基 礎 物 理 学

基 礎 物 理 学

担当 小野正利 [email protected]

第６回（２）

教科書

（１）「基礎物理学」

（２） http://www.hoku-iryo-u.ac.jp/~onomasat/

（３） 減衰振動

dx

0

2 2 0 2 2 2











dt x x d dt kx

x md

 調和振動　　

0

2 2 0

2 2

2 f























dt x dx dt

x d

dt m dx dt kx

x md

dt m dx v m f











　　 　

　　が加わるとき，

摩擦力　

0

2 0²

2 2

2









 x

dt x kx d

dt x

md 

調和振動　　

 

a t

x sin 0

x3

0.8 0.3

cos 3 )

(t  t

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2

t

 



 0　　（減衰振動）　　xae^tcos 1t

2 2 0

1  

   ここで，　

0

2 0²

2 2

2













 x

dt dx dt

x d dt m dx dt kx

x

md   

      





   



3exp 0.3 cos 0.8 0.3 0.3 )

(t t ^{2 2} t

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

t x

t p t

p C

C

x   ^{ }

 ^  ^



0　　（過減衰）　　 e ^' e ^'



） 　　（ ここで，　 ' 0² 0

2 







p_   

0

2 0²

2 2

2      x

dt dx dt

x d dt m dx dt kx

x

md   

           



   



 t t

t

x() 3exp 0.9 0.9² 0.8² 6exp 0.9 0.9² 0.8²

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

t x

C D t ^t

x   ^

 ^

 0　　（臨界減衰）　　 e 0

2 0²

2 2

2      x

dt dx dt

x d dt m dx dt kx

x

md   

x3

 t  t

t

x() 33 exp0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2

t

（４） 強制振動

　　が働くとき。

強制力　

　　と共に，

摩擦力　　

t f t f

dt m dx v m f





 cos )

( ₀

f











dx f x k

d²



 



   

















t A dt x

dx dt

x d

m t x f dt dx dt

x d

t dt f

m dx dt kx

x md

















cos cos cos

0 2 2 0

2

2 0 2 0

2 2 0

　　 　 　　　　

　　 　　　　　

　

 t  A  t a

t

x  







 





 



 



 0 () cos _{2 2} cos

0 0

，　 0

t A dt x

dx dt

x t d dt f

m dx dt kx

x

md  cos   0cos

2 2 0

2 2 0

2















 　 　

 t       t t

x cos2.5

5 2 8 0 3 2 . 0 8 . 0 cos 3 )

( _{2 2}

 







 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

t x

   0.8 2.5 

 

  A  t

t a t

x  







 





 



 



 0 () cos 2 ₂ cos

0 0

，　 0

t A dt x

dx dt

x t d dt f

m dx dt kx

x

md  cos   0cos

2 2 0

2 2 0

2    　　   



 2

A5

  ^_^





 ₂ ₂

8 . 0

2 A 

1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Omega

0 ，　　　x(t)x1(t)x2(t)

t A dt x

dx dt

x t d dt f

m dx dt kx

x

md  cos   0cos

2 2 0

2 2 0

2















 　 　



^{ }



^{    }











A t t

x t x

cos 4 )

(

) (

2 2 2 2 2 0

0 2

1 臨界減衰の何れかの表式 減衰振動，過減衰，

     

   

 

    cos2.5 

5 . 2 3 . 0 4 5 . 2 8 . 0 2

3 . 0 3 . 0 8 . 0 cos 3 . 0 exp 3 ) (

2 2 2

2 2

2 2

　　　　　















 

   





t t t

t x

x3

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-3 -2 -1 0 1 2

t



 



   ^{  }







x t x t x t A t

t

x cos

4 )

( ) ( ) ( ) (

2 2 2 2 2 0

0 1

2 1



 0.8^{2 2}



² 4 0.3^{2 2} 2



  



 A

A5

1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4

Omega A

（１）等速円運動 ^θ

s

0

: r rad

 s

 ^{（ ラジアン）}

２．中心力による運動

r0

r

0

v   

0 0 0

d d 1 d d d d

r v t s r t r s

t  

 







 



加速度

v v’

v と v’ の大きさは等しい

（等速度円運動）。

r0

v

v



 

 v 



 













   _{   }

 v

v t t v t

a v

2 2 0

0 2 0 0

2

0



      



 r

r r v r v r v v v a

（２）惑星の運動 ケプラーの法則

第1法則 惑星の軌道は太陽の位置を焦点の 一つとする楕円軌道。

第2法則 惑星と太陽を結ぶ直線が単位時間 に掃過する面積は一定。

第3法則 惑星が太陽の回りをまわる周期の 2乗は楕円軌道の長半径の3乗に比例する。

全ての物体の間には質量を持つことによる 引力が働く。

引力の方向は物体を結ぶ方向であり，

大きさは2つの物体の質量の積に比例し，

距離の2乗に反比例する。

万有引力 ₂ F r GMm F 

2 2

11Nm kg

10 6725 .

6  ^{ }

 G

万有引力定数 F

F

r

r

（地球） 太陽

θ r v

掃過する面積の2倍



 sin

 r r

１秒間に掃過する面積の2倍 v r











  



 sin r v sin t

r r

３．角運動量保存の法則

m t

m d

v dr p 

r O

p m

運動量

r

dt md

m r

r v r p r

l     

角運動量 p



sin







 r p r p l

S’ r’

z z’

’ ガリレイ変換

r= r’+V₀t

４．相対運動

S

V₀t r

y

x

y’

x’ x’

v= v’+V₀

) , ( ) ,' ( '

d ' d d d

2 2 2 2

t t

t t

r F r F

r r





＜例＞

一様な風を受けて飛び立つカモメに働く揚力 カモメの質量 ： m

風の速さ ： v_w

v_w h

カモメ

風の速さ _vw h

カモメ

の保存を考える。

ギー 成り立つ力学的エネル

時に持つ速度の間に 海面からの高さとその

人の立場でカモメの 　風と一緒に移動する

E

風の速さ _vw h

カモメ

) (

2

1 2

w

位置エネルギーはゼロ 　　。 ギーは，　　

モメの力学的エネル 　最初海面上に居るカ

mv E

風の速さ _vw h

カモメ

) (

この時の運動エネルギーはゼロ

　。 ルギーは，　　

のカモメの力学的エネ

で表すと，その時 点を

できる海面からの最高

いで舞い上がることが 　カモメが羽ばたかな

h m E h

 g

存されるとすると 力学的エネルギーが保

風の速さ v_w h

カモメ

2 [m]

2 1

2 w 2

w

g g

h v mv

h m





　 従って，最高点は　　

　　　が成り立つ。

　

存されるとすると，

力学的エネルギ が保

風の速さ v_w h

カモメ

m 1 . ) 5 8 . 9 ( 2

10 2

2 2

W  

 g h v v_w=10 m/s のとき，

60 60 10m/s /

36000 km/h

36   

参考：　

＜問題６＞

２．おもりに長さl [m] の糸をつけ，その端を 支点に固定し，支点を通鉛直軸のまわりで おもりに等速度回転をさせる。糸が鉛直と 角θ [rad] をなすとき，回転の角速度 ω [rad/s] を表す式を求めよ。

l θ r

F mg

[ ]

 

 sin  0 sin

0 cos

sin

sin

2 2 2





























l m F

m F

l m mr F

：　 　水平方向の釣り合い

： 　鉛直方向の釣り合い

遠心力：

， 向心力：

g

mg

l θ r

F mg

l l ml

F θ F m

g g g











0

0

cos cos cos







 

ただし，