極限値の計算

数学演習１

No.5 2006. 5.18

極限値の計算

担当：市原

関数の極限

! "

関数

y = f(x)

が

「変数

x

の値が限りなく

a

に近づくと関数値

f(x)

が一定値

b

に限りなく近づく」

を満たしているとき,

「xが

a

に近づくとき,関数

y = f(x)

は

b

を極限値としてもつ」

または

「xが

a

に近づくとき,関数

y = f (x)

は

b

に収束する」

といい,

lim

x→a

f (x) = b

で表す.

(lim

は英語の「limit」の最初の

3

文字から作られた記号)

# $

定理

5 (関数の極限の性質) lim

x→a

f(x) = α, lim

x→a

g(x) = β

のとき,

(1) lim

x→a

{ cf(x) } = cα ,

ただし

c

は定数

(2) lim

x→a

{ f(x) + g(x) } = α + β , lim

x→a

{ f(x) − g(x) } = α − β (3) lim

x→a

{f(x) × g(x) } = αβ

(4) g(x) % = 0

であり,

β % = 0

であるとき

lim

x→a

f(x) g(x) = α

β (5) f (x) < g(x)

ならば

α ≤ β

問題

14

次の極限値を求めなさい.

(1) lim

x→2

x

²

x − 3 (2) lim

x→2

! 5x

³

− 7x − 4 + 8x

⁻²

+ 3 √ x "

(3) lim

x→1

x − 1 x

²

+ 2x + 1

(4) lim

x→−1

x

²

+ 2x + 1 x + 1

(5) lim

x→−1

x

²

− 1 x + 1

(6) lim

x→5

x

²

− 25 x

²

− 6x + 5 (7) lim

x→−1

x + 1 x

³

+ 1

(8) lim

x→0

√ 1 − x 5x − √ 1 + x

(9) lim

x→0

√ x + 2 − √ 2 x

有界でない範囲での関数の極限

! "

x

が正

(負)

の数で限りなく大きくなるとき,関数値

f (x)

が一定値

α

に限りなく近づくこ とをそれぞれ,

x→+∞

lim f(x) = α, lim

x→−∞

f(x) = α

と表す.

記号「

∞

」は数を表わしているのではなく,単に「いくらでも大きい」という状態を示す ものである.だから

∞

に対する四則演算は適用しない

.

x→∞

lim f (x) = α, lim

x→∞

g(x) = β

が共に有限値のときも,関数の極限の性質が同様に成り立つ.

# $

問題

15

次の極限値を求めなさい.

(1) lim

v→+∞

√ 5 v

(2) lim

t→−∞

1 − t

²

t

²

(3) lim

θ→+∞

9999 θ

²

− 1000

(4) lim

x→∞

√ x + 2 − √ 2 x (5) lim

x→−∞

x + 1 x

³

+ 1 (6) lim

x→−∞

√ 1 x

²

+ x − x

学籍番号 氏名