An Automatic Computer Method of the Formal Linearization          by the Tshebyschew Interpolation

九州工業大学研究報告（工学）No．62 1991年3月       11

チェビシェフ近似による形式的線形化自動化法

（平成2年11月29日 原稿受付）

電気工学科計算機工学教室高田等 電気工学専攻（大学院生）新宮忠敏

An Automatic Computer Method of the Formal Linearization          by the Tshebyschew Interpolation

       by Hitoshi TAKATA        Tadatoshi SHINGU

Abstmct

  In this paper we consider an automatic computer method of the formal linearization for non−

linear systems． When given a nonlinear system， Tshebyschew polynomials are chosen as the new

equations with respect to the new state variables． Each coefficient of the interpolation is mechani−

cally evaluated with the aid of computers． As a result， the given nonlinear system is automatically

method is improved as the order of the polynomials increases．

1．序論       2．問題の設定

 一般に，非線形システムは，非線形であるがために取   システムが非線形微分方程式 扱が容易でない。そこで何らかの意味での線形化を施し，

       X＝∫（x）（・全醐τ）（x∈R）    （1）

線形のシステムに近似して解かれる場合が多い。本稿で

は，関数近似に優れた性質をもつチェビシェフ直交多項  で与えられたとする。（1）を次数Nのチェビシェフ多項式 式を用いることによって，非線形システムを計算機によ  の列関数φ（x）を用いることによって，

漂竺三蕊巖㌶三二㍍ φω一繋・一繋プω一蜘）＋B（・）

とする。1次からN次までのチェビシェフ多項式を新し  なる線形微分方程式に形式的に変換する問題について考 い状態変数と見なす。この新変数に関する運動方程式に  察する。この際，本論文ではN次チェビシェフ近似式を N次チェビシェフ近似式を適用する。このとき運動方程  導入することにより，ベクトルφ（x）と係数A，Bを計 式は，その係数が単なる代数和で記述されるチェビシェ  算機により自動的に生成する。式（2）はφについて線形 フ多項式の線形結合で表現される。よって，原システム  であるから，既存の線形理論で解くことができる。なお，

は新変数に関する線形微分方程式に帰着され，その逆関  求めたいxは逆変換φ一1によって容易に得られる。

数も騨に得られる・これらはいずれも計算機により自 3澗題の解法

動的に生成できるものである。

 最後に数値実験により本手法の有効性を確かめた。    簡単のためにスカラーシステムを考える。式（1）が有界        閉区間［勿一ρ，〃2＋ρ］（幼∈R，ρ＞0）で与えられた次

12       高田 等・新宮忠敏

の非線形システム

@     砺一晶菖兄（〃 ）τ永（y ）（ん≠0）・一・，…W

  Σ1：文 ＝∫（x）  （x（0）＝Xo）      （3）      （1勾

をチェビシェフ近似法により線形化する。チェビシェフ   なお式（9）はチェビシェフ近似式の性質1）より，各零点〃

多項式は基本区間が［−1，1］であることより，まず変   ＝yゴ（ ＝0，…，1V）において全く誤差零の表現式，す 換関数として      なわち正確な値である。そこで

〃−xa       （・） φω全［万ω…η（・）］τ    （1③

を導入する。式（4）を時間τで微分して次式を得る。     を定義すると，式（9）より Σヨ・∂一聯一計（・）一≠切）全民ω（・） φ（〃H主（〃）…九（・）］τ       ＝［Flω…FNω］「

この式（5）を，次数0からN次までのチェビシェフ多項式

の線形結合で表す。      611  τ1N      61°

      ＝ ：    ： 口〕（〃）…η（y）］τ十 ：

       C」V1    ClwV       61Vo

      ＝Aφ（〃）十B      （1勾

  丁。＋1（〃）＝2〃欠夕（y）一τγ＿1（y）

ま∴㌘㌧＿＿ぷ齪㌦：：：：：：：ぱ

をyで微分してS。（〃）全47パ〃）／吻とおけば       が得られる。よって式（3）Σ、の非線形システムは次の線       形システム

  S7＋1（〃）＝2τγ（〃）十2y5γ（の一Sγ＿1（の

  So（〃） ＝0， S1（y） ＝ 1      （7）         2［12：Z（τ） ＝AZ（τ）十、8      （1萄

      初期値：Z（0）＝φ（〃。）＝m（〃。）…7W（〃。）］τ    （1θ である。

 τ．（〃）を で微分したときの運動方程式は

ち（〃）一嚠黶父ﾖ凡）一） 驚き㌫お逆変換は式屹｝こついて解き こ

      γ＝0，1，…，∧7   （8）

      y（ ）＝［1 0…0］Z（ ）      （1カ となる。この式（8）を次のN次チェビシェフ近似式

      N       し，さらにxについて求めれば

  F。ω＝Σ6。丘7㌃（y） γ＝0，1，…，」V   （9）

      永＝O

      x（τ）＝勿（τ）＋初＝ρT、（y）＋〃2

       ＝ρ［1 0…0］Z（τ）十吻        （1鋤 卵 すなわち

防一…緩πゴー・，・，…囚・・と；隠㌫以下のアルゴリズムが得られる．

において，直交条件      く計算アルゴリズム〉

菖一±三：1⑪ili㌧三1｛㍗＝泊

が満たされるので・係数は次のように定まる・ @ （2．1）銑一…縄π

  ㌦一晶・菖凡ω        （z2）呪ω一只功櫛）／ρ

チェビシェフ近似による形式的線形化自動化法      13

 （2．3） 乃（〃 ）＝1andτ1（y∂＝y       J（t）がほぼ0であるが，その拡大図であるFig．3ではま     S。（y∠）＝OandS、（〃 ）＝1       だ誤差が増大していく様子がうかがえる。ただしN＝10  （2．4）For夕＝1，…，」V      以上ではJ（t）のグラフはほぼ重なり，しかも一定の値に

  （2．4．1） T。＋、（y《）＝2〃 τ。（y，）−T。一、（〃《）       収束している。これは，次数Nの増加とともにかなりう   （2．4．2）S。＋、（〃，）＝2τ．（y∠）＋2yβ。（y ）−S。．、（〃 ）    まく近似ができていることを示していると考えられる。

  （2．4．3）  Fγ（y ）＝Sγ（y ）Fl（y ）

［3］ For グ＝1，…，2V    For 〃＝1，…，2V

       xの・

      コ 

   ㌦一誌、急兄（yゴ）     。75

   輪一Nそ、急兄（飾）処ω     …

［4］  ノ1＝ ［c幼］ and B＝［c猶o］      o・25

［5］  Ini6al value       o、 oo

       s、べ    N＝3

（5．1）ξ一竿      一・25。。。。。。。。芸 ㌔。

 （52） 先（ξ）＝1 and τi（ξ）＝ξ       Fig．1 5〜（f）and x（ ）when文F−x十x2  （5．3） For γ＝1，…，」V

    7ン＋、（ξ）＝2ξ1㌦（ξ）−Tγ＿1（ξ）

 （5b 4）  φ（〃o）＝［7〕（ξ）… ］弓v（ξ）］T

［6］ Solve Z（オ）＝ノ1Z（τ）十B  Z（0）＝＝φ（yo）       J（ ）

       1．00

［7］ x（ ）＝ρ［1 0 …  0］Z（ ）十〃2

［8］  Output  ｛x（τ）｝       o．75

4．数値実験

（具体例1）

0．50

0．25

文一一。＋。・（。（。）一・．8）     °・°°。。2．。4．。6．。8．。1。。

このシステムは原点収束の単調減少関数である・そこ

@  Fi＆2」（，）i。，a、e。fN＿1−50

で，区間を［0，0．8］，〃FO．4，ρ＝0．4に選んだ。

 Fig．1は，横軸に時間 をとり，解析的に求めた値

x（オ）と本手法によって求めた計算値文（τ）の比較である。      J（，）

trueが解析値， Nはチェビシェフ多項式の考慮次数で，

1次から50次のグラフを示す。N＝5次以上は4次のグ ラフとほぼ重なった。Fig．2とFig．3は，それぞれN ニ1〜50とN＝5，10，20，50のときの絶対値誤差

0．008

0．006

0．004

  ・（ ）一∫ 1・（・）一・ω14・   （19

      0．002 のグラフである。すなわちFig．3はFig．2のN＞4の拡

大図である。       o．o      

       0．0     2．0     4．0     6．0     8．0    10．0

 次数Nが大きくなるにしたがって近似が良くなってい

ることがわかる。N＝5のときFig．2では誤差すなわち     Fi苦3 J（ ）in case of N＝5・10・20 and 50

14       高田 等・新宮忠敏

      （具体例2）

  x（ ） 0．0

−・・N Oレニ』 ‥…『e誌  文＝ピ （x（°）＝−1・°）

       ブ       へ

一〇・4   ジ ＼⊂       このシステムはやはり原点に収束するカ㍉単調増加関

一〇6@      数である。区間は［−1，0］，〃2＝−0．5，ρ＝0．5とした。    

−o・8      Fig．4〜6はそれぞれFig．1〜3に対応するグラフ ー1・0       であり，具体例1とほぼ同様なことが示された。

      オ

   o 0 2 0 4 0 6 0 8 0 10 0      5．結言

0．4

0．3

0。2

0．1

0．0

 Fi苦4 x（∫）an （ ）when文＝x2        関数近似に優れた性質をもつチェビシェフ直交多項式        を用いて，非線形微分方程式で与えられるシステムを，

J（，）      計算機により自動的に形式的線形化する手法を考察した。

f

これによると，今まで積分計算でかなり困難であった係 数決めが，計算機で容易に求められるようになった。ま たチェビシェフの次数の増加とともにその近似の精度が 向上していることが確かめられた。今後の課題として，

他のシステムでもうまく近似することができるか，本手 法の計算機プログラムをさらに充実させることなどがあ

0 0  2 0  4 0  6・0  8・0  10・0    げられる。

0．01

0．0075

0．005

0．0025

0．0

 Fi酔5 」（ ）in case of N＝1〜50

       〈参考文献＞

       1）赤坂： 数値計算 ，コロナ社，p96〜101，（1974）

       2）森： 数値解析 ，共立出版，（1973）

J（ ）      3）末岡： 級数および直交関数系 ，コロナ社，（1957）

       4）新宮： チェビシェフ多項式型形式的線形化法 ，九州工業       大学工学部情報工学科平成元年度卒業論文，（1990）

       5）高田，新宮： チェビシェフ近似を用いた形式的線形化の       自動化 ，平成2年度電気関係学会九州支部連合大会論文集，

      840， p512， （1990）

       6）高田，新宮： チェビシェフ近似による形式的線形化自動       化法 ，第9回計自学会九州支部学術講演会予稿集，129，p       65， （1990）

0．0     2．0     4．0     6．0     8．O     lO．0

Fig．6  J（『） in case of N＝5， 10， 20 and 50