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. . .
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N
物体の連成振動樋口さぶろお
龍谷大学理工学部数理情報学科
現象の数学
B L08(2010-11-30 Tue)
今日の目標
.
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1 N
物体の連成振動の運動方程式を書ける.
.
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2 A n = e ipn
とおく,
で漸化式が解ける.
.
.
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3
波数と分散関係の意味を説明できる.
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4 N
物体の連成振動の固有周波数と固有モードが公式で求められる
. http://hig3.net
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 1 / 16
前回の復習
Quiz
略解Quiz
略解I
添削者向け講評採点基準と結果は
e
ラーニングシステムで ほとんどは正しい添削.
すばらしい.
なぜ白黒でスキャン
?
赤で採点したらカラー.
解答でやってないところまで書かなくていいっていったのに〜
解答者向け講評
運動方程式の誤りが多い
. u 1 ↔ u 3
対称性に着目.
固有モードを
At + B
とした誤りが多い.
危険な説明だったけど, ω = 0 (
重根)
の特殊性だって言ったでしょ.
赤が添削者
,
緑が樋口の採点. Quiz
略解:
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 2 / 16
前回の復習
Quiz
略解Quiz
略解II
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1
mu 00 1 = − Ku 1 − k(u 1 − u 2 )
mu 00 2 = +k(u 1 − u 2 ) − k(u 2 − u 3 ) mu 00 3 = +k(u 2 − u 3 ) − Ku 3
m = 1, k = K = 1
より( u 1
u 2
u 3
)
= − K ( u 1
u 2
u 3
)
, K =
( 2 − 1 0
−1 2 −1 0 − 1 2
)
.
前回の復習
Quiz
略解Quiz
略解III
.
.
.
2
( u 1
u 2
u 3
)
= ( a
b c
)
e iωt
が解だとする.
代入すると, (iω) 2
( a
b c
)
= −K ( a
b c
)
すなわち,
( a
b c
)
はK
の固有ベクトル,
固有周波数 をω
とすると, ω 2
はK
の固有値.
K
の固有値固有ベクトルを求める.
0 = det(λE − K ) = (λ − 2)((λ − 2) 2 − 1) − 1(1(λ − 2))
= (λ − 2)(λ 2 − 4λ + 2)
より, λ = 2, 2 ± √
2.
よって,
固有周波数ω = √ 2, √
2 ± √ 2 > 0.
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
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前回の復習
Quiz
略解Quiz
略解IV
.
.
.
3
これらのλ
に対応する固有ベクトルは, (λE − K) ( a
b c
)
= ( 0
0 0
)
を解 いて, ( a
b c
)
= ( 1
− 0 1
) s,
( 1
− √ 2 1
) s,
( 1
+ √ 2 1
)
s. (s ∈ R )
±ω
を考えて,
固有モードはそれぞれ, u 1 (t) =
( 1
− 0 1
) A 1 cos
( √ 2t − θ 1
) , u 2 (t) =
( 1
− √ 2 1
) A 2 cos
(√
2 + √ 2t − θ 1
) , u 3 (t) =
( 1
+ √ 2 1
) A 3 cos
(√
2 − √ 2t − θ 1
) .
ちなみに一般解はu(t) = C 1 u 1 (t) + C 2 u 2 (t) + C 3 u 3 (t)
N
物体の連成振動N = 2, 3, 4, 5, . . .
物体の数値解N = 2, 3, 4, 5, . . .
物体の場合の連成振動の固有周波数,
固有モードN × N
行列が(
数値的でもいいから)
対角化できれば答えは求まる.
Out[28]=
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 6 / 16
N
物体の連成振動N = 2, 3, 4, 5, . . .
物体の数値解N
物体の連成振動の運動方程式4
物体mu 00 1 =−ku 1 −k(u 1 − u 2 )
mu 00 2 = +k(u 1 − u 2 ) − k(u 2 − u 3 )
mu 00 3 = +k(u 2 − u 3 ) − k(u 3 − u 4 ) mu 00 4 = +k(u 3 − u 4 ) − ku 4
N
物体n = 2, . . . , N − 1,
つまり端以外の場合.
mu 00 n = +k(u n − 1 − u n ) − k(u n − u n+1 )
端
n = 1, N
を別扱いはややこしい…姑息なハイテク
u 0 ,u N+1
をいったん導入して,
後で(
任意定数を決めるときに?)
u 0 = u N+1 = 0
を課すことにすれば, n = 0, 1, 2, . . . , N , N + 1
に対して 上の方程式1
個でいい.
N
物体の連成振動N = 2, 3, 4, 5, . . .
物体の数値解運動方程式で
e iωt
してみると?
m
k u 00 n = u n − 1 − 2u n + u n+1 .
で,
今までののりで,
u 1 (t)
.. .
u n (t)
.. .
u N (t)
=
A 1
.. .
A n
.. .
A N
e iωt ,
つまり, u n (t) = A n e iωt
と おく.
m
k (iω) 2 A n e iωt =(A n − 1 − 2A n + A n+1 )e iωt
A n − 1 − (2 − k/m ω 2 )A n + A n+1 = 0
固有値固有ベクトル
,
っていうより,
数列{ A n }
の漸化式?
漸化式A n+1 = − A n − 1 + (2 − k/m ω 2 )A n , ‘
初項’ A 0 = A N+1 = 0.
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
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N
物体の連成振動e ipn
とおく,で解ける漸化式e ipn
とおく,
で解ける漸化式A n+1 = − 2A n , A 0 = 3
を解こう.
A n = Ae ipn
とおいてみる.
N
物体の連成振動e ipn
とおく,で解ける漸化式Quiz:
漸化式
A n+1 = √
3A n − A n − 1
で定まる数列の一般項を
, A n = Ae ipn
とおいてみることで求めよう.
た だし初項に対応する定数は未定のまま残してよい.
p = ± 1 6 π.
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 10 / 16
N
物体の連成振動 波数p
A n − 1 − (2 − k/m ω 2 )A n + A n+1 =0 e ipn e − ip − (2 − k/m ω 2 )e ipn + e ipn e ip =0
e − ip + e ip =2 − k/m ω 2
2 cos(p) =2 − k/m ω 2 (
オイラーの公式)
よって, p = cos − 1 (1 − 1 2 k/m ω 2 ). −p
も可能.
A n = Ae ipn + Be − ipn .
初項の条件A 0 = 0
より, A 0 = A + B = 0.
A n = A(e ipn − e − ipn ) = 2iA sin(np)
‘
初項’
の条件A N+1 = 0
よりA N +1 = 2iA sin((N + 1)p) = 0
よって, p = N π` +1 . `
は整数.
N
物体の連成振動 波数p
結論
.
A n = C sin(np), p = N π` +1 . n
は物体番号=
固有ベクトルの第n
成分.
ここで
, p
は物体番号n
を変化させたときの空間的な波の振動の速さを表 すので,
波数
という
. (n = 1, . . . , N)
`
は整数.
固有モードを区別.
` = 0, N + 1
は自明な解.
振動してないので興味ない.
` < 0, ` > N + 1
は,
定数倍.
結局`
の範囲は` = 1, . . . , N
.
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 12 / 16
N
物体の連成振動 分散関係分散関係 波数を
p ` = N+1 π` , ` = 1, . . . , N
と書く.
ω
からp
が決まると思ってたのに, p
は上の値に限られる.
⇒
固有周波数
ω
の値もω `
に限られる.
2 − ω ` 2
k/m =2 cos(p ` ) 2 − 2 cos(p ` ) = ω 2 `
k/m 4 sin 2 ( 1 2 p ` ) = ω 2 `
k/m
(
半角公式)
ω ` =2
√
k
m sin( 1 2 p ` )
N
物体の連成振動 分散関係.
分散関係.
.
.
. . .
.
.
ω
とp
の関係.
ある固有モードを決めたとき
固有周波数
ω :
時刻t
が変化したときにu(t)
がどのくらいの速さで 振動するかを表す波数
p:
物体番号n
が変化したときにu n (t) ∼ A n
がどのくらいの速 さで振動するかを表すN
物体の固定端の連成振動の場合, ω ` = 2
√ k
m sin( 1 2 p ` ).
Out[44]=
0 Π
2 Π
2km
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 14 / 16
N
物体の連成振動 分散関係.
N
物体の固定端の連成振動のまとめ.
.
.
. . .
.
.
以下
,
固有モード` = 1, 2, . . . , N
をひとつ固定する.
物体番号n = (0, )1, 2, . . . , N (, N + 1).
固有周波数
ω ` = 2
√
k
m sin( 1 2 N+1 π` ).
波数
p ` = N+1 π` .
固有モード(
の関数形)
u n (t) = A n C cos(ω ` t − θ ` ) = sin(np ` )C cos(ω ` t − θ ` ).
ω
とp
の関係(
分散関係) ω ` = 2
√ k
m sin( 1 2 p ` )
一般解は全ての固有モード
` = 1, 2, . . . , N
の線形結合でu n (t) =
∑ N
`=1
C ` sin(np ` ) cos(ω ` t − θ ` )
=
∑ N
`=1
C ` sin( N+1 π`n ) cos (
2
√
k
m sin( 2(N π` +1) )t − θ ` )
.
樋口さぶろお
(数理情報学科) L08 N
物体の連成振動 現象の数学B(2010) 15 / 16
N
物体の連成振動Quiz
Quiz
Quiz:
N = 5
とする.
上で求めた最終的な式をそのまま利用してよいので
,
固有周波数をすべて 求めよう.
固有モードのうち, ` = 1, ` = 5
を求めよう. sin
の値の中には,
具体的には計算できないものもあるかも.
今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題
¨ §
小形p.47-57 ¥ ¦
分散関係
¨
§
¥
小形 例題
3.2(p.55) ¦
N
質点の連成振動の固有モード¨
§
¥
小形
3
章演習問題[3](p.57),[5](p.58) ¦
次回の予習ポイント偏微分
(
微積分・演習)
偏微分方程式(
現象の数学A)
予習復習問題明日水曜日の昼には
e
ラーニングシステムで公開するので やってね〜締切は月曜夜.
樋口さぶろお
