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*
競 争 均 衡 の 安 定 性 に 関 す る一 考 察 若 林 信 夫
1.序
一 般 均 衡 の枠 組 に お け る 安 定 性 の体 系 的 な 研 究 は1960年 前 後 を 頂 点 に次 第 に 減 少 して きた よ うに い わ れ る。 しか し,そ の後 の発 展 の 中 で も個 別的 モ
(1)
デ ルー 為替,通 貨 市 場 とか 不 完 全 競 争経 済 一 の安 定 性,確 率 的 安定 性, 定 性 的 な符 号 安定 の 問題,模 索 安 定 の 実証 研究[1]な どに もみ るべ き もの が
あ り,決 して 全 て の 問題 に決 着 がつ け られ た の で は な い。 また10年 以上 も 前,根 岸 〔23]の 優 れ たサ ーベ イ論 文 で未 解 決 な問 題 と して リス トア ヅプ さ れ た,価 格形 成 過 程 の問 題,ラ グ付 調 整 の導 入 あ る いは 均衡 へ の 到 達 に要 す
る時 間(調 整速 度)の 問 題 な ど殆 ど未 解決 の ま まに あ る とい え よ う。
そ もそ も,一一般 均 衡 の安 定 性 の萌 芽 は ワル ラス の模 索 過程 や ヒ ヅクス ・サ
く
ム エ ル ソ ン の 完 全 安 定 と動 学 的 安 定 性 の 論 争 に 求 め られ る が,こ の 展 開 の 最 も重 要 な 成 果 は メ ッ ツ ラ ー[16]に よ る基 本 的 な 論 文 で あ ろ う。 そ の 主 要 な 結 果 は,も し全 ゆ る 財 が 粗 代 替(こ の 言 葉 を 最 初 に 用 い た の は モ ザ ッ ク[20, 幽 コ で あ る)で あ れ ば,ピ ッ クス 条 件,す な わ ち,総 超 過 需 要 関 数 の ヤ コ ビ
ア ン の 主 座 小 行 列 式 が 符 号 を 負 正 負 正 と交 互 に か え る,が な りた つ こ とが 体
*本 稿 は 小 樽 商 科 大 学 の 定 例 土 曜 研 究 会(48.10.6)の 報 告 に も と つ い て い る . 多 く の コ メ ソ トに 対 し 記 し て 感 謝 す る.
(1)原 点 が 確 率1で(確 率 的)安 定 と は す べ て の ρ,ε>0に 対 し て あ る δ(ρ,ε)>0 が あ っ て{レoli≦ δ(ρ,ε)な ら ばPr{suplixt,i[〉/ε}〈xρ カミな り た つ こ と で あ る.
く ゐく
例 え ば ワイ ン トロ ウ プ[35]を 参 照 せ よ.
(2)ピ ッ ク ス[11]の 完 全 安 定 は 超 過 需 要 関 数 の 勾 配 の み に 依 存 し た た め サ ム エ ル ソ ン[32コ の 微 分 方 程 式 か らす る 動 学 的 安 定 性 の 必 要 条 件 で も十 分 条 件 で も な り え な か っ た 。 しか し両 者 と も 超 過 需 要 関 数 の 背 後 に あ る 微 視 的 経 済 学 の 基 礎 は 欠 如 し て い た た め ス カ ー フ,ゲ ー ル の 有 名 な 不 安 定 の 反 例 を 認 め ざ る を 得 な か っ
た.本 稿 は こ の 間 題 を 考 慮 の 外 に お く.
＼
系 の 局 所 的 安 定 性 の 必 要 か つ 十 分 条 件 で あ る と い うこ とで あ る。13年 後 の 1958年,根 岸[22]と ハ ー ン[10〕 そ して,ア ロ ウ ・ハ ー ヴ ィツ[4]が 独 立 にEconometricaに 投 稿 した 結 果 は す べ て 同 一 で,メ ッ ツ ラ ー の 粗 代 替 仮 定 の も とで は 実 は ヤ コ ビ ア ソ は 必 然 的 に ピ ッ クス 条 件 と な り,し た が っ て メ ッ ツ ラ ー の 定 理 か ら系 は 局 所 的 に 安 定 と な る こ と を 主 張 す る 積 極 的 な 結 果 で
くの
あ った 。 この こ との経 済 的 意 味 と数 学 的 意 味合 い につ い ては まだ 十 分 検討 さ れ て い る とは い え な い よ うに思 う。
実 際,彼 らの 証 明 につ い て い えば,ア ロウ とハ ー ンの幾 何 図形 を別 とす れ ぽ,と もに フ ロベ ニ ウス の定 理 を用 い てい るが根 岸 は関 数 の ゼ ロ次 同次 を利 用 した のに 対 し,ハ ー ンは ワル ラス法 則 を 用 い て結 論 に 達 した。 両 者 に含 ま れ る数 学 的 道 具 を研 究 す るこ とに よ り経 済的 意 味 合 い もさ らに充 実 す る可 能 性 が あ る。 本論 文 の第 一 目的 は,こ れ を 検討 す る こ とに あ る。 そ の結 果,あ た か も メ ッツ ラ ーが不 十 分 な結果 しか導 か なか った とい う面 が過 度 に強 調 さ れ,誤 った 印象 を与 え て い る事実,又 は与 えそ うな危 惧 を根 本 か ら是 正 す る
こ とが で き よ う。1
そ の 後,ア ロウ・プ ロ ヅク・ハ ー ヴ ィッチ[4]は 粗 代替 性 と ワル ラス的 調 整 過 程 に 対 して調 整 速 度 が 超 過需 要 の連 続 か つ 符 号保 持 関数 で あ る こ とのみ を 仮 定 す れば 均衡 の大 域 的 安 定 性(し た が って 均 衡 解 は一 意 で あ る。)を 証 明 し た 。 この 結果 は さ らに宇 沢[34〕 に よ り リヤ プ ノフの第 二 方 法 を用 い て 「均 衡 」 の 安 定 性 か ら 「過 程 」 の安定 性 に 拡 張 され た こ とは特 筆 に値 す る。
均衡 の 安 定性 の 近 時 の主 要 な トピ ッ ク の ひ とつ は ヤ コ ビア ン行 列 の定 性 的 情報 す な わ ち(+,一,o)の3つ の 符 号条 件 と 若 干 の 本 質 的 な仮 定 の み か ら安 定 性 を 問 う,符 号安 定 の 問 題 で あ る。 これ は 近 時,定 性 経 済学 (QualitativeEconomics)と して確 立 した 感 が あ る領 域 の一 問 題 で あ る。 定 性経 済学 は理 論 経 済学 ば か りで な く計 量経 済 学 の モ デ ル ビルデ ィン グや係 数
(3)こ の 命 題 を 始 め て 明 瞭 に 述 べ た の は 多 少 特 殊 で は あ る が,サ ム エ ル ソ ソ[32,
(438)定 理5コ で あ る.ま た そ の 定 理 はAが 負 の 麦 配 対 角 を も て ば オ が ピ ッ ク
ス 行 列 に な る こ と も含 ん で い る.厳 密 な 直 接 的 証 明 を 数 学 注3で 示 した.
競争均衡の安定性に関す る一考察 39 の推 定 結果 に つ い て も 何 らか の 有 意味 な 証 左 を与 え うる。 定 性経 済 学 の端 緒 は サ ムエ ル ソン[32,⑬]の や や難 解 な一 節"ACalculusofQualitative
Relations"が 提 出 され た こ とに も とつ くとい え よ う。
発 表 後十 数年 間,サ ムエ ル ソ ンの問題 は,二,三 の例 を 除 い て等 閑 視 され て きた が ラソ カ ス タ ー ・ゴ ーマ ンを 契機 に,カ ー クを 中 心 と した研 究 を また 一 方 に積 み 重 ね られ て きた。 この研 究 は 行 列論 の新 しい概 念,巡 回 とか 連 鎖 一 を発 展 させ定 性 行列 の展 開 に 役 立 って い る。 本 論 文 の 後半 は この研 究 を含 む 最 近 の 安 定 性分 析 を統 一 的 体 系 的 に展 望 す る こ とを意 図 して い る。
本 論 文 の構 成 は まず 競 争 均衡 の 数 学的 モ デ ル を述 べ,安 定 性 問題 の導 入 を 図 る(2節)。 続 い て予 備 定 理 か ら粗代 替 を め ぐる 十 分 条件 の 相互 依 存 関 係 をみ る(3節)。 粗 補 完 を含 む 競 争 均衡 の問 題 を 森 嶋 行 列 と符 号安 定 性 の観 点か ら議 論 す る(4節)。 なお 数 学 付録 に お い て本 論 文 を で き るだ け 自己完 結 的 にす るた め に 詳 細 な数 学 的 証 明 を与 え た。
2.競 争 均 衡 モ デ ル
経 済 に は 交 換 可 能 な 財 貨i∈N… …{0}UN≡{0}ul列 ブー1,…,n}が あ り 各 財iに 対 応 し て 価 格P、(i∈N)が あ る 。 α を モ デ ル の 環 境 を 表 わ す シ フ トパ ラ メ ー タ と す る 。 第 づ財 の 総 超 過 需 要 を ル̀と す れ ば,貌 は 全 ゆ る 価 格 の 関 数 と 考 え ら れ る 。 す な わ ち,Xi・=F,(IP・,Pi,…,P,、;α)(i∈N)で あ る 。 そ の と き ま ず 仮 定
(H) 関数Fiは 価 格 に関 し正 の0次 同次 で あ る,
を お く 。 そ の と き,第0財 を ヌ メ レ ー ル に 選 ぶ こ と が 可 能 でXi≡Fi(1,P、, P2,…,Pn;α)と で き る 。 こ こ で,iPi=pi/P・ で あ る 。 環 境 パ ラ メ ー 一タ を 固 定
す る(α 一 α*)と 経 済 均 衡 は
0一 瓦(P*,α*)づ 一 〇,1,̲,"
でPi*≧oと な る ベ ク トルP*が 存 在 す る こ と と 定 義 さ れ,存 在 を 仮 定 す
(4)
る。 す な わ ち,い か な る財 も均 衡 で は 正 の 超 過 供 給 を もた な い とす る。 均 衡 に お い て は 全 ゆ る 価 格 は 正 と 仮 定 す る;P*一(Po*,P、*,…,Pn*)>0・ ワ ル
ラ ス 法 則 の 仮 定
(のo・ ・ ΣP,F,(P;α)
'=a
を 用 い る と,
れ
一P。F。(P;α)=・ ΣP,F
、(P;α)
ε二1れ
よ っ て 一 κo鵠 ΣP幽.
i=1
これ は 第0財 の 超 過 需 要 が 他 のすべ て の 財 の超 過需 要 に よ りき まるか ら,
くの
n+1個 の 財 を考 え る代 りにn個 の財 を考 え れば よい こ とを示 す 。 した が っ て均 衡 条 件 は
O・ ・fi(カ 、*,P2*,̲,Pn*;α*)≡fi(P*;α*)ゴ ー1,̲,n
とな る。 一 般 性 を 失 う こ と な く均 衡 価 格 が1と な る よ う財 の 単 位 を選 ぶ と仮 定 す る。 す な わ ち,P*一(1…1),P。‑1・ で あ る。
ワル ラ ス 的 模 索 調 整 メ カ ニ ズ ム は 連 立 方 程 式
(1) ρF&(fi(Pi,P2,…,P!、;α));i∈N
に よ り表 わ さ れ る。 こ こ でP,‑dP,/dt,9、(・)はfiの 増 加 関 数 で,g,(f(が;
α*))‑9i(o)=‑oと 仮 定 す る。 後 者 の 仮 定 は 体 系 が 均 衡 に あ れ ば 価 格 は 変 化 しな い こ と を 意 味 す る 。 均 衡 の 安 定 性 を 議 論 す る便 宜 上,仮 定
(4)そ の よ うな 均 衡 解 の 存 在 の ひ と つ の 十 分 条 件 は 総 超 過 需 要 関 数FihS一 価 で 連 続 な こ とで あ る.な ぜ な ら,Fiが(H)を み た せ ば 変 域 を コ ン パ ク トに で き る こ と に よ る.
(5)ワ ル ラ ス 法 則 と0次 同 次 を 仮 定 す る わ れ わ れ の モ デ ル で は ヌ メ レー ル の選 択 は
安 定 性 に 感 応 的 で は な い,ヌ メ レー ル の 選 択 と 安 定 性 の 間 の 一 般 的 な 考 察 は 森 嶋
[19],ム ケ ル ジ[21コ を 見 よ 、
競争均衡の安定性に関す る一考察 41
(D)Fi(f,)とg。 に 微 分 可 能 性
(6)
を お く。(1)の 線 形 近 似 体 系 を 考 え る と,
コ ハ
(2)ク̀=&'Σ ん(lb」‑P」*)(i∈N)
ゴ=1
を 得 る 。 こ こ で 瓦 ゴ は ∂昂/∂ あ の 均 衡 値 が で 評 価 し た 値 で あ り,η 次 正 方 行 列 で あ る 。 以 下A‑[ん]一[α 切 と お く 。 し た が っ て 導 関 数9i'・=9i'(0) で あ り こ れ をai,と お く こ と に す る 。D=diag@),di>oと す る とDは 非 負 の 対 角 行 列 で 逆 が 存 在 す る 。D"i‑diag(ai‑1)。
(2)に 対 す る 解 は,
ゐ
(3)f>{(彦)‑Pi*聾 ΣQκ(のeRictVk
k=1
に よ っ て 与 え ら れ る 。 こ こ でm≦vaはDAの 異 な る 固 有 根Zkの 数 で あ り Q・(彦)は 高 々m‑1次 の 彦 の 多 項 式 で あ る 。Vkは7・ ・ に 対 応 す る 固 有 ベ ク トル で あ る 。 体 系(1)が 局 所 的 に 安 定 的 で あ る,す な わ ちlimPk(t)一 ・ クiC*
ε→ ◎◎
と な る 必 十 条 件 は 行 列DA‑[d、 α司 が 安 定 行 列,す な わ ち 固 有 根 が す べ て 負 の 実 部 を も つ こ と で あ る;Re(R,)<0。 も しDAが ど の よ うなDに 対 し て も安 定 で あ る と きAをD一 安 定 とい う。(アP・ 一 ・マ ク メ イ ナ ス[4aコ)。
D一安 定 の 必 要 十 分 条 件 は 知 られ て い な い が,十 分 条 件 はBA+A'Bが 負 定 値 と な る 正 の 対 角 行 列Bが 存 在 す る こ とで あ り,必 要 条 件 はAが 「殆 ど ピ ッ ク シ ア ン」 行 列(AQ主 座 小 行 列 式 が(‑1)kま た は0の 符 号 を も つ)で あ る こ とが 個 別 に 知 られ て い る。 しか し最 近 十 分 条 件 に 対 して も,必 要 条 件 に
(7)
近 い 型 が 得 ら れ た 。 い わ ゆ る フ ィ ッ シ ャ ー ・ フ ラ ー 定 理 で あ る 。 '
(6)超 過 需 要 関 数 の 微 分 可 能 性 は 微 分 方 程 式 の 解 を 保 証 す る た め の 純 粋 に 数 学 的 な 条 件 で あ る 。 帰 結 す る と こ ろ は 関 数 が 一 価 か つ 連 続 で な け れ ば な ら な い が ど れ だ け 経 済 的 合 理 性 を 与 え るか は 疑 問 で あ りtrickyな 仮 定 と い え る.
(7)フ ィ ッ シ ャ ー フ ラ ー 定 理 は 元 来 一 次 方 程 式 の 反 復 解 法 と い う数 値 解 析 の 分 野 で 発 表 さ れ た も の で あ る 。 こ れ を 経 済 学 に 最 初 に と り入 れ た の は ニ ユ ー マ ン[24]
で あ る.そ の 後 カ ー ク,マ ッ ク フ ァ ー デ ン,森 嶋 に お い て 用 い られ た.最 近 、
数 値 解 析 の 専 門 家 で あ るM・E・ フ ィ ッ シ ャ ー で は な く,数 理 経 済 の 専 門 家 で あ る
F.H.フ ィ ッ シ ャ ー[7コ が よ り簡 単 な 証 明 を な し た.こ れ ら に 沿 っ た 証 明 を 本
稿 末 尾 の 数 学 注1で 与 え た.
フ ィ ッシ ャ ー ・フ ラ ー 定 理:!望 は ピ ッ ク シ ア ン(ピ ッ ク ス 行 列),す な わ ちAの 主 座 小 行 列 式Mkのnestedsetが 少 な く と も ひ と つ あ っ て, (‑1)W鳶>0,(k∈N)に な る,と 仮 定 す る。 そ の と き あ る 正 の 対 角 行 列 D・‑diag(di)d,>Oに 対 し,DAの 固 有 根 が す べ て 実,負,単 根 で あ る 。
こ の 定 理 は ア ロ ー ・マ ク メ イ ナ ス の 殆 ど経 済 的 意 味 を も た な い も の を お き か え,現 在 知 られ て い る最 良 の も の で あ る。(そ れ 以 前 は 第3節 に 述 べ る 付 加 的 でstringentな 仮 定,例 え ば 粗 代 替 の 仮 定 に 依 存 して い る 。)し か し上 述 の 定 理 は 均 衡 が ピ ッ ク ス 的 安 定 で あ れ ば 価 格 の あ る 調 整 速 度 に 関 し局 所 的 に 安 定 で あ る こ と を 意 味 す る。 した が っ て,価 格 の ど の よ うな 調 整 速 度 で も 成 立 す る も の で は な い 。
次 節 で は 粗 代 替 が 中 心 的 仮 定 と な る安 定 条 件 論 を 展 開 し よ う。
(8)
3.予 備 定 理
予 備 定 理:
A=(α の,i,グ ∈Nは 非 対 角 要 素 が 全 て 非 正 の 行 列 で あ る;α ゴ≦o(i≠ ブ)。 こ の と き 次 の 諸 命 題 は 同 値 で あ る 。
10ヨx≧O;Ax>0.(Ax>0と な るx≧0が あ る 。) 2。 ヨx>O;Ax>0.(Ax>0と な るx>0が あ る 。)
3。 ヨD・:diag(ai),4♪0,i∈N;ADe>0・(正 の 対 角 要 素 を も つ 対 角 行 列Dが あ っ て,ADe>0と な る 。eは 全 要 素 が1の 単 位 ベ ク トル で あ る 。)
4。 ヨ1)‑diag(ai),di>0;W≡AD‑(2Vi」)は 正 支 配 対 角 で あ る 。 す な わ ちWii>Σ1ω 司 あ る い は,aiiai>Σ1α ヨ4ノ で あ るg
5。Aの す べ て の 実 固 有 根 は 正 で あ る 。
6.A・z)す べ ての主座小行列式は 正 であ る・ す なわ ち画 刈 雛1
(8)本 節 は 数 学 書 の 至 る所 に 古 典 的 な 結 果 と し て パ ラ パ ラ に 述 べ られ て い る も の で,多 分 に 数 学 的 興 味 か ら挙 げ た も の も含 む.文 中 のCEIは 存 在 記 号"forsome"
を 表 わ す.
馬
競争均衡の安定性に関す る一考察 43
>0,…IAI>0・ あ る い は 添 字 の 集 合M⊂Nに 対 し て,IA[.]1>0・
7。 λ>Maxaiiと す る 。Z・ 一λ1‑‑A≧0に 対 し,Zの 最 大 固 有 根 をrと す i
る 。rは 正 で λ よ り も 小 さ い 。r<2。
8。Aの す べ て の 固 有 根 の 実 部 は 正 で あ る 。 9。 逆A‑‑iが 存 在 し,A'i=,(わ の ≧0で あ る 。
10。 す べ て のx9・Oお よ びPt==Axに 対 し て,Xiyi>0と な る 番 号iが あ る 。
[証 明 コ
[1。 →2。]x≧O,Ax>0と す る 。eを 全 て の 要 素 が1の 単 位 ベ ク トル,ε を 正 の 数 と す る 。 ε を 十 分 小 さ く と れ ば,x+ε β>O,A(〃+εe)==・Ax+εAe>0・
[2。 →3。]xはAx>0を み た す 正 の ベ ク ト ル で あ る か ら,x==(x、,x2,…, κ.)を 対 角 行 列 の 対 角 要 素 に 選 ぶ こ と が で き る 。 そ の と きADe=Ax>0・
[30→4。]Dが 正 の 対 角 要 素 を も つ 対 角 行 列 と す る 。w==ADに 対 し て M7e>o。 し た が っ て 全 て のiに 対 し,ωit>一 Σ ω乞 ゴ・Aの 非 対 角 要 素 は 非 正
ゴキ ゑ
でd・i>0で あ る か ら ωid≦0(iiブ)・ よ っ て17['「は 正 の 支 配 対 角 行 列 で あ る 。 E4。 →50コADの す べ て の 実 固 有 根(の ベ ク トル)を λ=(λ の と し あ るi に 対 しk≦0と す る 。 そ の と き,ω 、 、‑Ri≧Wti>Σ1ω 司 で あ る 。 よ っ て
る ゴ
VV一 λ1は 正 則 だ か ら λ、はADの 固 有 根 と は な り え な い 。 よ っ て えt>0・ い ま fADの 固 有 根 を λ と す る 。 λ>0。Dは 正 則 ゆ え,
0『 レ4D一 λII==ID‑1(D/4一 λ1)Dl=IDI‑11Dノ 望一 λilIDI鶉IDA一 λ1ト よ っ てDAx==2x・ 両 辺 に 左 か ら ヱ)‑1を か け る とAx=RD‑1κ 鴇 μ よ っ て Aは μ一=[λD̀i]>0な る 実 固 有 根 を も つ 。
[5。 →6。]Aの す べ て の 実 固 有 根 が 正 で あ る と す る 。M⊂Nと しIA[M]1
L
が 正 と な る こ とを 示 す 。 い ま行 列sを 添 字 の集 合M={1,2,…,m}に 従 っ て 次 の よ うに 定 義 す る;i・ ゴ∈Mな ら,殉=ὰゴ,唯Mな らSii=:aii,i∈M, 蕪Mな ら,靭=oと す る。 明 らか にs≧Aで5はAと 同 じ く非 対 角 要 素
が 非 正 で あ る。5。 の も と で はISI≧IAI>0が い え る 。Sの あ らゆ る 固 有 根
は 正 で あ る か ら 特 に す べ て のaiiは 確Mに 対 し 正 で あ る 。det(B)‑det
(A[珂)Hati(ieM)で あ る か らIA[M]【>o。
[6。 →7c]μ>Maxai・tと な る μ に 対 し て,Z≡ … μ1‑AはZ≧0.い ま,Z
さ
の 固 有 根 を μ,そ の 最 大 固 有 根 をrと す る 。
(1)0司 μ 一Zl‑Kμ 一 λ)∫+Al冨(μ 一 λ)n+Σa、i(μ 一 λン̀‑1 +Σ 陵 淵(μ 一λ)n‑・+…+IAI・
よ っ て6.よ り… 〉鴫 剛 〉・・… ・IAi>・ ・ す な わ ち 主 座 小 行 列 式 力・
全 て 正 な る と き,(1)の 等 号 が 成 立 す る た め に は μ一 λ〈0,し た が っ て,r<λ で な け れ ば な ら な い 。
[7。 →6。 コr<λ の と き,μ 〈 λ で あ る 。 固 有 方 程 式 の 性 質 よ り,(iUi一 λi) (i∈N)をO‑1(pe・‑R)1+矧 の 解 で あ る と す る と,
'0判(
μ一?・)1+AトH[(μ 一 え)+(,Ui‑Ri)]
'=1
よ っ て 上 の 関 係 か ら,IAI‑"(,tti一 λf)を 得 る 。 も し,す べ て の(ろ 一 μ、)が
よニ
実 数 な ら,r>λ の 場 合,す べ て の(λ 、一μ∂ は 正,し た が っ てIAIの 符 号 は 正,ま た 複 素 根 が 存 在 す る場 合 で も共 役 根 が 必 ず つ い て くる か らそ れ らの積 は 正 と な り,や は りIAIの 符 号 は 正 で あ る。Aの 主 座 部 分 行 列A、M]を 考 え る と そ の 最 大 固 有 根 勿ガ は 非 負 で オ の そ れ よ りも 小 さ い 。 した が っ て 触 くλ で あ るか ら前 と同 様 な 論 法 で オ[胡 の 主 座 小 行 列 式 も 正 と な る。 こ れ は 全 て の 主 座 小 行 列 式 に 対 して い え る 。
[7。→8。]Aの 固 有 根 λ1(i∈N)を そ の 実 部 の 大 き さ に 並 べ る。Re7・i≦Reλ2
≦ … ≦Reλnで あ る。Z=λV‑Aの 固 有 根 は λ一 λ̀で あ りそ の 最 大 は λ一R、で あ るか ら,最 大 固 有 根7に 等 置 され る。 仮 定 に よ りr<λ で あ る か ら,え 、>0
とな る。 つ ま り行 列 遼 の す べ て の 固 有 根 は 正 の 実 部 を もつ 。
[8。→5。]Aの す べ て の 固 有 根 の 実 部 が 正 で あ れ ば 明 らか に 実 固 有 根 も正 と な る。
[9。→1。]A"iが 存 在 しA'1≧0と す る 。x・=A"1eを つ く る とx≧0.よ っ てAx・=e>O・ こ れ は1。 の 成 立 を 示 す 。
[1。→9。]xは 実 際 は 正 。 な ぜ な ら,も しあ る 脅 こ対 しXi‑Oな らAxの
競争均衡の安定性に関す る一考察 45
第i要 素 が 非 正 と な る か ら 。 い まAz≧0と な る9を 考 え よ う 。z≧0と な る 。 な ぜ な ら か り に 君 が 負 の 要 素 を も つ と す る 。 そ の と き す べ て の 助 こ対 し3ゴ/κ ゴ≦ 塀 錫 と な る 番 号 ブ を 選 ぶ 。2‑(3//初 万≧oで あ る か ら,仮 定 よ りA(z‑(塀 初 め ≧0が 成 立 す る 。 し か し 左 辺 の ブ 番 目 の 要 素 を 計 算 す る とx‑(8ゴ/κ ゴ)x…oよ り 非 正 で あ る 。 こ れ は 矛 盾 で あ り2≧oと な る 。 同 様 にA(‑2)≧0な ら(‑2)≧0で あ る か ら,Ag=・Oな らz=Oで あ る 。 し た が っ てAは 正 則 で あ る 。 よ っ てv≧0な らA‑lv≧0よ っ てA}1≧0と な
る 。
[ip→10。 コx≧0,y‑Ax>0で あ る か らayl‑0で あ り,あ る 番 号iに 対 してXiyi>0と な る 。
[10。→1。]か りにAx>0を み た すxの 中 にXi〈Oと な る・ もの が 存 在 す る と し よ う。 仮 定10。 よ り 夕、一(Ax)i〈Oで あ る。 と こ ろ が,Ax>0で あ る か ら矛 盾,よ っ て10。 な らば1。 で あ る。1
[注 意1]砺 ≦(i≠ 分 で1。 か ら10。 ま で の 同 値 命 題 の ひ とつ を み た す も の を 数 学 の 分 野 で は,オ ス トロ フ ス キ ー の 命 名 以 来 長 く,M二 行 列,ま た は ミ ン コ フ ス キ ー 行 列 と呼 ん で い る。(後 の 競 争 均 衡 の 議 論 で 登 場 す る森 嶋 行 列 や メ ッ ツ ラ ー行 列 をM一 行 列 と 呼 ぶ 論 文,著 書 も あ る が 同 語 異 義 で あ る。
例 え ぽ森 嶋[19],カ ー リン[12],ケ ン プ ・ウ ェ ッ グ[12a]を 比 較 せ よ。) [注 意2コ 上 の 定 理 ま た は そ の 変 種 が 本 論 の 競 争 均 衡 の 安 定 分 析 も含 め, 以 下 の よ うな 数 理 経 済 学 の 各 種 の 分 野 に 基 本 的 で あ る こ と に 注 意 す る;
(1)モ ザ ッ ク ・メ ッ ツ ラ ー ・ピ ッ ク ス の 粗 代 替 モ デ ル,こ れ は 後 に ア ロ ウ ハ ー ヴ ィ ッチ 等 多 数 の理 論 家 に よ り展 開 され 本 稿 の 主 題 で も あ る 。
② レオ ン チ エ フ ・メ ッ ツ ラ ー ・フ ロベ ニ ウ ス ・ ミン コ フ ス キ ー型 の 投 入 産 出 行 列,こ れ は 後 に ドッ ソ ー,マ ッケ ン ジ ー等 の 投 入 産 出 と支 配 対 角 に 関
じ
す る理 論 家 に よ り展 開 さ れ た もの で あ る。
(3)国 際 貿 易 理 論 に お け る要 素 価 格 均 等 化 と ス トル パ ー ・サ ム エ ル ソ ン定
理 の 一 般 化,こ れ は チ ッ プ マ ン,上 河,ケ ン プ,ウ ェ ッ グ,稲 田 らに よ り展
開 さ れ た 。
(4)そ の 他,チ ッ プ マ ン らに よ る多 部 門 乗 数 分 析,マ ル コ フ,フ レ ッシ ェ の 推 移 確 率 の 統 計 理 論 を 用 い た サ ム エ ル ソ ン の 投 機 価 格 論,計 量 経 済 学 と 関 連 した 数 値 解 析 を 挙 げ る こ と が で き る。
[注 意3]1。 ま た は2。 と8。 の 関 係 は,線 形 不 等 式Ax>0に 正 ま た は 非 負 の 解 が 存 在 す るか とい う問 題 が オ を 係 数 に もつ 微 分 方 程 式 の 安 定 性 の 問 題 に 密 接 に 関 係 して い る こ と を 意 味 して い る。
[注 意4]6。 の よ うにAの 主 座 小 行 列 式 が 全 部 正 と な る行 列 をP一 行 列 と 呼 び 最 近 の 数 理 経 済 学,数 値 解 析(ミ トラ ・ホ ー[17コ),数 理 計 画 論(ダ ン ツ ィー グ)等 で 採 用 さ れ 彫 琢 さ れ て い る。(但 し,チ ッ プ マ ン[5a]は
「P一行 列 」 を 避 け て,ガ ン トマ ッヘ ル のtotallypositivematrix(全 小 行 列 式 が 正)に 対 す る"Partiallypositivematrix"を 採 用 して い る。)応 用 を 数 理 経 済 学 に 限 定 す る とP一 行 列 に 関 連 す る話 題 は,本 論 で 扱 つ て い る競 争 均 衡 の 場 合 以 外 に 国 際 貿 易 の 数 学 的 議 論 特 に ス トル パ ー ・サ ム エ ル ソ ン 定 理 に お い て 重 要 で あ る。 本 質 的 な違 い は 前 者 が 一PN行 列(対 角 小 行 列 式 が 奇 数 次 に 負,偶 数 次 に 正 の 行 列),後 者 がP行 列 に 直 接 的 に 関 係 し て い る こ と に 求 め られ る。
P行 列 に 対 す る 同 値 条 件 と して 以 下 の も の を あ げ る こ と が で き る。(ミ ト ラ ・ホP・ 一 ・[17])
(a)AとAの 全 ゆ る主 座 部 分 行 列 の 実 固 有 根 が 正 で あ る。
(b)す べ て の ベ ク トル#oに 対 し,矧,>0と な る 番 号iが あ る。 こ こ で,ツ ー癬 で あ る。
(c)す べ て の ベ ク トル#0に 対 し,対 角 行 列D‑diag(di);di>0が あ っ て,ス カ ラ ー積(Ax,Dx)>0で あ る。(d,≧0で も可)。
(d)Aの 逆A"iが 存 在 してA"1はP行 列 。
こ の こ とか ら,次 の 性 質(jp行 列 の 例 と な る。)が 成 立 す る。
[1]Aが 正 支 配 対 角 を もつ 行 列 で あ れ ば,AはP一 行 列 で あ る。
〔証 明]aiidi>Σ1aidldノ な ら#oに 対 しあ るDが あ っ て(Ax,Dめ>0
ゴキ'
競争均衡の安定性に関す る一考察 47
と な る こ と を 示 せ ば よ い 。 い まx==(a、,a2,…,dn),D‑diag1な る 単 位 行 列 と す る と 確 か に α,画 〉 Σ1α 副 の の 下 で は(Ax,Dx)>0が 得 ら れ る 。 ■
[ll]Aが 正 の 準 定 値 行 列 で あ れ ばAはP一 行 列 で あ る 。
[翻]鱒 正 嘩 定値 行列 であ るか ら定義 に より ÷(A十A')は 碇 値 であ る.す なわち,綱 に対 し,(÷(細')の 〉・ であ る.し か し (Ax,x)一((ギ'+オ ヂ)堀)《 ≒ 刀'切+・ であ るか ら(伽)〉 α
よ っ て(c)に お い てD=diag1な る 単 位 行 列 とす れ ば よ い か ら,確 か に
÷(A+A')と 同 脚 もP‑fi列 で あ る.1
注 意:オ が 正 の 支 配 対 角 を も つ 行 列 で あ れ ば オ は 正 の 準 定 値 行 列 で あ る 。 これ は[1コ の 証 明 の 過 程 中 でZ)==diag1な る単 位 行 列 に して み れ ば わ か る 。 した が っ て,こ の 性 質 と[IIコ か ら[1]が 導 出 さ れ る。
〔II]の 応 用 と して ホ テ リ ン グ ・サ ム エ ル ソ ン の 命 題:行 列Aが 負 定 値 の と きそ の 逆 行 列A‑1・ 一[A,,AA1]一=[切](Awは 余 因 子)の 要 素 に つ い て, (i)対 角 要 素b,,・ ・A,・/iAlは 負,(ii)引 続 く次 元 に対 して 主 座 小 行 列 式 は 負
正負正 と符号を変え る・すなわち融ll>α1灘1〈 ・・… が成立す
る。 こ の 命 題 の 直 接 の 単 純 な 証 明 を 数 学 注2で 与 え た 。 [川]AがP行 列 な らA‑iも 又P行 列 で あ る。
[証 明]AがP行 列 で あ るか らIAI>0よ っ てAは 正 則,し た が っ て A"1が 存 在 す る。 い まy‑A'1xと お く とす べ て の#oに 対 してy≠O・ し た が っ て こ のPtに 対 して(c)よ りあ るD'が あ っ て(Ay,D'Sl')>0と な る。 し た が っ て(x・D'A‑1κ)>0・ した が っ て(Dx・A'ix)>0よ っ て(A"ix,Px)>0・
、 これ はA"'1がP一 行 列 で あ る こ と を 示 す 。l
P行 列 の 諸 性 質 を 知 り さ え す れ ぽ競 争 均 衡 の 安 定 性 で 重 要 な ピ ッ ク ス 行 列 す な わ ちPヱ 〉一行 列 の 諸 性 質 が 次 の 定 理 か ら直 ち に 導 出 さ れ る。
定 理:AがPN一 行 列 で あ る必 十 条 件 は 一AがP行 列 で あ る。
[証 明]行 列 式 の 基 本 性 質1‑Al‑(一 一1)nlAl@はAの 次 元)を 用 い
れ ば 容 易 に 得 られ る。1
以 上 の数 学 的 準 備 を も とに次 節 で は 安 定 性 の 十 分条 件 を 吟味 し よ う。
4.局 所 的 安 定 性 の 十 分 条 件
この節 で は競 争 均 衡 の局所 的安 定 性 につ い て今 まで 知 られ て い る十 分条 件 の 間 の 関 係 を 前節 の数 学 的 定 理 を 用 い図 式的 に分 類 を行 な う。
まず,上 の定 理 でAを 一Aと しよ う。 そ の と きaid≧o(i≠ カ の 仮定 の, も とで 以 下 の命 題 は 同値 で あ る。
CLAが 動 学 的 安 定 す な わ ちRe(え の くO C2.AがPN行 列(ピ ッ ク ス 行 列) C3.Aが 負 の 準 支 配 対 角 の 行 列 C4.Ux≧0;Ax<0.
C5.ヨx>0;Ax<0.
C6。 ヨ ノ1‑1=(ゐzブ)≦O.
(8。)
(6。)
(4。)
(1。)
(2。)
(9。)
す な わ ちAに 弱 粗 代 替(ao'≧0)が 仮 定 さ れ る とClか らC6の 命 題 の い ず れ か を 仮 定 す る と他 が 導 か れ る こ と を 意 味 す る 。 例 え ば メ ッ ツ ラ ー[16]
が 証 明 した よ うにAが 弱 粗 代 替 な らAが ヒ ヅ ク ス 行 列 で あ る(C2)必 十 条 件 はAが 動 学 的 安 定 条 件 で あ る(Cl)こ とは 直 ち に 出 る。 と こ ろ で 根 岸 [22],ハ ー ソ[10]ら の 立 言 はAが 弱 粗 代 替 な らC2が 常 に 導 か れ る と い う
も の で あ った 。 こ れ は 素 直 に 受 取 る と他 の 条 件 が 不 要 で あ るか の 如 く思 わ れ る。 しか し実 は 根 岸 は 背 後 にC4を 仮 定 し て い る の で あ り,ハ ー ン は 背 後 に C5を 仮 定 して い る の で あ る。 前者 は 需 要 関 数 の0次 同 次 か ら導 い た 関 係;
ユ
Σ ・4。。P、 。‑Aγ
s=1
これ は符 号 条 件 か らわ れ われ のC4を 分 析 して い る。 また後 者 は ワル ラス法 則 の両 辺 を 乃 に関 し偏 微 分 し均 衡値 で 評 価 した 関 係;
ゆ
ΣP、 。・4ij+A。 」‑O
i=1
す な わ ちC5を 分 析 して い る こ と が わ か る。 要 す る に メ ッ ツ ラ ーは0次 同 次
競争均衡の安定性に関す る一考察 49
や ワル ラス法則 を仮 定 しなか った た め に粗 代 替 で あれ ば ピ ッ クス行 列 と動 学
的 安 定 と は 同 値 で あ る こ と を 主 張 した 。 そ れ に対 し,根 岸,ハ ー ン は そ れ ぞ れ0次 同 次,ワ ル ラ ス 法 則 が あ れ ば 粗 代 替 の と き ピ ッ ク ス 行 列 に な り,し た が っ て 動 学 的 安 定 と な る こ と を 主 張 した に 過 ぎ な い。 い ず れ もわ れ わ れ の 予 備 定 理 か らの 単 純 な 帰 結 で あ る こ と が 理 解 さ れ た 。 さ らに 根 岸,ハ ー ン に 共 通 な 用 具 で あ る 「フ ロベ ニ ウ ス の 定 理 」 も何 ら必 要 で は な い ば か りか,浸 の 対 角 要 素 に っ い て 一 定 の 符 号 パ タ ー ン(偽i<0)を 仮 定 す る 必 要 が な い こ と
も予 備定 理 は 物語 っ てい る。
さて,今 まで は 単純 な 粗代 替 性 の仮 定 に服 す る場 合 の安 定 条 件 で あ った が 次 に 競争 均 衡 体系 に 粗 補 完 を 含 む場 合 知 られ て い る 十 分 条 件 に つ い て相 互 の 関 係 を調 べ よ う。 な お,す べ て の財 が 弱粗 補 完 で あ る(ai」 ≦0)場 合 は予 備 定 理 に よ り動 学 的 に不 安 定 で あ る。 また 単純 な粗 代 替 性 αη≧0の 仮定 は 二 階 堂[25,26]に よ り αη+㊨ ≧0と 一般 化 され た が,さ らに 最近,大 山 [27]に よ り,二 階 堂 ケ ー スを 含 む よ り 一 般 化 され た 粗 代 替 性(メ ッツ ラ ー 行 列)が 発 表 され て い る こ とに注 意 し よ う。 これ らは 単 純 な 粗 補 完 を カバ ー し,少 し位,粗 補 完 財 が 含 まれ て も 「平 均 して」粗 代 替 で あ れ ば,局 所 的 に安 定 で あ る条 件 を議 論 した。 しか し,こ こで の議 論 は単 純 ケ ース に 限定 す る。
次 表 は 安 定 性 の 十分 条 件 に 関連 す る項 目の間 の 相 互依 存 関係 を 論 理 的 な
(9)
包 含 関 係 で 示 した も の で あ る。 表 中 ○ はPな らばQを 意 味 し,△ は 条 件 付,× はPな らばQと な らな い こ と を 表 わ す 。(上 三 角 行 列 は1つ を 除 き 全 て ×)。
粗 補 完 を 含 む 場 合 の 動 学 的 安 定 性 の 十 分 条 件 の うち,負 の 準 支 配 対 角(し た が っ て 負 の 支 配 対 角)の 証 明 は,マ ッ ケ ン ジ ー ・ 一 一 一[15(49),定 理2コ に 完 全 に 与 え られ て い る。 負 の 準 定 値 お よ び 対 称 か つ ピ ッ ク ス型 に つ い て は サ ム エ ル ソ ン[32,(438)定 理2,お よ び(273)]に 指 摘 が み られ る 。 「森 嶋 型 の ピ ッ ク ス行 列 」 に つ い て の 証 明 は,森 嶋[18(103),定 理1]を 参 照 さ れ た
(9)動 学 的安定 性の必要条件 は
α1==(‑1)Σ ・・i>O,a2一 Σ 隠1ト ・・ … ・・一(一 一1)咽 〉 ・
で あ る.な お α乞 は ル ー ス ・フ ル ビ ッ ツ の 定 理 の 議 論 と 関 連 し て い る.
＼ ＼、
＼ ＼
P
＼
＼
Q
＼
動 学 的 安 定
粗代替(メ ツツラー) ヒ 少 ク ス 型 対 称 かつ ピックス 森嶋 かつ ピックス
負 準 定 値
負 の 準 支 配 対 角 負 の 支 配 対 角
負 の 支 配 対 角
負 の 準 支 配 対 角
負 準 定 値
森 嶋 か つ ピ ッ ク ス
対 称 か つ ピ ッ ク ス
ピ ッ ク ス 型
粗 代 替 ( メ ッ ツ ラ ー )
動 学 的 安 定 ○
○ ○
○ ○ △ △
×
○ × × ×
○ × ○ × ×
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ × x × × x × つ の ○ △ △ ○ ○ ○ ○ ○
(△の説 明)
イ)M一 行列 と同値な 条 件
ロ)対 称 または森嶋 型(後 述5節) ハ)対 称
(10) い 。‑
上 表 に お け る △ の ロ)す な わ ち ピ ッ ク ス 型 な ら 動 学 的 安 定 と い う命 題 は 表 の 右 の 説 明 の ほ か,い わ ゆ るD安 定 と な っ て い る こ と に 注 意 しよ う。 こ れ は 第2節 の フ ィ ッシ ャ ー フ ラ ー定 理 で 述 べ た よ うに 粗 補 完 を も含 み う る こ
(11)
とを 述 べ て い る。(も ちろ んAがD安 定 で あ る十 分条 件 は,(1)Aが 粗 代 替 (a・ ・ 」≧0)と な る メ ッツ ラ ー行 列,(2)Aが 準 負 定値 お よび(3)負 の準 支配 対 角 行 列 が知 られ て い る。 特 に(3)は 上 表 よ り ピ ッ クス型 で あ るか ら フ ィッシ
ャ ー ・フ ラ ー定 理 の強 力 性 を示 して い る。)
最 後 に この 表 に 関 連 して安 定 条 件 の もつ 意 味 に つ い て触 れ て お く。 安 定条 件 は比 較 静 学 とい う旧均衡 か ら新 均 衡 へ の 変 位 に対 して の意 味 づ けを 保 証 す る もので あ り比較 静 学 の 研 究 は 安定 性 を 仮 定 す る。 また,動 学 的 安定 性 を 固 有 根 の実 数 部 が 負 と定 義す る と これ を(経 済)計 算 す る こ とは しば しば 困難 で あ る。 した が っ て よ り経 済 的 合理 性 を反 映 す る十 分条 件 は何 か を問 うこ と
⑩ ケ ネ デ ィ[13]の 最 近 の 結 果 に よれ ば,ヌ メ レー ル 財 を 含 む 全 経 済 に 森 嶋 の 符 号 ル ー ル 脚 注(3)を 適 用 す る と,(新)森 嶋 シ ス テ ムは も は や ピ ッ ク ス 行 列 と は な
り え ず,動 学 的 に 不 安 定 と な る.
(ll)こ の 問 題 を 解 決 す る 十 分 な 条 件 が 研 究 さ れ て い る が,殆 ど 経 済 的 解 釈 が 分 明 で
は な い.例 え ば カ ー ク ・サ ポ ス ニ ク 〔28,(211)]を み よ.
競争均衡の安定性に関す る一考察 51
が安 定 条 件 を 求 め る動 機 とな った といえ よ う。 しか し,依 然 と して あ い まい な もの が多 い。
負 の準 支 配 対 角 もか な り制 限的 で あ る。 な るほ ど行列 オ に は対 称 とか メ ッツ ラ ー行 列 で あ る こ とを必 要 と しない が,経 済 的 タ ー ムで は 次 の 殆 ど制 限 的意 味 を必 要 とす る;あ る財 の超 過 需 要 に及 ぼす 価 格 効 果 は 負で,絶 対 値 で そ の商 品 の価 格 の変 化 が 他 の 財 の各 々の超 過需 要 に及 ぼ す 「効 果 」 よ りも大
きい ことで あ る。
5.森 嶋 行 列,定 性 経 済 学
粗 補 完 を 含 む 競 争 均衡 の安 定 性 に対 す る十 分条 件 の うち森 嶋[18]に よ る 貢献 は早 くか ら注 目され た。 以下,い わ ゆ る森嶋 行 列 につ いて触 れ そ れ が定 性経 済 学 の うち に いか に お さ ま るか を研 究 しよ う。 最後 に符 号 安 定,定 性 的 安定 が定 量 的 な経 済 法 則 例 えば ワル ラス法 則,0次 同次 等 に どの程 度 制約 さ れ るか を 考 究 しよ う。
森 嶋 行列 の定 義 を 与 え る こ とか ら始め る。
あ る行列 を 同時 に行 と列 を 変換 して
壌iiiし[鍛1]
̲一 一++++1
‑一 一++++/
の 型 に で き る 行 列 を 森 嶋 行 列 と い う 。 こ こ でA,1,42はh次,(n‑k)次 の
り
正 の 正 方 行 列,A12,殴21は 負 の 矩 形 行 列 で あ る 。
森 嶋 行 列 を 定 性 経 済 学 の 中 で 一 層 理 解 す る に は,定 性 経 済 学 で 基 本 的 な 記 号 と か 定 義 に つ い て 説 明 す る 必 要 が あ る 。
s(x)==+ifx>o,s(x)=‑oifx・ ・o・s(x)=一 一ifx<oは ベ ク トル の 符 号 関 数,s(C)一[s(り)]は 行 列 要 素 の 符 号 行 列 を 表 わ す 。C‑{Bls(B)=・s(C)}
⑫ 行列の要素 を非 正,非 負 と し,分 解不能 性を仮 定す る ことも可 能であ る.
で あ る 。 つ ま りCは 行 列Cと 同 じ符 号 パ タ ー ン を も つ 行 列 の 同 値 類 を 表 わ し 定 性 行 列(Qualit・tiv・M・t・ix)と 呼 ・9;'・A*==[矧 は@+1)次 正 方 行 列,オ は η 次 正 方 行 列 で あ る。 誰 が 定 性 的 に 特 定 化 さ れ た 体 系(符 号 行
・ 列 体 系)と は 讃 の 全 部 の 符 号 が+‑0の い ず れ か で 埋 め られ て い る もの で あ る。 い まAl〈 と 同 一 の 定 性 行 列 で 同 時 に ワル ラ ス 法 則 と0次 同 次 を み た す も の の 全 体 を5A*で 表 わ し,
S.i*一{C*IC*∈ オ不,C*∈W,C*∈H}
と す る 。 一 般 に 符 号 行 列 体 系 だ け で は 競 争 均 衡 で 仮 定 さ れ る ワ ル ラ ス 法 則 σ7)や0次 同 次(H)に コ ン シ ス テ ン トで は な い 。(そ れ を 示 す 例 は,容 易 に 作 る こ と が で き る 。 ま た[31],[29コ 参 照 せ よ 。)
わ れ わ れ は 以 下,(W)と(H)の 仮 定 の 下 で 定 性 的 な 安 定 を 問 題 に す る 。 さ ら に 記 号 の 追 加 と 新 概 念 の 説 明 を 続 け よ う 。 行 列Aの 巡 回(cycle)と はaiial.,、 …a、tattの よ う に 第 づ行 か ら 始 ま り 第2列 に 戻 る 指 標 を も つ 行 列 要 素 の 積 の こ と で あ り,要 素(項)が ρ 個 あ れ ば 長 さ ク の 巡 回 と い う 。 例 え ばP・ ・1の と きai、,P‑・2の と きa,,at・,P‑‑3の と きailalmamiと な り そ れ ぞ れ 長 さ1,2,3の 巡 回 で あ る 。 次 にAのiか ら ブ へ の 連 鎖(chain)と
は α,μ・,、 … α、 μ σ の よ う に い く つ か の 項 を 経 由 し て 盛 か ら ブ へ 到 達 す る 項 の 積 でa(i→ の と 書 く。 も しiか ら ブ へr回 で 到 達 す れ ば 長 さrの 連 鎖 と い う 。 連 鎖a(i→ ブ)の 例 と し て 長 さ1はai」,長 さ2は α五 μ σ,長 さ3は
㈲ ὰ。 μ呵 で あ る 。 し た が っ て 長 さrの 連 鎖a(i→ カ に 要 素 αブ,を 乗 ず れ ば 長 さ7+1の 巡 回 が 得 ら れ る 。
以 上 の 定 性 経 済 学 の 記 号 的 準 備 を も と に 森 嶋 行 列 を 再 考 察 す る 。
[1]森 嶋 行 列 な ら ば(i)5(α の=+(∀ づ∈N),(ii)s(α り)‑5@吻)(砕 ブ
(13)
≠ん≠の で あ る 。 逆 も ま た 真 で あ る。
(証 明) .偏 が 正 な る こ とは 明 らか 。 次 に オ の 符 号 は 対 角 線 に 関 し対 称 で
⑬ 森 嶋 行 列 は 代 替 財 の 代 替 財,補 完 財 の 補 完 財 は い ず れ も代 替 財,代 替 財 の 補 完
財,補 完 財 の 代 替 財 は い ず れ も 補 完 財 と い うル ー ル が 採 用 さ れ 反 映 さ れ て い る と
解 釈 で き る.ま た,ヌ メ レー ル 財 を 含 ま な い こ と に 注 意 せ よ.
競争均衡の安定性に関す る一考察 53
あ る か ら,S(aの=S(α の が 成 り 立 つ こ と に 注 意 す れ ば,S(鯨 αの=5(α の s(α ノ の で あ る 。 今,ブ ロ ッ クA、 、 の 次 元 の 集 合 を1と す る と,(1)i∈Lブ ∈1, i・th∈1(2)i∈1,」 ∈1,プ ≠kel(3)i(睾1,ブ ∈1,ブ ≠h∈1(4)￠ 年1,ブ ∈1,k∈ 葺1
(5)i∈1,ブ(辛1,h∈1(6)i∈1,ブ(辛1,hel(7)i{IEI,ブ 年1,h∈1(8)i(華J,ブ(若1, グキ 駐1の 合 計8通 り 考 え ら れ る が,す ぺ てs(aの 一s(aiic)s(afle)・=s(aikaite) が な り た つ 。 墨
巡 回 と 連 鎖 の 理 論 の 関 連 で 次 の 性 質 が 成 立 す る 。 [2]森 嶋 行 列 は す べ て の 巡 回 が 正 で あ る 。
(証 明)S(ai,)=+・ 次 に5(aの==S(α,」 αゴ ∂=5(α のS(触),S(α ブ の=S(α ブ 乞 αの
==S(aj・i)S(α の よ りS(α の 一S(㊨)が 成 り 立 つ
。 し た が っ てS(侮 αの 一S(α こ の2
=+ ,ま た,s(ὰμ ノ 漁 ∂‑5(α のs(α ブ ん αの 一s(α の5(a」 ・,:)・=s(α の2=+以 下 同
様 で あ る 。 巳
[3]Aの 巡 回 が す べ て 正 で あ る 必 十 条 件 はB∈Aに 対 し てAB∈iAが な り た つ こ と で あ る 。
(証 明)AB・‑Cと す る と,c,・i一 Σat」b」i,伽 一 Σ 砺 娠 で あ る 。B∈Aは ゴニ
S(わ の 一5(α の をAB∈AはS(Cii)=S(α εi)を 意 味 す る 。 十 分 性 はS(aii)・'
s(Σ αり わゴの=s(a,ibii)==s(α の ε(bii)==s(ai,1)2よ っ て αὲ≠0よ りs(α の>0。
ゴ
次 に ブ≠iと す る 。S(Σ ὰブわゴ 乞)==s(aihbki)と な るB∈Aを 選 ぶ 。S(唖 妬)一
プニ
s(aik)s(bκ の=ε(α の ε(の の=ε(σ 、 距αの よ っ て(i)に よ り0<s(α の=s(aiica .,、i)。
れ
最 後 にithと す る 。S(0の 響 ε(aik)==S(Σ αη わノ の,iと も ブ と も 異 な るhに
ゴニ し ハ
対 し てs(Σ α赦 の=S(砺 娠)=・S(α5ゴ αの,よ っ て 上 か らS(aik
j=1)・=s(吻 αブ の,
今 両 辺 にs(α の を 掛 け る と0<s(aiD2t==s(α の ε(αりαゴ の 一5(吻 伽 αの 。 ■ [3の 系]森 嶋 行 列Aが 与 え ら れ る とB∈Aに 対 し てAB∈Aが な り た
つo
最 後 に,今 ま で 知 られ て い る,ワ ル ラ ス 法 則(W)と0次 同 次(H)の 仮 定 の も とで 定 性 的 な 安 定 条 件 と して 以 下 の も の を 要 約 す る こ と が で き る。
(詳 細 は 文 献[2],[5コ,[9],[14コ,[29],[30コ,[31コ を 参 照 の こ と。)
1。C*∈SA*な らばCは 準 負 定 値 で あ る。
2。C*∈SA*な らばCは 負 支 配 対 角 で あ る 。
3。C*∈SA*な らばC*の あ らゆ るn次 の 主 座 部 分 行 列 が ヒ ヅ クス 行 列 で あ る 。
6.結 語 的 覚 え 書
ワル ラス型 の模 索 調 整 過 程 が 動 学 的 に 安定 とな る十 分 条 件 を 求 め る努 力 が 長 い間続 け られ 多数 の要 件 が リス トされ て きた。 そ の際,基 本 的 な 仮 定 が 暗 黙 的 に お かれ た り,十 分 条 件 が 多 数 あ げ られ たた め に,そ れ らの 関 係 が輻 奏 し混 乱す る危 惧 が あ った 。 本 稿 は,線 形 代 数 のば らば らに 散 らば った 諸定 理 を集 約整 理 す る こ とに よ り[予 備 定理 とそ れ に続 くもの],上 述 の 点 に統 一 的 な見 通 しを 与 え る こ とが で きた 。 さ らに1960年 代 の爆 発 的 な文 献 の 氾 らん の後 に現 われ た 安 定 分 析 の 新 しい発展 一 例 えば 確 率 的 安 定 性,符 号 安 定 性,模 索 安 定 の実 証 研 究 等一 の うち符 号 安 定 と定 性経 済 学 の関 係 を と りあ
くユの
げ,簡 単 な展 望 を与 え た 。 巡 回 と連 鎖 の新 しい概 念 の導 入 は補 完 財 を も考 慮
く ら
す る森嶋 行 列 の分 析 や 定 性経 済 学 の発 展 に とって 重 要 な役 割 を果 た しつ つ あ る。 後者 の問 題 の一 一層 の 研 究 は今 後 の課 題 で あ る。
[数 学 注]
1.フ ィ ッ シ ャ ー ・ フ ラ ー 定 理 の 証 明
証 明 は 数 学 的 帰 納 法 に よ る 。n・=1の 場 合 は 明 ら か で あ る 。n・=2の 場 合 も (2財 ケ ー ス を 想 定 し う る の で)念 の た め 証 明 を 与 え て お こ う 。
n・=2の 場 合,行 列A1)の 特 性 多 項 式P(λ)一 λ2‑一[andi+a22a2〕 え+d,d,,IA1・
a・1≠・・IAI≠ ・と して も 搬 性 を 失 わ な い.第2の 多 獄Q(2)十4・ 午)
(R̲a,凶a11)・ ・2・ ・一(d・all+螺)+嘱 【4鰍 よ う.後 者 の 多 獄 は 固 有 Oゆ より詳細 な展望 論文 として,ア リソガ ム ・森 嶋[2コ が現われ た,
⑮ 森嶋行列 は例 えば使用 目的 や一定 の使 用期 間におい て財 の間に差 別が ない とき
妥 当す ると考 え られ る.し か し,一 般 に財 の使用 目的は 多様 で時 を通 じて差 別 さ
れ るのでル ールは成 りた たない方が 多いか も しれ ない.最 近,佐 藤[33]は,ベ
キ乗 化 した粗代替 行列を用 い森鴫ルー ルの拡張 を図 り安定性 を研 究 した.
競争均衡 の安定性 に関す る一・ 考察 55
根 が ・ 望の 引 き続 く主 座 小 行 列 式 の比 に対 角 要 素 を 掛 け た もの に な って い る。
そ の と き ・ign(di)一=一 ・ign(aii)・ ・ign(d・)・=一 ・iピn(鼎)・ い まla,1・la・/a・1
を 十 分 小 さ く と る。 そ の と きQ(2・)は 単 根 で 実 で 負 で 絶 対 値 は1以 下 で あ る。P(λ)とQ(わ の 係 数 は 十 分 小 さ な 隆/dllに 対 して 任 意 に 近 づ き う る か らP(λ)の 根 はQ(λ)の 根 に 任 意 に 近 づ き う る。 した が っ てP(λ)の 根 は 実,負,絶 対 値1以 下 と な る 。
次 にva・一 一1次 の 行 列 に対 してDAの 固 有 根 が す べ て 実,負,単 根 で あ る と す る 。Aの 最 後 の 行 と列 を 取 り去 っ た 部 分 行 列 をA,で 表 わ す 。 明 らか にA が ピ ッ ク シ ア ン で あ れ ばA,も ピ ッ ク シ ア ン で あ る 。 した が っ て 帰 納 法 の 仮 定 に よ り,J)IAtの 固 有 根 が す べ て 実,負,単 根 で あ る よ うに,D・=・diag (4の,di>0,応N‑{n>を 選 ぶ こ と が で き る 。 次 にDAの 固 有 根 をa,tの 関 数 と して 考 え る。 そ の と き 固 有 根 は 行 列 の 要 素 に 関 し 連 続 で 正 の 十 分 に 小 さ なartに 対 して はDAの 固 有 根 は す べ て 依 然 と して 実 で 単 根 で そ れ らの n‑1個 は 負 で あ る 。 しか し残 りの 根 も 負 で あ る 。 な ぜ な ら,行 列 式 は 固 有 根 の 積 で(‑1)n1DAI=一(一 一1)nlDjIAI,さ ら に 協 が 正 でAが ヒ 財 ク シ ア ソ に よ り,(‑1)列DlIA}>0で あ る か ら。1
2.ホ テ リソ グ=サ ム エ ル ソ ン の 命 題 の 証 明(p,47)
(i)ま ずAが 負 定 値 で あ れ ばA"iも 負 定 値 で あ る。 な ぜ な ら, xAJix1=(Ay)'A‑‑1(Ay)==y'Ay>0よ り明 らか,し た が っ て す べ て の#oに
だ アゐ
対 し て Σ Σ わりκ内 くoで あ る 。 こ こ で 特 に あ るiに 対 し てXi=1,そ の 他
ざ ゴコ
の 火 ≠ の に 対 し て%‑0と す る と 上 式 は 妬 く0で あ る 。 な お,逆 行 列 の 定 義 に よ りb,.,・A,.・/1Alで あ る 。
(ii)2次 元 の 場 合,κFδ ヵ,物 一 一 砺(ブ ≠ の,Xte・=o(h≠i,k≠ の と お き2次 形 式 に 代 入 す れ ば よ い 。3次 元 の 場 合 κ、一 砺 娠 一 娠 妬,〃 ゴー 一(わ ε 諏 一 δ犠ゐ。ゴ),
%一 砺 娠 一 幅 砺,勿 一 〇σ ≠i,グ,k)と お き 代 入 す れ ば よ い 。 以 下,一 一般 に κ'=第 づ行 第 ￠列 の 余 因 子,衿 寓 第 づ行 第 ブ 列 の 余 因 子,… あ、一 第 づ行 第 η
列 の 余 因 子 を 代 入 す れ ば 導 出 で き る 。
鮒 き行 列 式D‑ll矧 卿 次 の 主 座 小 行 列D・2‑・(m‑1・が 符 号(‑1)n‑1
を も つ,特 に,砺 研 一2砺 δあ+b」vbi2<0(i・1・ ブ)が 成 り 立 つ こ と も 同 様 に し て 示 さ れ る 。 ■
3.サ ム エ ル ソ ソ の 定 理 の 証 明
れ
定 理(サ ム エ ル"[32・ 定 理5])わ'・ ≧0唱6〆1な ら ・ 撫 β マZは ピ ッ ク ス 行 列 で あ る 。 す な わ ち オ が 粗 代 替 な ら 』 の 主 座 小 行 列 式 の 符 号 は (‑1ア で あ る 。
〔証 明 コ 行 列Aは 対 角 要 素 がaii‑bii‑1<0,非 対 角 要 素 が α'ゴ ー わ1ゴ ≧0 で あ る 。 次 元nに 関 す る 帰 納 法 に よ る 。n‑1の と き はatt‑bi一1<0で
明 ら か 。 次 にn・=k・‑1で 符 号 が(一 一1)iC"1と す る と きn・=hで 符 号 が(‑1)k と な る こ と を 示 す 。B‑1は 次 の よ う に 行 列 の 積 と し て 表 わ さ れ る 。
A・ 一[B‑JI]階∵:學1陰 ∴観)
こ こ で,h・(ブ ー1,2,…,h‑1)は 次 の 連 立 方 程 式 の 解 で あ る 。 な
(1)Σ(わ 盛ゴー δの γブー わ甜(i‑1,2,…,h‑1)
j=1
暢 は ク ロネ ッ カ ー の デ ル タでi=」 な ら1,i≠ ブ な ら0で あ る 。 行 列 の 積 の 行 列 式 は 行 列 式 の 積 に 等 しい か ら
d・t(B‑・)一 一 鴫 ∴1玉 葬)
な
後 者 は 妬 一1一 Σ 砺 γ甚 こ等 し い,よ っ て 帰 納 法 の 仮 定 に よ りdet(B‑1)ん 一、
ゴニ
一(・‑1)k"1で あ る か らdet(B‑1)F符 号 が(‑1)iCと な る た め に は 娠 一1
あ れ
一Σ 妬 γブ<0で な け れ ば な らな い。 と ころ で Σ 砺 〈1で あ る こ とを利 用 す
ゴ=・1ゴ=1 な
る と Σ 妬(1+γ ゴ)>0が い え れ ば よ い 。 し か し(1)よ りh〈0で あ り,特 に
j=1
た ヱ
ー1<h〆Oを 選 べ ば Σ%(1+h・)>0は 確 か に 成 りた ちn‑hの 場 合 も い え
j=1
た 。 ■
1
◎
競争均衡 の安 定性に 関す る一 考察
ρ57
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(48.10.11)
