Curvature
Instability
of
Vortical
Structures
九工大・工
服部裕司
,
九大・数理
福本康秀
Y.
Hattori
(Kyushu
Inst.
Tech.),
Y. Fukumoto
(Kyushu Univ.)
1
はじめに
われわれはここ数年渦構造の「曲り」に直接的な起源をもつ不安定性である「曲率不
安定性」について研究している。本稿では、渦運動
150
年を機にこれまでの研究につ
いてまとめ、最近の研究について紹介する。
2
曲率不安定性
さまざまな流れの中に存在する渦構造の多くは多少なりとも曲がり、振れている。
「曲
り」をもつ代表的な渦構造のーつとして渦輪が挙げられる。
さらに「曲り」に加えて
「振り」をもつ代表的な渦構造としては、
らせん渦が考えられる。
この二つの渦構造の
安定性において 「曲り」
と「振り」がどのように表れるかを明らかにすることは、
渦
の動力学を理解する上で意義深いと考えられる。
渦輪の安定性については、 1970
年代に
Widnall
らのグループが実験と理論解析の
両面から研究を展開した
[1,
2]
。実験で観察された屈曲波の成長が理論的にも裏付けら
れた
(Widnall
不安定性
)
。
この不安定性は、本質的には直線渦がひずみ流を受けてパラ
メタ共鳴により
3
次元不安定化する楕円型不安定性
[3, 4] である。すなわち、
中立安定
な直線渦上には
Kelvin
波が立つが、
回転方向の波数が
2
異なる
Kelvin
波の組が、波
数
2
をもつと見ることができるひずみ流により共鳴して不安定化するのである。
これに対し、われわれは渦輪の「曲り」に直接的に起因する曲率不安定性が存在す
ることを明らかにした
[5, 6]。そのメカニズムは、「曲り」により生じる双極子流
(
波数
1
$)$が、波数が
1
異なる
Kelvin
波の組を共鳴させて不安定化するというものである。さ
らに最近われわれは、
らせん渦についても渦輪同様に曲率不安定性が存在することを
示した
[7]。らせんのもっ「擬り」
と、
自己誘導速度などによる回転の効果により、
曲
率不安定性は変調を受ける。
この一連の理論の流れを
Fig.
1
に示す。
以下では、
らせん渦の短波長安定性解析について述べる。らせん渦の特殊な場合
(
振
れていない場合
) として渦輪も含まれている。線形安定性の範囲内での曲率不安定性の
起源とその変調が明らかとなる。
中立安定
曲率不安定
曲率不安定の変調
Figure
1:
Diagram
of
curvature
instability.
3
基本流
(
らせん渦の流れ場
)
らせん渦は次のような一定曲率、 一定振率をもつらせん
$x=X_{h}(s)=(R0_{A_{0}^{s}}^{co_{R^{a_{+L^{2}}}}}s_{\sqrt{R_{0}^{2}+L_{0}^{2}}^{s}}R\sin_{\sqrt{R_{0}^{2}+L_{O}^{2}}^{\epsilon}})$(1)
を中心とし、有限の太さをもつ渦である。今、渦核断面は円であるとし、その半径を
$\sigma_{0}$と
する。上のらせんの曲率半径、曲率、振率はそれぞれ
$R=_{R)\overline{R}_{0}+L_{0}^{\nabla}}^{fi^{z_{+}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\kappa_{1}=R_{c}^{-1},\kappa_{2}=*}^{L^{2}}}$である。
漸近展開により基本流を求め、 さらに安定性解析を行う際のキーポイントは渦構造
に沿う座標系を導入することである。今の場合、
らせんに沿う次のような直交座標系
$(r.\theta, s)$
を導入する
$x=X_{h}(s)+\cdot\cos\varphi e_{2}+r\sin\varphi e_{3}$
,
$\theta=\varphi+\kappa_{2^{S}}$.
(2)
ただし、
$\{e_{i}\}(i=1,2,3)$
は
IFYenet
枠である。角度
$\varphi$は、
$\varphi=0$
が主法線ベクトル
$e_{2}$の方向となるように取っているが、
$(r, \varphi, s)$
は直交座標系にならないため、擬りを「巻
き戻し」て
$\theta$を定義する
[11]
。
無次元化を次のように行う
$r^{*}= \frac{r}{\sigma_{0}}$
,
$s$.
$= \frac{s}{R_{c}},$ $u^{r}= \frac{u}{u_{0}}$,
$t^{*}= \frac{u_{0}t}{\sigma_{0}}$.
(3)
ただし、
$u_{0}=\Gamma_{0}/(2\pi)$
であり、
$\Gamma_{0}$はらせん渦の循環を表す。曲率
,
振率
,
回転角速度は
それぞれ次のように無次元化される
のパラメタによって決まるが、
今の場合、
強制的に回転角速度が決まる場合への応用
も考慮して
$\alpha$と
$\beta$は独立なパラメタとして取り扱うことにする。以下では無次元の量
の
*
は省略する。
回転系での
Euler
方程式
$\frac{\partial u}{\prime^{l})t}+u\cdot\nabla u+2\Omega xu=$
$-\nabla p$
,
$(^{r}\backslash ))$
$\nabla\cdot u=0$
,
(6)
をらせんに沿う座標系で表現する。詳細は
Hattori and
Fukumoto[7]
を参照されたい。
ここでは
$u$
の時間発展の式を記しておく
$\frac{c7\tau\iota}{\partial t}+u\frac{\partial\cdot u}{\partial r}+\frac{v}{r}\frac{\partial\tau\iota}{\partial\theta}-\frac{v^{2}}{r}+\epsilon\frac{wr9u}{1-\epsilon rc\circ 8\varphi\partial s}+\epsilon\frac{\cos\varphi}{1-\epsilon r\cos\varphi}w^{2}$
$+ \epsilon^{2}\frac{2\beta}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}(w\cos\varphi-\alpha v)=-\frac{\partial p}{dr}$
.
(7)
渦輪の場合と同様に
$1-\epsilon$
.rcos
$\varphi$
のような因子が表れる。
流れ場を
$\epsilon$について次のように展開する
$\{\begin{array}{l}uvwp\end{array}\}$
$=$
$\{\begin{array}{l}0v_{00}0p_{00}\end{array}\}+\epsilon,$ $\{\begin{array}{l}u_{01}v_{01}w_{01}p_{01}\end{array}\}+\epsilon^{2}\{\begin{array}{l}u_{O2}v_{02}w_{02}\mu_{12}\end{array}\}+\cdots$(8)
ただし、
$u=ue_{f}+ve_{\theta}+we_{s}$
であり、
$0$次では軸流はない
$(w_{\infty}=0)$
とした。
この形
を
Euler
方程式に代入して
$\epsilon$の各次の式を解くことで基本流を求めることができる。
$\{\begin{array}{l}uvwp\end{array}\}$
$=$
$\{\begin{array}{l}0r0\frac{r^{2}}{2}\end{array}\}+\epsilon\{\begin{array}{l}\frac{5}{r}(1-r^{2})sin\varphi\frac{5}{8}-\frac{7}{8}r^{2})cos\varphi 0(\frac{5}{8}r-\frac{3}{8}r^{3})cos\varphi\end{array}\}$
$+ \epsilon^{2}[(\frac{1}{2}\frac{\beta\alpha}{\sqrt 1+\alpha^{2}}+\frac{\frac{5}{58}}{32})r^{24}+(-\frac{16}{04}r+\frac{5\varphi}{32}r^{4})\cos 2\varphi[(\alpha+\frac{81_{r-}r}{-\frac{\beta-+\alpha 0}{128}\sqrt 1}r-\frac{3}{8}\alpha r^{3}]_{2}\infty s(\frac{1}{8}\frac{\frac{1}{18}}{210,\dot{r})}r^{3})\cos 2\varphi(\frac r^{3}.)\sin 2\varphi]+\cdots.$
$(9)$
$O(\epsilon)$
までの基本流は
$\theta$の代わりに
$\varphi$が用いられていることを除けば渦輪の基本流と
同じであ乱無次元化の結果、振りは曲りと同様
$O(\epsilon)$程度であるので、
この違いは
$O(\epsilon^{2})$で初めて効いてくる。
このことは、
らせん渦が渦輪と同様に曲率不安定であるこ
とを意味する。
また、
$w$
は
$\alpha=\beta=0$
のときには消える、
言い換えればらせん渦特有
のものである。
この項と
「振り」が曲率不安定性の変調を生むことになる。
4
短波長安定性解析
短波長安定性解析を渦輪の場合
[6]
と同様に進める。短波長安定性解析では以下の常微
分方程式系により安定性が決定される
[8, 9]
$\frac{dX}{dt}$$=$
$U(X)$
,
(10)
$\frac{dk}{dt}$$=$
$-\mathcal{L}^{T}k$,
(11)
$\frac{da}{dt}$$=$
$( \frac{2kk^{T}}{|k|^{2}}-I)\mathcal{L}a+2(\frac{kk^{T}}{|k|^{2}}-I)\Omega xa$
.
(12)
ただし、
$\mathcal{L}=\nabla U$
であり、
擾乱振幅
$a$
の式の右辺第
2
項はコリオリカによるもので
ある。
非圧縮性の条件より
$k\cdot a=0$
が要請されるので、
擾乱振幅の方程式の自由度は空
間の次元
3
から一つ減って
2
となる。
よって、
2
変数に関する式を導いておく方が都
合がよい
$[$10
$]$。今の場合、 従属変数を
Bayly et al.
(1996)[10]
と同様に
$p= \frac{k}{k_{1}}k_{\perp}\cdot a_{1}$
,
$q= \frac{k}{k_{1}}k_{1}xa_{1}$
,
(13)
のように選ぶことにする。 すると、
$\frac{dp}{dt}$
$=$
$[ \frac{d}{dt}(\log\frac{k_{\perp}}{k})-2\mathcal{L}_{\iota}-\frac{l_{1}\cdot k_{1}}{k_{s}}+\frac{(l_{2}\cdot k_{\perp})k_{l}}{k_{\perp}^{2}}]p$$+[ \frac{2k_{\epsilon}^{2}}{k_{\perp}^{2}k^{2}}k_{\perp}x\frac{dk_{\perp}}{dt}-\frac{(l_{2}xk_{1})k_{\epsilon}}{k_{1}^{2}}+2\frac{k_{s}}{k^{2}}k\cdot\Omega]q$
,
(14)
$\frac{dq}{dt}$
$=$
$[- \omega_{s}-\frac{(l_{2}\cross k_{1})k_{\epsilon}}{k_{\perp}^{2}}-\frac{l_{1}xk_{1}}{k_{s}}-\frac{2}{k_{\epsilon}}k\cdot\Omega]p$$+[- \frac{d}{dt}(\log\frac{k_{1}}{k})+\mathcal{L}_{\epsilon}-\frac{(l_{2}\cdot k_{1})k_{\epsilon}}{k_{\perp}^{2}}]q$
.
(15)
が導かれる。
ここで、
$\mathcal{L}$を次のように区分けしている
$\mathcal{L}=(\begin{array}{ll}c_{\perp} l_{1}l_{2}^{T} \mathcal{L}_{l}\end{array})$.
(16)
$l_{1}$と
$l_{2}$は渦輪の場合
$(\alpha=/?=0)$
には消える。
3
節で得た基本流を (10), (11)
に代入し、
$\epsilon$について整理して、 各次の方程式を解
く。
詳細は
Appendix
を参照されたい。
流体運動
$X$
と波数ベクトル
$k$
が分かれば、
曲率不安定性の成長率は
Mathieu
の
方法
$[$12
$]$などにより求めることができる
$\mu=$
$\epsilon|-\frac{45r_{0}}{128}+\frac{75r_{0}}{256}\cos 2\phi+i\frac{75r_{0}}{256}\sin 2\phi$
$r$ $\phi$
Figure
2: Growth
rates
obtained
by
short-wavelength
stability analysis. (a)
Depen-dence
on
$r_{0}$.
$\alpha=0,$
$\pm 1,$
$\beta=0,$
$\epsilon=0.05,$
$\phi=10^{o}$
.
$(b)$
Ratio of
growth
rates
as
functions
of
$\phi$.
$\alpha=1,\beta=0,$ $\epsilon=0.05,r_{0}=1$
.
ここで、
$r_{0}$は流体粒子運動の半径、
$\pi/2-\phi$
は
$k$
と軌道のなす角であり、
またッ
$=$
$\beta/\sqrt{}\sqrt{1+\alpha^{2}}$である。
$\alpha=\beta=0$
とおけば渦輪の場合の成長率
$\mu=(15/256)\sqrt{61-60\cos 2\phi}$
が得られる
[6]
。「振り」 と「回転」が
$\phi=0$
に関する成長率
$\mu$の対称性を破っている
ことに注意しよう。
また、今は右巻きのらせんを扱ったが、
鏡映対称な左巻きのらせ
んとは
$(\phi, \alpha, \beta)arrow(-\phi$
.
$-\alpha, -\beta)$
によって対応付けられており、 同じ成長率を持つこ
とも確認できる。
曲率不安定性の成長率を
Fig.
2 に示す。
Fig.
2(a)
は、
回転はなし
$(\beta=0)$
として
$\alpha=0$
(
渦輪
)1
$\alpha=\pm 1$
(
らせん渦
)
の場合の軌道半径
$(r_{0})$
依存性を示したものである。
成長率は軌道半径にほぼ比例することがわかる。
Fig.
2(b)
はらせん渦
$(\alpha=1)$
の成長
率と渦輪
$(\alpha=0)$
の成長率の比を波数ベクトルの角度
$\phi$の関数として示したものであ
る。
$\phi=\pm 10^{\text{。}}$付近で比が極大・極小となっていることがわかる。
また、
どちらの図に
おいても記号が数値解析の結果、線が理論解析
(17)
を表している。両者はよく一致し
ている。
5
おわりに
渦構造の曲率安定性について、
らせん渦の短波長安定性解析を例として紹介した。渦
核が曲率半径に比べて小さい
(
$=$
細い渦の場合
)
を考え、
漸近展開により表わされた基
本流の
1
次の双極子流がパラメタ共鳴により曲率不安定性を生むこと、振れが
2
次で
曲率不安定性を変調させることを解説した。
本稿では細い渦輪に焦点を絞ったが、 最近太い渦輪についても研究が進んでいる。
Hill
の球形渦について、短波長安定性解析により、
細い渦輪と同様に曲率不安定性が
存在すること、
また軸流
(swirl)
が不安定性に及ぼす効果が明らかとなりつつある。
そ
の詳細や直接数値シミュレーションによる研究結果については、別の場で紹介したい。
A
短波長安定性解析の詳細
A.1
流体粒子の起動
今の場合
$s$は
$O(\epsilon^{2})$までは一定であるので、
$r,$
$\theta$について記す。
A.l.1
Leading-order
方程式は
$\frac{dr^{(0)}}{dt}=0$
,
$r^{(0)} \frac{d\theta^{(0)}}{dt}=r^{(0)}$,
と表わされる。解は次のようになる
$r^{(0)}=r_{0}$
,
$\theta^{(0)}=t+\theta_{0}$
.
A.1.2
First-order
方程式は
$\frac{dr^{(1)}}{dt}$$=$
$r^{(0)} \frac{d\theta^{(1)}}{dt}+r^{\langle.1)}\frac{d\theta^{(0)}}{dt}$$=$
と表わされる。解は次のようになる
$w_{1}(r^{(0)},\theta^{(0)})$
,
$\frac{\partial v_{\{n}}{\partial r}r^{(1)}+\ell\iota|01(r^{(0)},\theta^{(0)})$
.
$r^{(1)}=- \frac{5}{8}(1-r_{0}^{2})\cos\varphi^{\langle 0)}$
,
$b$$\theta^{(1)}=(\frac{5}{8r_{0}}-\frac{7r_{0}}{8})\sin\varphi^{(0)}$
.
ただし、
$\varphi^{(0)}=\theta^{(0)}-\alpha s_{0}$
.
A.1.3
Second-order
方程式は
$\frac{dr^{(2)}}{dt}$
$=$
$\frac{\partial u_{01}}{\partial r}r^{(1)}+\frac{\partial u_{01}}{\partial\theta}\theta^{(1)}+c\iota_{02}(r^{(0)},\theta^{(0)})$,
$r^{(0)} \frac{d\theta^{(2)}}{dt}+r^{(1)}\frac{d\theta^{(1)}}{dt}+r^{(2)}\frac{d\theta^{(0)}}{dt}$$=$
$\frac{\acute{c})\tau\prime\alpha 1}{\partial r}r^{(2)}+\frac{\partial_{l)_{01}}}{\partial r}r^{(1)}+\frac{t^{r}lv_{01}}{\partial\theta}\theta^{(2)}+v_{02}(r^{(0)},\theta^{(0)})$.
と表わされる。解は次のようになる
$r^{(2)}$
$=$
$[- \frac{25}{256r_{0}}+(-\frac{A_{02}}{2}+\frac{5}{128})r_{0}+\frac{31}{256}r_{0}^{3}]\cos 2\varphi^{(0)}$
,
$\theta^{(2)}$
方程式は
$\frac{dk_{r}^{(0)}}{dt}-k_{\theta}^{(0)}\frac{d\theta^{(0)}}{dt}=-k_{\theta}^{(0)}$,
$\frac{dk_{\theta}^{(0)}}{dt}+k_{f}^{(0)}\frac{d\theta^{\langle 0)}}{dt,}=k_{r}^{(0)}$,
$\frac{dk_{\delta}^{(0)}}{dt}=0$.
と表わされる。解は次のように一定となる
$k^{(0)}=k_{0}$
.
A.2.2
First-order
方程式は
$\frac{dk_{r}^{(1)}}{dt}-k_{\theta}^{(0)}\frac{d\theta^{(1)}}{dt}-k_{\theta}^{(1)}\frac{d\theta^{(0)}}{dt}$$=$
$-k_{\theta}^{(1)}-(\mathcal{L}_{1}^{T}k^{(0)})_{r}$,
$\frac{dk_{\theta}^{(1)}}{dt}+k_{r}^{(0)}\frac{d\theta^{(1)}}{dt}+k_{r}^{(1)}\frac{d\theta^{(0)}}{dt}$$=$
$k_{r}^{(1)}-(\mathcal{L}_{1}^{T}k^{(0)})_{\theta}$,
$\frac{dk_{s}^{(1)}}{dt}$$=$
$-(\mathcal{L}_{1}^{T}k^{(0)})_{t}$.
と表わされる。解は次のようになる
$k_{r}^{(1)}$$=$
$- \frac{o^{r}}{4}r_{0}k_{r0}\cos\varphi+(\frac{o^{r}}{8r_{0}}+\frac{7r_{0}}{8})k_{\theta 0}\sin\varphi$ $k_{\theta}^{(1)}$$=$
$(- \frac{o^{r}}{8r_{0}}+\frac{\backslash r_{)r_{0}}}{8})k_{r0}\sin\varphi+\frac{1}{4}r_{0}b_{0}\cos\varphi$ $k_{s}^{(1)}$$=$
$r_{0}k_{s0}\cos\varphi$
.
A.2.3
Second-order
方程式は
$\frac{dk_{r}^{(2)}}{dt}-k_{\theta}^{(0)}\frac{d\theta^{(2)}}{dt}-k_{\theta}^{(1)}\frac{d\theta^{(1)}}{dt}-k_{\theta}^{(2)}\frac{d\theta^{(0)}}{dt}$$=$
$-k_{\theta}^{(2)}-(\mathcal{L}_{1}^{T}k^{(1)})_{r}-(\mathcal{L}_{2}^{T}k^{(0)})_{r}$$-[( \frac{\partial \mathcal{L}_{1}^{T}}{\partial r}r^{(1)}+\frac{\partial \mathcal{L}_{1}^{T}}{\partial\theta}\theta^{(1)})k^{(0)}]_{r}$
,
$\frac{dk_{\theta}^{\langle 2)}}{dt,}+k_{r}^{(0)}\frac{d\theta^{(2)}}{dt}+k_{r}^{(1)}\frac{d\theta^{(1)}}{dt}+k_{r}^{(2)_{\frac{d\theta^{(0)}}{dt}}}$
$=$
$k_{r}^{(2)}-(\mathcal{L}_{1}^{T}k^{(1)})_{\theta}-(\mathcal{L}_{2}^{T}k^{(0)})_{\theta}$$-[( \frac{\partial \mathcal{L}_{1}^{T}}{\partial r}r^{(1)}+\frac{\partial \mathcal{L}_{1}^{T}}{\partial\theta}\theta^{(1)})k^{(0)}]_{\theta}$
,
$\frac{dk_{9}^{(2)}}{dt}$
$=$
$-(\mathcal{L}_{1}^{T}k^{(1)})_{\epsilon}-(\mathcal{L}_{2}^{T}k^{(0)})_{s}$と表わされる。
$\mathfrak{W}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$f,
$\grave\lambda$のようになる
$k_{r}^{(2)}$
$=$
$k_{r0} \cos 2\varphi(\frac{25}{256r_{0}^{2}}+\frac{5}{128}+\frac{A_{02}}{2}+\frac{37r_{0}^{2}}{256})$
$+k_{\theta 0}[ \frac{21r_{0}^{2}}{16}t+\sin 2\varphi(\frac{2_{\iota)}^{\ulcorner}}{128r_{0}^{2}}-\frac{2_{0}^{r}}{64}-\frac{27r_{0}^{2}}{128})]$
$+k_{\epsilon 0} \sin\varphi(-\frac{5\alpha}{8}-\frac{/f}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}+\frac{9\alpha r_{0}^{2}}{8})$
$k_{\theta}^{(2)}$
$=$
$k_{r0} \sin 2\varphi(-\frac{25}{128r_{0}^{2}}$
一痴
$2+ \frac{25}{64}-\frac{9r_{0}^{2}}{128}I$$+b_{0} \cos 2\varphi(\frac{2_{0}^{r}}{2_{t)}^{r}6r_{0}^{2}}+\frac{\backslash )r}{128}-\frac{A_{02}}{2}-\frac{3_{\iota)}^{r}r_{0}^{2}}{2_{\iota J}^{\ulcorner}6}I$
$+k_{s0} \cos\varphi(-\frac{5\alpha}{8}-\frac{\beta}{\sqrt{1+\alpha^{2}}}-\frac{3\alpha r_{0}^{2}}{8}I$
$k_{l}^{(2)}$
$=$
$\frac{\backslash \prime\alpha}{8}(1-r_{0}^{2})k_{r0}\sin\varphi)+\alpha(\frac{v^{r}}{8}-\frac{7r_{0}^{2}}{8})b_{0}\cos\varphi+\frac{3r_{0}^{2}}{8}k_{\iota 0}\infty s2\varphi$
