中 学 校 数 学 科 第 ３ 学 年
６ 三 平 方 の 定 理
［ 知 識 ・ 技 能 の 習 得 を 図 る 問 題 ］
[解 答 例 ]
中 学 校
年 組 号 氏 名
２ ３
２ ３
２ １０
２ １ ３
３ ２
７
２ １ ０ ２ １ ３
■練習問題①
● 三 平 方 の 定 理 ●
直 角 三 角 形 の 直 角 を は さ む ２ 辺 の 長 さ を a， b，
斜 辺 の 長 さ を c と す る と ， 次 の 関 係 が 成 り 立 つ 。 a ２ ＋ b ２ ＝ c ２
１ Ｒの 面 積 １ ２ ｃ ｍ ２ ， Ａ Ｃの 長 さ ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
Ｐの 面 積 ＝ Ａ Ｂ ２ ， Ｑ の 面 積 ＝ Ｂ Ｃ ２ ， Ｒ の 面 積 ＝ Ａ Ｃ ２ で あ り ， 三 平 方 の 定 理 よ り ，Ａ Ｃ ２ ＝ Ａ Ｂ ２ ＋ Ｂ Ｃ ２ だ か ら ，
Ｒの 面 積 ＝ Ｐの 面 積 ＋ Ｑの 面 積 ＝ ８ ＋ ４ ＝ １ ２ (ｃ ｍ ２ ) と な る ね 。
Ａ Ｃ ２ ＝１ ２ で ， Ａ Ｃ＞ ０ よ り ， Ａ Ｃ ＝ ｃ ｍ と な る ね 。
２ (1) x ＝ １ ３ (ｃ ｍ ) (2) x ＝ ８ (ｃ ｍ ) (3) x ＝ (ｃ ｍ ) (4) x ＝ (ｃ ｍ )
【 ポ イ ン ト 】
次 の よ う に ， 三 平 方 の 定 理 を 使 っ て 求 め る こ と が で き る ね 。 ま た ， (1)， (2)の よ う に ， ３ 辺 の 長 さ の 比 が ３： ４ ：５ や ５ ：１ ２ ： １ ３ に な る 場 合 は ， 必 ず 直 角 三 角 形 に な り ま す 。 問 題 に も よ く 出 て く る の で ， 覚 え て お い た 方 が い い ね 。
(1) ５ ２ ＋ １ ２ ２ ＝ x ２ (2) x ２ ＋６ ２ ＝ １ ０ ２
x ２ ＝ ２ ５ ＋ １ ４ ４ x ２ ＝１ ０ ０ － ３ ６
x ２ ＝ １ ６ ９ x ２ ＝６ ４
x ＞ ０ よ り ， x ＝ １ ３ x ＞ ０ よ り ， x ＝ ８ (3) x ２ ＋ ３ ２ ＝ ７ ２ (4) １ ２ － ８ ＝ ４
x ２ ＝ ４ ９ － ９ ４ ２ ＋ ６ ２ ＝ x ２
x ２ ＝ ４ ０ x ２ ＝１ ６ ＋ ３ ６
x ＞ ０ よ り ， x ＝ x ２ ＝５ ２
x ＞ ０ よ り ， x ＝ ３ ② ， ③
【 ポ イ ン ト 】 ●三 平 方 の 定 理 の 逆 ●
そ れ ぞ れ ， 三 平 方 の 定 理 の 逆 に あ て は ま る か ど う △Ａ Ｂ Ｃ で ，
か を 調 べ る と い い ね 。 Ｂ Ｃ ＝ a， Ｃ Ａ ＝ b，Ａ Ｂ ＝ c，
① は ， ２ ２ ＝ ４ ， ３ ２ ＝ ９ ， ４ ２ ＝ １ ６ で ， と す る と き ，
４ ＋ ９ ＝ １ ３ だ か ら ， 直 角 三 角 形 で は な い ね 。 a ２ ＋ b ２ ＝ c ２ な ら ば ，∠ Ｃ ＝ ９ ０
○② は ， ４ .５ ２ ＝ ２ ０ .２ ５ ， ６ ２ ＝３ ６ ，７ .５ ２ ＝５ ６ .２ ５ で ， ２ ０ .２ ５ ＋ ３ ６ ＝ ５ ６ .２ ５ だ か ら ， 直 角 三 角 形 だ ね 。
③ は ， ( ) ２ ＝ ７ ， ( ) ２ ＝ １ ８ ， ５ ２ ＝２ ５ で ， ７ ＋ １ ８ ＝２ ５ だ か ら ， 直 角 三 角 形 だ ね 。
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｐ
Ｑ Ｒ
Ａ
Ｂ Ｃ
a c b
x ｃｍ ５ｃｍ
１２ｃｍ
x ｃｍ ６ｃｍ
１０ｃｍ
x ｃｍ ７ｃｍ
３ｃｍ x ｃｍ
１２ｃｍ ８ｃｍ
６ｃｍ ６ｃｍ
４ｃｍ
Ａ
Ｂ Ｃ
a
b
c
６ ２ ４ ３
４ ２
６ ３ ３ ６ ３
１ ６ ３ ３
４ ７
２ １ ４
２
２
２ × ２ ８ × ２ ２
４ ２
３
３ ３
３ × ３ １ ６ × ３
１ ６ ３ ３
２
３
６ ３
６ ３ ３ ６ ３
３
２ ７
２ ７ ４ ７
２ １ ４
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題②
１
(1) x ＝ ６ (ｃ ｍ ) (2) x ＝ ４ (ｃ ｍ ) (3) x ＝ (ｃ ｍ )
y ＝ (ｃ ｍ ) y ＝ (ｃ ｍ )
y ＝ (ｃ ｍ )
【 ポ イ ン ト 】
右 下 の 図 の よ う に ，４ ５
○の 角 を も つ 直 角 三 角 形 の ３ 辺 の 長 さ の 比 は ， １： １： ， ６ ０
○ま た は ３ ０
○の 角 を も つ 直 角 三 角 形 の ３ 辺 の 長 さ の 比 は ， １ ： ：２ だ ね 。 こ の こ と を 使 っ て 求 め る こ と が で き る ね 。
(3)に つ い て は ， 次 の よ う に 求 め る こ と が で き る ね 。
x： ８ ＝ １ ： y： ８ ＝ ２ ：
x ＝ ８ y ＝ １ ６
x ＝ y ＝
x ＝ y ＝
直 角 二 等 辺 三 角 形
２ 高 さ ｃ ｍ ， 面 積 ｃ ｍ ２
【 ポ イ ン ト 】
頂 点 Ａ か ら 辺Ｂ Ｃ に 垂 線 Ａ Ｈ を ひ く と ， Ｈ は 辺 Ｂ Ｃ の 中 点 に な り ， Ｂ Ｈ ＝ ６ ｃ ｍ と な る ね 。 △ Ａ Ｂ Ｈ に お い て ∠ Ａ Ｈ Ｂ ＝９ ０
○だ か ら ， 三 平 方 の 定 理 を 使 っ て ， 高 さ Ａ Ｈを 求 め る こ と が で き る ね 。
Ａ Ｈ ２ ＋６ ２ ＝１ ２ ２
△Ａ Ｂ Ｃ ＝ ×１ ２ × Ａ Ｈ ２ ＝１ ０ ８
Ａ Ｈ ＝ (ｃ ｍ ) ＝ (ｃ ｍ ２ )
高 さ Ａ Ｈ に つ い て は ，∠Ａ Ｂ Ｈ ＝ ６ ０
○だ か ら ，Ｂ Ｈ ：Ａ Ｈ ＝ １： で あ る こ と を 使 っ て ， 求 め る こ と も で き る ね 。
３ ｃ ｍ 【 ポ イ ン ト 】
中 心 Ｏ か ら 弦 Ａ Ｂに ひ い た 垂 線 と 弦 Ａ Ｂ と の 交 点 を Ｈ と す る と ， △ Ｏ Ｈ Ａ は ， 直 角 三 角 形 だ か ら ，
Ａ Ｈ ２ ＋ ６ ２ ＝ ８ ２
Ａ Ｈ ２ ＝６ ４ － ３ ６ Ａ Ｂ ＝２ Ａ Ｈ だ か ら ， Ａ Ｈ ２ ＝２ ８ Ａ Ｂ ＝ ２ ×
Ａ Ｈ ＝ (ｃ ｍ ) ＝ (ｃ ｍ ) と な る ね 。
４ ｃ ｍ 【 ポ イ ン ト 】
Ａ Ｐ は 円 Ｏ の 接 線 で ， ∠ Ｏ Ｐ Ａ ＝９ ０
○だ か ら ， Ａ Ｐ ２ ＋ ５ ２ ＝ ９ ２
Ａ Ｐ ２ ＝８ １ －２ ５ Ａ Ｐ ２ ＝５ ６
Ａ Ｐ ＝ (ｃ ｍ ) と な る ね 。
１ ２
６０°
３０°
１ １ ４５°
４５°
６ｃｍ Ａ
Ｂ Ｃ
１２ｃｍ １２ｃｍ
１ Ｈ ２
６ｃｍ Ｏ
Ａ Ｂ
８ｃｍ Ｈ
Ｏ Ａ
Ｐ ９ｃｍ
５ｃｍ
５ ５
５ ５
７ ３
７ ２
９ ８ ７ ２
７ ３ ７ ３
６ ３
６ ２ ７ ２
１ ０ ８ ６ ３ ６ ２
■練習問題③
１
(1) ５ (2)
【 ポ イ ン ト 】
右 の よ う に 座 標 平 面 上 に 直 角 三 角 形 を つ く り ， 三 平 方 の 定 理 を 使 っ て 求 め る と い い ね 。
(1) Ａ Ｈ ＝ ５ － ２ ＝ ３ ， Ｂ Ｈ ＝ ６ － ２ ＝ ４ Ａ Ｂ ２ ＝３ ２ ＋４ ２ ＝２ ５
Ａ Ｂ ＝ ５
(2) Ｃ Ｋ ＝ ３ － (－ ２ )＝ ５ Ｄ Ｋ ＝ ６ － (－ ４ )＝ １ ０ Ｃ Ｄ ２ ＝５ ２ ＋１ ０ ２ ＝ １ ２ ５
Ｃ Ｄ ＝ ２
(1) ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
△Ｅ Ｆ Ｇ は ， 右 の よ う な 直 角 三 角 形 だ か ら ， Ｅ Ｇ ２ ＝３ ２ ＋８ ２ ＝７ ３
Ｅ Ｇ ＝ (ｃ ｍ ) と な る ね 。
(2) ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
△Ａ Ｅ Ｇ は ， 右 の よ う な 直 角 三 角 形 だ か ら ， Ａ Ｇ ２ ＝ ５ ２ ＋ ( ) ２ ＝ ２ ５ ＋７ ３ ＝９ ８
Ａ Ｇ ＝
Ａ Ｇ ＝ (ｃ ｍ )と な る ね 。
３ ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
右 の よ う な 立 方 体 のＡ Ｇ の 長 さ を 求 め る と い い ね 。 Ｅ Ｇ ２ ＝６ ２ ＋６ ２ ＝７ ２
Ｅ Ｇ ＝ ＝ (ｃ ｍ )
Ａ Ｇ ２ ＝６ ２ ＋( ) ２ ＝３ ６ ＋７ ２ ＝ １ ０ ８
Ａ Ｇ ＝ ＝ (ｃ ｍ ) と な る ね 。
Ａ
Ｂ
Ｈ Ｏ
Ｃ
Ｄ Ｋ
x y
２
２
－２
－４
３
５ ６ ６
Ｅ Ｆ
Ｇ Ｈ
８ｃｍ
３ｃｍ
８ｃｍ ５ｃｍ
３ｃｍ
Ｅ Ｆ
Ｈ Ｇ
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
Ａ
Ｅ Ｇ
５ｃｍ
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
Ｈ Ｇ
Ｅ Ｆ
６ｃｍ
６ｃｍ
６ｃｍ
７ ３ ｃ ｍ
４ ６
６ ２ ３ ２
４６
１ ２ ４ ６
１２ ４６
１ ２ ５ ５
５５
５５ １ ２ ５ ５
２ ６
２ ４ ２ ６
２ ６ ５ ０ ６ π
３ ５ ０ ６ π
３
４６ ３ ２
２ ６ ２
６ ２
■知識・技能の習得を図る問題［解答］ 年 組 号 氏名
■練習問題④
１
(1) ｃ ｍ
【 ポ イ ン ト 】
線 分 Ｏ Ｈ の 長 さ が ， こ の 正 四 角 錐 の 高 さ だ ね 。
す い
