北海道の雪氷 No. 27（2008）
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MPS 法 に よ る ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 実 験 の 再 現 計 算
大 塚 達 也 ， 清 水 康 行 （ 北 海 道 大 学 大 学 院 工 学 研 究 科 ），
大 槻 政 哉 ， 齋 藤 佳 彦 （ 株 式 会 社 雪 研 ス ノ ー イ ー タ ー ズ ）
1． は じ め に
雪 崩 を 3 次 元 的 に 再 現 す る こ と で 防 災 上 ， 様 々 な 構 造 物 の 設 計 を 行 う こ と が 可 能 に な る ． し か し 現 状 の 雪 崩 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に お い て ， 雪 崩 を 流 動 体 と し て 3 次 元 的 に 表 現 す る モ デ ル は 開 発 途 上 で あ る ． そ こ で ， 新 た な 雪 崩 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン モ デ ル の 開 発 に あ た り ， 低 温 科 学 研 究 所 が 宮 の 森 ス キ ー ジ ャ ン プ 台 で 行 な っ た ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 実 験 1 ）の 再 現 計 算 を 粒 子 法 の ひ と つ で あ る MPS 法 2 ）を 用 い て 行 っ た ． 本 研 究 で は 粉 体 で あ る ピ ン ポ ン 玉 の 挙 動 を 流 体 と 仮 定 し ， 既 存 の MPS 法 に 空 気 抵 抗 項 を 考 慮 し た モ デ ル を つ く っ た ． そ し て ， 空 気 抵 抗 項 の 有 無 や 動 粘 性 係 数 の 値 に よ り ど れ く ら い 流 れ に 影 響 が あ る の か 確 認 し ， モ デ ル の 再 現 性 に つ い て 考 察 し た ．
2． 計 算 手 法
2． 1 粒 子 法 （ MPS 法 ） に つ い て
粒 子 法 は 完 全 Laglange 的 手 法 で あ る ． 連 続 体 を 有 限 個 の 粒 子 で 表 し ， 各 粒 子 は 圧 力 な ど の 変 数 を 保 持 し て 移 動 す る ． そ の た め ， 差 分 法 や 有 限 要 素 法 の よ う な 格 子 は 使 用 し な い ．粒 子 法 に は 離 散 要 素 法（ DEM），SPH 法（ Smoothed Particle Hydrodynamics）， MPS 法 な ど が あ る が ， MPS 法 は DEM の よ う な 粉 体 を 構 成 す る 粒 子 を そ の ま ま 粒 子 と し て 計 算 す る 方 法 で は な く ， 連 続 体 の 支 配 方 程 式 を 勾 配 や 発 散 と い っ た 微 分 演 算 子 に 対 応 す る 粒 子 間 相 互 作 用 モ デ ル に よ っ て 離 散 化 す る 手 法 で あ る 3 )．
2． 2 基 礎 式
雪 崩 を 流 体 と 仮 定 し ， 連 続 式 を 式 （ 1 ） に ， 運 動 方 程 式 を 式 （ 2 ） に そ れ ぞ れ 示 す ．
0 Dt
D （ 1）
b
a F
F g u Dt P
Du
2 （ 2）
こ こ で ， ρ ： 粒 子 の 密 度 ，u： 速 度 ，P： 圧 力 ， ν ： 動 粘 性 係 数 ， ｇ ： 重 力 加 速 度 ， Fa： 空 気 抵 抗 ， Fb： 底 面 摩 擦 を 表 し て い る ．
空 気 抵 抗 Faを 式 （ 3） に 示 す ． u Su C Fa a D
2
1 （ 3）
こ こ に ， ρa： 空 気 の 密 度 ， CD： 抵 抗 係 数 ， S： 投 影 面 積 を 表 し て い る ．
ま た ， 抵 抗 係 数 CDは レ イ ノ ル ズ 数Reの 値 に よ り 変 化 す る Schiller and Naumann の 式 を 用 い る ．
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（ 4）
ま た ， 底 面 摩 擦 Fbは 底 面 と ピ ン ポ ン 玉 と の 間 で 粘 性 が 働 く と し 動 粘 性 係 数 に よ り 与 え て い る ．
3． 計 算 条 件
ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 が ニ ュ ー ト ン 流 体 と 仮 定 し た 上 で ， 式 （ 2） の 中 の 動 粘 性 係 数 ν を ， ν =1.0×10- 4～ 1.0×10- 5と し た ． 行 っ た 計 算 Case を 表 -1 に 示 す ． Case1 は 式 （ 2） の 右 辺 第 4 項 が な い 場 合 ． す な わ ち ， 空 気 抵 抗 項 無 し の 場 合 で あ る ． Case2 か ら Case6 は 空 気 抵 抗 項 を 考 慮 し て い て そ れ ぞ れ 異 な る 動 粘 性 係 数 を 与 え て い る ． ま た ， す べ て の Case で ピ ン ポ ン 玉 の 密 度 ρ は 87.7kg/m3と し た ． 陽 的 な 計 算 が 終 了 し た 時 点 で ，n*<0.97n0 を 満 た す 粒 子 を 自 由 表 面 上 に 存 在 す る と 判 定 し 3 )，式（ 2），（ 3）の 空 気 抵 抗 Faは 自 由 表 面 上 の 粒 子 に 働 く と し た（ 図 -1）．
MPS 法 で は ，壁 な ど に つ い て も 粒 子 と し て 粒 子 数 密 度 n を 計 算 す る 必 要 が あ る た め ， 流 体 及 び 構 造 物 を 粒 子 の 配 列 に よ っ て 表 す 必 要 が あ る ． 本 来 の ピ ン ポ ン 玉 の 直 径 は 0.0378ｍ だ が ， 本 研 究 で は 計 算 負 荷 を 少 な く す る た め 粒 子 の 平 均 間 隔 r0=0.2m で ピ ン ポ ン 玉 及 び ス ロ ー プ を 表 現 し た ．計 算 に 用 い た 宮 の 森 ス キ ー ジ ャ ン プ 台 の 縦 断 図 を 図 -2 に 示 す ．
図 -1 空 気 抵 抗 の 影 響 を 受 け る 粒 子 図 -2 ス キ ー ジ ャ ン プ 台 の 縦 断 図
表 -1 行 っ た 計 算 Case
計 算 Case 粘 性 項 のν 底 面 摩 擦 力 項 のν 空 気 抵 抗 項 の 有 無
Case1 1.0×10- 2 1.0×10- 2 無
Case2 1.0×10- 2 1.0×10- 2 有
Case3 1.0×10- 4 1.0×10- 7 有
Case4 1.0×10- 5 1.0×10- 7 有
Case5 1.0×10- 4 1.0×10- 8 有
Case6 1.0×10- 5 1.0×10- 8 有
自 由 表 面
Flat zone
Landing slope
30m 103m
36 deg.
Starting box
49m
Flat zone
Landing slope
30m 103m
36 deg.
Starting box
49m
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4． 結 果 と 考 察
図 -3，図 -4 に 各 Case で の 計 算 結 果 を 示 す ．こ こ で ，図 中 縦 軸 の 平 均 速 度 と は 式 （ 5） よ り 求 め た ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 先 端 42 個 の 粒 子 の 平 均 で あ る ．
42 vi
v
(5) こ こ に ， v： 平 均 速 度 ，vi： 各 雪 崩 粒 子 の 合 成 速 度 ．Case1，Case2 を 比 較 し た 結 果 を 図 -3 に 示 す ．同 一 の 動 粘 性 係 数（ν=1.0×10- 2） で は 空 気 抵 抗 項 の 有 無 に よ り 最 大 速 度 で 約 7m/s， ま た そ の 出 現 位 置 で も 約 40m の 差 が 出 る こ と が わ か っ た ． 次 に ， 実 現 象 で は ピ ン ポ ン 玉 に 空 気 抵 抗 が 作 用 す る と 考 え ら れ る の で ， 空 気 抵 抗 を 考 慮 し た Case3 か ら Case6 の 計 算 結 果 を ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 実 験 の 結 果 1 ）と 比 較 し た（ 図 -4）．Case3 か ら Case6 で 動 粘 性 係 数 を パ ラ メ ー タ と し て 実 測 値 に よ り 近 づ け る こ と を 試 み た が そ れ ぞ れ の Case で あ ま り 差 は 見 ら れ な か っ た ．ま た ，Case1 か ら Case6 す べ て で 最 大 速 度 の 出 現 位 置 が 実 験 値 よ り も 手 前 に な っ て い る ． 動 粘 性 係 数 の 値 ， 空 気 抵 抗 の 有 無 に 係 わ ら ず こ の よ う な 現 象 が 起 こ る こ と か ら 勾 配 が 影 響 し て い る と 推 測 で き る ．
Case3 か ら Case6 の 最 大 速 度 の 値 に 着 目 す る と ，実 現 象 を 再 現 で き て い る と い え る ． 最 大 速 度 は 雪 崩 災 害 を 考 え た と き に 最 も 重 要 に な っ て く る 値 で あ り ， そ れ を 再 現 で き た こ と は 大 き な 成 果 だ と い え る ．
次 に ， ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 の 流 動 形 状 を 図 -5 に 示 す ． 図 中 （ 左 ） が 実 験 ，（ 右 ） が Case3 の 計 算 結 果 で あ る ．実 験 で は ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 先 端 部 は 空 気 抵 抗 の た め ま と ま り を 持 っ て 流 下 し て い る が ， 計 算 結 果 は 空 気 抵 抗 を 考 慮 し て い る に も か か わ ら ず 粒 子 に ま と ま り が 見 ら れ な い ． 連 続 体 と し て 運 動 す る に 十 分 な 粒 子 数 密 度 が 得 ら れ な か っ た こ と な ど が 原 因 だ と 考 え ら れ る が ， 空 気 抵 抗 の 考 慮 の 仕 方 を 改 善 す る 必 要 が あ る ．
図 -3 空 気 抵 抗 の 有 無 に よ る 速 度 の 比 較
図 -4 各 Case と 実 験 値 と の 比 較
0 20 40 60 80 100 120 0
5 10 15
distance (m)
average velocity (m/s)
Case3 Case4
0 20 40 60 80 100 120 0
5 10 15
distance (m)
average velocity (m/s)
Case3 Case4
0 20 40 60 80 100 120 0
5 10
15 Case5
Case6
distance (m)
average velocity (m/s)
0 20 40 60 80 100 120 0
5 10
15 Case5
Case6
distance (m)
average velocity (m/s)
0 20 40 60 80 100 120 0
5 10 15
distance (m)
average velocity (m/s) Case2Case1
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図 -5 形 状 の 比 較 5． ま と め
本 研 究 で は ，3 次 元 MPS 法 を 用 い て 空 気 抵 抗 を 考 慮 し た 雪 崩 の 数 値 計 算 を 試 み た ． 得 ら れ た 結 果 を 以 下 に 列 挙 す る ．
1）同 一 の 動 粘 性 係 数 で も 空 気 抵 抗 項 の 有 無 で 計 算 結 果 に 大 き な 違 い が 出 る こ と が わ か っ た ．
2） 空 気 抵 抗 を 考 慮 す る こ と に よ り 最 大 速 度 の 再 現 性 が 確 か め ら れ た ．
3） 空 気 抵 抗 を 考 慮 し た 場 合 ， 動 粘 性 係 数 1.0×10- 4か ら 1.0×10- 5， 底 面 と ピ ン ポ ン 玉 と の 間 の 動 粘 性 係 数 1.0×10- 7か ら 1.0×10- 8の 範 囲 で は 平 均 流 速 に 違 い は 見 ら れ な か っ た ．
4） 流 動 形 状 が 実 験 結 果 の 様 な ま と ま り を 持 っ た 形 に な っ て お ら ず ， 空 気 抵 抗 の 与 え 方 を 改 善 す る 余 地 が あ る ．
本 研 究 で は 乱 流 抵 抗 な ど は 考 慮 し て い な い が ， 現 象 を 捉 え る 上 で 重 要 な 最 大 速 度 が 実 験 値 と 一 致 し た こ と か ら 粉 体 の 挙 動 を 流 体 と し て 扱 っ た 本 モ デ ル で も あ る 程 度 実 現 象 を 再 現 で き て い る と い え る ． 今 後 は ， 本 来 の 目 的 で あ る 雪 崩 へ の 適 応 を 考 え ， 空 気 抵 抗 の 考 慮 の 仕 方 を 改 善 し て い き た い と 考 え る ．
参 考 文 献
1 ） 小 椋 崇 広 ， J.McElwaine ， 西 村 浩 一 ： 質 量 中 心 モ デ ル を 用 い た ピ ン ポ ン 玉 雪 崩 の 運 動 解 析 ， 日 本 雪 氷 学 会 誌 雪 氷 65 巻 2 号 ,pp.117-123， 2003．
2) Koshizuka, S. and Oka, Y. ： Moving-Particle Semi-implicit Method For Fragmentation of Invompressible Fluid, Nucl. Sci. Eng., 123, pp.421-434, 1996．
3) 越 塚 誠 一 ： 計 算 レ ク チ ャ ー シ リ ー ズ 5 粒 子 法 ， 日 本 計 算 学 会 編 ， 丸 善 株 式 会 社 ．
