有限長円形ダクトによる音波伝播と放射
著者
柚木 謙一, 川畑 清忠
雑誌名
鹿児島大学工学部研究報告
巻
26
ページ
1-7
別言語のタイトル
Sound propagation and radiation of a finite
circular duct
有限長円形ダクトによる音波伝播と放射
著者
柚木 謙一, 川畑 清忠
雑誌名
鹿児島大学工学部研究報告
巻
26
ページ
1-7
別言語のタイトル
Sound propagation and radiation of a finite
circular duct
有限長円形ダクトによる音波伝播と放射
柚木謙一・川畑清忠
(受理昭和59年５月30日）ＳＯＵＮＤＰＲＯＰＡＧＡＴＩＯＮＡＮＤＲＡＤＩＡＴＩ()ＮＯＦＡＦＩＮＩＴＥ（ＩＲｑＴＬＡＲＤ［(Ｔ
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teristics，ｔｈｅｙａｒｅｓｉｍｉlar． 1 ． ま え が き ダクトとは駆動（動力）装置によって目的の場所へ， 音波や電磁波などの波動，気体，液体などを導く管の ことであり，パイプもその同義語としてよく使われる。ダクトは，目的に応じて種々の規模（長さ，太さ)，
形状，管材が使用されており，実生活の場に密接に関 与していることはいうまでもない。例えばターボファ ン型航空機や自動車用の音響ダクト，都市ガスや空調 のための吸排気用，工業用水，上下水のための給排水 用，化学プラント用，電磁波用導波管など多種多様で ある。 音響ダクトでは，音以外の気体，液体などを伝送す る目的であるが好ましくない騒音を伴うダクトと音波 だけの伝送，消音を目的とするダクトに分けられる。 前者は現実に多く存在し，騒音公害問題をひき起した 場合には騒音性状を調査し，極力防音措置を講ずる必 要がある。よって多種多様のダクトについて，ダクト を通して音波がどのように伝播し，放射されるかを検 討することは重要なことである。1970年頃，国内，国 外において航空機，新幹線をはじめとする騒音問題が クローズアップされたのを契機に，現在まで依然とし て地道に検討がなされている。 音響ダクトに関する研究は，（１）ダクトの形状 （断面形状，曲がり…）（Ⅱ）媒質の状態（気流，粘 性，温度…）Ⅲ）音波伝播の理論解析法（モード展 開法，有限要素法…）のいずれかを主体にして行われ ている。円形ダクトの研究の代表的なものをあげると，1948年LevineとSchwingerlはフランジなしの半
無限長管につき数学的に厳密解を得，安藤は同様の管 ,）， につき，管厚一や階段的に断面変化のある場合を理論解析し，池谷らは種々の断面変化（縮小，拡大３，空
胴，段付き，軸対称）のある場合をモード展開法で解析し，奥田は消音器（膨張形細，共鳴形）を電気的等
価回路で解析している。実験を主体にしたものなどを 含めて，既に多くの研究がなされている。 筆者らは，第１に単純な形状の音響管では，無限長 管，平面波伝播の場合はよく知られているが，管長，２ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ２ ６ 号 （ 1 9 8 4 ） 管厚，管材質，媒質など多くの要素を含む場合には未 解決の点があること，第２に実際の騒音現場における ダクトや隙間（開口）による騒音の伝播，漏洩の特性 を究明することなどにより，これらのモデルにつき理 論，実験の両面から検討している。 ここでは，市販の円形直管ダクトを用い，有限長フ ランジなしの場合とし，管長と音源の同波数の影響を 検討している。管軸上の定在波パターン，開口端面の 音圧分布，管外への音波の放射指向特性を測定し，こ れらよりダクトの音響的諸量の中の開口端補正，音響 インピーダンス（開口端の)，減衰定数の実験値も算 出した。一方，上記実験データを音響の一般理論や資 料の理論値で裏付けた。以上により，管長，音源の周 波数をパラメータとした有限長円形ダクトの特性を知 ることが出来た。 ２ ． 理 論 研究の対象は図１に示すような有限長円形ダクト で，その関連座標系も表す。円筒座標（β，ｚ）は円 筒に関する音波伝播を，開口端面を基準にした直角座 標（韮，Z/，ｚ)は音波の放射指向特性を，ダクト左端 を基準に軸方向にとった一次元座標(q)は平面波動を 記述するためである。ダクトの左端(ｑ＝O)に音を加 えると，ダクト内を伝播した音は，右端(ｑ＝j)の開 口端より外部へ放射される。Ｒは放射音場測定点で， ダクトの中心軸之と角度βをなすものとする。 点線で半無限長管を示してあるのは，図で半無限長 管の左端が切れている場合が有限長管であり，半無限 長管の理論解析結果を応用できるからである。半無限 長管内部の速度ポテンシャル‘'は， ‘t＝ｅ−ｉ睦十Ｒｅ雄乏
＋乞伽血‘β/α)expM-ﾉＭ；(z/α)，
ｉ＝１ となる。Ｊ"(9℃)は第１種，７１次のベッセル関数で，ノuｉ ｓｏｕｒｃｅ Ｓｅｍ Ｑ 図１有限長円形ダクトと座標系 はＪ１仏)の根でﾉα,＝3.832,ノｕ２＝7.016……となる。時 間項eiiUﾋは省略してある。第１項はｚの十方向へ伝 播する入射波，第２，第３項はｚの一方向へ伝播す る反射波，第３項は（０，ｊ）モードの一次結合である。 この（０，Ｚ)モードについて，Ｏ＜ﾉtα＜ﾉｕｉではｚ方向 に減衰し，ノｔａ＞仏では減衰なく伝送する。またIC方 向には，ＪＯいβ/α)の形で大きさが変化する。 有限長管は左端でも切れており，左右両端において 任意の値の音源，負荷インピーダンスが接続され，一 般に両端ともに不整合で各々反射波を生ずる。いま平 面波領域で，開口端のみが不整合状態にあり反射波が 生じている場合には'１式の第２項までを考慮すれば よい。左端において強制音圧Ｐ，を加えたときの任意 の点ｑにおける音圧Ｐｑは ・・sinhlﾉﾉＷ−ｑ)＋βＩ Ｐ ｑ ＝ Ｐ ， ２ ’ sinh(j〃＋β） ここで８＝tanh-l(Ｚ(〃Ｓ/IOC)である。 この場合，管内には定在波が生じている。 この定在波パターンから，以下に述べるhyperbo‐lictangent法6'によって，開口端よりダクトの外側
をみた音響インピーダンスＺ(ｊ)を求めることができ る。任意の点ｑのインピーダンスＺ（９）を Ｚ(q)＝βctanh7r(α＋jβ） とおき，開口端のα，βには添字ｊをつける。α＝α‘ のときlPlmin/lPlmax＝tanh7raよりα‘を求め， β＝β‘＋Ｚ(J-q)/入より｜Plmaxになるときのβ‘を求 め，Ｒ，Ｘを次式で計算する。 sinh27ral ’ ３ ． １Ｒ
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Jonesの解析8'によると，円形の振動体がＡ(u)なる
振動分布で振動しているとき，測定点の音圧は次式 Ｑ(α,)に比例する。 Ｑ(α,)＝27rα2A｡｡A(U)Jo(α,U皿血 ただしｕ＝γ／α，α,＝ｈａｓｉｎ８ Ｎ＝Ｑ(0)＝2万α2ﾙ。｡A(u)u血とすると，指向係数は QN(α,)＝Ｑ(α,)/Ｎで示される。いま，ＡＭ＝(１−〃2")” （、，〃：整数）を開口端面の音圧分布としてＱ(α,） を求める。 Ｇ(7z)＝2"7z1J剛(α,)/α,”とおき ７１，ﾉｔ ｍ７１ 画乙Ｃ肱"Ｃｌ加脆(−１)施十』cos2‘β＝Ｚｇ１碗cos2‘βとすると 肺＝ＯＺ＝Ｏ Ｚ＝０ 刀 Q‘""==ＺＣ術､C‘加廠(−１)脆十‘ ん＝入 となり ｍ７Ｚ Ｑ(α,)二二'ｒａ２ＺＱ‘派"ＧＩ+,/(j＋1） Ｚ＝０ を得る。 3 ． 実 験 (６） 実験場所は，本学電気工学科内の残響室（Ｖ＝83.3ｍ３， Ｓ＝122.5,2）と無響室（Ｗ×Ｄ×Ｈ＝2.68×5.47 ×2.2ｍ）である。ダクトの測定ブロックダイヤグラ ムを第２図に示す。供試ダクトは円形有限長直管で， 市販の塩化ビニールダクト（クボタVU100，内径 10.6cm，厚さ３ｍｍ，管長１，２，３，４ｍ）を使用した。 供試ダクトにはプローブマイクロホン（プローグ：外 径約１．５cm，長さ２２．７cm）を挿入できるように２ｍｍ 程度の小穴を軸方向全長にわたって１ｃｍ（または５ mm）毎にあけ，測定点の穴以外はフェルトなどで遮音 した。供試ダクトの一端に，スピーカー（5Ｗ，１２cm， 8Ｑ）をボックス（Ｗ×Ｄ×Ｈ＝30×21.8×30cm）によ って残響室側にとりつけ，他端は無響室内に数十cm突 出した。純音を入力し，周波数を500∼5kHz内の６ 周波数，電気入力を１Ｗ以内とした。周波数は平面 波領域を少し越える。発振器の周波数をカウンターで 監視し，変動をなくした。プロテグは穴より直角に挿 入し，指向性測定では１/２インチマイクのまま用い た。マイクロホンからの出力をMeasuringAmpli‐ fier（Ｂ＆K2606）とFilter（Ｂ＆K1614）かFre‐ quencyAnalyzer（Ｂ＆K2107）を使用し，指示を 読取り，シンクロへはマイクロホンとスピーカーから の信号を入れ；位相差，電気入力信号の大きさを観測 した。測定内容は次の五項目である。 （’）管軸方向の減衰定数を得るため，管内ダク ト中心軸上の音圧分布を，数，０cm以上離れ た距離において測定した。 （２）開口端付近の定在波パターンが管長によっ て変化するか，また開口端の音響インピーダ ンスを求めるため，開口端付近の中心軸上音 圧分布を測定した。 （３）管の半径方向の音圧変化をみるために開口 端面において，中心を通る任意の方向に，両 側１ｃｍ毎に測定した。 （４）開口端から放射される音の放射指向特,性を 知るために，’/２インチマイクロホンで開口 端の中心から０．８ｍの円周上を-90｡∼90° の範囲で測定した。 （５）スピーカーへの電気入力即ちダクトへの音 響入力の変化に対する測定点の音圧の比例関 係を確認した。曙
ノ SＰｅａｋｅｒ Dｕｃｔ Sｙｎｃｈｒｏ ｓｃｏｐｅ Ｍｅａｓｕｒｉｎｇ Ａｍｐｌｉｆｉｅｒ ｎｄＰａｓ Ｆｉｌｔｅｒ ＤｉｇｉｔａｌｌｌＢａｎｄＰａｓｓｕユｇユ［ａ上 Cｏｕｎｔｅｒ 〃〃 戎 〃識
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Ｉｉｃｒｏｐｈｏｎｅ 図 ２ 有 限 長 円 形 ダ ク ト の 測 定 ブ ロ ッ ク ダ イ ヤ グ ラ ム ４．実験結果と検討 4．１中心軸上定在波パターン 図 ３ に 開 口 端 よ り 内 部 へ の 開 口 端 近 傍 の 中 心 軸 上 定在波パターンの実験結果を示す。横軸に−ｚを， 縦 軸 に 開 口 端 の 音 圧 Ｐ Ｏ で 任 意 点 の 音 圧 Ｐ を 規 格 化 したｐ/ｐｏを図示してある。図(a)∼(d)は周波数によ る差異を，各図内の各プロットは管長による差異を示 している。第１に(4)式により平面波動ではﾉＶ２毎に 腹（または節）を生ずることが証明される。500Hz’ 1ｋＨｚでは入/２であったが，２．５，５ｋＨｚではｊモー ドの減衰，非減衰が効いてくるために入/２ではない。０ ４ 図４に開口端面の音圧の振幅分布を端面中心の値 を１として，図５に位相分布を端面中心を０。として 示す。図４で(a)，（b)，（c)は管長の変化した場合と， 各図内では周波数の変化した場合である。図に示した データは，端面中心を通る数種の測定の中から代表的 なものである。振幅は，全体的にみて，端面中心で大 きく，管壁に近づくにつれて減少している。これは管 壁の材質と媒質の粘性，モードの考えによる半径方向 の変化と管軸方向の減衰・非減衰を要因と考える。 1ｋＨｚ程度以下で，端面内のどの点でも振幅が一様で １ ５ｂ Ｉ
３２
且凡 解う駅-用Rｺﾐ 4 ． ２ 減 衰 定 数 〃 理論に示したように，減衰定数を万としてｅ−ａミ の形で指数関数的に減衰し，２点９，，９２（９２＞９，)に おいて定在波減衰振動波形の中央値をそれぞれＢ,， Ｂ２とすれば，単位長当りの減衰量(20/(９，−９２))log (B,/Ｂ２）〔｡Ｂ/ｍ〕を得る。表１にこれを実験値として示す。一方減衰に関する式7'(0.0875/(ｃ･α))．/'/２ｃ：
音速α：内径より参考値も示す。両者の値の差異は， 高い周波数になると定在波パターンがくずれているこ ととそれによるｑ１，９２点の選び方，更には管材，媒 質の粘性などが原因と考えられる。実験値は中心軸上 における減衰定数であるが，ダクト断面における音圧 分布が一様でないため，ｌ断面内において複数個所の 音圧測定によりパワ平均を出し，２断面間の値を算出 するのが妥当と思われる。 表ｌ実験値と参考値の比較（j＝３ｍ） 錫 、 ０ ０ ２０３０−Ｚ４０（ｃ、） ｆ ＝ ５ ０ ０ Ｈ ｚ Ｏ鋤 Ｉｆ ０ ２ Ｐ−Ｂ 、､
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０ １ ０ １ ５ − Ｚ ２ ０ （ ｃ 、 ） ｆ ＝ １ ｋ Ｈ ｚ ０ ｋａ (ａ｡０．５３ 鹿児島大学工学部研究報告第２６号（1984） ５ Ｐ一馬．弓
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4 ． ３ 開 口 端 面 の 音 圧 分 布 ０ １ ２ ３一Ｚ４（ｃ、） （ ｄ ） ｆ ＝ ５ ｋ Ｈ ｚ 図３円形ダクト中心軸上の定在波パターン （−×−２，，−▲−３，，−●−４ｍ） 第２に500Ｈｚ，１kHz，2.5ｋＨｚではパターンは重な り，５ｋＨｚでは重ならない。このことは2.5ｋＨｚ程度 以下，管長２ｍ程度以上では，開口端における不整 合状態は管長に無関係であるといえる。第３に開口 端では，節となるはずであるが必ずしも一致せず，い わゆる開口端補正を必要とする。同図から開口端補正 を読みとり，Levineらの示した値を参考値として第 １表に示す。また同図からhyperbolictangent法 で，開口端より外界をみた音響インピーダンスの実験 値を得る。開口端よりダクト内をみた値の例はあるが， この値の例は他にあまり見当らない。無限大バッフル 中のピストン振動の場合を参考値として示す。参考値 との比較により，開口端補正の実験値はほぼ満足な値 であるが，厳密には管厚を考慮する必要があり，イン ピーダンスの値の算出方法，オーダーを知った。 ０ ４ ６ − Ｚ ８ （ ｃ 、 ） ｆ＝２．５ｋＨｚ ３ １ ２Ｃ ｆ 開 口 端 音 響 イ ン ピ ー ダ ン ス ｚ/(ｍｚ.’ｃ） 減衰量 (dB/、） 開口端補正 （ｃ、） 周波数 ｋＨｚ） ＝ を ヨ シ 実験 参考 β−１’２−率−３’４−５ 参考値 実 験 値理型四型“
０．４３５ ０．２４４ ０．１７７ ０．４７８ ０L５４９ １．１１２ ４b６５３ ２ Ｐ−Ｒ︾ 0．１０８ ０．１５４ ０．２１７ ０．２４２ ０．２６６ ０．３０７ ０．３４３：
５ ないのは，管壁の材質と媒質の粘性によることが確か である。５ｋＨｚの場合，（a)，（b)図のように逆の変化を しているのは，５ｋＨｚではんα＞ﾉα，となり，（０，１） モードが効いてくるからと思われる。（b)図に，ｊ＝１ の半径方向の変化を点線で示した。管長が長くなると， 振幅の半径方向の減少割合が大きくなっているのは， モードの考えよりも媒質によって管軸方向に減衰があ るからで，周波数が高くなるとこの減衰が大きくなる 傾向を示す。１ｋＨｚ程度以下では，半径方向の減少割 合が管長によらずほぼ同じである。 図５(a)は音源付近の断面，（b)は開口端面の位相変 化を示す。音源に近く，周波数が低い程，位相変化は 少ない。放射指向特性では，この位相変化も考慮しな ければならない。 【 】 rl L」 両︼ 』 (ｑ）NeartheSource 1ｋ 。）
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− ５ − ４ − ３ − ２ − １ ０ １ ２ ３ ４ ５ ｃｅｎｔｅｒ Ｐ（ｃ、） （ｂ）OpenEndSurface 図５円形ダクト断面の音圧分布（位相） 5００ − ５ − ４ − ３ − ２ − １ ０ １ ２ ３ ４ ５ centerＰ（Ｃ、） （Ｃｌ）’＝２ｍ 4 ． ４ 放 射 指 向 特 性 図６は放射指向特性の測定結果で，（a)は測定用ス ピーカーの，（b)∼(e)はダクトからの放射音波の各周波 数における測定結果である。 スピーカーの指向特性は，βにつき左右対称で，周 波数が高くなると鋭くなるという一般的傾向を示す結 果となっている。無響室内に定在波を生じさせず，マ イク位置を正確に設定すれば，より理想的な結果が得 られると思う。また音源自身がこのように指向性を持 つと，開口端からの音の放射指向特性に影響する。更 にスピーカーは管内の音波を反射する。 これらの点はダクト自体の音響特性を知る上で少な からず影響するので，今後定量的に検討する必要があ る。 ダクトからの放射指向特1性の結果は，周波数が高く なると指向性が鋭く，また管長によらず測定周波数の す べ て の 場 合 に ほ ぼ 同 程 度 の 指 向 特 性 と な っ た 。 5kHz，管長４ｍの結果が１次モードなどの考察から 当然生ずべきもので，他は種々の要因が指向特I性のア バ レ を 相 殺 し た も の で 望 ま し い 結 果 で な い 。 ま た 1ｋＨｚ程度までの低い周波数で指向性にアバレを生じ たのは，やはり無響室内の定在波のためであろう。 ５ 冨 産 宅 柚木・川畑：有限長円形ダクトによる音波伝播と放射P
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− １ ０ １ ２ ３ ４ ５ centerＰ（Ｃ、） １ ＝ ３ ｍ − ５ − ４ − ３ − ２ （ｂ） − ５ − ４ − ３ − ２ − １ ０ １ Ｃｅｎｔｅｒ （ Ｃ ） １ ＝ ４ ｍ ２ ３ ４ ５ Ｐ（ｃ、） 図４円形ダクト開口端面音圧分布（振幅） 人一！‐ Ｉｌ−Ｌ−Ｊｈ−ｂ−−ｌ −ヨ ’ １ ． １ ， ‘ ， Ｉ ｜ Ｉ ’ Ｌ （ 一 言 ＨＺ ｰ ‘、
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0.5 』● 、 、 ３．８３； ０Ｊ P/aj， 、Q／／６１ QN(α)を整数、，、の１０個の組合せに対し計算し表 に示してある。Jonesの方法を適用するとき，ｕの 全範囲に渡って開口端面音圧分布の測定値がJones のＡＭの値に合致しないために，Jonesの指向係数 を理論値として示すことができなかった。Jonesは， 0＜ｕ＜１の範囲で１つのＡ(u）（ｍ,’７ｚも１つの値） だけに限っているが，この範囲を数個に分割して， Ａｌ(u)，Ａ２(u)………から全体の指向係数を算出できる ものと思われる。 図中の点線は，無限大バッフル中において円板が同 振幅，同位相でピストン振動する場合の指向係数 2J,(α)/αを計算したもので，開口部の粒子の運動を平 均化して取扱っており，振動音源の指向性を論ずると きの目安である。実験値は，このピストン振動と同様 の傾向を示しているが，少し小さ目に出ている。 次にJonesの方法の適用について述べる。Jones は円形振動面の振動分布をＡ(u)＝(１−ｕ胴)”とし， ０ ４ ０ ８ ０ （ ・ ｅ ｆ ＝ ５ ｋ Ｈ ｚ 4．５音源への入力に対する開口端音圧 ここではダクトの入力音（音源への電気入力に比例 すると考える）に比例して，ダクトを伝播した音の開 口端の音圧が変るかどうかを確認している。 図７にスピーカーへの電気入力を変化したときの， 各測定周波数における開口端面の中心の音圧をプロッ トした。８９のスピーカーを使用し，入力電力は換算 して１/64∼l〔Ｗ〕である。入力電圧１〔V〕を基準 にして，比例直線を描いてあるが，この直線から隔っ たプロットほど好ましくない。１Ｖ基準では，４Ｖの 場合がより比例直線から隔っている。しかしながらこ の 表 わ し 方 で は ， 基 準 入 力 を 何 Ｖ に と る か に よ っ て 比例直線とデータとのズレが違ってくるので注意を要 する。図から，全体的に比例関係は保たれているとい えるが，これは開口端面の中心の音圧であるから中心 以外でも測定する必要があろう。 ０ − ８ ０ − ４ ０ ４ ０ ｅ ８ ０ （ 。 ） （Ｑ）MeasuringSpeaker ４０ （ｅ ｏ４０ｅ８０（。） ｆ ＝ ５ ０ ０ Ｈ ｚ − ８ ０ − ４ ０ （ｂ） 図 ６ 放 射 指 向 特 性
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-８０−４０o４０ｅ８０（。） (Ｃ）ｆ＝１ＫHｚグ
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①僧．いいの衿昌もロゴ○の①シ﹃響国︻の塵 8０ -４０o４０ｅ８０（。） （ｄ）ｆ＝２．５ｋＨｚ Ｉ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ２ ６ 号 （ 1 9 8 4 ） ﹄三一﹃ロ■︲■旬。 一 一 一 一 ー ８０一雪。﹄酉﹃
０ １ ２ ３ ４ InputVoltage（ｖ〕 図７スピーカー入力電圧に対する開口端面音圧 一 一 一 一 一 一 一 ■織
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柚木・川畑：有限長円形ダクトによる音波伝播と放射 ７ ５ ． あ と が き 市販の円形直管ダクトについて，管長，音源の周波 数をパラメータとして管内の中心軸上の音圧分布，開 口端面内の音圧分布，管外への放射音圧分布を測定し た。これより開口端補正，音響インピーダンス，減衰 定数を算出した。これらの結果より，管軸上に定在波 が生じていること，断面内で音圧変化のあること，放 射指向特性に変化があることを確認した。また低い周 波数では，上記の開口端付近の定在波パターン，開口 端面の音圧分布，指向特性は管長によらず変化しない が，周波数が高くなると特性がアバレてモード等を考 慮しなければならない。 上述の実験算出値で，開口端補正は管厚を考慮しな かったこと，音響インピーダンスでは開口端より外部 を見た値を得たこと，減衰定数の値では音響平均パ ワーや管の材質などを考慮すべきであったことを特記 したい。 実験結果を一般音響理論により検討したが，やや定 性的な説明のところもあった。 振動体からの放射指向特性については，Jones，ス テンツェルの方法を検討する。 現在，理論，実験両面において，管の厚み，管の断 面変化のある場合や管内に気流が存在する場合につい て，Wiener-Hopf法なる理論解析を検討している。 また測定方法では，純音でなくＴ･Ｂ信号，インパル ス信号を用いるように，マイコンを利用した測定を検 討している。 謝 辞 本研究について，参考資料を提供下さり，有益な御 助言をいただきました神戸大学安藤四一博士に，心か ら謝意を表します。 文 献 ｌｌＨＬｅｖｉｎｅａｎｄＪ、Schwinger：“Ｏｎｔｈｅ
