モーメント分配法･Kani法･たわみ角法について: University of the Ryukyus Repository

Title

モーメント分配法･Kani法･たわみ角法について

Author(s)

具志, 幸昌

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(3): 115-127

Issue Date

1970-06

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/23967

115

モー メン ト分配法

･Kan

i

法 ･たわみ角法 につ いて 十

具

志 幸

昌 *

OnMomentUistrihutionMethod,KaniMethod andSlope-DeflectionMethod

YukimasaGUSHI

SynopSlfI Thispaperclarifiedthefollowlng8.

1.So called "Kanimethod"●i8 8kind oEslope･deElection method8,i･e;every proce88 0fKaJliMethod canbeexplainedbythe slope-deElectionmethodwhich is so一vedbylteration･IntheIle'ationprocess0fthe･'loT,e-deElectionmethod,calculat一 ･ngaJOlntrotationanglemoment9㌔isnonethele8BCOmPutlngthefixedmomentof jolntiintheKanimethodexcept80memultiplier,andinthesameprocesB,COmPuting adeElectionanglemoment や isnotmorethancalculatlng thecorrespondingstorey momentofKanimethodexceptsomemultiplier･ Mathematically,Kanimethodandthe slope･deflectionmethodsolvedbylterationareidentical.

2･OrdinaryCrossmethodisalsoakindofSlope-deflectionmethods,whichsolved bylteration･ In thelatterprocessWe COn8trtJCH heequationslikefollowings

(

C

.

I

.

Fig･2)

- 1

〔

k2

q,C

+k や+CB

A+C8

C

〕

-

1

pc

-㌻ 市

巧

打

〔

k"B

+i

3

什 C8

C+Hc

D〕

Desolvingtheaboveequations

(

1)intotwoparts

,

pB

-

赤

平;

,

甲-Pl

+

9

,

C

2

甲1

_B

-I EZZ

-C

甲

三

-γ.

三=

=

2

(kl

+

k･

L

)

〔k2

9

'

去+ CB人+CB

c〕

2

(

kZ

+ (3/ 4)k3

)

-1

2(

k

J

+

k2

)

-

1

(2)

1

〔

k2

㌔ 十 ccB+ HcD

〕

〔k2

9三十kt

y

･〕

2

(

k

Z

+

(3/4)

k3

)

I受付 :1969年10月31日 *琉球-大'1-1碓 LlI':臥 ヒ木｣二学科

〔k2

9

2

8

･

!3

サ〕

116

具志 :モーメ'JIト分配法･K&ni法 ･たわみ角法 について

In8teadoftheequations(1),BOIvinさtWOBy8tem80Eequation点く3)eL･,a(4)8eP8rately by Iteration,then this PrOCe88 iB ideDticAlwith theordinary momentdi8tribution method･ Solvingequation(a)bylteratio･lCOrreBPOnd･}toBdvingtheproblem bythe ordinarymomentdistributionmethodinwhichthegivenloAdさACtaJldnojointmove -mentocctuB･ SolvingeqtlationB(4)bylteration1,さtheBanePrOCe88intheordinary momentdistributionmethodwhere 80mehorizontalforceさ aCtand 80mejointmo ye-ment80_CCurandnogivenloadact8.

3･ExphiningthebothoEKanimethodELndordinary TnOmentdiJBtribtltion method by the Slope-deflectionmethod,a8 above,iti8eaBytOuELderBt&ndthediEEerenceS between Kanimethod and the ordinary momentdiBtrihution method･ Forexample

,

Speedofconvergenceofordinarymomentdistributionmethodi8Clearymorerapidthan thatofKiLnimethod,becauseOEthe8mallnumberofar即ment8･ Intheformercase

,

however,theproce88e8 0fmomentdistributionandbalancingmu8tberepeated80me definitenumberoftimesaJldthenbalamClngthehorizontalforce8areneCe88町Y･ So, problem of"Wh ichmethodi8Superiorone"i8notdetermined.

1.は じめに モーメン ト分配法 とKani法 との優劣 については種々論議 されている●1)2-が､筆者は両者 に っいてそれ程の優劣 はない と考 えてお り､問題 に応 じて解法 が最 も簡単 になる様 に方法 をえら べばよい と考 えている｡ 非矩形 ラーメンの場合､ 通常のモーメン ト分配法

=

3)4)によっ て とくと､抑制力や変位力の計算 がやや厄介 になるが､たわみ角法の車力方程式 を使 う松本氏 の方法5厄 よれば､ それ程面倒 ではない｡ またモーメン ト分配法 と云 われる方法 には色々の方 法 があり､抑 *種 々の改良がほ どこされてお り､ なかんず く二見教授の著書の方法 6･)(以下二 見法 と呼ぶ)はKani法 と用語 を異 にするが､全 く同一のプロセスをふむ ものであるO*= * 筆者は非矩形 ラーメンのモーメン ト分配法 による解法 を濁せ 部材角の考 えを基 に して､二見法 の拡張 と云 う形 で提案 してある7

1(

F-G

法 と呼ぶ)0 その後の考察 によって､筆者 はモーメン ト分配法や Kani法 (二見法 も)はたわみ角法 によ ってその原理や プロセスが説明で きることしかもたわみ角法の方 が手間がかか らないことをみ いだ した｡す なわち､たわみ角法 の方程式 をイ タラチオンで とくことは､ Kani法 と全 く同 じ プロセスをふむことで あり､ またイ タラチオンで とく時､少 し工夫 をこらす とモーメン ト分配 法 の プロセスにも一致 す ることを発 見 した｡以下 それにつ いてのペ ることにするo *収束のはや さとか､計算手間 とか､節点移動 を生ずるときの処理の しかたとかについての優劣 についてで ある｡ **通常のモーメン ト分配法 と云 う言葉は誤解 をまね き易いが､節点移動 が生ず るとき､過途的 に抑制力･ 変位力を考 えるや り方 をさす｡ ***モーメン ト分配法 は固定法 ともよばれ､種々の重要 な或は派生的 な改良がなされてお り､二見法 もそ の中の重要 な一つであると考 えている○いちいちあげることは しないが内外の色々な公刊書 にみる通 りであ る｡特 に文献 1)に要領 よ くのせ られている｡ ****Kan

i

法 が外国でいつは じめて公刊 されたのか筆者はよく判 らぬが､ 日本での文献 としては二見教 授の著者がKani法 よ りずっと以前 に公刊 されているo

琉球大学理工学部紀要(工学者) 117 2.Kani法 (二見法) とたわみ角法 例 を矩形 ラー メンに とって説明 してい くが非 矩形 ラー メ ンも全 く同様 に説 明で きるので一般 性 を失 な うものでは か ､

｡Fi

g.1

の ラー メ ンをたわみ角法 で と くことを考 える｡ たわみ角法 の 基本式 は下記 の型 の もの を使 うこ とにす る｡

1 1 1 1

1

日

1↓ ↓

↓ ↓ 1

c

k

b

l

∴

∫ k

b

2

l

kb3 2 1

b

i

k

2

2

k

2

3

k24

1 1 1 1 1

l↓ ↓ ↓

Mbe-kal(

2甲b+甲e)

+Cb

e

Mbc-k2

1(

29b+

Pc

+

中2

)

+Cbc

まず節点方程式 の例 と してe節点 について考 えてみ る｡

Me

b+Me

/+Me

n+Me

且- 0

上式 に基本式 を代入 し､ イ タラチ オ ンで とくときの様 にPeにつ いて整理 す る と次 の様 に在る｡Pe (- 1)

2 (

kal

+k2

2+ka2+k1

2

)

〔(

k

al

Pb+k

丑

やf

+ka

2

9h+k

か

Q,

+kは中.

)

+ (

ce

b+Ce

f+Ce

h+Ced)

〕

(- 1) 2 (e節点 に集 まる部材の剛比の和) 〔(e節点への回転成分および変位成分の和或は e節点への到達モーメン ト･分担モーメン トの和)

+

(e節点の荷重項 の和)〕 トー 1) 2(e節点 に集 まる部材の剛比の和) 〔e節点の節点固定モーメン トの和〕 上式 の

〔

〕の中はKani法 および二見法で云 う節点固定 モーメ ン トその もので あ り､両法 の計 算途 中で何回 か求 め る もので ある｡ また上式 の

〔

〕の係 数

118 具志 :モーメン ト分配法

･Ka

n

i

法 ･たわみ角法について 1 1 2(e節点 に集 まる部材の剛比 J)畑 十 に部 材 剛比 を乗 ず れ ば ､モ ー メ ン ト分配 法 ､二 見.ll'で 言 う刺 通 係 数 と在 り､ 2倍 す れば分配 率 と怒 る｡ 或 は

1/

jlこ剛 比 に

- 1

を乗 じた もの をか け る と

Kan

i

法 で云 う

L

･

･r

l

転 係 数 と云 うこ と に そ る

)

従 って 上の

9e

に;'f･B材剛 比 を東ず れ ば

Ka

n

i

l

,

J{の回転 戊 分 ､_二

妃

法 の到達 モ ー メ ン トが 求 まる こ とに 在 る｡ 以 上 の

湖H

JJか ら判 る様 にた わみllJt

i

上をイ クラチ オ ンで と くと きに第

n

回 目の た わみ角 モ - メ ン ト

Pe

の近 似 値 を求 め る こ とは

､ -

_

兄

法 で第 n 恒=1の節

点

e の阿定 モ ー メ ン トを求 め る こ と に な り､

Kar

-

1法 で は

第

-日

.

一冊 の節 点

e

での回転係 数 に来ずべ きモ ー メ ン ト利 を求 め る こ とに な る (常 数係 数 を乗ず る こ とを除 いて )o 逆 に

云

:)と

､ Ka

ni

法 で 第

n

回 目の 回転 成 分 を求め る こ とお よび二 見 法 で 第 ∩回 目の到 達 モ ー メ ン トを計 算 す る こ とは､た わ み 角 法 を イ タ ラチ オ ンで軌 lてい くと きの た わ み 角 モ ー メ ン 岬 の 筆 咽 目の 近 似 値 を求 め る こ とに一 致 す る(常 数 係 数 を乗 ず るこ とを除 いて )の で あ る. また この と きた わみ

和

上の節 ,

･

∴

i

.jj程 式 は近 似lI,.)tニ満 足 され る こ とに な る｡ 淡 に層 方程 式 また は 勘

)

J

j

程 式 を 考える こ とに しよ う.Fig.1の:)･,･2屑 につ いて 考えてみ る こ とにす る｡ 層 方程 式 が あ る凍 ､'/I_浩J･JiiオlfJが 1な る仮 想 州 云変位 した と きの ラー メ ンの荷 .Tl;一端 モ ー メ ン ト系 の仮 想仕 事式 で あ る81こ とを 考えれ ば非 矩形 ラー.} ンで も以 卜の論議 が有効 で あ る 筈 で あ る｡

(

Mcb+Mb

c

+Me

f +Mf

c+Mi

h+Mhi+Ml

k

+

Mkl)

× 1+P

ロ

･(

h2･1)+ ∑ i

Pir

bi･1)∫- 0

上式 に た わみ角 法 の碁 本式 を代 入 し､ イ タラチ オ ンで と くと きの様 に中 二つ いて整LV_す る と次 の様 に なる｡*

42

-

トー11

2

(k21+k22+k23+k2一)

〔

3

(

k

…l

pb+k

Z

lP

c+k

2

Pe十

kz

2Pf+kT

3Pi+k:

lPh

+k Pl

+k2

4

9k)+ (

Cc

b+

Cb

c+Cf

e十Cef+Ci

h十Ch

i+Ckl+Cl

k)+P皿h2

十

∫Pi

b

i

〕

上式 の右辺 の係 数 に柱 の剛 比 を乗 ず れ ば二

妃

法 で云 う分 担係 数 で あ り､

Kan

i

法 で は柱 の剛比 の

3

倍 を乗 じて変位 係 数 と して い る

o

l式 の

〔

〕の 中 第

1

項 は二 妃法 で 云 う柱 の 上 下端 の到達 モ ー メ ン トの和 で あ り､

Ka｡i

法 で は回転 成 /分の 和 で あ る.この 第 1J,riと第

31

日の

Pnh2

との和 は 二 見法 で は分 担 モ ー メ ン トを求 め る際 に分

損

係 数 ;二乗す べ きモ ー メ ン ト和 ､ い わゆ る令層 モ ー メ ン トで あ り､ Kaniは で は それの1/3を

変

胸 丈分 を求 め るた め に計 算-し求 めて い るO 第

2

項 および第

4

項 は柱 の 中途 に横 荷 重 が作用 して い る と き(:出 て くる杭で -_妃法 で も

Ka

n

i

法 で もそ う云 う時 は計算 に考慮 す べ き量 で あ るO 結 局 上 の 〔 〕の 中 の 姐 ,L'_姑

｣

三で 言

う'

r･

洞

モ ー メン ト､ K

a

nl法 で 言 う変 位 成 分 を求 め るた め に必 質 な変位 係 数 に来ず べ きモ --メ ン ト和 で あ る｡廟 よと も この

〔

〕の 中 の量 は プ ロセ スの途 中 で何 回 か計算 す る もの で あ る. LIJ.卜の 奉 か ら､ た わみ角は を イ タ ラナ オ ンで とい て い く時 第

nl

l

]

J

Hの部 材 角 モ - メ ン ト少の近 似値 を求 め る こ *非 雛 形ラ-メンでは 〔 〕の小に 別の濁:I.[;I;材lrjが人 -,てくるのが洋旭であるとL二･う).I.7'.がt,が-ノている が､これ以 卜の

l

t

t

i吸いを',Ja;一更するはとのことは′にじ

か

､C

琉球 大学珊 L学部紀要(工学篇 ) とは､ 二見法 で [17;n

回

目の 'FT層 モ ー メ ン トを計算 す る こ とだ し､ Kanj法 で .'描,-n回 Flの変 位 係 数 に来ず べ きモ ー メン ト和 を計芽 す るこ と とfJ･る (いず れ も常 数

僧

す る こ と を除 いて )a 換 言す れば ､ 二 見 法 で 第n回 目の 分 担 モ ー メ ン トを算 出 す る こ とは ､ また､Kani法 で 第n回 目の変位 成 分 を求 め る こ とは ､た わみ 角法 の 方 程 式 を イ ク ラチ オ ンで とい て い く と きの 第n回 目の部 材 角モ ー メ ン トの 近 似 値 を算 出 す る こ と と数 学 的 に全 く一 致 して い る (常 数倍 す る こ と を除 いて )(,述 べ る まで も ない が 卜の少 に柱 の刷 ヒを乗 ず れ 三三

.眉

目_モ ー メ ン ト戒 は変位 成 分 が求 ま るo 以 上の 花祭 に よ り､た わみ 角法 で イ タ ラチ オ ン を使 って構 造 物 を と く時 の 話 操 作 は ､二 見 法 或 はKani法 で と く時 の 各 プ ロセ ス と全 く対 応 して お り､ しか も途 中の 各段 階 の 数 値 は常 数倍 す る こ と を除 い て完 全 に一 致 す る (例 題参 照上 ,つ ま りた わみ裾 よを イ タ ラチ オ ンで と くjj法 と二 見法 ･Kani法 とは全 く同 --の

ノ

j

はぐあ る と結 論 で きるo 次 は ど ちが ら簡単 か と言 う問題 だ が ､ た わみ裾 よで は 二

見法

･KaniiAで の節 点 固定 モ ー メ ン ト

或

は朋 モ ー メ ン トの み を計算 し､回転 成 分 (到達 モ ーーメ ン ト)､変 位 成 分 (分 担 モ ー メ ン ト)

7

,

1

･

:

･

は記 入 しないです む (衣【向 j二は

.

i-1算 も しないの だ が 夫際 は して い る こ とに な る)､従 っ て,i-己人 ま ちが い も少 な くな る し､途中 でのT･日日が少 か ､o スペ ー ス も少 を くてす む と言 う利,･.'t.-. モー メ ン トの計 算 が厄 介 で ま ちが い Ly,巨 ､の だ が､ た わみ 鋸 上で はす の 計算 J=tに あて は め て い く の でJ,'"違 い が牛 い こくい｡結局 た わみ伸 上をイ クラチ オ ンで といて い く方 が Kani法 や _二見法 よ りもよい と考 えて い る

o

*

3.

モ ー メ ン ト分 配 法 とた わみ 角 法 柳 川 が′卜.じる場 合 っ ま り節 !:.げ 射 .Ll:す る場 合 を例 に とるL Fig.2の ラー メ ンを と くこ とを 考える｡ Fig･2 _Fig･3 *ただし｣柑 !lfjラーメン (江口 fFl_Jのラーメンを含む)の何縦)三に//ltてF-Cはでは,Qgモーメン トをi火･,iI4-る特 殊の操作 (k'献7の

3

L

)

i

'

l

J がL･川巨なので収-41を-I-･くできることがある(, 119

I

l

o

鼻志 :;モーメント分配法･K8ni法 .たわみ角法について ･軸 力,

k

{ `

打

｡ 通常 のモー メ ン ト分配法 で と く方法 を

Fi

g.2､ 3､ 4

に示 す. まず節点変位 が生 じか ､様 に 拘束 して与荷重 (部 材 中間荷重 のみ) を作用 させ

(

Fi

g.3)

､モー メ ン トの到達分配 が終 了 し た後､曲 げモー メ ン ト分布

M

'を求 め､力の釣合 か ら抑制 力

P

lを求 め る｡次 に節点 の回転 を止 め たまま､任意量 の水平 力 を作用 させ､節点 に水平変位 を生ぜ しめ､次 に節点変位 がそれ以上生 じ か 1様 に拘束 した まま､節点 の回転 固定 を といて､モー メ ン トを分配 ､到達 せ しめ､曲 げモー メ ン ト分布M 2を求 めた後 ､力の釣 合 か ら､変位 力

P

,を計算 す る

(

Fi

g.4)

｡次 に重 ね合 わせの 原理と水平方 向の力の釣合条件 (実 はたわみ角法 の層方程式 )

P

L

+L

rP

2

-P

(1) か ら､α を算 出 す る｡任意点 の曲 げモー メ ン トは

M-Ml

+αM

か ら求 まる｡ 次 にたわみ角法 で といてみ よ う｡ この場合節点方程式 だ けを考 え､ イ タラチ オ ンで とく時便 利 な様 に甲につ いて整理 す る｡途 中の計算 は省略 して次 の様 になる｡

(

- 1)

〔

k29C+kl

++CB

A+C8

C)

〔k2P

B

+

書

け

c c

.

+

H c･D) 次 に %

-

璃 +

粥 ,

甲

C

-9さ +9l

とお き

(

2

)式 を次 の様 に分解 す るo

p

i

-2

E.

l

k

)

,

〔

k,

9日

C8

人+CB

C〕

中

三

-

2 (

f

f

.

14'k, 〔k

か

c c

g

･

HG

D〕

(

-

1

)

〔

k岬 3

-+kT

や〕

2

(

i

-

.

l

i

k

,

)

〔

k

m

:

･軸

(

2

)

(3) (4)

(

5

)

(2)式 の系 をと く代 りに(4),(5)式の2組 の系 をとき(3)式 によ って重 ね合 わす と言 う形 にす る ので あるO イ タラチ オ ンを使 って

(

4

坑 の系 を といてい くことは､モー メ ン ト分配法 で

Fi

g.3

の

琉球大学理工学部紀要(工学篇)

1

2

1

場合 を解 くことに相当 している. その説明は前節の

Ka

n

i

法 とた わみ角法 との関係 の説明 と殆 在ど同 じなので省略するO次 に

(

5

状 の系で 卯 二通 当量 を与 え

(

Fi

g･4

でモーメン ト分配法の時 に 連当量の水平変位量 を最抑 こ与 えたが､それに対応する量 を与 えればよい)

､(

5

坑 をイタラチ オンで といてい くことは､モーメン ト分配法での

Fi

g.4

の操作 を行 う事 に相 当す る

. Ka

n

i

法 の時 と全 く同 じ様 に(4)､(5)式の系 をイタラチオンを使 って とくことは通常のモーメン ト分配法 での

Fi

g

.3､4

の操作 と完全 に一致 し､途中での数値 は常数倍 す ることを除 いては全 く同 じで ある.ただいわゆる通常のモーメン ト分配法では節点固定モーメン トは段 々小 さくなり､零 に 近づ くことになり､到達モーメン トも同 じことになるが､たわみ角法では一定値 に収束 させ る 様 になっている (この様 なモーメン ト分配法 もある)｡通常のモーメン ト分配法での第n回 目 の節点固定モーメン トは､たわみ角法 をイタラチオンで とく時の､甲 の第n次近似値 と第 (n - 1)次近似値 との差 にある常数 をかけたものに等 しい (例題参照)｡結局通常のモーメン ト 分配法は､たわみ角法 をイタラチオンで といてい く時､節点方程式 だけを考 え

､

(

4)

式(

5

1式の様 に 分解 していってといていき､曲げモーメン ト分布 を求めて後､力の釣合 か ら変位 力､抑制力を 計算 し､水平方向の力の釣合条件(2坑 か ら (これを使 わず､ また変位 力､抑制力の計算 もせず に

､(

4L(

5

W

)

場合の曲げモーメン ト分布 に､努力方程式 を適用 して もよい或 はこんな事 をせず に求めた甲'+ α92- 9の値 を直接努力方程式 に代入 してαを算 して もよい. この方 が簡単で あ る｡)､-αを算出 し次 いで反力や曲 げモーメン トを求める手 と全 く同 じで あるOたわみ角法 とモ ーメン ト分配法 どちらがよいか と言 う事 になるが､たわみ角法 の方 が前節 と同 じ理由でよいの ではないかと考 えている｡

4. Ka

n

i

法 とモーメン ト分配法

Ka

n

i

法 とモーメン ト分配法 を上記の様 にたわみ角法で説明 したので､ これを使 って色 々の 事が比較で きる｡ その中収束の早 さであるが､モーメン ト分配法の方 が未知量の数が少 か ､の で収束 が早 いことは確 かで ある (モーメン ト分配法 は未知量 は節点回転角 だけ)｡非矩形ラ ー メンでは特 にそえ言 う傾向が強 くなることが多い｡ しか しなが ら､モーメン ト分配法 は与荷重 が作用 して節点変位 Lをい時 と､確立部材角の数 との和 (つ まり濁 立部材角数 プラス 1)だけ､ くり返 し､適用 しなくてはならか ､し､抑制力､変位力の計算 が必要 である｡従 って どちらが 手間や時間がかかるかは一概 には言 えか ､

o Ka

n

i

法 では計算途中での数値 の丸めの影響 が最 終結果 に影響 しか ､とか､誤差 の累積 が生 じか ､とか言 う利点 があるが､モーメン ト分配法で も 二見法 をは じめそ う言 う欠点 を除去 したや り方が既 にあるので ､この面での優劣 はつ けられな い｡ただ通常のモーメン ト分配法での､節点固定モーメン トや､到達 モーメン トを段 々小 さく してい く方法 は誤差の累積 と云 う点 と､収束 を早 くす るための操作 (固定モーメン トを適当の 方法で推測すること)等が適用で きか ､ので､一定値 に収束す る方法 に改 めた方 がよいと思 っ ている｡

5.

桝Jr

Fi

g

･5

の ラーメンをモーメ ン ト分配法

､ Ka

n

i

法､たわみ角法で といてみて､各段階での数 値の対応 を示 し､上記の考 えの実証 としたい｡

122

荷I

T

l

.

項

具志 :モ ー メ ン ト分 配 法 ･Kanl法 ･た わみ角 法 につ いて

-c

liC- CcB

- q

3

-1

6

t･m

p

-

_r

_}

_t

-

_o

i

_n

(1) モー メ ン ト分配 法 分BL!率 ･到達 率

B

乱 ･.l.rl.

梁B

端へ

0.

6

C

端へ

0.

.

'30 A

柱B

端へ

0,

4

0

A

端へ

0.

2

0

C

節,..(.･'.

'

i

t

I

c端へ

O.

5

0

8端へ

0.

2

5

柱

C

端へ

0.

5

0

D

端へ 雰

節

.

I

.

㌔

.

接 一位 を拘束 して｣}-･荷 ･T･:.が作川 した と き

Tabl

e

lの通 り｡

Tabl

e1.

… )∼ h 0 H3 1 I50 -4

0

-20 00 D.ド. C_∩_ド.

F,E.M_ MAB MBI. Mac MCB MCD 1 :--- ) (ELJI(X)) (0,仰n) (o_.W ) (0.∽o) (0_ZOO;1 (一一 lt,_250) (0.300) (一一一) -16_0(∫ー +16_帆 -4_Ln 1--0_l1._9l:I -().ly仏 十0.+十+0.f0_LOD04002:514 C.(一.M. I).M_ +4.:f24 +b_T-^8 - 5.十L2_69m21 -H.十6_428426 -ll_243

Fi

g･6

陸 `1i で 5 /

Fi

g･7

Ml.a

ロコ

品

爪

H

G

) C

'--1

i; 一一･･■ 1,=8TTI

Fi

g･5

抑制 力の計算

Fi

g.6

の通 り ｡･ 節!.J

i

.変位 を′f･'.ぜ しめた時 ､

節

点

叫

tl転 を拘束 して ある量 の

水

平変位 を

′

ト.ぜ しめた時 の節.･.Lj'.Dri]転 同定 モー メ ン ト

はFi

g.7

を 参照 しなが ら､次 の様 に対 策 で きる｡

M

B

F

^

- 2 (2甲B+サ)- 2や--2

0

0

0-Mi

F

B

ME

D

-i(

3

甲

C ++)- 2サニー2

0

0

0

琉球 大学甥 工学部 紀 要 (工学 篇 )

但 し

サニーI

O

O

Oとおいて ある.

uI

F

の計算 は

Ta

bl

e 2

に示すO

Ta

bl

e2.

…AB MBA Mac .MCB MCD

(- ) (0.400) (0.咲)0) (0.50O) (0.500) (0.200) (- ) (0.250) (0.300) (-- ) -2000 -2000 -20(X) / ユ ー 4270,4 1351.4 1675.7

Fi

g･8

変位 力の計算 力の釣合 か ら

､Fi

g.8

の通 りとなる｡ αの算出 - ⊥ ㌢ +a･

｣辺

A

上- - p α- 0,011,645,---･･ 端モー メン トの計算

Ta

b

l

e 3

の通 り｡ 123

124

Ta

b

l

e3

.

具志 :モーメン ト分配法 ･Kani法 ･たわみ角法 につ いて M 1 +4,324 +8,648 -8.648 +ll,244 -ll.244 α M 2 -19,514 -15,737 +15,737 +14,478 -14.478 (2) たわみ角法

Ⅰ

基本式 は省略す る｡節点方程式 だ け考 える｡ M B▲+ Mac- 0 2 (298+ サ)十 3 (298+Pc)- 16- 0 PB

-

(

甘 (39C . 2サー 16) McB+McD- 0 3 (29C+ 98)+ 16+ (4/2)(39B +サ)- o PC

-

=J (398 + 2サ+ 16) 甲8,9 C

を2

つ にわけて､ PB

=

(

- 1)

1

0

.

(

-

1

)

Pc

=-

一 丁₁岩₂ ,′

(

- 1)

や b

=

･

.

て

=

1

0

2

′

(

- 1)

P

c =

芯

.

12

Ta

b

l

e4

.

1 2 3 4 5

q

?

!

(+11,6.33

0)

0

3 〔+2- 2.1.0803〕3 (-1,+22.87145) (- 1,+22.488744) (- 1+22..487864) (+16.00) (+ 6.

0

0)

(+ 0.45) (+ 0.034) (+

0

.002)

甲

三

〔+ 2.-20.0

(

刀

0〕 〔-21+2..155〕 〔-21+2,.161613) 〔+ 2,-21.616222〕 〔+2,-211.66222)

琉球大学理工学部紀要(工学篇 )

1

2

5

上式で

すニー

1000とおいてあるO (1拭 イタラチオンで とく

.Ta

bl

e4

参照｡表

4

ではモーメン ト分配法 との数値 の対応 を示すた めに不必要 なことも記入 してある｡ 〔 )の中の数値 は一定値 に収束 させるモーメン ト分配法 での各段階での節点固定モーメン ト､つ まり上の(1杭 の各段階での ( )の数値 を示 しである. また

Ta

bl

e4

の ( )の中の数値 は

n

回 目と

(

n

- 1)回 目の上記

〔

〕内の数値 の差であり､ 前例のモーメン ト分配法での各段階の節点固定モーメン トに完全 に一致 している

.Tabl

e4

の 場合の端モーメン トは次の通 りとなる｡

MA

I

B= 2 (

2.

1

6

2

)=4,

3

2

4

M8

▲-

- 2 (2×2,

1

6

2

)-8

,

6

4

8

MB

I

c= 3 (2x2,

1

6

2

-1,

8

7

4

)-1

6=-8.

6

5

0

M

c

I

B

=

3

(

-1,

8

6

2×2+1 2,

1

6

2

)+1

6

-+

l

l

,

2

4

2

叫

:

l

D- (4/2) (

- 3×1,

8

7

4)

-

-l

l

.

2

4

4

(

3)

(

2

坑 をイタラチオンで とく

｡Ta

bl

e5

の通 りであり､モーメン ト分配法 との対応 も

Ta

bl

｡4

Ta

hl

e5.

1

2

3

4

5

甲

昌

′

〔

-2

+1

0

6

6.

0

0

〕

7

〔

-1

+1

5

2

5

9.

0

〕

1

〔

-1

+ 1

5

2

1

6

6.

.

1

3

〕

〔

-1

+ 1

51

2

3

6.

.

7

1

〕

〔

+1

-1

5

2

6.

1

3

.

1

5

)

(

-2

0

0

0

)

(

+ 4

5

0

)

(+

3

3

.

9

)

(

+

2

.4)

甲

B

2

′

〔

+1

-1

5

5

0〕

0

0

.

0

〔

-1

+1

61

6

1

2

.

3

.

7

)

〔

+1

-1

6

6

2.

2

1

1

.1〕

(

+1

-1

6

6

2.

2

1

2

.

6

〕

に同 じ｡ これよ り端モーメン トを算出すると次の通 り｡

MB

A

A= 21

6

2.

2x2)-2

0

0

0--1

3

51

.

2

M^

8- 2 (

1

62.

2

)-2

0

0

0--1

6

7

5

.

6

￡= 3 (2×1

6

2.

2+1

2

6.

1

)-1

3

51

.

5

Me

l

｡-3 (

1

6

2.

2+ 2×1

2

6,

1

)-1

2

4

3.

3

MJ

D- (4/2)(3×1

26.

1

)12

0

0

0

ニー

1

2

4

3･

4

上記

(

3

L(

4)

の値 が

Ta

bl

e1､ 2

の値 と一致 しているのは当然であるo以下 はモーメ ン ト分配法 の場合 と同 じ様 にすればよいので省略す るO しか しなが ら

､3

節の終 りで述べ た様 に､ この場 合は(3)､(4坑 の様 に端モーメン トを求める操作 は必要 がな く･次の様 に してよい｡即 ち 9 -q,

]+ α

9 2

,

や- α(

-

1000)をたわみ角法 の労力方程式､

MA

8+ MB

A+ Mc

D+Ph- 0

つ まり

61

Pb+ 6

P

c+ 6少+4

8

0

0- 0

に代入すると､

6 (

2,

1

6

2+1

6

2.

2α)+ 6 (

-1

8

7

4

+1

2

6.

1α)- 6α ･1

0

0

0十4

8

0

0

- 0

となり､ これか ら､α を算出す る式

4

8

01

,

7

2

8

-4

2

7

0.

2α- 0

を得 る｡ これは前出のαの算定式 に一致 しているO以下 は省略す るO

126 具志 :モ ー メ ン ト分配 法･Kanl法 ･た わみ角 法 につ いて (3) Kanl'法 回転係 数

B点 -0.

2

､-0,

3

C

点

-01

2

5

､

-0･

2

5

変位係 数

AB

柱

-

1

､CD

粍

- 1

(

Lのみ ) l･).卜の 計算 はTable6の通 りで あ るO端 モ ー メ ン トを それ か ら計 算 す れば 下 の通 ㌢jo

MA

B

-8

1

0.

2-2

3

2

9

.

4

-

-1

51

9

2圭一1

51

9

Mb

A

-2×81

0.

2

-2

3

2.

9

-

-7

0

9.

0

-

-7

O

9

M8

C

-

-1

6

0

O

+2×1

21

5

,

3

-

121.

2-7

0

9.

4≒7

°

L

J

Mc

B

=十1

6

0

0

-2×1

21

.

2

+1

21

5

.

3-2

5

7

2

.

9=

主

2

5

7

3

Mc

D-

-2×1

21.

2

12

3

2

9

.

4--2

5

7

1

.

H幸 一L

.

)

_

5

7

･

2

琉球大学理工学部紀要(工学者 ) (4) たわみ角法

Ⅱ

基本式 ､節

点

方程式 ､層))-柁 式 の求めJjは御 許し､いき な り イ タ ラ チ オ ン方式 で と くの に便 f崎 式 か ら始 めるo p

8-㌔ ｣ (

3甲｡+ 2サー1600) 甲

C

-完

ユ (398+ 2" 16

0

0)

や

- (i

₆

)

(

69B + 69｡ +48

0

0

)

1式 ではモー メン トの値 は Kani法 の時 と同 じく百倍 して あるo Kanl法 と途 中の数値 を一一致 させるために +､ 甲8､

9

｡の順 に求めていってある｡計算 は

Ta

b

l

e7

の通 りである｡

Ta

bl

e7.

￠

一指0() -1040 -1134 -1158.8 -1163.9 -1164.5 -1164.6

q

)

n

+32() + 392 +404.2 +404.5 +405.2 +405tl +405.I Table7の子持三網子での近似値 に於 て

､

少 を 2倍 すればKani法 の各段 階での変位成分 に一致 し､ pBを

2

倍 および

二

日

.17･すれ

ばB

節山 での回転成分 となっているO またP

c

を

3

倍 すれ

ば

C,l･'jtでのIuJ 転成分 と 一致 す る｡以 Fの計算 は省略 する｡ 謝

辞 :

I

.

i

..L:御指堆御助 言をた まわってお ります東京 T_大教授藤本盛 久Jk′L-.(ニ深 く感謝致 しますo 引 用 文 献 1) 吉村虎蔵 :Kani法 とCross法 ､土木学会誌､49巻 9Trl･,PP21-26､1964年 9月 (2) Ll崎 徳也､太酬 変明 : Kani拡張法 による骨組構造物 の解法 上木学会論文集148号 P.1.1967年12

月

(3) 村

上

l

E

､吉村虎蔵 :構造力学 ､コロナ社､pp.266-296､1958年 (4) 吉日俊 弥 :構造 力学 ､朝倉再店 ､PP.239-255､1967年 (5) 松本崇 :異形 ラーメ ンと固定 モー メン ト法 ､押 t図苔,1967年 (6) 二見秀雄 :構造 力学 ､実教 出版､pp. 239-271､1950年 (7) 共

志宰L

L

3:

jF一矩形 ラー メンのモー メン ト分配法 による解法､琉球大学柁工学部紀要 工学 篇､第 2号､1969年 4円 (8)小

野崩 :

擁 裾 ム 紀元社､pP.83-88､1957年 127