多変数関数の Taylor 展開

(1)

多変数関数の Taylor _展開

(2)

多変数関数の Taylor _展開

[

全微分可能な多変数関数の一次式による近似

^] x-y

_座標を定められた平面で定義された関数

f ( x, y )

が全微分可能、即ち

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ )+ f _x ( x ₀ , y ₀ )( x − x ₀ )+ f _y ( x ₀ , y ₀ )( y − y ₀ )+ R ( x, y )

が成り立つならば、をの近くで一次関数

で近似できた。

同様に変数関数がで全微分可

能ならばはのまわりで一次関数

で近似できる。

(3)

多変数関数の Taylor _展開

[

^] x-y

f ( x, y )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ )+ f _x ( x ₀ , y ₀ )( x − x ₀ )+ f _y ( x ₀ , y ₀ )( y − y ₀ )+ R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p ( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² = 0

が成り立つならば、

をの近くで一次関数

(4)

多変数関数の Taylor _展開

[

^] x-y

f ( x, y )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ )+ f _x ( x ₀ , y ₀ )( x − x ₀ )+ f _y ( x ₀ , y ₀ )( y − y ₀ )+ R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p ( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² = 0

f ( x, y )

を

( x ₀ , y ₀ )

の近くで一次関数

f ( x ₀ , y ₀ ) + f _x ( x ₀ , y ₀ )( x − x ₀ ) + f _y ( x ₀ , y ₀ )( y − y ₀ )

(5)

多変数関数の Taylor _展開

[

^] x-y

f ( x, y )

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ )+ f _x ( x ₀ , y ₀ )( x − x ₀ )+ f _y ( x ₀ , y ₀ )( y − y ₀ )+ R ( x, y )

( x,y ) lim → ( x 0 ,y 0 )

R ( x, y )

p ( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² = 0

f ( x, y )

を

( x ₀ , y ₀ )

の近くで一次関数

f ( x ₀ , y ₀ ) + f _x ( x ₀ , y ₀ )( x − x ₀ ) + f _y ( x ₀ , y ₀ )( y − y ₀ )

同様に

n

_変数関数

f (x ₁ , . . . , x _n )

_が

(x ₁₀ , . . . , x _n ₀ )

_{で全微分可} 能ならば

f ( x ₁ , . . . , x _n )

は

( x ₁₀ , . . . , x _n ₀ )

のまわりで一次関数

f ( x ₁₀ , . . . , x _n ₀ )+ f _x ₁ ( x ₁₀ , . . . , x _n ₀ )( x ₁ −x ₁₀ )+ · · ·+ f _x n ( x ₁₀ , . . . , x _n ₀ )( x _n −x n 0 )

(6)

多変数関数の Taylor _展開

(7)

多変数関数の Taylor _展開

[

多項式による多変数関数の近似

^]

同様に、二次の多項式で

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + a ₁ ( x − x ₀ ) + b ₁ ( y − y ₀ )

+ a ₂ ( x − x ₀ ) ² + c ₂ ( x − x ₀ )( y − y ₀ ) + b ₂ ( y − y ₀ ) ² + R ₃ ( x, y )

とおいて

( x,y ) → lim ( x 0 ,y 0 )

R ₃ ( x, y )

(x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

が成り立つものが存在するとする。

このとき多項式

は、をの近くでもっとも良く近似している二次多項式であると考えられる。

(8)

多変数関数の Taylor _展開

[

多項式による多変数関数の近似

^]

同様に、二次の多項式で

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) + a ₁ ( x − x ₀ ) + b ₁ ( y − y ₀ )

+ a ₂ ( x − x ₀ ) ² + c ₂ ( x − x ₀ )( y − y ₀ ) + b ₂ ( y − y ₀ ) ² + R ₃ ( x, y )

とおいて

( x,y ) → lim ( x 0 ,y 0 )

R ₃ ( x, y )

(x − x ₀ ) ² + (y − y ₀ ) ² = 0

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) + a ₁ (x − x ₀ ) + b ₁ (y − y ₀ )

+ a ₂ ( x − x ₀ ) ² + c ₂ ( x − x ₀ )( y − y ₀ ) + b ₂ ( y − y ₀ ) ²

は、

f (x, y)

_を

(x ₀ , y ₀ )

の近くでもっとも良く近似している二次多項式であると考えられる。

(9)

多変数関数の Taylor _展開

更に一般に

n − 1

次の多項式で

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

C _i,j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j + R _n (x, y)

とおいて

( x,y ) → lim ( x 0 ,y 0 )

R _n ( x, y ) { p

( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² } ⁿ ⁻ ¹ = 0

は、をの近くでもっとも良く近似している次多項式であると考えられる。

(10)

多変数関数の Taylor _展開

更に一般に

n − 1

次の多項式で

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

C _i,j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j + R _n (x, y)

とおいて

( x,y ) → lim ( x 0 ,y 0 )

R _n ( x, y ) { p

( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² } ⁿ ⁻ ¹ = 0

f ( x, y ) = f ( x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

C _i,j ( x − x ₀ ) ⁱ ( y − y ₀ ) ^j

は、

f ( x, y )

を

( x ₀ , y ₀ )

の近くでもっとも良く近似している

n − 1

次多項式であると考えられる。

(11)

多変数関数の Taylor _展開

[

係数の求め方

^] f ( x, y )

が

n − 1

次多項式の場合は

( x − x ₀ ) , ( y − y ₀ )

で括ることによって

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

C _i,j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j

と書ける。

このときを最も良く近似している次多項式は当然そのものである。従ってを上のように書いたときのを求めれば良い。

具体的には、

である。但し、とする。

(12)

多変数関数の Taylor _展開

[

係数の求め方

^] f ( x, y )

が

n − 1

( x − x ₀ ) , ( y − y ₀ )

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

C _i,j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j

と書ける。

このとき

f ( x, y )

を最も良く近似している

n − 1

次多項式は当然

f ( x, y )

そのものである。従って

f ( x )

を上のように書いたときの

C _i,j

_{を求めれば良い。}

具体的には、

である。但し、とする。

(13)

多変数関数の Taylor _展開

[

係数の求め方

^] f ( x, y )

が

n − 1

( x − x ₀ ) , ( y − y ₀ )

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

C _i,j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j

と書ける。

このとき

f ( x, y )

を最も良く近似している

n − 1

次多項式は当然

f ( x, y )

そのものである。従って

f ( x )

を上のように書いたときの

C _i,j

_{を求めれば良い。}

具体的には、

C _i,j = 1 i ! j !

∂ ⁱ ⁺ ^j f

∂x ⁱ ∂y ^j

である。

(

_但し、

0! = 1

_とする。

)

(14)

多変数関数の Taylor _展開

[

練習問題

^]

実際に

C _i,j = 1

i!j !

∂ ⁱ ⁺ ^j f

∂x ⁱ ∂y ^j

^{となることを}

f ( x, y )

が三次式の場合について確かめよ。

(15)

多変数関数の Taylor _展開

n

階までの偏導関数が存在して連続な二変数関数について

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

1 i ! j !

∂ ⁱ ⁺ ^j f

∂x ⁱ ∂y ^j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j + R _n (x, y)

と書くと、

「余り」は

を満たし、この多項式部分はのの近くでの最も良い次多項式による近似になっている。

上記のの変形を展開とよぶ。

特にのときの展開を展開

とよぶ。

(16)

多変数関数の Taylor _展開

n

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

1 i ! j !

∂ ⁱ ⁺ ^j f

∂x ⁱ ∂y ^j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j + R _n (x, y)

と書くと、「余り」

R _n ( x )

は

( x,y ) → lim ( x 0 ,y 0 )

R _n ( x, y ) { p

( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² } ⁿ ⁻ ¹ = 0

を満たし、この多項式部分は

f (x, y)

_の

(x ₀ , y ₀ )

_{の近くでの最} も良い

n − 1

次多項式による近似になっている。

上記のの変形を展開とよぶ。

特にのときの展開を展開

とよぶ。

(17)

多変数関数の Taylor _展開

n

f (x, y) = f (x ₀ , y ₀ ) +

n − 1

X

i + j =1

1 i ! j !

∂ ⁱ ⁺ ^j f

∂x ⁱ ∂y ^j (x − x ₀ ) ⁱ (y − y ₀ ) ^j + R _n (x, y)

と書くと、「余り」

R _n ( x )

は

( x,y ) → lim ( x 0 ,y 0 )

R _n ( x, y ) { p

( x − x ₀ ) ² + ( y − y ₀ ) ² } ⁿ ⁻ ¹ = 0

を満たし、この多項式部分は

f (x, y)

_の

(x ₀ , y ₀ )

_{の近くでの最} も良い

n − 1

次多項式による近似になっている。

上記の

f (x, y)

_の変形を

Taylor

_{展開とよぶ。}

特に

( x ₀ , y ₀ ) = (0 , 0)

のときの

Taylor

_展開を

Maclaurin

_展開とよぶ。

f ( x, y ) = f (0 , 0) +

n − 1

X 1 i ! j !

∂ ⁱ ⁺ ^j f

∂x ⁱ ∂y ^j x ⁱ y ^j + R _n ( x, y )

(18)

多変数関数の Taylor _展開

「余り」

R _n ( x )

は剰余項とよばれ次の様に書かれる。

R _n ( x, y ) = X

i+j=n

1 i ! j !

∂ ⁿ f

∂x ⁱ ∂y ^j ( x ₀ + θ _n ( x − x ₀ ) , y ₀ + θ _n ( y − y ₀ )) · ( x − x ₀ ) ⁱ · ( y − y ₀ ) ^j ( 0 < θ _n = θ _n ( x, y ) < 1 )

階偏導関数まで存在して連続な多変数関数についても同様の公式が成り立つ。

練習問題の一変数関数

を展開してと置くことにより、二変数の展開の公式を証明せよ。前記の仮定の下では回までの偏微分の順序は交換できる。

(19)

多変数関数の Taylor _展開

「余り」

R _n ( x )

R _n ( x, y ) = X

i+j=n

1 i ! j !

∂ ⁿ f

∂x ⁱ ∂y ^j ( x ₀ + θ _n ( x − x ₀ ) , y ₀ + θ _n ( y − y ₀ )) · ( x − x ₀ ) ⁱ · ( y − y ₀ ) ^j ( 0 < θ _n = θ _n ( x, y ) < 1 )

n

階偏導関数まで存在して連続な多変数関数

f ( x ₁ , . . . , x _m )

についても同様の公式が成り立つ。

練習問題の一変数関数

を展開してと置くことにより、二変数の展開の公式を証明せよ。前記の仮定の下では回までの偏微分の順序は交換できる。

(20)

多変数関数の Taylor _展開

「余り」

R _n ( x )

R _n ( x, y ) = X

i+j=n

1 i ! j !

∂ ⁿ f

∂x ⁱ ∂y ^j ( x ₀ + θ _n ( x − x ₀ ) , y ₀ + θ _n ( y − y ₀ )) · ( x − x ₀ ) ⁱ · ( y − y ₀ ) ^j ( 0 < θ _n = θ _n ( x, y ) < 1 )

n

階偏導関数まで存在して連続な多変数関数

f ( x ₁ , . . . , x _m )

についても同様の公式が成り立つ。

[

練習問題

^] t

_{の一変数関数}

F ( t )= f ( x ₀ + t ( x − x ₀ ) , y ₀ + t ( y − y ₀ ))

を

Maclaurin

_展開して

t = 1

と置くことにより、二変数の

Taylor

展開の公式を証明せよ。

(

_{前記の仮定の下では}

n

_回ま

での偏微分の順序は交換できる。

)

(21)

多変数関数の Taylor _展開

[

練習問題

^]

三階偏導関数が存在して連続な二変数関数

f ( x, y )

について

f _x ( x ₀ , y ₀ ) = f _y ( x ₀ , y ₀ ) = 0

が成り立つとする。このとき次が成り立つことを

Taylor

_{展開を用いて示せ。}

(1) { f _xy ( x ₀ , y ₀ )} ² − f _xx ( x ₀ , y ₀ ) · f _yy ( x ₀ , y ₀ ) < 0

のとき、

f _xx ( x ₀ , y ₀ ) > 0

ならば

f ( x, y )

は

( x ₀ , y ₀ )

で極小値をとり、

f _xx ( x ₀ , y ₀ ) < 0

ならば

f ( x, y )

は

( x ₀ , y ₀ )

で極大値をとる。

(2) {f xy (x ₀ , y ₀ )} ² − f _xx (x ₀ , y ₀ ) · f _yy (x ₀ , y ₀ ) > 0

_のときは

f (x ₀ , y ₀ )

_{は極値ではない。}

(22)

宿題

セクション

77

_〜

79 (153

_ページ〜

158

_ページ

)

多変数関数の Taylor 展開