雑誌名 關西大學經済論集

企業設備投資のq理論 : Summersモデルを中心に

その他のタイトル The Tax‑Adjusted q Theory of Investment in a Modified Summers Model

著者 村田 安雄

雑誌名 關西大學經済論集

巻 39

号 6

ページ 937‑959

発行年 1990‑03‑20

URL http://hdl.handle.net/10112/13958

論 文

企業設備投資の q ^理論

‑Summers モデルを中心に一一

村 田

安 雄

1 .   序

2 .   投資の調照費用と q 理論 3 .   課税を組込んだ企業の市場価値 4 .   課税により調整された q 理論 5 .   税率上昇の投資への影響 6 .   減価償却率上昇の投資への影響 7 .   インフレ率上昇の投資への影響 8 .   結 語

補論 Matsuyama モデルの解明

1 .   序

投資決定論としての q 理論は既に 1980 年代の前半において確立されている が，その解説論文は少なく，特にキャビタル・ゲインと課税を考慮した q 理論 を容易に理解する文献は皆無である。そこで本論文はこのような q 理論の論 拠•発展·比較静学の分析を最も現実的なモデルを用いて，解説的な論理展開 を行ない，同時に数学的に正確であることを目指す。

我々のモデルは基本的には Summers ( 1 9 8 1 ) のそれに準拠するが， 第 2 節

では導入として L i p t o n ‑ S a c h s ( 1 9 8 3 ) のモデルを用い， 第 3 節でそのモデル

に対し課税とキャビタル・ゲインを組み込む。このことによって q 理論は税調

整済みの形をとる（第 4 節）。第 5 節〜第 7 節は色々なパラメータの変化が投資

に及ぽす効果を，全部で 7 つ の 図 を 用 い て ， 比 較 静 学 の 手 法 で 分 析 す る 以 補

1 

9 3 8   関西大學「純清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ）

論において Lipton‑Sachs型に類似する Matsuyama ( 1 9 8 7 ) の q 理論を解説 しておく。

2 .   投資の調整費用と q 理論

代表的企業の生産関数 F(K,L ) は資本 K と労働 L について一次同次である ものと想定しよう。全財の価格を P とし，労働賃金率を W とすれば， この企業 の粗収益は

pF(K, L)‑wL 

である。粗収益から投資 I の全費用 ( L i p t o n ‑ S a c h s型の）

( 1   +￠)pl  を差し引いた残高

R=pF(K,  L) ‑wL‑(1  +￠)Pf  は当該企業の純収益 ( n e tr e c e i p t s )である 2 ) 。

( 1 ) '  

(2) 

(3) 

(2) の￠ は投資の調整費用 ( a d j u s t m e n tc o s t s ) または取付け費用と呼ばれ，

我々はこれを I/K の増加関数

¢(•)=¢(I/ K),  ￠ ( 0 )  =0,  ￠'>0  (4)  と想定する 3) 。 (2) の表現を K で除して P=l としたものを￠ と定義すると，

< p ( z ) 圭 ( 1+ < J , ( z ) ) z ,  z=I/  K  (5)  と表わされ， (4) の想定の下に￠ は

c p ( O )  =0,  c p ' ( O )  =1,  c p ( z ) ; ; ; ; o ,   c p ' ( z ) > O   ( z ; ; ; ; O )   (6)  の性質をもつことが明らかであるので，￠ は Uzawa ( 1 9 6 9 ) のペンローズ曲線

1)  Summers とは異なる投資調整費用関数を持つ A b e l ( 1 9 8 2 ) の q 理論については，

竹中 ( 1 9 8 4 ) の第4 章を見よ。

2)  Lucas  ( 1 9 6 7 ) ,   p .   3 2 2 を参照。 これは純現金流入 ( n e tc a s h  f l o w ) とも呼ばれる

(Treadway  ( 1 9 6 9 ) ,   p .   2 2 7 ) 。

3) 調整費用を I の増加関数と想定する立場もある。 G o u l d ( 1 9 6 8 ) ,   p .   4 8 を参照。

2 

企業設備投資の q 理論（村田） 9 3 9   を大体描く 4 )

いま第 t 時点における企業の純収益 R(t) を現在価値に割引くための率とし て，各時点 ( u )の資本に対する瞬時的収益率 r ( u ) を用いると，第 S 時点を現 在として， R(t) の現在価値は

R(t)・exp[  r   ‑

^{r(u)du]  (7)} 

である。もし r ( u ) が当該期間[ s ,t ] において一定値 r をとれば， (7) は次の ょうになる。

R(t)e ― r(l‑s) 

さて当該企業は投資を行い続けて，資本を

K=I‑ 紅 k

( 7 り

(8)  に従って増減させる。ここに 8 は資本の減価償却率（一定）であり，だは K の 時間的変化を示す。そして第 S 時点（現在）での企業の市場価値 V(s) は ， 現 在から将来にわたる各時点での純収益の現在価値の合計である。つまり

V(s)  = ~ 0 0 { P F ( K ,   L)‑wL‑(1  +￠)pn・exp[  『 ‑ ^r(u)du]dt (9)  ここに K , L および I は K ( t ) , L ( t ) および l ( t ) を意味する。

当該企業は現在の資本 K ( s ) を所与として， 労働 L と投資 I を自主的に制 御し， (9) の市場価値の最大化を達成することを目指す。その際に (8) の制約 条件が充たされていなければならない。この最大化問題の必要条件は，ボント

リャーギンの最大原理によって以下のように解かれる 5) 。

入 ( t ) を補助変数とし，現価 ( c u r r e n tv a l u e )ハミルトニアンを

H 奎 { p F ( K , L)‑wL‑(1  + < / J ) p l )  +‑l(I‑oK)  ( 1 0 )   と定義して，次のR ④の 4 条件が充たされなければならない 6) 。

4) ペ ン ロ ー ズ 曲 線 を 描 く た め の 条 件 の 一 つ に が (z)>O があるが，我々の r p " ( z ) = 2 が (z)+ が( z ) z は必ずしも正値をとるとは限らない。

5) 例 え ば Murata( 1 9 7 7 ) ,   p .   3 4 4 を参照。 L と I は制御変数， K は状態変数である。

6) 当面の無限期間の最大化問題の横断性条件④は Weitzman( 1 9 7 3 ) のそれである。

3 

940  閥西大學「経清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ） R8H/8L=O 

@  8H/81=0 

I 

⑥  d(A(t)•exp[ -~r(u)du]) a H   ¹ 

=―眩 exp[ -~r(u)du]

•

I 

④  }墨巴 l(t)K(t)•exp[ -~,r(u)du] =O  (横断性条件）

まずRは，労働の限界生産力 ( 8 F / 8 L ) を 凡 と 記 し て

FL=w/p  ^{( 1 1 )}  

と書き換えられ，これは最適な労働投入の原則を示す。つぎに最適な投資は⑥ より，

-/r=¾,-(qー 1-¢)

と求められる。ただし q はつぎのように置かれている。

q = J . / p  

そして条件⑥より， iの時間的変動の式が次のように得られる。

. i = ( r + B ) J . ‑ p が ( ‑ f r ) 2 ‑ p F K

ここに FK は資本の限界生産力 c a F f a K ) を示す。

( 1 2 ) 式において， I と q の関係は， (4) を考慮して I=O  q=l 

I>O~q>l

( 1 2 )  

( 1 3 )  

( 1 4 )  

( 1 5 )  

となることが分かり， これは投資の q 理論と言われる内容である (Yoshikawa ( 1 9 8 0 ) を参照）。

ところで F は K と L について一次同次と想定されているので， ( 1 1 ) の最適 労働投入の場合には，

F(K, L)‑竺七＝氏K p 

が成立する。 ( 1 6 ) と最適投資の ( 1 2 ) を(9) 式へ代入すると 4 

( 1 6 )  

企業設備投資の q 理論（村田）

V(s)=[{氏 +rt>'(村—哨}PK·exp[ -~_r(u)du]dt t 

となる。これに ( 1 4 ) を代入し，次いで (8) を考慮すると，最適経路上での企業 の市場価値 V* が次のように導出される。

V * ( s )   =~~(rlK-lK-iK) exp[ ‑frcu)du]dt 

ここで部分積分の適用によって

~00 (汰 +iK)exp[‑r  r ( u ) d u ] d t = [ l ( t ) K ( t )  exp[ ‑ : ‑ ‑ r  r ( u ) d u ] ] 0 0  

• • • •

+ r   rlK・exp[ ‑rr(u)du]dt 

• •

( 1 7 )  

を得る。これを ( 1 7 ) へ代入し，条件④も考慮すると，次の関係が得られる。

V * ( s )  =A(s)K(s)  ( 1 8 )   故に ( 1 8 ) より， ( 1 3 ) を考慮して

q ( s )   =  _{p (} ^V _s ^* ₎ ⁽ _K ^s ₍ ⁾ _{s   )}   ^{=企業の市場価値} _{~ ・  一ー} ^{( 1 9 )}   となり，これは「 Tobin の q 」を意味する 。

以上の q 理論は投資の調整費用を考慮した結果であることに注意すべきであ る。実際，￠ 関数が無ければ， ( 1 2 ) の投資決定式もない。

いま Lipton‑Sachs ( 1 9 8 3 ) の￠ の具体例

< / i = + i   ^(a>O) 

を用いると， ( 1 2 ) より決まる投資は， ( 1 9 ) も考慮して，

p ( s ) I ( s )   =(内 ( s ) ‑ p ( s ) K ( s ) ) / a

( 2 0 )  

( 2 0 ' )   となる。かくして最適な投資は企業の市場価値と投資の調整費用の形に大きく 依存していることが分かる。

7)  T o b i n   ( 1 9 6 9 ) ,   p .   2 1 を参照。我々の q は「平均の q」 で あ る ( H a y a s h i ( 1 9 8 2 )   を参照）。

5 

9 4 2   関西大學「網清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ）

3 .   課税を組込んだ企業の市場価値

前節は，企業収益に対する課税とか投資に対する免税が全く存在しない場合 の投資 q 理論を解説した。以下ではこれらの税制を組込んだ場合について考察 するが，我々は Summers( 1 9 8 1 ) と A b e l ・ ( 1 9 8 2 )を参考にして，両者の折衷 型を展開したい。まず Abelに従って，資本に対する税引き後の収益率 r を一 定と想定し， ( 7 ' ) の形の R ( t ) 現在価値を本節で用いる見つぎに R(t) の内 容を純現金流入 ( n e tc a s h  f l o w ) として，

R(t) =(1‑ て ) G C P 1 ,  K 心）一 {(1‑,)( 1  + < / J ) ‑ Z 1 } P t l 1 サ D,+bd 誓 ^{( 2 1 )}

と定義し，各項目を主としてSummersに依拠させる。すなわち企業の粗収益 を

G(p,  K ,   L) =PFCK, L)‑wL‑ibpK  ( 2 2 )   とし，ここに b= 資本の借入れ割合， i= 利子率， とするので， ibpKは借入金 の利払いである。

資本収益に対する税率をてとし，これがまた投資費用に対して賦与される税 控除率と同じと考える。そして Z ゅ t i , は第 t 時点の投資に基因する将来の減価 償却引当金に対する税控除の第 t 時価値で， , D , ^は第 t 時点より前の投資に基 因する減価償却引当金に対する税控除還付を示す。

いま第 S 時点を現在として， 第 t時点での Z tと Dtについて考えよう 9 )

D(u-t) を u-t 時後の減価償却引当率とすると (u~t~s),

z バ 辺 _t 

^{(u‑t)e ― r < u ‑ t ) d u ( 2 3 )}  

である。つぎに第 S 時点以前のすべての投資に対する減価償却引当金（第 t 時 8) Summers ( 1 9 8 1 ) は イ ン フ レ 率 冗 と 実 質 収 益 率 p の 和 が 名 目 収 益 率 r に等しいと

考える。我々は第 5 節においてこの考えを採り入れる。

9) H a l l ‑ J o r g e n s o n  ( 1 9 7 1 ) ,   p p .   1 6 ‑ 1 7 ;  Summers ( 1 9 8 1 ) ,   p p .   1 2 1 ‑ 1 2 2 ;   お よ び Abel

( 1 9 8 2 ) ,   p .   3 5 5 を参照。

点での）は

D1=  r  ^{D(t‑s+v) 炉 I , ‑ v d v}

である (s~v) 。 ゜

( 2 4 )  

( 2 1 ) 式右辺の最終項は新規純借入れを示し， p とK の時間的変化と (8) 式を 考えると，それは次のようになる。ただし冗 = = P I P である。

b・d(pK)/dt=b( か 一 o)pK+bpJ ( 2 5 )   さて (22) (25) を( 2 1 ) の R ( t ) へ代入し， ( 7 ' ) 式を積分して得られる， 第 S

時点（現在）の企業市場価値 V ( s )   =~R(t)e 00  — r(l-s)dt

s 

( 2 6 )   を整理すると次のように書ける。

V ( s )   =~[(1 一て） 00  ^{{ p F ( K ,}  L)‑wL‑ibpK) ‑{ ( 1 一 て ） ( 1  +￠)‑b‑Z)pl 

s 

+b( 冗 ― i 5 ) p 幻 e ― r ( t ‑ s ) d t +As  ( 2 7 )   ここに

A 戸 r _s  ^{ず D(t‑s+v) い I , ‑ v d v ・ e ― r ( l ‑ s ̲ ) d t}

0 

( 2 7 ' )   であり， A ,   は過去の全投資に基因する減価償却引当金に対する将来の税控除 の現在価値を意味する。

ところで Summers ( 1 9 8 1 ) に従って， 期待キャビタル・ゲインが完全に予 見されるものとして，市場価値 Vのキャビタル・ゲイン V ^{を考慮に入れよう。}

( 2 1 ) の Rがすべて配当されるものと想定すると， V に対する税率を C , 配当に 対する税率を m と記して，株主の要請する税引き後の収益率 r は

r V ( t )  =  (1‑c) V ( t )  +  (1‑m)R(t)  を充たさなければならない。 ( 2 8 ) 式は

V ( t )  ‑ r V ( t )   = ー ヒ 竺 R ( t ) 1‑c  1‑c 

( 2 8 )  

( 2 8 ' )  

と書き換えられ， これは（右辺が非斉次項の）線型微分方程式である。 r ,c ,   m を

7 

9 4 4   関西大學「紐清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ） 一定と仮定すると，

V(s)= ド訂 ^{R ( t ) ・ e} 呂 C t ‑ s ) d t _{( 2 9 )}   が( 2 8 ' ) の一意解となる 1 0 ) 。かくしてこの場合は ( 2 7 ) の代りに， 企業の市場価 値は

V ( s )   =~ ニ ： 町 ^{[(1‑ ） て { p F ( K ,   L )}   ‑wL‑ibpK} ‑{  ( 1 ー て ） Cl+￠) ‑b‑Z }   P l   +b( 冗 ー o)pKJe 戸 ‑r  ( t ‑ s ) d t + B s

となる。ここに 1‑m  = = 

Es=  1 ̲ J   _s  r1~D(t-s+v)いIs-vdv• ₀  ^{e ニ t ‑ " c ‑   C l ‑ s ) d t}  

( 3 0 )  

( 3 0 ' )   は( 2 7 ' ) の A,と同様の意味を持つ。従って第 S 時点以降の投資決定に際して最 大化される目的関数は V(s)‑Bs である。（第 3 節および第 4 節での式の展開は，

S a l i n g e r ‑ S u m m e r s   ( 1 9 8 3 ) を参考にした。）

4 .   課税により調整された q 理論

キャピタル・ゲインを考艇し，色々な課税を組込んだ企業の市場価値 ( 3 0 ) か ら過去の投資に基因する ( 3 0 ' ) の比を除いたもの， V(s)‑B,  を最大にするよ うに労働投入 L と投資 I を決定するが，制約条件は (8) の資本変動式である。

この問題は第 2 節でのポントリャーギン最大原理の適用によって，同じ手順で 解かれる。

ぇ C t ) を補助変数とし，現価ハミルトニアンを H=[Cl‑ て ) { p F ( K ,  L )  ‑wL‑ibpK) 

‑{(1‑,)(1  +rt,)‑b‑Z)pJ+b( 冗 ー o)pKJ 言 ^{+ J . ( I ‑ i J K ) ( 3 1 )}  

と定義して，次のR' @'の 4 条件が充たされなければならない。

1 0 ) この解を得るために，次の横断性条件が仮定される（数学付録を参照）。

皿 ^{V ( t ) e x p [} 芦 ( t ‑ s )]=o 

8 

理論（村田）

@'8H/8L=O 

⑥ '8H/8l=O  ニ ! . ̲ ( t ‑ s )

⑥  d(A(t)・e1‑c) 

＝  8H  1‑C  ニ~(t-s)

d t   ‑‑e  8K 

二竺 (t‑s)

1 ‑ c  

@'lim  i ( t ) K ( t ) ・ e   =0 

t →  

（横断性条件）

R'より次の最適労働投入条件が得られる。

FL=w/p  ( 1 1 ' )  

また￠が I/K の増加関数であることを考慮して，⑥'より次の最適投資条件が 導出される。

I  q*‑1‑rf>+  b+Z  _＝  K  rf>'(1‑,)rf>'  ただし

q*=  1‑c  (1‑,)G‑ml 

( 1 2 ' )  

( q = l / p )   ( 3 2 )  

と置く。そして⑥ より q * の変動式

ダ *=(f‑:c+o‑ 少 ＊ 十 i b → ' 情 ） ²  -FK-b~::_ニ~)

が得られる。

( 1 2 ' ) 式へ(4) を考慮すると

I= 〇   ： ： q*=l‑(b+Z)/(1 一 て ） I>O  二 q*>l‑(b+Z)/(1 一 て ）

の関係が明らかとなる。 ( 3 2 ) を考慮して ( 1 5 ' ) を I と q の関係に書き換えると，

( 1 4 ' )  

( 1 5 ' )  

l=O  : ; :   q=(l‑m)(l‑,‑b‑Z)/(l‑c) 

I> 。 : ; : q>(l‑m) (l‑,‑b‑Z)/(l‑c) 

となり， ( 3 3 ) は課税に伴って修正された投資と q 値との関係を示している。

さて最適条件 ( 1 1 ' ) と ( 1 2 ' ) を ( 3 0 ) 式へ代入すると，

( 3 3 )  

V(s)-B.=~~(l-r翌―T恥＋が (-f-)2 ―q*i-ib+b~ に ？ ］

︐ 

9 4 6   闊西大學『純清論集』第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ）

ニと ( t ‑ s ) xpK‑ei‑c  d t  

となり， これに ( 1 4 ' ) を代入し， 次いで (8) と( 3 2 ) を考慮すると， 最大の市場 価値 V* が得られる。すなわち

V*(s)‑Bs=[( 仕入 K‑ 入 k‑iK)e 凸 c t ‑ s ) d t   ( 1 7 ' ) は第 2 節の ( 1 7 ) に対応するので，

V*(s)‑B.=J.(s)K(s) 

( 1 7 ' )  

( 1 8 ' )   が以前と同様の部分積分を用い，@'を考慮することによって導出される。

圧 p q を( 1 8 ' ) へ代入すると，

q ( s )   =  ^V*(s)‑Bs  _{p ( s ) K ( s )}   ( 1 9 り となる。 ( 1 9 ' ) を ( 1 2 ' ) へ代入することにより最適投資は次式を充たす処で決定 する。

1‑c V*‑B,  +b+Z 

￠+￠'7[=  I  ( 口 ） ^{PK  ̲1} 

1‑r 

( 3 4 ) 式の左辺は I/K の関数であるので，その逆関数を h = = ( ￠ + ￠ ' ( I /   K))‑1 

とすれば，

J/K=h(Q‑1) 

が最適投資の決定式である。ここに Q を Q 叫し炉 +b+Z)!Cl‑,)

( 3 4 )  

( 3 5 )  

( 3 6 )  

( 3 7 )   と置き，これを「税調整済みの Tobin の q 」と呼ぶことが出来る 11) 。なぜな

らば ( 3 3 ) の関係によって I= 〇：： Q=l 

( 3 8 )   I>O~Q>l

1 1 )   Summers  ( 1 9 8 1 ) ,   p .   1 2 4 を参照したが， ( 3 7 ) の Q の定義は Summers の Q に 1 を 加えたものである。

1 0  

企業設備投資の q 理論（村田）

が成立するからである。

例えば

t f , = + ( ‑ k ) 2  

とすれば

t f , + t f ,  喩＝會( ‑ k r

となる。 ( 3 9 ' ) を ( 3 4 ) 式左辺へ代入して，逆関数をとって l/K=v'2(Q‑1)/3 

を得る。 ( 4 0 ) 式右辺が逆関数 h を示す。

5 .   税率上昇の投資への影響

9 4 7  

( 3 9 )  

( 3 9 ' )  

( 4 0 )  

前節において粗投資は ( 3 6 ) によって最適に決まることが明らかになった。こ れを (8) 式へ代入すると，資本 K は

K=(h(Q‑1)‑8)K  ( 4 1 )  

によって変動する。ここに Qは ( 3 7 ) で定義されたものである。また Summers ( 1 9 8 1 ) に従って

r= 冗十 p (p: 実質収益率） ( 4 2 )   と定義すると， ( 1 4 ' ) 式を書き換えて， q は

ダ＝（雲叫 {ib‑FK → '(h(Q‑1))2 賢 ^y1 ― ： 竺 ― m) ( 4 3 )   に従って変動する。

いま K が一定に止まる処では， ( 4 1 ) 式 に て 衣 =O の状態

h(Q‑l)=o  ( 4 4 )  

が充たされていなければならない。 ( 3 7 ) を考慮に入れると， ( 4 4 ) 式は次のよう に書き換えられる。

q=[(l‑,) { h →  ( 5 )  +1} ‑b‑Z](l‑m)/(1‑c)=q  ( 4 4 ' )  

1 1  

948  闊西大學「経清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3月 ）

( 4 4 ' ) を充たす処は図 1 における「 k=O 」線においてである。この線より上方 の領域では， q > q であるので，

Q>( わ 伍 ^{+b+z);o 一 て ） =f 戸 ( B )+1  ( 4 5 )}  

となり，従って h(Q‑1)>8, すなわち氏 >O の状態が成立する。逆に「 K=

0 」線の下方では k < o となる。

q 

̲ q  

゜ 7  ^{. J}  

K=O 

q=O 

I( 

図 1 k と qの位相関係 他方において， q=O の状態では， ( 4 3 ) より

q=  (1‑ て ) (1‑m) [  6‑ 冗

p  + c i i :  + (1‑c)6  FK‑ib+(h(Q‑1))2￠'‑ ― _1‑ ^{b ]   ( 4 6 )}  

て

が成立する。特に Q=l に対しては q=(l‑ て ‑b‑Z)(l‑m)/(1‑c)=q

の値をとる。 ( 4 4 ' ) の i よりも ( 4 7 ) の i は小さい。 q ; ; ; ; ; ; q ^{に対して粗投資 I は全}

く行われないので， k= 一 oK となる。 q > q に対しては ( 4 6 ) 式が，そして q ; ; ; ; ; ; q

( 4 7 )  

に対しては

q=p~ こ 腐 ― = ‑ r ; ぶ [ _{FK→b—曰b]} ^{( 4 6 ' )}  

が，ダ =O の状態を描き，それは図 1 の E 。点を通る右下りの曲線「り =O 」とな

1 2  

企業設備投資の q 理論（村田）

る。この線の右側の領域では， q を固定しておいて K がより大きくなるので，

氏がより小さくなり，従って ( 4 3 ) 式においてりは正値をとる。要約すると，

「 q = O 」線の右方では q > O となり，左方では q < O となる。

ダ > o ^は図 1 ^{にて上向き矢印，} q < O は下向き矢印で，それぞれの運動方向が示 され，また武 >O は右向き矢印，氏 <o は左向き矢印で示される。図 1 の E 。点 を中心とする 4 つの各領域では， 2 つの矢印が組み合わされて出来る直角内で K と q が同時に運動するが，その運動を規制する式は， ( 4 1 ) と ( 4 3 ) の比として

d q   諒 ＝

(p+c 冗 十 (1‑c)o)q+[{ib‑FK‑(h(Q‑1))2￠'} ( 1 一 て ） +Co‑ ） 冗 b](l‑m)  (1‑c)(h(Q‑1)‑l)K 

( 4 8 )   で与えられている。この ( 4 8 ) によって E 。点へ収束する経路は一意に決まり，

これが最適経路と呼ばれる（図 1 での E 。点を通る太い線）。その他の経路（矢 印の曲線）はすべて E 。点から離れる方向へ動く。なお E 。点では ( 4 6 ) の q が みの値をとるので， K の大きさは次式を充たすように決定する 1 2 ) 。

恥 ＝ ぐ ご ( 1+￠(0)  +0¢'(0) —凸） ⁺⁰⁽¹  +¢(0) —凸）

+(i ^{— (1-~} 贔い） ^{b ( 4 9 )}  

さて税率の変化が図 1 の状態に対して如何なる影響を与えるかを調べよう。

まず資本収益への税率てが引き上げられた時は， ( 4 9 ) においててについての偏 微分が

警 ^=c1‑;; も ＿ て ） ［ 任 和 ^{(p+c 冗 十 (1‑c)} 叫 ） （ 凸 ＋ 聾 ） ^{]<o  ( 5 0 )}  

となるので，新しい均衡点 E 1 における K は以前より大きくならなければなら ない。図 2 は T が以前のて。から ' l ' 1 へ引き上げられた場合の均衡点の移動が，

1 2 )  q が i に等しいとき， l/K=o となり， ( 3 5 ) の関係を用いて

h →  C o ) = r / > C o ) + 蒻 ' C o )

を得る。 ( 4 4 ' ) の i を ( 4 6 ) の q へ代入し， ( 4 4 * ) を考慮する。

( 4 4 * )  

1 3  

9 5 0   闊西大學「純清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ）

q 

‑ q  

l / 1  

︒

K=O(r=ro)  k=・o(r=r1)  t j = O ( r = r o )   { j = O ( r = r 1 )  

K  図 2 て 1 > ^{て o による均衡点の移行}

「 k=O 」線と「q=O 」線の下方シフトの結果であることを示している。そして 点線は， E 。点から凪への最適経路を描いている。我々のモデルでは 9 が資 本収益に対する税率であると同時に，投資費用に対して賦与される税控除の率 でもあり， 9 の引き上げが後者の投資費用の税控除により大きく作用したと考 えることによって，新均衡での資本の拡大が正当化される 1 3 ) 。ところで，均衡 での資本が拡大すれば，現時点以降の投資は当然に増加する傾向をもつ。従っ て 9 の引き上げは投資を促進する効果をもつと言える。

つぎにキャヒ゜タル・ゲインに対する税率 C を引き上げた時は， ( 4 9 ) 式を C に ついて偏微分して

匹 = P+ 冗[ 1  + r / 1 ( 8 )   +祁 ' ( 8 ) 一 狂

a c   ( 1 ーが 1‑J  ( 5 1 )   となり，これは正値をとるものと考えられる 1 4 ) 。従って C の引き上げは均衡点 での K を以前より小さくする。 C の引き上げは「衣=O 」線を上昇させ， また

「

ダ =0 」線も上方ヘシフトさせる。 この比較静学分析を図示すると図 3 のよう

1 3 ) これと同様の比較静学分析を， Summers( 1 9 8 1 ) は F i g .3  ( p .  8 5 ) に て ， 投 資 税 控 除の増大の効果として描いている。

1 4 )   ( 5 1 ) 式右辺の角括弧内が正値となることは， 第 7 節にて p の上昇が K に 及 ぼ す 影 響 を 示 す ( 5 5 ) 式により明らかとなる。

1 4  

企業設備投資の q 理論（村田）

q 

︳

r

‑

I q  

︒

K=O(c=c1) 

K=O(c=co)  q=O(c=c1)  q=O(c=co) 

K  図 3 c , > c oによる均衡点の移行

になる。かくして税率 C の引き上げは均衡資本に対して，ての引き上げとは全 く逆方向の影響を与える。そして E 。点からは折れた点線の最適経路に沿って，

新均衡点の品へ移動する。従って C の引き上げは投資を減少させると言え る 。

最後に，配当に対する税率 mを引き上げると，「衣 =O 」線と「か =O 」線が共 に下方ヘシストするが， ( 4 9 ) 式に m が這入ていないことから判断して，均衡で の K の大きさは不変である。従って，税率 m は投資に対して中立的 ( n e u t r a l ) で あると言える。

要約すると，投資に対する各税率の引き上げの効果は，てについては増大的，

C については減少的， そして m については中立的であることが明らかにされ た 。

6 .   減 価 償 却 率 上 昇 の 投 資 へ の 影 響

物理的な減価償却率 8 が大きくなると，それは投資を促進すると考えられる が，我々の q 理論から分析すると，反対の結論が導かれる。すなわち ( 4 4 ' ) に おいて 8 が上昇すると， i は大きくなる(「 K=O 」線は上方ヘシフトする）が， ( 4 6 ) 式より明らかに「か=O」線は下方ヘシフトするので，図 4に描かれているよう

1 5  

9 5 2   圃西大學「紐清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3月 ）

q 

へ0 k u

▲

5"~

︒

K=O(o= ふ ） J<=O(B=o 。 )

cj=O(B=B 。 ) cj=O(B= ふ ）

K  図 4 ふ＞ふによる均衡点の移行

に，均衡での K は小さくなる。従って 8 の上昇は投資に対して減少的影響を 及ぽす。

つぎに減価償却引当金の計算に用いる償却率をど（一定）とし，どの変化の投 資への影響について考えよう。第 3 節の ( 2 3 ) 式を， ( 4 2 ) を考慮して書きなおす

と

Z,=~ =  てuD(u-t)e-(P+'ll")(U—1ldu

t 

( 2 3 ' )  

である。これは第 t 時点における投資ー単位の減価償却引当金に対する税控除 還付金の現在価値（第 t 時点での価値）を意味する。減価償却率 D(u‑t) を，経 済的償却 ( e c o n o m i cd e p r e c i a t i o n )率

D(u‑t)  =どe-t(u—t)

に 等 し い と 仮 定 し ， 税 率 五 は 一 定 値 r であると想定すると， Z 1 は

Z= む/(p+ 冗十 n

と算定される。 ( 5 3 ) の Z のどに関する偏微係数は

a z ^て ( p + 1 r : ) 奇 =(p 十冗十ど） 2 > O  

( 5 2 )  

(53) 

( 5 4 )  

となる。従って，どの上昇は Z を増大させ，それが ( 4 4 りの d 値を減少させる

（「正 o 」線を下方ヘシフトさせる）。「 q = O 」 線 は ど に よ っ て 影 響 を 受 け な い 。 か

1 6  

くして，どの上昇は図 5 に描かれるように， 均衡の K を増大させるので，投 資に対して増大的効果をもたらす。つまり減価償却率の物理的なものと償却引 当て計算用のものとは，正反対の効果を投資に対して与える。

. q

‑ q  

{ f t  

︒

n "

← ︱  

l{=O( を= . ; o )   J { = O ( . ; = ふ ）

‑ t j = O   K  図5 も > , o による均衡点の移行

7 .   イ ン フ レ 率 上 昇 の 投 資 へ の 影 響

株主の要求する実質収益率 P が高まれば，投資は減少的影響を受けること は ， P の上昇が「ダ=0 」線を下方ヘシフトさせて， 「 k=O 」線に作用しないこ とから明らかになろう。すなわち， p の上昇により図 6 に示されるように，均 衡での K は小さくなり， 従って投資は縮小する。なお ( 4 9 ) 式を P で偏微分す

ると

警=~[1+¢(0)+輝 (a)-仕］ ^{( 5 5 )}  

となり，上述の論理に基づいて， ( 5 5 ) 式右辺は正値でなければならない。この ことはまた ( 5 1 ) 式右辺の正値を保証している（脚注1 4 を見よ）。

インフレ率冗が均衡の資本の大きさに及ぽす影響は， ( 4 9 ) 式右辺において冗

が 2 箇所に在って，互いに逆方向の符号の係数をもつことから，定性的には不

明である。そこでキャビタル・ゲインに課せられる税率 C がゼロの場合につい

1 7  

954  闊西大學「継清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ）

q 

̲ q  

︒

K=O  q=O(p=po)  q=O(p=p1) 

K  図 6 P1>Po による均衡点の移行

て，冗上昇が投資へ与える効果を検討するが， その帰結は， C が非常に小さい 正値の場合にも妥当することは明らかである。

( 4 6 ) において c=O とおくと， 「 ダ =O 」線は q=(l‑ て ) (1‑m)[  o ー 冗

p+o  ^{Fx+  ( h ( Q ‑ 1 ) ) 2 r t , ' ‑ i b} ― 戸 叶 ^{( 5 6 )}  

となる。従って冗の上昇は「 q=O 」線を上方ヘシフトさせるが，「衣 =0 」線に 対しては影響を及ぽさない。故に図 7 で示されるように，．均衡の K は以前よ り大きくなるので，結局において，冗の上昇は投資を増大させる効果をもつ。

q 

‑ q  

︒

K=O  q=O( ^冗 = 1 C 1 ) 炉 0 ( 7 C = 冗 o )

I く

図? 1 t 1 > 冗 o による均衡点の移行

1 8  

これはキャビタル・ゲイン課税が無いか低税率の時に言える結論である。

なお，企業が資金借入れ率 b を引き上げる場合には，投資が拡大されるであ ろうという自明の効果は， ( 4 9 ) 式右辺において

i <   _(1‑c)(l ^{p 十 冗} _{一 て ）} ^{( 5 7 )}  

の想定の下に，

― 8FK  _{8 b}   ^{< o   c s s )}   となることから確認される。 ( 5 7 ) の想定は借入れ金の利子率 i よりも株主の要 求する収益率 p 十冗が小さくないという，常識的想定を意味する。図形的には 図 2 と同様である。

8 .   結 語

本論文での想定のうちで，最も基本的なものは，キャビタル・ゲインの完全 予見という想定であろう。将来の価格も本当は不確実なものであるから，完全 予見の想定を除いて，不確実性の下での分折が今後行われなければならない。

また時間を連続的とした本論文を，離散的時間において再構築することは，実 証分析との関わりにおいても重要である。

補 論 Matsu  ya  ma モデルの解明

Matsuyama  ( 1 9 8 7 ) が提示する q 理論は， L i p t o n ‑ S a c h s 型と違っている が ， その帰結は本文の第 2 節のものと同一である。その特色と帰結の導出を 説明しよう。 Matsuyama の企業の市場価値 V ( s ) は，我々の (9) 式において P=l と置き，

F(K, L)=F(K, L)‑oK  (F は一次同次） ( 5 9 )   J(K/K)K 奎 t / J ( K / K + o ) I ( 6 0 )  

19 

9 5 6   闊西大學「罷清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ） と定義したものに相当する。彼は r を一定と想定するので

~00

V(s)=  {F(K, L) ‑wL‑K‑J(K!  幻 Kie ― r ( t ‑ s ) d t ( 6 1 )  

s 

となる。そして］は

J ( O )  =0,  J ' ( O )  =O, f">O  ( 6 2 )   の性質をもつと考えられる 1 5 ) 。このモデルの最大の特色は ( 6 0 ) の定義に在り，

投資の取付け費用単価］に資本 K が掛けられていることである。ちなみに他 のモデルでは］に投資が掛けられている。

( 6 1 ) の V ( s )を 氏 と L について最大化するに当たって現価ハミルトニアン は

H 苧『 ( K , L)-wL —応ー］（衣/K)K+q衣

と定義され，最大化のための必要条件は次のR @である。

R8H/8L=O 

@  8H/ 紘 =0

c  ^{d ( q ( t ) e} _{d t} ^{―   r ( l ‑ s ) )   ＝一堕} _BK  ^{8 ― r ( l ‑ s )}

@  l i m   q ( t ) K ( t ) e →  u ‑ s )  =O 

t → ^co 

R か ら 凡=wを，そして⑥から

( 6 3 )  

J'=q‑1  ( 6 4 )  

を得る。いま L(t)= 一定 (=1) と想定して，Rから

一

q=rq‑FK(K, l)+J(K/K)‑(K/K)]'(K/K)  ( 6 5 )   が求められる。ところで]'の逆関数を少とすると， ( 6 4 ) より

衣 /K=,fr(q‑1) ( 6 6 )  

となる。なお逆関数少の微分は次の如くである 1 6 ) 0 

1 5 )  Matsuyama は ( 6 1 ) 式の中の t‑s を t と 間 違 っ て 書 い て お り ， ま た 税 率 を 考 慮 す る。我々は税率を考えていない。

1 6 )  y=f(x) の逆関数 J‑l(y)=X を y について微分すると

( f ‑ 1 ( y ) ) ' = d x / d y =  1 / f ' ( x )  

2 0  

企業設備投資の q , f r ' = 1 / ] °  

そして ( 6 2 ) より次の性質が出る。

, f r ( O )  =O,  i f r ' > O  

957  ( 6 7 )  

( 6 2 ' )   かくして最大の V ( s ) は以上の諸式を充たす場合に求められて，次のように 導出される。

V(s)=r 品 C K ,1 ) 一少ー] ( , f r ) }Ke ― r ( l ‑ s ) d t  

•

ず { r q ‑ q ‑ ‑ ‑ . P , ] ' ( ‑ . P , ) 一叩 }Ke ― r ( l ‑ s ) d t [ ( 6 5 ) ・ ( 6 6 ) を考慮］

•

= r   { ( r ‑ , f r ) q 呵 }Ke ― r ( l ‑ s ) d t [ ( 6 4 ) を考慮］

s 

舟 ^{(rqK ‑qK  ‑qK)e ― r ( l ‑ s ) d t   ( 6 8 )}  

ここで部分積分を適用し，Rを考慮すると

~00 ( q 衣 +qK)e ― r ( l ‑ s ) d t = ‑ q ( s ) K ( s )+rr  qKe ― r ( l ‑ s ) d t  

s 

を得るので，従って ( 6 8 ) は次式に帰着する。

V ( s )  =q(s)K(s)  なお ( 6 6 ) と ( 6 2 ' ) を勘案すると

K=O~q=l

( 6 9 )  

( 7 0 )   および，衣は q (l 以上の）の増加関数であることが分かる。そして K とqの 位相関係は図 1 のものと同じようになるのである。

数 学 付 録

非斉次の線型 1 階微分方程式

x ( t ) ‑ a ( t ) x ( t )  =N(t)  ( N ( t )は非斉次項）

の両辺に exp[~00a(て）dて］を乗じると，

t 

d(x(t)·exp[~00 a ( て ） み ］ ）

t  =N(t)·exp[~00 a( ） て d ］ て

t 

2 1  

9 5 8   闊西大學「継清論集」第 3 9 巻第 6 号 ( 1 9 9 0 年 3 月 ） となり，この両辺を S から ^{0 0} まで積分して

x ( o o ) 一 x(s)・exp[[ac ） て dr:]=~00 N(t)·exp[~00 a ( r : ) d r : ] d t  

t 

を得る。従って

x ( s )  =x(oo) ・ exp[‑[a( ） て dr:J‑[N(t)・exp[‑r a ( r : ) d r : ] d t  

s 

が解である。この解が一意であるためには，上式右辺の第 1 項はゼロでなけれ ばならず， a が定数ならば， l i m x(t)exp[ ‑a(t‑s)]=O である。

t →

引 用 文 献

〔 1 〕 A b e l ,   A .   B . ,   "Dynamic E f f e c t s  o f  Permanent and Temporary Tax P o l i c i e s   i n  a  q  M o d e l  o f  I n v e s t m e n t , "  J o u r n a l  o f  M o n e t a r y  E c o n o m i c s   9  ( 1 9 8 2 ) ,   p p .   3 5 3 ‑ 3 7 3 .  

〔 2 〕 G o u l d ,   J .   P . ,  " A d j u s t m e n t  C o s t s  i n  t h e  Theory o f  I n v e s t m e n t  o f  t h e  F i r m , "  

R e v i e w  of E c o n o m i c  S t u d i e s   3 5  ( 1 9 6 8 ) ,   p p .   4 7 ‑ 5 5 .  

(3 〕 H a l l ,   R .   E .  and D .  W. J o r g e n s o n ,  " A p p l i c a t i o n  o f   t h e  Theory o f  O p t i m a l   C a p i t a l  A c c u m u l a t i o n , "  i n :  Tax I n c e n t i v e s  and C a p i t a l  S p e n d i n g  ( G .  Fromm,  e d . ) ,  N o r t h ‑ H o l l a n d ,   1 9 7 1 ,   p p .   9 ‑ 6 0 .  

〔 4 〕 H a y a s h i ,  F . ,   " T o b i n ' s  M a r g i n a l  q  and A v e r a g e  q :  A N e o c a s s i c a l  I n t e r p r e ‑ t a t i o n , "  E c o n o m e t r i c a   5 0  ( 1 9 8 2 ) ,   p p .   2 1 3 ‑ 2 2 4 .  

〔5〕 L i p t o n ,  D .  and  J .   S a c h s ,  " A c c u m u l a t i o n  and Growth i n   a Two‑Country  Model :  A S i m u l a t i o n   A p p r o a c h , "  J o u r n a l  of I n t e r n a t i o n a l  E c o n o m i c s   1 5   ( 1 9 8 3 ) ,   p p .   1 3 5 ‑ 1 5 9 .  

〔 6 〕 L u c a s ,   R .   E .  J r . ,   " A d j u s t m e n t  C o s t s  and t h e  Theory o f   S u p p l y , "  J o u r n a l   of P o l i t i c a l  Economy  7 5  ( 1 9 6 7 ) ,   p p .   3 2 1 ‑ 3 3 4 .  

〔 7 〕 Matsuyama, K . ,  " C u r r e n t  A c c o u n t  Dynamics i n  a  F i n i t e   H o r i z o n  M o d e l , "  

j o u r n a l  o f  I n t e r n a t i o n a l  E c o n o m i c s   2 3  ( 1 9 8 7 ) ,   p p .   2 9 9 ‑ 3 1 3 .  

〔 8 〕 M u r a t a ,   Y . ,   M a t h e m a t i c s  f o r  S t a b i l i t y   and O p t i m i z a t i o n  o f  E c o n o m i c  S y s ‑ t e m s ,  Academic P r e s s ,   1 9 7 7 .  

(9 〕 S a l i n g e r ,  M.  A .   and L .  H .  Summers, "Tax Reform and C o r p o r a t e  I n v e s t ‑ ment  %  A M i c r o e c o n o m i c  S i m u l a t i o n  S t u d y , "  i n  :  B e h a v i o r a l  S i m u l a t i o n  Me‑

t h o d s  i n   Tax P o l i c y  A n a l y s i s  ( M .  F e l d s t e i n ,  e d . ) ,   NBER,  1 9 8 3 ,   p p .   2 4 7 ‑ 2 8 1 .  

〔 1 〕 〇 Summers, L .  H . ,   " T a x a t i o n  and C o r p o r a t e   I n v e s t m e n t :  A q ‑ T h e o r y  Ap‑

p r o a c h , "  B r o o k i n g s  P a p e r s  o n  E c o n o m i c  A c t i v i t y  l  ( 1 9 8 1 ) ,   p p .   6 7 ‑ 1 2 7 .  

〔 1 1 〕 竹中平蔵，「研究開発と設備投資の経済学』，東洋経済新報社， 1 9 8 4 年 。

2 2  

企業設備投資の q 理論（村田） 9 5 9  

〔 認 〕 T o b i n ,  J . , ' ' A  G e n e r a l  E q u i l i b r i u m  Approach t o  Monetary T h e o r y , "  J o u r n a l   of M o n e y ,  C r e d i t  and B a n k i n g  1  ( 1 9 6 9 ) ,   p p .   1 5 ‑ 2 9 .  

〔 認 〕 Treadway, A. B . ,   "On R a t i o n a l  E n t r e p r e n e u r i a l  B e h a v i o r  and t h e  Demand  f o r  I n v e s t m e n t , "  R e v i e w  of E c o n o m i c  S t u d i e s  3 6  ( 1 9 6 9 ) ,   p p .  2 2 7 ‑ 2 3 9 .  

〔 1 4 ) Uzawa, H . ,   "Time P r e f e r e n c e  and t h e  P e n r o s e  E f f e c t  i n  a  Two‑Class Model  o f  Economic G r o w t h , "  J o u r n a l  of P o l i t i c a l  Economy 7 7  ( 1 9 6 9 ) ,  p p .  6 2 8 ‑ 6 5 2 .  

〔 1 釘 W e i t z m a n ,M. L . ,  " D u a l i t y  Theory f o r   I n f i n i t e   H o r i z o n   Convex M o d e l s , "  

Management S c i e n c e  1 9   ( 1 9 7 3 ) ,   pp . 7 8 3 ‑ 7 8 9 .  

〔 1 釘 Y o s h i k a w a ,H . ,   "On the'q'Theory o f   I n v e s t m e n t , "   American E c o n o m i c   R e v i e w  7 0   ( 1 9 8 0 ) ,   p p .  7 3 9 ‑ 7 4 3 .  

2 3