立場から尺度に暗黙的な解釈を与えるものもあるが，多くはジニ係数 が不平等度の測定に用いられているように，基数的な解釈は存在するものの全

(1) 

体としては序数的な順序付けで用いられている。ジニ係数のみが不平等尺度を 表すものではないが，その他の尺度と比較してローレンツ曲線と深い関係があ ることより，多くの場合ジニ係数は不平等尺度として利用されている。ただし，

(1)  たとえば，不平等をより生活面の実感として認識するため等価弾性値という概念を導 入し一人当たり必要とされる所得や消費に直して分析を行う場合がある。 OECDの基準 では0.5を使用し構成員数に平方根をとったものを使用し，これで除することで効果所 得を定義している。これに関しては経済企画庁経済研究所 (1999)参照。

前述したように基本的にはいずれの不平等尺度を用いて分析しても，時系列の 推移を見る場合はその推移により，社会全体の不平等度が拡大や縮小する方向

(2) 

性に関心が大きいといえる。その中で，社会がどのような方向性に向かうのか は関心が払われ議論されても，不平等という状態が拡大や縮小するその継続性 の問題に関しては関心が払われてこなかった。

本稿においては，こうした時系列的なジニ係数を用い，不平等に関する継続 性がどの程度かをマルコフスイッチングモデルを推定することで検証し，こう

した不平等の状態が継続するか否かに着目し分析を行った。推定に関しては通 常の最尤法を用いたが，さらにパラメータの分布に関して詳細な結果を得るた

めベイズ統計学を応用したMCMCを用いることにより行った。．

本稿における構成は以下のとおりである。 2節においてにジニ係数に関して 考察を加えた後，最近の時系列的な傾向について検証する。その後， 3節にお いてマルコフスイッチングモデルの構成を確認した後，単純な最尤法，および MCMCの手法を用いて不平等度の継続性の再検証を行う。最終的に 4節にお

いて総括を示す。

2  . 

2. l.  ローレンツ曲線とジニ係数

通常ジニ係数は，ローレンツ曲線との関係で示されることが多い。通常デー 夕または集計データを用い基本的に離散型データの形で分析を行う。その結果 ローレンツ曲線はビースワイズによって示される。

初めにローレンツ曲線についての考察を行う。ローレンツ曲線は所得分布の 不平等を計測する上で一般的に作成されるグラフであるが，ローレンツ曲線を 作成するにあたっては横軸に累積人員構成比，縦軸に累積所得構成比をとり，

これを結ぶことで作成される。本稿では集計データを用いるが，それは等間隔

(2)  近年不平等が増加しているか否かの感心が橘木 (1998)以降高まっており，最近にお いて日本の不平等は高まってきているという主張に対し，大竹 (2000)をはじめとして 人口構成上の見せかけの不平等に過ぎないとの見解に二分している。

に並んだデータであるので離散的なデータを取り扱う場合と同様の処理が可能

(3) 

である。よって，離散的なデータの場合を検討すると，現所得のデータを

X1,  X2, …，かとし，与えられた

N

功 lJ~X[2J~…~X[NJ (1) 

とすると，

︐ 

--~

(

￨

＼  

この並べ替えたデータを用いて，

翌 = ; ^{X [ j ] ) ,}  

⁼ 

の点を結ぶことによってローレンツ曲線を描くことができる。ただし， Xいは 小さい順から

i

た，便宜上X[o]

= 

X

また，不平等の分析を行ううえでジニ係数を別の角度から定義する。

数gはデータが離散的な場合には，

ジニ係

N  N 

lx;‑XJ 

I 

g= 区~=~~

I x ;   → ' I  

i i 

2N

2NX 

となり， 二人の所得の平均的な差の合計が全体の総所得に占める割合を示して いる。ただし，μ は所得の平均である。これが，ジニ係数を原所得データから の相対的差異より定義したものである。式(3)を式(1)の並べ替えを行った後変形 すると，

1 ‑ N  

＋ ー＝ g  ^{2( 四~1 iX[N‑j+} 

1 ] )  

N切

となるが，式(4)は完全平等線とローレンツ曲線によって囲まれた面積の 2倍を

(4) 

意味し，式(3)は同一であることが示される。ローレンツ曲線間の上下関係によ

(3)  本稿においては台形による計算手法を用いてジニ係数を求めているが，ローレンツ曲 線自体を推定し，その曲線を積分することによりジニ係数を導出することもできる。

る不平等状態の評価は規範的な立場から最小限の優劣の価値判断に依存するも のであるが，評価する曲線間に交錯が存在する場合その優劣を評価できない。

ジニ係数はローレンツ曲線と関連性はあるが，ローレンツ曲線以上に暗黙的な

(5) 

不平等の評価を含んだものとなる。

2. 2.  データとジニ係数の計算結果

使用するデータについては，『家計調査』で得られる勤労者世帯の「 5分 位 階級別

1

1

3回の変更が行われたため，その大きな変更によっては使用できるデータの範 囲が限定される可能性がある。ジニ係数を最終的に計算した結果は以下のとお りである。実際データは

1 9 5 1

1

図1: ジニ係数の変化（勤労者世帯， 1951‑2004)

.30  .28  .26  .24  .22  .20  .18  .16 

55  60  65  70  75  80  85  90  95  00 

(4)  ローレンツ曲線より下側の面積を A とすると，功OJ=Qとして，式(2)を用いた台形の 面積計算より

A= 虹(~;臼こX[j] ~}=o 初l 1  :Z:: 

い

i=12  X  +  X )刃 ＝ 炉μ 2 N

となり，完全平等線によって囲まれる面積 1/2から引いて 2倍する。さらに， iの始ま りを 1に設定すると，式(4)のジニ係数の計算式となる。

(5)  ローレンツ曲線とジニ係数の関係および各種不平等尺度に関してはLambert(1993)  およびCowell (2000)参照。

図

l

1 9 6 1

1 9 6 2

1 9 6 2

B

と考えた上で，その調査対象年である

1 9 6 3

立

表 1 : 期間ごとのジニ係数

変数名 GINI 1  GINI2 

使用データ 勤労者世帯 全世帯

期間 1951‑2004  1951‑1962  1963‑2004  1963‑2004  Mean  0.212  0.280  0.192  0.273  Median  0.197  0.280  0.192  0.275  Maximum  0.294  0.294  0.215  0.310  Minimum  0.179  0.270  0.179  0.253  Std. Dev.  0.038  0.007  0.008  0.012  Observations  54  12  42  42 

(6)  これは統計的な平均の差異に関するテストを用いても簡単に述べることができる。帰 無仮説として「二期間の平均は同じである。」とすると，その場合の検定統計量は

0.2798‑0.1922 

/(0.0072)町12+ (0.0085)2 /42 

= 

を示し，結果としてP値はほとんど0となり，帰無仮説は極めて小さい有意水準の下で も棄却される。

図2: 全世帯と勤労者世帯のジニ係数 (a) 

.32 

ジニ係数の変化 (1963‑2004) (b)  散布図

.30‑f¥ 

＼ ヽ

.28 ‑I  ¥...‑,,,  ,"‑‑‑‑/ヽヘ/'‑‑..,A

＼バ，/'•,,.,,,'\.

.26‑I  ¥ _¥,./ヅ、\，へ．．ツ'-•-.J^{, ' I}  

.24 

.22  .20  .18  .16 

1965  1970  1975  1980  19.85  1990  19'95  2000 

I  ‑

I 

7 ー

2 1 0 9 8 7 6 5   3 3 2 2 2 2 2  

．

．  

3 

゜• 0  0  0 0 

:

‑   . .   . ・

． 

. .  

炉•

.

.   _． 

N I

Nl 0 

8  .19  .20  GIN11 

. .

 21  22 

表

1

1 9 6 3

2

2

ざるを得ないので， 日本の高度成長期においての所得分配の実態を得ることは 一部困難がある。 しかしながら勤労者世帯，全世帯のいずれにおいても，少な くとも高度成長期の最終段階は不平等度が縮小， その後現在に至るまでに，増 減を繰り返すが，傾向的には次第に拡大方向に向かっていると概観できる。

うした増減についてはある程度の連続性が生じているように考えられる。

こ

時間的な経緯から全世帯と勤労世帯とでは同様の方向性を持っている可能性 これらを検証するため散布図によって二つのジニ係数の関係を図

2

2

(7) 

持つということができる。

がある。

したがって，以降勤労者世帯のデータのみを用いて その継続の可能性を探る。

(7)  この場合相関係数は0.8159であった。検定方法としては帰無仮説が相関係数が0で あるという仮説に対し検定を行うと，

0.8159x~=3.6514

を計算し， その検定等計量が自由度42‑2=40のt分布に従うことを用いた。

図3: ジニ係数の変数について

8 7 6 5 4 3 2  

゜

Series: GINI  Sample 1963 2004  Observations 42  Mean  0.192213  Median  0.192496  Maximum  0.215322  Minimum  0.178707  Std. Dev.  0.008495  Skewness  0.305754  Kurtosis  2.867032  Jarque‑Bera  0.685339  Probability  0.709873  0.18  0.19  0.20  0.21 

1963年以降のジニ係数の基本統計量に関しては，その分布の図示とともに 図

3

0 . 2

(8) 

0 . 0 2 5

3 .   モ デ ル

3. 1.  マルコフスイッチングモデル

マルコフスイッチングモデルの記述については， Hamilton(1989) によって 米国におけるビジネスサイクルに適用された後，広く経済分析に利用されてい る。マルコフスイッチングモデルに関しては，一期前のみの過去に依存し状態 が変化するという論理の明快さがあり，操作性としては最尤法が利用可能であ るという利点がある。汎用的によく利用されるのはHamilton(1994)が示して いるような平均回りの ARによるモデルであり，不況期と好況期においてはそ の平均水準が変化すると考えている。マルコフスイッチングモデルはその設定

(8)  本稿において分析に用いたのは勤労者世帯の 5分位階級別の所得である。これには自 営業や農林水産業の所得を含んでいない二人以上の世帯所得であるので，他の研究で用 いられる数値よりも若干低い値で推移している。他の資料としては厚生労働省の『国民 生活基本調査」や『家計調査』などの全世帯の資料を用いることが考えられるが，時系 列的に多くのデータが得られないため『家計調査』の勤労者のデータを用いた。各種使 用データによっては計算データに差異が生じる。勇上 (2003) においては各種統計資料

による各研究者の掲載した計算値が示されている。

により，様々なヴァリエーションが存在するが，特に不況期と好況期でその変 数のレベルが異なるというモデルはそのインプリケーションが明快であり利用 されることが多い。多くの場合には2状態が存在し，それぞれの状態について その平均水準が変化するというモデルでは，約を時系列データ， μstを

t

s

ラグの長さを

m

Yt

―

―

―

・・・＋ふ (Yt‑m

―

である。 Ut

i   . i . d .  N(O, 

推移確率について状態

0

1

多くの場合はこのモデルを用いて推定を行うことが多い。本稿では MCMC による計算において推定上の煩雑さをなくし，パラメータを節約して推定する 意味でも，パラメータを減少させてモデル推定を行う。

推定の行い方は

Pr[yt,  St= j,  0] = Pr[S1 = j,  0]f(Yt 

I 

~Pr[~

ぶ :

ⁱ  e x p j   ‑ ( y ; l ; ) ' )  

をもちいて，尤度関数を設定し，

f(yt; 0)=~Pr[yt, St =j,  0] 

t 

したがって，対数尤度は，得られるデータすべてを対象に集計した

l =~log f(Yt; 0) 

(6)  (7) 

(8) 

(9) 

であり，これを最大化すればよい。ただし，制約条件として Pr[St= 0,  0]+ 

Pr[St=l,  0]=1,  くわえて， Pr[St= 0,  0],  Pr[St = 1,  0]~0 が存在し，こ

れらの条件の下で，最尤推定値を求めることになる。

3 .  2 .  

本稿においては推定を行う上でのマルコフスイッチングモデルを，

9 1  =at+  b g 1 ‑ 1  +  U t  

a t  =co+  c 1 S t  

というモデルで表記している。ここで，

g t

U t  

t

at=c o

1

at=c o + c 1

この場合においては，式(6)と同様に，

P r [ g t ,   S t  = j l l t ‑ 1 ]  =  P r [ S t  = j l l t ‑ 1 ] / ( g t   I  S t  = j ,   I t ‑ 1 )  

I t

S t

f( g t   I  S t  =  j ,   l t ‑ i }

f ( g t   I  St= 

l t ‑ 1 ) =  

( g t  ‑C o  ‑ b g t ‑ 1 ) 2  

冨

e x p [

f ( g t   I  St= 

I t ‑ 1 ) =   k  ^{e x p [   ( g t  ‑co‑c1 ‑}

^{b g t ̲ i ) 2}  

である。

t期までの情報

I t

S t

1 

P r [  S t  =  j  I  l t ‑ 1 ]   =~Pr[ S i   =  j ,   S t ‑ 1  =  i  I  1 1 ‑ i ]   i =  

1 

=~Pr[ S t  =  j  I  S t ‑ 1  =  i ]   P r [ S t ‑ 1  =  i  I  I t ‑ d  

i=O 

となる。式(16)により，

I

S t

次に，

I

t

9 t

P r [  S t   =  j  I  I t ] =  P r [  S t   =  j  I  1 1 ‑ 1 ,   9 t ]  

̲  ! ( S t  =  j ,   9 t   I  l t ‑ 1 )   f ( g t  l l t ‑ 1 )  

f ( g t  I  S t   = j ,   l t ‑ 1 ) P r [ S t  = j i l t

l 

翌

= o f ( g tI  S t   = j ,   l t ‑ i ) P r [ S t  = j l l t ‑ 1 ]  

S t

以上より，式(16)と式(17)を組み合わせることで，過去の情報に基づいて演繹的 に

S t

T 

l=

l o gf  ( g t   I  I t )  

t = 2  

の関係，および式(13)から式(17)までの関係を用いることになる。ここで

T

t=

この計算を行うためには，少なくとも初期における状態が

1

0

P o=  P r [ S o  =  1 1   I o ]

q o=  P r [ S o  =  0  I  I o ]

Po= P r [ S 。 =OIIo]=

q o  =  P r [ S o  =  1 1   l o ] =  

を用いることにして計算を行う。最終的にはこれらに関して求めるパラメータ の初期値を設定し，収束計算を行うことによってパラメータの推定値を導出す る。

ここまでの段階において，必要なパラメータの推定法について検討した。引 き続いて計算が終了した後に，各時点において状態が

0

1

S t

S

I t

t

までの情報の集合を現すベクトルであるとすれば，

J(S llr)=f(Sr l l r ) / { S r ‑ 1   I  S r ,   l r ‑ 1 ) / ( S r ‑ 2   I  S r ‑ 1 ,  

・ ・ f ( S 1   I  S 2 ,   1 1 )  

したがって，言い換えれば，

T‑l 

f(Sr llr)=f(Sr l l r )  I I J ( S t  

S t + 1 ,   1 1 )  

t = l 

そして，

/ ( S 1   I  S t + 1 ,   I t ) =   J ( S t ,   S t + l  

I t )   / ( S t + l  

I

であり，

＝ 

/ ( S t + l   I  S t ,   I t ) J ( S t   I  I t )   / ( S t + l  

I  ( S t + l  

S t ) J ( S t  

I t )  

、 Ff<;:',.^嘔 IT,)  0:: / 

( S t + l   I  S t ) f  ( S t   I  I t )  

P r [ S t  =  1 1   S t + 1 ,   I 1 ] =   f  ( S t + l   I  S t  = 

( S t  = 

I  I t )  

翌=

o f  ( S t +  1 

S t  =  j ) I   ( S t  =  j 

I t )  

(22) 

(23)  (24)  (25) 

(26) 

となる。/

( S t +  1  I  S t   = 

/ ( S t= 

I  I t )

これによって，状態 Stが1の状態になる確率が示される。最終的に得られた 値を用いて計算を行うことで，こうした状態を取りうる可能性が示される。

3. 3.  最尤法による計算結果

(9) 

式(18)に関する最大化を行うことによって，表2のような推定結果を得る。得 られた表

2

1

表2: マルコフスイッチングモデルの推定結果

Variable  Coeff  Std Error  T‑Stat  Signif  p  0.928  0.081  11. 411  0.00000 

q  0.896  0.111  8.077  0.00000 

b  0.467  0.146  3.191  0.00142 

Co  0.098  0.027  3.571  0.00036 

Ct  0.007  0.002  3.579  0.00034  (JJ  0.004  0.001  5.698  0.00000 

図4: 状態 1である可能性 (1964‑2003)

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

1965  1970  1975  1980  1985  1990  1995  2000 

1‑PROBI 

(9)  なお，計算にあたってはBHHHにより，収束条件を 10‑6によって求めた。また初期 値に関しては，通常の最小二乗法およびその残差を利用して分散の推定値の初期値とし

た。

この結果として，状態

0

0 . 0 9 8 ,

1

0 . 1 0 5

0 . 1 9

b

0 . 4 6 7

1

1

0 . 1 9

0

0 . 1 9

以上を総合すると，状態

0

l

l

それに対し前半部はそうした圧力が弱いといえる。特に状態

1

90%

を超える状態の継続性がみられ，一方で，状態

0

0

1

時系列的なデータの特徴を表すと，対象期間である

1 9 6 3

1 9 6 0

7 0

7 0

2

1 9 8 0

3 . 4 .   MCMC

前小節を受けて，分析を MCMCを用いても行う。この考え方は基本的にベ イジアン的な統計学の考え方に基づくものである。通常古典的な標本学派にお いては推定されるべきパラメータを固定したものとして取り扱うが，一方でベ

イジアン的な考え方ではパラメータ自体が研究者も含めた主観に基づくもので あり，要するにパラメータが主観的な確率分布を持っていると考えるものであ る。この推論の思想は演繹的推論と帰納的推論を折衷した還元的推論に依存す るというものであるが，思想的な面を除外しても技術的には推定作業において 数値計算による積分を行う必要があり，その困難さや煩雑さから従来はあまり 発展してこなかった。しかしながら，そうした数値計算をマルコフ性に基づく モンテカルロシミュレーションを行うことで回避できる。こうしたシミュレー ション手法を MCMCと表現し，これまでのベイジアンによる計算に比べ拡張

(10)  性が期待できる。

はじめに，我々の求めるパラメータに関しても分布を仮定することが必要で ある。式(10)か ら 式(12)の 仮 定 に 加 え て ， サ ン プ リ ン グ を 適 切 に 行 う う え で S,  p,  q,  Co,  C1,  b,  <Juに関しての仮定を行う必要がある。状態に関する Sの サンプリングに関しては式(26)を利用し，その他の分布に関しては事前分布事後 分布の自然共役性も考えて，

P  

B e t a  

B e t a  

Co  N (μo,  tJo),  C1  N (  μ1,  tJ1)D (O,  叫 (28) 

b N(μb, 6b)D(‑l, 1),  叶 c-1(各½) ⁽²⁹⁾ 

という分布を仮定する。ただし，

D(O,

0

1

同様に

D( ‑ 1 ,   1 )

1

1

B e t a ,

全体的に， MCMCによる推定手順を確認しておくと， MCMCによる推定方

(10)  ベイジアン的な推定および経済への応用はZellner(1971)およびKoop(2003)参照。

マルコフ連鎖モンテカルロ法 (Morcovchain Monte Carlo: MCMC)については，和合 (2005)参照。

法は，初期値についての設定を行うことから始まる。推定においては仮に初期 の値として，適当な S を与える。次にこれを用いて， P,qについて新しい値 を求める。さらに Co, Ctを求めることができるので，さらに bを計算し，最 終的に 6uを計算する。これを複数回繰り返す。あらかじめ繰り返し回数を決 めておき，繰り返し回数に至るまで計算を継続する。最後に，一連の計算結果 の中で，最初の部分を初期値に依存している部分として捨象し，残りのシミュ

レーション結果を用いて結論を見出す。

より詳細な手続きは，はじめに初期値である

S {OJ, 

p 

について設定を行う必要がある。ここで，右上に括弧付けで数字を入れたもの は，その数字の回数回のプロセスのサンプリングによって得られた値であ

り，

0

初期値を設定した後，通常の計算過程について記述する。全体的にこの計算過 程を l回目の計算過程とし，計算にあたって前段階のサンプリングの結果の値

S0‑1),  p0‑1),  qU‑1),  C忍―1), C1(1‑l)'b (l‑1)'(Jil‑1)  (31) 

についてはすでに得られたものとする。

l回目の計算過程の最初は

s

s

を求めるためには，その最終期を示す T番目の要素について Sjllの状態をま ず求める必要がある。これに関しては

P r [

1  I I

P r [ S r =  1 

I r ]

( 0 , 1 )

ンプリングする。

その後，順に S此に関するサンプリングを行うが，この際，同様に sjnが わかった状態で式(26) により一期前の Sjll から S農~1 が 1 になる条件付確率を求

めることができる。最終的に，実際にs^(I)の各要素である s/nが

1

0

ンプリングによって生じた値がその確率を超えない場合

1

0

T

1

この

l

T

繹 の

T

Txl

引き続き，既得の前段階での状態

s

s

P Beta (uu,  u 

p

f 

(11)  Beta (a,  /3)のベータ分布は二つの正数a, /3をパラメータとして， XE(O,1)区間に おいて

f(xla,  /3)=  1  x≪‑1(1‑x)13‑1  B (a,  /3) 

を満たす確率変数である。ここで， B(a, /3)はベータ関数を意味し，ガンマ関数を用 いて，

B(a,  /3)= 

r 

r 

r 

E(X)=  a  a/3  a+/3, Var(X)=^、

であり，ベータ分布は区間 (0, 1)上の連続分布であることから比率に関する分布や，

ベルヌーイ試行の未知パラメータの事前事後分布として用いられる。

(11) 

i 

= 

= 

i

L(p,  qlS)=pn11(l‑p)n10qno

。

J (p,  q ^J S) ^oc p u11 + n11 ‑1 (1 ̲ p)^附o+nw‑1q uoo +noo―1 (1‑q)^四1+ n~1 ‑1  (35)  となり，これにより

P ,

PIS  Beta (u11 +n11,  u10+n10),  q IS  Beta (uoo+noo,  Uo1 +n01)  (36)  と表される。最終的に，この分布に従ってサンプリングを行うことによって，

パラメータの値を得ることになる。得られたこの持続性を表すパラメータを l 回目のプロセスに基づいて行い，この結果得られたものを

p

次に，パラメータの変化について検討する。仏を構成する各パラメータに 関しての事前分布に関しては， Coについては正規分布を用いて， C1について は切断正規分布を用いて，

Co  N (μo,  6g},  C1  N (  μ1, 

( J n  

のように表される。したがって，その尤度関数については，

T 

L 

=II  _{t = 2}

¹  e x p [

となり，以上より，これらを用いて計算することで条件付事後分布は，

co I・  N(µ。叶＋吋 L.![~2^{Zm  i1詞}

叶十6名

(T‑1)'<>l+<>i(T‑1))

c

,  

S ,   a f   < > E   ) 

叶＋吋こい

S /

I ; f = 2 S l  

(3内

(38) 

(39) 

(40) 

という分布に従う。ただし， Zot= gt ‑c1St ‑bgt‑1およびZit=gt ‑co‑bgt‑1で ある。

式(39) と式~O) を用いることで，得られた分布に従って，サンプリングを行うこ

とによりパラメータの値を得る。 l回目のサンプリングプロセスによって得ら れたパラメータの値をそれぞれ， c炉， c~n とする。

最後に bと(JEの条件付事後分布を求めることになるが， bと(JEはつぎのよ うに得ることができる。

bl・ N(μ 心 +er/

こい

叶

+a;

心

い

g , ' ̲ J

6 ;  

G 

(T 

1 ,   / 3   +こい

bに関しては正規分布の事後分布によってサンプリングを行い，得られたサ ンプルを b<nとする。叶に関しては逆ガンマ分布に従うことになり，サンプ

(12) 

リングによって得られた結果を a;Ulとする。以上の一連のプロセスによって l 回目の計算プロセスは終了する。続けて次のプロセスは

l+1

として実行する。このプロセスを最初に決めた十分な長さの繰り返し回数に至 るまで繰り返す。毎回のプロセスで得られたサンプリングの値を記録してお き，得られたサンプリングの値を用いて分析を行う。ただし，最初の段階での

(12)  12G‑1 (a/2,  /312)の逆ガンマ分布は二つの正数a,flをパラメータとして， xE (O,  oo)  区間において

a/2 

f(xla, /3)= 

I'(~/2)(¾)

であり，ガンマ分布の確率変数との関係はその確率変数の逆数がガンマ分布となる確率 変数である。その平均と分散は，平均がa>2分散がfJ> 4のとき存在し，

/3 

E ( X ) = ‑ Var(X)= ‑ 、.

2f]2 

a‑2, 

であり，正規分布を事前分布にもつ分散を表現する分布として用いられる。

計算は初期値に依存することになるので， ある程度の長さを設定し，初期値の 影響が残るサンプリングに関しては破棄することになる。

3 .  5 .  

推定に関しては各パラメータの認識によって初期値を設定する。設定した事 前分布は

p 

Co  N (0, 

l),  q  B

b N (

100), C1  N (

lOO)D (‑1, 

lOO)D (O, 

(43) 

oo) 

1)'(Jいか噌誓）

(44) 

(45) 

である。ただし，本稿における分析においては通常の年次データが利用される ため，株価などの金融データなどに比較しデータ個数が少ないことに注意する 必要がある。推定を行う上で有益な事前情報としてはあまりないので，パラメ ータの存在する範囲については広く取っている。ただし，不平等に関してはあ る程度の連続性があると考える。

推定にあたっては 50,000回サンプリングを行い，最初の 10,000回は初期設 定の値の影響を受けると想定されるために捨て，残りの 40,000個のサンプル によって推定を行った。 MCMCによる推定によって得られたサンプリングの 結果を表

3

5

パ ラ メ ー タ

p qbeocl叶

平均 0.8961  0.8729  0.4865  0.1038  0.0065  0.0050 

表3 MCMCによる推定結果 標準誤差 メ デ イ ア ン 95%下限

0. 1260  0. 9458  0. 6264  0. 1396  0. 9226  0. 5765  0. 1819  0. 4886  0. 1809  0.0300  0.1036  0.0547  0. 0031  0. 0064  0. 0015  0. 0029  0. 0043  0. 0022 

95%上限 0.9995  0.9986  0. 7866  0.1527  0. 0119  0.0102 

CD 

‑0.3543 

‑0. 2856  0.1887  0.4155  0.2728  0.1775