三角関数と微分積分

(1)

数学演習１

No.11 2006. 6.29

三角関数と微分積分

担当：市原

60

分法

! "

全周を

360

等分した目盛りを用いて，角の大きさを表す方法．単位は度を用いる．

# $

!

弧度法

"

直角を

90

^◦とし, 1周を

360

^◦とする角の大きさの表しかたを

60

分法とよぶ.

一方,円弧の長さを用いた角の大きさの表し方を弧度法という.単位は

rad (ラジアン).

つまり

2πラジアン = 360

^◦ となる.

# $

正の角と負の角

! "

角は反時計回りを正の回転方向として測る．

# $

! "

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# $

これ以後, 角の大きさは弧度法で表し,単位ラジアンも特に書かない

!

三角関数

"

単位円

(原点を中心とする半径 1

の円)の上に点

P(x, y)

があり,線分

OP

が

x

軸の正方向と角θをなしているとする.このとき

cosθ = x, sinθ = y, tan θ = y x

と定義し,

θ

に対しそれぞれの右辺の値を対応させることにより定まる関数

y = sin θ, y = cos θ, y = tan θ

を総称して三角関数^aという.

ただし, tan

θ

は

θ = π

2 + nπ (n

は整数)に対して定義しない.

a

sin, cos, tan

はそれぞれ

sine, cosine, tangent

の略でサイン,コサイン,タンジェントと読む.

# $

問題

35

次の三角関数の値を求めなさい.

(1) tan !

− π 4

"

(2) cos

#

− 7 6 π

$

(3) sin

# 7 2 π

$

(4) tan

#

− 17 6 π

$

問題

36

次をみたす角

θ

を求めなさい.

(1) tanθ = 1, 0 ! θ < π (2) sinθ = −

¹2

, 0 ! θ <

^3π₂

(3) cosθ =

^√₂²

, −

^π2

! θ <

^π₂

三角関数の性質

! "

cos( − θ) = cosθ, sin( − θ) = − sinθ, tan( − θ) = − tanθ

# $

問題

37 tanθ = 2, π ! θ !

³2

π

のとき, sin

θ, cos θ

を求めなさい.

定理

17 (三角関数の計算公式)

•

三角関数の基本関係式

tan θ = sinθ

cos θ , sin

²

θ + cos

²

θ = 1, 1 + tan

²

θ = 1 cos

²

θ

•

三角関数の加法定理

cos(α +β) = cos α cos β − sinα sin β, cos(α − β) = cos α cosβ + sinα sin β sin(α +β) = sin α cos β + cosα sin β, sin(α − β) = sinα cos β − cos α sinβ

tan(α + β) = tanα + tanβ

1 − tan α tan β , tan(α − β) = tan α − tan β 1 + tan α tan β

•

倍角の公式

sin(2α) = 2 sin α cosα

cos(2α) = cos

²

α − sin

²

α = 1 −2 sin

²

α = 2 cos

²

α − 1 tan(2α) = 2 tan α

1 − tan

²

α

•

半角の公式

sin

²

! α

2 "

= 1 − cos α

2 , cos

²

! α 2

"

= 1 + cos α

2 , tan

²

! α 2

"

= 1 − cos α 1 + cos α

•

積を和に直す公式

sinα sin β = −cos(α + β) + cos(α − β) 2

cos αcos β = cos(α + β) + cos(α − β) 2 sinα cos β = sin(α + β) + sin(α − β)

2

•

和を積に直す公式

sinα + sinβ = 2 sin

# α + β 2

$ cos

# α − β 2

$

cos α + cos β = 2 cos

# α + β 2

$ cos

# α − β 2

$

cos α − cos β = − 2 sin

# α + β 2

$ sin

# α − β 2

$

(2)

定理

18 (三角関数の極限値・導関数) y = sin x, y = cos x

に対し,次が成り立つ.

θ→0

lim sin θ

θ = 1, lim

θ→0

cosθ − 1 θ = 0

定理

19 (三角関数の極限値・導関数)

y = sin x

の導関数は

y = cos x, y = cos x

の導関数は

y = − sinx y = tan x

の導関数は

y = 1

cos

²

x

問題

38

次の関数を微分しなさい.

(1) y = sin x + cosx

(2) y = sin xtan x

(3) y = sin(1 + 2x)

(4) y = tan

³

x

(5) y = x

²

sin x

(6) y = sin &

x

³

'

(7) y = tan

²

(2x − 9)

定理

20 (三角関数の不定積分) y = sin x

の不定積分は

%

sinxdx = −cos x+ C y = cos x

の不定積分は

%

cosxdx = sin x + C

問題

39

次の関数を積分しなさい.

(1) y = 1 cos

²

x

(2) y = xcos x

(3) y = 5x

⁴

cos(x

⁵

+ 1)

(4) y = (3x− 5) cos x

(5) y = cos xsin

⁷

x

問題

40

次の関数を指示された区間で定積分しなさい.

(1) y = xcos x − sin x, [ − π,π]

(2) y = cos

²

x, [0,

^π₂

]

学籍番号氏名