アノソフ流の手術を用いた左順序付け可能デーン手術へのアプローチ
中江康晴
秋田大学大学院理工学研究科
2020年10月3日
東京女子大学トポロジーセミナー
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今日の内容
1. Introduction
2. taut foliation, R-covered foliation, left-orderability 3. Anosov flow, surgery, Fenley’s theorem
4. integral LO surgery on GOF-knot
5. GOF-knot in lens spaces （市原一裕氏（日本大学文理学部）との共同研究）
6. figure-8 knot and template
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1. Introduction: Taut foliation, L-space, Left-orderable group
閉3次元多様体MがL-space⇐⇒ MがQHS3でrankHFd(M) =|H1(M;Z)|
すなわち, Heegaard Floer Homology HFd(M)が最も単純になるもの
M
は
L-spaceではない
ww ? gg L-space予想
''
taut
葉層構造が存在する
Ozsv´ath-Szab´o 3; oo ? //
基本群が左順序付け可能
R-covered葉層構造が存在する +3 基本群が左順序付け可能
余次元1葉層構造Fがtaut
⇔ 全ての葉L∈ Fに横断的に交わる 閉曲線γが存在する.
群Gが左順序付け可能（LO）
⇔ Gに全順序<があって,
∀f, g, h∈Gに対し,
g < h⇒f g < f hを満たす.
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Motivation
以下,Kに沿ったr-surgeryで得られる多様体をΣK(r)で表す. Theorem（Ozsv´ath-Szab´o [11], 2005）
K ⊂S3：figure-8 knot=⇒ ∀r∈Qに対し,ΣK(r)はL-spaceではない.
=⇒L-space予想から, figure-8 knotKに対し,∀r∈Qでπ1(ΣK(r))がLOになることが期待. Theorem
K ⊂S3：figure-8 knot=⇒ ∀r∈[−4,4]∩Qに対し,π1(ΣK(r))はLO.
▶ ∀r∈(−4,4)∩Qに対し,π1(ΣK(r))はLO（Boyer-Gordon-Watson [2], 2013）
▶ r=±4に対し,π1(ΣK(r))はLO（Clay-Lidman-Watson [4], 2013）
=⇒[−4,4]の外のsloperに対して,π1(ΣK(r))がLOであることを示したい.
▶ BGWは,結び目群GのSL2(R)への表現を上手く作って証明している.
⇝ これを拡張するのは難しそう.
▶ BGWの論文で, Robertsのコメントとして, Fenleyの定理を使うと,∀n∈Zに対して π1(ΣK(n))がLOであると書いてある. ⇝ この方法を拡張できないか？ 4 / 39
integral surgery on the figure-8 knot
Proposition
K ⊂S3：figure-8 knot=⇒ ∀n∈Zに対してπ1(ΣK(n))がLO.
Proof (sketch)
▶ Kはfibered, fiberのgenusは1, monodromy ϕはpseudo-Anosov.
=⇒Kの補空間は,ϕによるmapping torus(T2×I)/ϕから原点に対応するclosed orbit を除いたものとみなせる.
▶ (T2×I)/ϕにはϕによるsuspension Anosov flowΦがある. Φのstable / unstable foliation Fs,FuはR-coveredである.
▶ Fenleyの定理：Φのclosed orbitに沿った1/n-surgeryで得られるAnosov flowΨの stable / unstable foliationは,またR-coveredになる.
▶ このsurgeryで得られた多様体は,Kに沿ってn-surgeryしたものΣK(n)と等しい.
▶ ΣK(n)にR-covered foliationが存在するので,π1(ΣK(n))はLOである.
=⇒この後,この証明に用いられたAnosov flowのsurgeryと,R-covered foliationと基本群の LO性の関係について説明し,これの応用について概説する.
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2. taut foliation, R -covered foliation, left-orderability
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foliation
Definition
▶ n次元多様体(M,S)（Sは座標近傍系）の弧状連結な部分集合Lαの集合族 F ={Lα|α∈A}がk次元葉層構造であるとは,以下の条件を満たすときをいう.
(1) α, β∈A,α̸=βならばLα∩Lβ =∅ (2) ∪
α∈A=M
(3) ∀p∈M に対し,p∈∃Uλ, (Uλ, φλ)∈ Sであって,Uλ∩Lα̸=∅なるLαに対し, φλ(Uλ∩Lα)の弧状連結成分が以下のように表される.
{(x1, x2,· · · , xn)∈φλ(Uλ)|xk+1=ck+1, xk+2=ck+2, . . . , xn =cn}
▶ Lαを葉（leaf）,kを葉の次元,q =n−kとしてFを余次元qの葉層構造という. Ex.
3次元多様体内 の余次元 1 葉 層構造
Reeb葉層構造
成分
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Reeb component, Reebless foliation
Definition
▶ solid torus V =D2×S1上の余次元1葉層構造で右図のよう なものをReeb componentと呼ぶ.
▶ ∂V が唯一のcompact leaf
▶ 他のleafは全てR2
▶ 閉3次元多様体上の余次元1葉層構造FがReeb component をもたないとき,FをReebless foliationとよぶ.
Theorem（Novikov, Rosenberg, Palmeira）
S2×S1ではない閉3次元多様体MにReebless foliationFがあるとき,Mは以下を満たす. (1) |π1(M)|=∞
(2) M はirreducible
(3) Mf∼=R3（MfでMの普遍被覆空間を表す）
=⇒ S3やlens spaceにはReebless foliationが入らない. 8 / 39
taut foliation, leaf space
Definition
▶ 閉3次元多様体M上の余次元1葉層構造Fは,全てのleaf L∈ F に対してclosed transversal（全てのleafに横断的に交わる円周）があるとき,tautであると呼ばれる.
Rem taut =⇒ Reebless
▶ x, y∈M に対し「x∼y⇐⇒x, yが同じleaf上にある」と定めたとき,M/∼をTF ま たはM/Fと書いて,Fのleaf spaceと呼ぶ.
Proposition
▶ M ̸=S2×S1,F ⊂MがReebless=⇒ FのMfへのliftFeのleafは全てR2にdiffeo.
▶ Mが単連結,Fのleafが全てR2のとき,TFはHausdorff spaceではないかもしれない単 連結1次元多様体になる.
Corollary
FがReebless=⇒ TF はHausdorff spaceではないかもしれない単連結1次元多様体.
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R-covered foliation, action of π1(M) on the leaf space Ex. leaf spaceの例
Definition
TF ∼=Rのとき,FをR-covered foliationとよぶ.
Proposition
F ⊂MがReebless =⇒ π1(M)はTF に固定点を持たないhomeomorphismとして作用する.
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R-covered foliation and left-orderability
Corollary
F ⊂Mが横断的に向き付け可能, ReeblessかつR-covered
=⇒ π1(M)はRに固定点を持たない向きを保つhomeoとして作用する.
Definition
群Gに全順序<があって,∀f, g, h∈Gに対し,
g < h=⇒f g < f h
が成り立つとき,Gを左順序付け可能（left-orderable,LO）という.
Proposition
可算群GがLO⇐⇒ GがRへの固定点を持たない作用をもつ.
Proposition
∃F ⊂M：R-covered foliation=⇒ π1(M)はLO.
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3. Anosov flow, surgery, Fenley’s theorem
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Dehn surgery Definition
M ：closed 3-manifold
K ⊂M ：simple closed curves inM, N(K)：closed tubular neighborhood of K J ⊂∂N(K)：simple closed curve
V ：solid torus
に対し, homeomorphismh:∂V →∂N(K)⊂Mで
M′ = (M \intN(K))∪hV
V のmeridian curve µがh(µ) =JとなるようにV を貼り合わせて得られたM′を,Mから Kに沿ったDehn surgeryで得られる多様体という.
Note
▶ ∂N(K)にmeridian µKとlongitudeλKを定めることにより,hによる貼り合わせは有理 数r ∈Q∪ {∞}と対応する.
▶ M′はKとrで定まるので,ΣK(r)と表すことにする.
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Anosov diffeomorphism
Definition
多様体N に対し,ϕ:N →NがAnosov diffeomorphism
⇐⇒def
{ T N =Es⊕Eu ：∃continuous splitting, Dϕ-invariant
∃C≥0,0<∃λ <1：constant s.t.
(1) ∥Dϕn(v)∥ ≤Cλn∥v∥for ∀v∈Es,∀n >0 (2) ∥Dϕ−n(v)∥ ≤Cλn∥v∥for ∀v∈Eu,∀n >0 Ex. T2=R2/Z2上のA=
(2 1 1 1 )
による写像
ϕA:T2 →T2の例
▶ 固有値：λ= 3+2√5 ≈2.62,λ¯ = 1λ = 3−2√5 ≈0.382
▶ 固有ベクトル：vu= (
√1
5−1 2
) ,vs=
( 1
−√ 5−1 2
)
√5−1
2 ≈0.618, −
√5−1
2 ≈ −1.62
vs vu
Avs = ¯λvs Avu =λvu
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Anosov diffeomorphism
ϕAの原点近辺の様子 vu方向に広がり,vs方向に縮んでいる.
=⇒
=⇒
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Anosov flow
Definition
M 上のnon-singular flowΦtがAnosov flow
⇐⇒def
{ T M =T X ⊕Es⊕Eu：∃continuous splitting,DΦt-invariant
∃C≥0,0<∃λ <1：constant s.t.
(1) T Xは1次元でΦtにtangent
(2) ∥DΦt(v)∥ ≤Cλt∥v∥for ∀v∈Es,∀t >0 (3) ∥DΦ−t(v)∥ ≤Cλt∥v∥ for ∀v∈Eu,∀t >0 Proposition
M 上のflowΦtがAnosov flowであるとき,
▶ T X⊕EsとT X ⊕Euはcompletely integrableな接平面場になる.
▶ T X⊕EsとT X ⊕Euにより,M上の余次元1葉層構造Fs,Fuが得られる.
▶ Fs,Fuをそれぞれ,Φtのstable/ unstable foliationという.
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stable / unstable foliation Fs, Fu
Ex. 先の例のϕAによるmapping torusMc= (T2×I)/ϕA上にAnosov flowΦtが得られる.
▶ vu方向に平行な直線上 の点をz方向に動かす ことで,Fuのleafの様 子がわかる.
=⇒
▶ vs方向に平行な直線上 の点をz方向に動かす ことで,Fsのleafの様 子がわかる.
=⇒
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R-covered Anosv flow
Definition
M 上のAnosov flowΦtがR-covered
⇐⇒def Φtのstable / unstable foliation Fs,FuがR-covered foliation.
Proposition
ϕ:T2→T2,ϕ♯∈SL2(Z)（ϕから誘導される写像を表す行列）,|Traceϕ♯|>2とする.
▶ Mc(ϕ) = (T2×I)/(x,1)∼(ϕ(x),0)上にsuspension Anosov flowΦtが得られる.
▶ suspension flowΦtはR-coveredになる.
Proof
▶ ϕ♯の固有値λ >1の固有方向vuに平行なT2上の直線が,FuとT2の交わりになる.
▶ universal coverMfにおいて,F˜u∩R2は平行な直線族になるので,Fuのleaf spaceはR. Rem このsuspension flowと,T1Σg（曲面Σg(g >1)上のunit tangent bundle）上の geodesic flowがAnosov flowの典型例になっている（geodesic flowは今回は扱わない）.
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surgery on a closed orbit ：Goodman
Definition（Goodman [7]）
Anosov flow Φtのclosed orbitγ(t)に沿ったsurgeryを以下のよ うに定義する.
{ γ(t)：Φtのclosed orbit(0≤t≤2π)
V1=S1×D2∋(θ1, reiθ2)：γ(t)のnbd, V2 =M\intV1
=⇒∂V1=S1×S1 ∋(θ1, θ2)上のnarrow stripA=S1×(ε,2ε) とΦtは横断的に交わるとする.
▶ ∂V1のlongitudeとmeridianを以下のものとする.
▶ longitudeはγ(t)を通るFuのleafと∂V1の交わり
▶ meridianはγ(t)と1点で交わるdisk{θ1} ×D2の境界
▶ h: [0,2π]→[0,2π]を右のような連続関数とする.
▶ n∈Zに対し,F :∂V1 →∂V2 : (θ1, θ2)7→(θ1+h(θ2)n, θ2) でV1とV2を貼り合わせたものをM′とする.
=⇒M′はγ(t)に沿ってMをn1-surgeryしたものになっている.
V1 V2
γ(t) A
Fu Fs
0 h
ε 2ε 2π
2πθ
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surgery on a closed orbit ：Fried
Definition（Fried [6]）
ΦtをM 上のAnosov flow,γをΦtのclosed orbitとする.
【γに沿ったblow-up】
▶ 各点x∈γに対し,xを(TxM/Txγ\ {0})/R+≃S1に置き換えたものをM∗とする.
▶ ΦtからflowΦ∗t がM∗上に得られる. ∂M∗=Tγ：torusとすると,Φ∗t はTγ上に4つの closed orbitをもつ.
【Tγ上のsimple closed curve αによるblow-down】
▶ Tγ上のlongitudeをΦ∗tのclosed orbit, meridianをx をblow-upしたS1とする.
▶ α⊂TγをΦ∗t に横断的でclose orbitと4回交わるも のとする.
▶ Cαをαに平行なTγ上のcircle foliationとし,Mαを Cαのcircle leafを1点にして得られるものとする.
=⇒Mαはγに沿ってMを 1n-surgeryしたものになる.
γ Tγ
Wu(γ) Ws(γ)
α
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surgery on a closed orbit：Theorem and remarks
Theorem
M をclosed 3-manifold,ΦtをM 上のAnosov flowとする. Φtのclosed orbit γに対し,
▶ Goodmanのsurgeryで得られるM′上に,Φtから誘導されるAnosov flowΦ′tが存在する
（Goodman [7], 1983）.
▶ Friedのsurgeryで得られるMα上に,Φtから誘導されるAnosov flowΦαt が存在する
（Fried [6], 1983）.
Rem
▶ Goodmanのsurgeryで得られたΦ′tは,微分可能性はわかりやすいが, flowの様子やFs, Fuは見えなくなってしまう.
▶ Friedのsurgeryで得られたΦαt は,微分可能性はわからなくなる（topological Anosov flowになる）が,γの近傍の外のflowは変わらず,Fs,Fuのleafの様子（特にΦαt の orbit space上のleafの交わり方）はわかりやすい.
▶ 後述のFenleyの定理では,F˜s,F˜uのsurgeryによる変化をみるので, Friedのsurgeryを 用いて証明している.
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Fenley’s theorem
Theorem（Fenley [5], 1994）
Φt：suspension または geodesic flowであるAnosov flow,γ：closed orbitに対し,
Φtがtransversely oriented=⇒ γに沿ったsurgeryで得られるAnosov flowΦαt はR-covered.
Proof(sketch)
▶ Anosov flowΦtのMfへのliftΦ˜tのorbit space OはR2にhomeomorphicになる.
▶ Friedによるγに沿ったsurgeryで,MfにliftしたF˜sのleafは変化しない.
▶ しかし,F˜uのleafは˜γを含むF˜sのleafとの交わりのところで,繋がり方に変化が起 こる.
▶ sugeryしたΦαt のF˜sは, orbit spaceO上で“positive maximal”かつ “negative maximal”
なる性質をもつ.
▶ positiveかつ negative maximalであることから,F˜sはleaf spaceに分岐点を持たない. すなわちFsがR-coveredであることがわかる.
▶ 同様にしてFuがR-coveredであることがわかる.
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4. integral LO surgery on GOF-knot
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genus one fibered knot – GOF-knot
Definition
M をclosed 3-manifoldとする. M内のknotKがgenus one fibered knot(GOF-knot)
⇐⇒def ▶ M\intN(K)がonce punctured torus bundle
▶ fiberT に対し,∂T がKのlongitude
▶ monodromy ϕ:T →T に対し,ϕは∂T でidentity
Proposition
∃K ⊂M：GOF-knot =⇒∃L⊂S3：closed 3-braids.t. MはLに沿ったdouble branched cov.
Proof(sketch)
▶ T：once punctured torus, θ：180◦回転のinvolution
=⇒p:T →D2=T /θ：double branched cover
▶
{ ϕ:T →T ：∂T でidentityなhomeomorphism M(ϕ) =T ×[0,1]/(x,1)∼(ϕ(x),0)
=⇒∂M(ϕ)のlongitudeを∂T, meridianを[0,1]方向とする.
A B
θ P1 P2 P3
X
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genus one fibered knot – GOF-knot
Proof(sketch)（つづき）
▶ M ∼=M(ϕ)∪∞V,V =D2×S1⊃K={0} ×S1：MはM(ϕ)の∞-filling
▶ ϕ◦θ=θ◦ϕより,θはM(ϕ)に拡張されて,M(ϕ) =T×[0,1]−→p¯ D2×[0,1]/ϕθ= ¯V
A B
P1 P2 P3 θ
X
P1
P2
P3
σ1
σ2−1
T D2
p
P1 P2 P3
M(φ)
¯
p ∂D
▶ M =M(ϕ)∪∞V −→pˆ D2×[0,1]/ϕθ∪V′ ∼=S3 →V はV′の2-fold coverになっている.
=⇒ ▶ M はV¯ =D2×[0,1]/ϕθ内のclosed 3-braid L に沿ったdouble branched cover
▶ K ⊂MはV′内のcore=Lのbraid axisのlift
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monodromy and 3-braid
Lemma
GOF-knot Kのmonodromy matrix ϕ♯はLのbraid表示から得られる.
▶ ϕ:T →TはT上のessential loopA,Bに沿ったDehn twistで生成される.
▶ A,Bに沿ったDehn twistはSL2(Z)の元と対応する.
A B
P1 P2 P3 θ
X
Aに沿ったDehn twist↔ϕA= (1 1
0 1 ) B に沿ったDehn twist↔ϕB=
(1 0 1 1
) ⇒ϕ♯はϕA,ϕBの積.
▶ A,Bに沿ったDehn twistはclosed 3-braid Lのbraid表示の生成元と対応する. { Aに沿ったDehn twist↔σ1
Bに沿ったDehn twist↔σ−21
⇒ ϕA,ϕBの積と,σ1,σ2−1の積が対応する.
=⇒ GOF-knot Kのmonodromy matrix ϕ♯は,M に対応するclosed 3-braid Lの3-braid 表示
σから求められる. 26 / 39
integral LO-surgery on GOF-knot Proposition
{ M ：orientable, closed3-manifold, K ⊂M ：GOF-knot with monodromyϕ ϕ♯∈SL2(Z)：monodromy matrix
Traceϕ♯>2 =⇒∀n∈Z, π1(ΣK(n))はleft-orderable Proof
▶ ϕˆ:T2 →T2をϕˆ♯ =ϕ♯となるhomeomorphismとする.
=⇒ Traceϕ♯>2より,∃Φt：Anosov flow on M( ˆc ϕ) =T2×[0,1]/(x,1)∼( ˆϕ(x),0)
▶ γを0∈T2 =R2/Z2に対応するΦtのclosed orbit, Mc( ˆϕ)γ(1/n)をγに沿ってn∈Zで surgeryしたものとする.
=⇒ ∃Φαt：surgeryで得られるAnosov flow（∵ Goodman, Fried）
=⇒ Φαt はtransversely orientedR-covered Anosov flow（∵ Fenley）
=⇒ ∃Fs,Fu ⊂Mc( ˆϕ)γ(1/n)：R-covered foliation
▶ GOF-knot Kに対し,ΣK(n)∼=Mc( ˆϕ)γ(1/n)とみなせる.
▶ R-covered foliationが存在するので,π1(ΣK(n))はleft-orderableである.
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integral surgery on figure-8 knot
Theorem（Introductionで述べたもの）
K ⊂S3：figure-8 knot=⇒ ∀n∈Zに対してπ1(ΣK(n))がLO.
Proof
▶ figure-8 knotはS3内のGOF-knot.
▶ monodromy matrix はϕ♯= (2 1
1 1 )
=⇒ Traceϕ♯>2よりPropositionから従う. Rem
▶ 上記がBoyer-Gordon-Watson [2]でコメン トされていたもの.
▶ 同様の議論はRoberts-Shareshian [12]で もコメントされている.
R. Roberts, J. Shareshian, Non-right-orderable 3-manifold groups, Canad. Math. Bull.53(2010), no. 4, 706–718.
p.709
−−−→
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5. GOF-knot in lens spaces
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