taut 葉層構造が存在する

種数１ファイバー結び目に沿ったデーン手術と 基本群の左順序付け可能性について

市原一裕¹ 中江康晴²

1日本大学文理学部

2秋田大学大学院理工学研究科

2020年9月22日 2020年度秋季総合分科会

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Taut foliation, L-space, Left-orderable group

閉3次元多様体MがL-space⇐⇒ MがQHS³でrankHFd(M) =|H1(M;Z)|

すなわち, Heegaard Floer Homology HFd(M)が最も単純になるもの

M は L-space ではない

ww

?

''

taut _{葉層構造が存在する}

Ozsv´ath-Szab´o 3; oo

?

基本群が左順序付け可能

R-covered葉層構造が存在する ⁺³ 基本群が左順序付け可能

余次元1葉層構造F^がtaut

⇔ 全ての葉L∈ Fに横断的に交わる 閉曲線γが存在する.

群Gが左順序付け可能（LO）

⇔ Gに全順序<があって,

∀f, g, h∈Gに対し,

g < h⇒f g < f hを満たす.

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GOF-knot with LO-surgery Proposition 1





M ：orientable, closed 3-manifold

K ⊂M ：genus one fibered knot (GOF-knot) with monodromyϕ ϕ_♯∈SL₂(Z)：monodromy matrix

に対して,

Traceϕ_♯>2 =⇒^∀n∈Z, π₁(Σ_K(n))はleft-orderable

※ΣK(n)はKに沿ったslopenのDehn surgeryで得られた閉3次元多様体.

Proof (sketch)

▶ Traceϕ_♯>2のとき,M\Kはsuspension Anosov flowの一つのclosed orbitγを取り除 いたものとみなせる.

▶ Fenleyの定理[3]より,そのclosed orbit γに沿った整数Dehn surgeryで得られるΣ_K(n) にはR-covered Anosov flow（stable / unstable foliationがR-covered）が存在する.

▶ ΣK(n)にR-covered foliationが存在するので,π1(ΣK(n))はLO.

Rem もともと,この主張はBoyer-Gordon-Watson[2]において, figure-8 knotのDehn surgery

に対するRobertsのコメントとして述べられている.

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Example：figure-8 knot

Corollary 2

K ⊂S³：figure-8 knot=⇒ ^∀n∈Z,π₁(Σ_K(n))はleft-orderable

Proof (sketch)

▶ figure-8 knotはS³内のGOF-knotになっている.

▶ monodromy matrixはϕ♯= (2 1

1 1 )

であり,Traceϕ♯>2より, Proposition 1から従う.

Rem

▶ これがBoyer-Gordon-Watson[2]でRobertsのコメントとして述べられているもの.

▶ 同様の議論は, Roberts-Shareshian[5]でも述べられている. motivation & result

▶ S³内のGOF-knotはtrefoilとfigure-8 knotのみ（trefoilのtraceは1）.

▶ S³ではないM に対してProposition 1を適用すること考えたい.

=⇒ lens spaceのGOF-knotに対してProposition 1を適用して主結果を得た.

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genus one fibered knot：GOF-knot

Definition 3

M：closed 3-manifold,K ⊂Mがgenus one fibered knot (GOF-knot)

⇐⇒def ^▶ M\intN(K)がonce punctured torus bundle

▶ T：fiberに対し,∂T がKのlongitude

Lemma 4

K ⊂M：GOF-knot =⇒^∃L⊂S³：closed 3-braid s.t. MはLに沿ったdouble branched cover

Rem

▶ K ⊂MをGOF-knot,L⊂S³をLに沿ったdouble branched coverがMになるclosed 3-braidとする.

▶ このとき,KはLのbraid axisAのliftになっている.

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monodromy and 3-braid

Lemma 5

GOF-knot Kのmonodromy matrix ϕ_♯はLのbraid表示から得られる.

▶ ϕ:T →TはT上のessential loopA,Bに沿ったDehn twistで生成される.

▶ A,Bに沿ったDehn twistはSL₂(Z)の元と対応する.

A B

P1 P2 P3 θ

X









Aに沿ったDehn twist↔ϕ_A= (1 1

0 1 ) B に沿ったDehn twist↔ϕ_B=

(1 0 1 1

) ⇒ϕ♯はϕA,ϕBの積.

▶ A,Bに沿ったDehn twistはclosed 3-braid Lのbraid表示の生成元と対応する. { Aに沿ったDehn twist↔σ₁

Bに沿ったDehn twist↔σ⁻₂¹

⇒ ϕ_A,ϕ_Bの積と,σ₁,σ₂⁻¹の積が対応する.

=⇒ GOF-knot Kのmonodromy matrix ϕ_♯は,M に対応するclosed 3-braid Lの3-braid 表示

σから求められる. _{6 / 10}

GOF-knot in lens space Theorem 6（Baker, 2014 [1]） { M =L(α, β)：lens space

K ⊂M ：GOF-knot =⇒ Kのhomeomorphism classの個数は以下の通り (1) 3個⇔ M =L(4,1)

(2) 2個⇔ M =L(α,1),α >0,α̸= 4 (3) 1個⇔ (3-1)M =L(0, β), or

(3-2)0< β < αに対し

{ α= 2pq+p+q, β = 2q+ 1 (p, q >1), or α= 2pq+p+q+ 1, β= 2q+ 1 (p, q >0) (4) 0個⇔ ^その他

Rem それぞれの場合に対応するbraid表示は以下の通り. (1) 3個：L(4,1)↔A1:σ⁴₁σ2,A2 :σ₁⁴σ₁⁻¹,A3 :σ1σ²₂σ1σ₂⁻¹ (2) 2個：L(α,1)↔ B₁ :σ₁^ασ₂,B₂:σ^α₁σ⁻₂¹

(3) 1個：(3-1)L(0, β) ↔C :σ₂^β (3-2)

{ D₁ :α= 2pq+p+q, β= 2q+ 1 ↔σ₁^pσ₂²σ₁^qσ₂⁻¹ D₂ :α= 2pq+p+q+ 1, β= 2q+ 1 ↔σ₁^pσ₂²σ₁^−q−1σ₂⁻¹

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Main Theorem

Theorem 7 （I-N, 2020 [4]）

K ⊂L(α, β)：lens space内のGOF-knot

=⇒ Bakerの分類に従って,以下の場合にπ1(ΣK(n))がleft-orderableになる. (1) A₂:L(α, β) =L(4,1),ϕ_♯ =

(5 4 1 1 )

(2) B2 :L(α, β) =L(α,1),ϕ_♯=

(1 +α α

1 1

)

,α >0, α̸= 4 (3) D₂ :L(α, β),α= 2pq+p+q+ 1, β= 2q+ 1,ϕ_♯=

(2pq+p−q 2pq+ 3p−q−1 2q+ 1 2q+ 3

)

(p, q >0)

Proof Bakerの分類のそれぞれの場合に対して,対応する3-braid表示からmonodromy matrix ϕ_♯を求め,Traceϕ_♯>2となるものを求めれば良い.

Rem (1)∼(3) はいずれもR-covered foliationを持つので, L-spaceにはならない. つまり

L-space予想を満たす多様体になっている.

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the rest cases A₁, A₃, B₁, C, D₁

Rem Bakerの分類（Theorem 6）に対して, Theorem 7に入らなかった場合のもの（A1,A3, B₁,C,D₁）に対しては,以下のように考えられる.

Seifert fibered case

▶ A1, A3, C：|Traceϕ♯|= 2となるので,ϕはreducible. よってmapping torusMˆ(ϕ)はNil geometryを持つのでSeifert fibered.

▶ B1かつα= 1,2,3：|Traceϕ_♯|= 1となり,ϕはperiodic. よってM(ϕ)ˆ はSeifert fibered.

▶ 上記より,A1, A3, C, B1(α = 1,2,3)の場合は^∀n∈ZでΣK(n)はSeifert fiberedになる.

▶ Seifert fiberedの場合は, Seifert invariantから横断的な葉層構造があるかどうかを調べる ことで, LOかどうかを調べることができる.

hyperbolic case

▶ B1かつα >4,D1：Traceϕ_♯ <2より, once punctured torus bundleはhyperbolic.

▶ Roberts-Shareshian [5]より,n∈Z,n >0に対しπ1(ΣK(n))はLOではない.

▶ しかし,n <0については, LOかLOでないかはわかっていない.

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参考文献・謝辞

▶ 参考文献

[1] K. Baker, Counting genus one fibered knots in lens spaces, Michigan Math. J. 63 (2014), no. 3, 553–569.

[2] S. Boyer, C. McA. Gordon, L. Watson, On L-spaces and left-orderable fundamental groups, Math. Ann. 356(2013), no. 4, 1213–1245.

[3] S. R. Fenley,Anosov flows in 3-manifolds, Ann. of Math. (2)139 (1994), no. 1, 79–115.

[4] K. Ichihara, Y. Nakae, Integral left-orderable surgeries on genus one fibered knots, preprint, arXiv:2003.11801

[5] R. Roberts, J. Shareshian,Non-right-orderable 3-manifold groups, Canad. Math. Bull.

53 (2010), no. 4, 706–718.

▶ 本研究はJSPS科研費18K03287（研究代表者 市原一裕）, 19K03460（研究代表者 中江 康晴）の助成を受けたものです.

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