数学問題集

1

世界一わかりやすい

数学問題集

3 章 二次方程式 k

中  ３

と思ってつくった

氏名（      ）

の

Step１説明

1 二次方程式とその解き方

（ ax ² = b ）

日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) x²= 49

(2) 4x²= 8

(3) 5x²= 50

(4) 2x²= 32

〇次の方程式を解きなさい。

・ (x の二次式 )=0 という形になる方程式を ,x についての

（        ）という。

^{二次方程式}

〇次の方程式を解きなさい。

(2) 3x

²

= 18

(1) 2x

²

= 50 x

²

= 25

x = ± 5

x

²

= 6 x = ± 6

x = ± 7

x² = 2 x = ± 2

x² = 10 x = ± 10

x²= 16 x = ± 4 例題

Step１基本問題

Step１説明

1

^日付( )

名前 ( ）

3

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

二次方程式とその解き方

（ ax ² = b ）

(1) x²= 64

(2) 5x²= 10

(3) 3x²= 15

〇次の方程式を解きなさい。

x = ± 8

x²= 2 x = ± 2

x² = 5 (1) x²= 16

(2) 3x²= 9

(3) 2x²= 18

(4) x²= 12

〇 次の方程式を解きなさい。

x = ± 4

x² = 3 x = ± 3

x²= 9 x = ± 3

x = ± 12 x = ± 2 3

x = ± 5

Step１説明

2 二次方程式とその解き方

（ ax ² − b = 0 ）

日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) x²−1 = 0

(2) 5x²−60 = 0

(3) 25x²−9 = 0

(4) 4x²−3 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

・

  → の形にする。

ax

²

− b = 0 ax

²

= b

〇 次の方程式を解きなさい。

(2) 4x

²

− 5 = 0

(1) 5x

²

− 25 = 0 5x

²

= 25

x

²

= 5

4x

²

= 5 x

²

= 5 4

x = ± 5 2 x = ± 5

x² = 1 x = ± 1

5x² = 60 x = ± 2 3 x² = 12

25x² = 9 x²= 9

25 x = ± 3 5

4x² = 3

x² = 34 x = ± 3 2 例題

Step１基本問題

Step１説明

2

^日付( )

名前 ( ）

5

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

二次方程式とその解き方

（ ax ² − b = 0 ）

(1) 3x²−18 = 0

(2) 25x²−16 = 0

(3) 36x²−1 = 0

(4) 16x²−5 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

3x² = 18

25x²= 16

36x²= 1 x² = 1

36 x = ± 1 6

16x²= 5 x² = 5 16 (1) x²−2 = 0

(2) 5x²−30 = 0

(3) 16x²−49 = 0

(4) 9x²−2 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x²= 2

5x² = 30 x = ± 6 x² = 6

16x² = 49 x² = 49

16 x = ± 7 4

9x² = 2

x² = 29 x = ± 2 3

x = ± 2 x² = 6

x = ± 6

x² = 1625 x = ± 4 5

x = ± 5 4

Step１説明

3 二次方程式とその解き方

（ (x + m) ² = k ² ）

日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) (x + 2)²= 4

(2) (x−5)²= 16

(3) (x + 2)²−25 = 0

(4) (x + 3)²−64 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

・ (x + m)

²

= k

²

の形の二次方程式は , 両辺の二乗を外す。

〇 次の方程式を解きなさい。

(2) (x − 5)

²

= 36

(1) (x + 3)

²

= 25 x + 3 = ± 5

x = − 8,2 x = ± 5 − 3

x − 5 = ± 6 x = ± 6 + 5

x = − 1,11

x+ 2 = ± 2 x = −4,0 x = ± 2−2

x−5 = ± 4 x = 1,9 x = ± 4 + 5

(x + 2)²= 25 x + 2 = ± 5

x =−7,3 x = ± 5−2

(x + 3)² = 64 x+ 3 = ± 8 例題

Step１基本問題

Step１説明

3

^日付( )

名前 ( ）

7

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

二次方程式とその解き方

（ (x + m) ² = k ² ）

(1) (x −5)² = 36

(2) (x + 4)²= 25

〇次の方程式を解きなさい。

x−5 = ± 6 x =−1,11 x = ± 6 + 5

(x + 4)²= 25 x+ 4 = ± 5

x = −9,1 x = ± 5−4

(1) (x + 3)²= 25

(2) (x −8)²= 1

(3) (x + 1)²−4 = 0

(4) (x −3)²−81 = 0

〇 次の方程式を解きなさい。

x + 3 = ± 5 x =−8,2 x = ± 5−3

x −8 = ± 1 x = 7,9 x = ± 1 + 8

(x + 1)² = 4 x + 1 = ± 2

x =−3,1 x = ± 2−1

(x −3)²= 81

x = ± 9 + 3 x =−6,12 x −3 = ± 9

Step１説明

4 二次方程式とその解き方

（ (x + m) ² = n ）

日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) (x + 2)²= 6

(2) (x−5)²= 2

(3) (x + 4)²−5 = 0

(4) (x −4)²−12 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

① の形の二次方程式は , 両辺の二乗を外す。

② 左辺の数字を右辺に移行する。

(x + m)

²

= n

〇 次の方程式を解きなさい。

(2) (x − 3)

²

− 12 = 0

(1) (x + 2)

²

= 5 x + 2 = ± 5

x = − 2 ± 5 (x − 3)

²

= 12 x − 3 = ± 12

x = 3 ± 2 3

x + 2 = ± 6 x =−2 ± 6

x−5 = ± 2 x = 5 ± 2

x + 4 = ± 5 x =−4 ± 5 (x + 4)² = 5

x−4 = ± 2 3 x = 4 ± 2 3 (x −4)² = 12 例題

Step１基本問題

Step１説明

4

^日付( )

名前 ( ）

9

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

二次方程式とその解き方

（ (x + m) ² = k ² ）

(1) (x −2)² = 7

(2) (x + 4)²= 10

(3) (x −5)²−24 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x −2 = ± 7 x = 2 ± 7

x + 4 = ± 10 x =−4 ± 10

x −5 = ± 2 6 x = 5 ± 2 6 (x −5)² = 24 (1) (x + 1)²= 5

(2) (x−3)²= 3

(3) (x + 7)²−11 = 0

(4) (x −4)²−8 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x + 1 = ± 5 x = −1 ± 5

x−3 = ± 3 x = 3 ± 3

x+ 7 = ± 11 x = −7 ± 11 (x + 7)² = 11

x−4 = ± 2 2 x = 4 ± 2 2 (x−4)² = 8

Step１説明

5 二次方程式とその解き方

（ x ² + px + q = 0 ）

日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) x²+ 8x = 5

(2) x²+ 2x = 3

(3) x²−10x −3 = 0

(4) x²+ 4x −18 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

① の形の二次方程式は ,

  の形を作る。

② の形を作る。

x

²

+ px + q = 0 x

²

+ px + ( p

2 )

²

= − q + ( p 2 )

²

(x + p)

²

= n

〇 次の方程式を解きなさい。

(2) x

²

+ 2 x − 5 = 0

(1) x

²

+ 6x − 1 = 0

x + 3 = ± 10 x

²

+ 6x = 1

x

²

+ 6x + 9 = 1 + 9 (x + 3)

²

= 10

x = − 3 ± 10

x

²

+ 2x = 5 x

²

+ 2x + 1 = 5 + 1

(x + 1)

²

= 6 x + 1 = ± 6

x = − 1 ± 6

x+ 4 = ± 21 x²+ 8x+ 16 = 5 + 16

(x+ 4)² = 21

x = −4 ± 21

x + 1 = ± 2 x²+ 2x+ 1 = 3 + 1

(x + 1)² = 4

x =−3,1

x²−10x = 3 x²−10x + 25 = 3 + 25

(x−5)² = 28

x−5 = ± 28 x = 5 ± 2 7

x²+ 4x = 18 x²+ 4x + 4 = 18 + 4

(x+ 2)² = 22

x + 2 = ± 22 x = −2 ± 22 例題

Step１基本問題

Step１説明

5

^日付( )

名前 ( ）

11

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

二次方程式とその解き方

（ x ² + px + q = 0 ）

(1) x²+ 8x = 5

(2) x²−10x −2 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x + 4 = ± 21 x²+ 8x+ 16 = 5 + 16

(x + 4)²= 21

x = −4 ± 21

x²−10x = 2 x²−10x + 25 = 2 + 25

(x−5)² = 27

x−5 = ± 27 x = 5 ± 3 3 (1) x²+ 4x = 3

(2) x²−12x = 2

(3) x²−2x −8 = 0

(4) x²+ 12x −3 = 0

〇 次の方程式を解きなさい。

x + 2 = ± 7 x²+ 4x + 4 = 3 + 4

(x + 2)²= 7

x =−2 ± 7

x −6 = ± 38 x²−12x + 36 = 2 + 36

(x−6)²= 38

x²−2x = 8 x²−2x+ 1 = 8 + 1

(x−1)²= 9

x −1 = ± 3 x = 1 ± 3

x²+ 12x = 3 x²+ 12x + 36 = 3 + 36

(x + 6)² = 39

x+ 6 = ± 39 x =−6 ± 39 x = 6 ± 38

x =−2,4

Step１説明

6 二次方程式の解の公式

^日付( )

名前 ( ）

Point ！

(1) x²−7x −3 = 0

(2) 5x²+ 3x −1 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

二次方程式 ax

²

+ bx + c = 0 の解の公式

〇次の方程式を解きなさい。

(2) 3x

²

− 3x − 4 = 0

(1) x

²

+ 5x − 3 = 0

x = − b ± b

²

− 4ac 2a

x = − 5 ± 5

²

− 4 ∙ 1 ∙ (− 3) 2 ∙ 1

x = −5 ± 37 2

a = 1,b = 5,c = − 3

x = 3 ± (− 3)

²

− 4 ∙ 3 ∙ (−4) 2 ∙ 3

x = 3 ± 57 6

a = 3,b = − 3,C = − 4

x = 7 ± 7²−4∙1∙(−3) 2∙1

x = 7 ± 61 2

a = 1,b =−7,c =−3

x = −3 ± (−3)²−4∙5∙(−1) 2∙5

x = −3 ± 29 10

a = 5,b = 3,c =−1 例題

Step１基本問題

Step１説明

6

^日付( )

名前 ( ）

13

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

(1) x²−x −1 = 0

(2) x²+ 6x + 7 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x = 1 ± (−1)²−4∙1∙(−1) 2∙1

x = 1 ± 5 2

a = 1,b =−1,c =−1

x = −6 ± 6²−4∙1∙7 2∙1

x = −6 ± 8 2

a = 1,b = 6,c = 7 (1) x²+ 3x + 1 = 0

(2) 2x²−5x −3 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x = −3 ± 3²−4∙1∙1 2∙1

x = −3 ± 5 2

a = 1,b = 3,c = 1

x = 5 ± (−5)²−4∙2∙(−3) 2∙2

x = 5 ± 49 4

a = 2,b =−5,c =−3

= 5± 7

4 = −2

4 , 124 = − 1 2, 3

x = −6 ± 2 2 2

二次方程式の解の公式

=−3 ± 2

Step１説明

7 二次方程式の解の公式 発展

^日付( )

名前 ( ）

Point ！

二次方程式の解の公式は x の係数が（  ）数のとき , 簡単 に計算できる公式がある。

〇次の方程式を解きなさい。

(2) 2x

²

+ 6x − 5 = 0

(1) x

²

+ 4x − 9 = 0

a = 1,b′ = 2,c = − 9

偶

x = − b′ ± b

^′2

− ac ax

²

+ 2b′ x + c = 0 a

x = − 2 ± 2

²

− ∙1 ∙ (− 9) 1

x = − 2 ± 13

a = 2,b′ = 3,C = − 5 x = − 3 ± 3

²

− 2 ∙ (− 5)

2 x = − 3 ± 19

2

(1) x²−6x −3 = 0

(2) 2x²+ 4x + 1 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x = 3 ± (−3)²−1∙(−3) 1

x = 3 ± 12

a = 1,b′=−3,c =−3

x = −2 ± 2²−2∙1 2

x = −2 ± 2 2

a = 2,b′= 2,c = 1

= 3 ± 2 3 例題

Step１基本問題

Step１説明

7

^日付( )

名前 ( ）

15

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

(1) x²−6x −4 = 0

(2) x²+ 10x + 5 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x = 3 ± (−3)²−1∙(−4) 1

x = 3 ± 13

a = 1,b′=−3,c =−4

x = −5 ± (−5)²−1∙5 2

x = −5 ± 20 2

a = 1,b′= 5,c = 5 (1) x²−2x−1 = 0

(2) 2x²+ 6x + 1 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x = 1 ± (−1)²−1∙(−1) 1

x = 1 ± 2

a = 1,b′=−1,c =−1

x = −3 ± 3²−2∙1 2

x = −3 ± 7 2

a = 2,b′= 3,c = 1

二次方程式の解の公式 発展

x = −5 ± 2 5 2

3章 二次方程式 １節 二次方程式

Step１説明

8 二次方程式と因数分解①

^日付( )

名前 ( ）

(1) (x −5)(x + 8) = 0

(2) (x−1)(x −5) = 0

(3) x²−2x −15 = 0

(4) x²+ 4x + 3 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

〇 次の方程式を解きなさい。

(2) x

²

− 7x − 8 = 0

(1) (x + 3)(x − 5) = 0

x = − 3,5 (x − 8)(x + 1) = 0 x = − 1,8 Point ！

x

²

+ (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

x = 1,5 x =−8,5

(x −5)(x + 3) = 0 x = 5,−3

(x+ 1)(x + 3) = 0

x =−1,−3 例題

Step１基本問題

Step１説明

8

^日付( )

名前 ( ）

17

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

2章 平方根 １節 平方根

(1) (x + 1)(x −5) = 0

(2) x²−x −20 = 0

(4) x²−15x + 56 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x =−1,5

(x+ 4)(x−5) = 0 x =−4,5

(x −7)(x −8) = 0 x = 7,8 (1) (x−2)(x + 1) = 0

(2) (x −3)(x −9) = 0

(3) x²−9x −10 = 0

(4) x²+ 6x −27 = 0

〇 次の方程式を解きなさい。

x = 3,9 x = 2,−1

(x + 1)(x −10) = 0 x =−1,10

(x + 9)(x−3) = 0 x = −9,3

二次方程式と因数分解①

Step１説明

9 二次方程式と因数分解②

^日付( )

名前 ( ）

〇次の方程式を解きなさい。

(2) 2x

²

= 5x

(1) x

²

− 5x = 0

x = 0,5 x (2x − 5) = 0 x = 0, 5 2 x(x − 5) = 0 2x

²

− 5x = 0

Point ！

ma + mb = m(a + b)

(1) x²−3x = 0

(2) x²+ 2x = 0

(3) 2x²−5x = 0

(4) 3x²= 7x

〇次の方程式を解きなさい。

x = 0,−2 x = 0, 3

x(2x−5) = 0 x = 0, 52

3x²−7x = 0 x(x−3) = 0

x(x + 2) = 0

x(3x−7) = 0 例題

Step１基本問題

Step１説明

9

^日付( )

名前 ( ）

19

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

二次方程式と因数分解②

(1) x²+ 6x = 0

(2) 2x²−7x = 0

(3) 7x² =−3x

〇次の方程式を解きなさい。

x = 0,−6

x(2x−7) = 0 x = 0, 7

2

7x²+ 3x = 0 x(x + 6) = 0

x(7x + 3) = 0 x = 0, − 3

7 (1) x²−2x = 0

(2) x²+ 7x = 0

(3) 2x²−3x = 0

(4) 3x²=−5x

〇 次の方程式を解きなさい。

x = 0,−7 x = 0,2

x(2x −3) = 0 x = 0, 3

2 3x²+ 5x = 0 x(x−2) = 0

x(x+ 7) = 0

x(3x + 5) = 0 x = 0, − 5

3

3章 二次方程式 １節 二次方程式

Step１説明

10 二次方程式と因数分解③

^日付( )

名前 ( ）

〇 次の方程式を解きなさい。

(2) x

²

− 6x + 9 = 0

(1) (x + 7)

²

= 0 x = − 7

x = 3 (x − 3)

²

= 0 Point ！

x ² + 2ax + a ² = (x + a) ²

x ² − 2ax + a ² = (x − a) ²

^{(1) (x −3)2 = 0}

(2) (x + 5)²= 0

(3) x²−4x + 4 = 0

(4) x²+ 2x + 1 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x =−5 x = 3

(x −2)² = 0 x = 2

(x + 1)² = 0 x = −1 例題

Step１基本問題

Step１説明

10

^日付( )

名前 ( ）

21

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

(1) (x −7)² = 0

(2) (x + 11)²= 0

(3) x²−20x + 100 = 0

(4) x²+ 12x + 36 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x =−11 x = 7

(x−10)²= 0 x = 10

(x + 6)² = 0 x =−6 (1) (x −2)²= 0

(2) (x + 8)²= 0

(3) x²−10x + 25 = 0

(4) x²+ 18x + 81 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x =−8 x = 2

(x−5)²= 0 x = 5

(x + 9)² = 0 x = −9

二次方程式と因数分解③

3章 二次方程式 １節 二次方程式

Step１説明

11 二次方程式と因数分解④

^日付( )

名前 ( ）

〇次の方程式を解きなさい。

(2) x

²

− 64 = 0

(1) (x + 3)(x − 3) = 0 x = − 3, 3

x = − 8, 8 (x + 8)(x − 8) = 0 Point ！

x ² − a ² = (x + a)(x − a)

(1) (x + 5)(x −5) = 0

(2) (x + 1)(x−1) = 0

(3) x²−16 = 0

(4) 4x²−9 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x =−1, 1 x = −5, 5

(x + 4)(x −4) = 0

(2x+ 3)(2x−3) = 0 x =−4, 4

x = − 3 2, 32 例題

Step１基本問題

Step１説明

11

^日付( )

名前 ( ）

23

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

(1) (x + 3)(x −3) = 0

(2) x²−121 = 0

(3) 4x²−49 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x =−3, 3

(x + 11)(x −11) = 0

(2x + 7)(2x −7) = 0

x =−11, 11

x =− 7 2, 7

2 (1) (x + 1)(x−1) = 0

(2) (x + 12)(x −12) = 0

(3) x²−4 = 0

(4) 9x²−16 = 0

〇 次の方程式を解きなさい。

x =−12, 12 x =−1, 1

(x+ 2)(x−2) = 0

(3x + 4)(3x −4) = 0 x = −2, 2

x =− 4 3, 43

二次方程式と因数分解④

3章 二次方程式 １節 二次方程式

Step１説明

12 いろいろな方程式の解き方

^日付( )

名前 ( ）

〇 次の方程式を解きなさい。

Point ！

・先に計算できるところまで

,

計算する。

3(x

²

− 5) = (x + 1)(x − 3) 3x

²

− 15 = x

²

− 2x − 3 2x

²

+ 2x − 12 = 0

x

²

+ x − 6 = 0 (x + 3)(x − 2) = 0

x = − 3, 2

(1) x²−16 = 6x

(2) 2x²−4x−6 = 0

(3) x(x + 3) = 2x + 42

〇次の方程式を解きなさい。

x²−2x−3 = 0 x²−6x −16 = 0

x²+ 3x−2x−42 = 0 x²+x−42 = 0 (x + 2)(x −8) = 0

x =−2, 8

(x + 1)(x −3) = 0 x =−1, 3

(x−6)(x+ 7) = 0 x = 6, −7

例題 Step１基本問題

Step１説明

12

^日付( )

名前 ( ）

25

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

(1) (x −3)(x−7) = 5

(2) 4x²−12x −16 = 0

(3) (x−2)²−6(x + 2) + 8 = 0

〇次の方程式を解きなさい。

x²−3x −4 = 0 x²−10x + 21−5 = 0

x²−4x + 4−6x−12 + 8 = 0 x²−10x = 0 (x−2)(x −8) = 0

x = 2, 8

(x + 1)(x−4) = 0 x = −1, 4

x(x−10) = 0 x = 0, 10 (1) x²+x = 6(x + 1)

(2) 3x²−9x −12 = 0

(3) 2(x + 1)(x −2) = 8

〇次の方程式を解きなさい。

x²−3x −4 = 0 x²+x = 6x + 6

2(x²−x −2) = 8 2x²−2x−4−8 = 0

(x + 1)(x −6) = 0 x =−1, 6

(x + 1)(x−4) = 0 x = −1, 4

(x + 2)(x −3) = 0 x = −2, 3

いろいろな方程式の解き方

x²+x−6x −6 = 0 x²−5x−6 = 0

2x²−2x−12 = 0 x²−x−6 = 0

x²−10x + 16 = 0

3章 二次方程式 １節 二次方程式

Step１説明

1 整数を求める問題①

^日付( )

名前 ( ）

〇

連続する

2

つの正の整数がある。それぞれを

2

乗した数の和が

61

になるとき

,

これら

2

つの整数を求めなさい。

x

²

+ (x + 1)

²

= 61 x

²

+ (x

²

+ 2x + 1) = 61

2x

²

+ 2x − 60 = 0 x

²

+ x − 30 = 0 (x + 6)(x − 5) = 0

x = − 6,5

2

つの正の整数のうち

,

小さい方を

x

とすると

,

大きい方は

( )

である。これら２数を２乗した和が

61

になるので

,

x

は正の整数だから は問題にあわない。

のとき

,2

数は

5, 6

となる。

よって

,2

つの整数は

5, 6 x = − 6 x = 5

〇 連続する

2

つの正の整数がある。それぞれを

2

乗した数の和 が

85

になるとき

,

この

2

つの整数を求めなさい。

x

²

+ (x + 1)

²

= 85 x

²

+ x

²

+ 2x + 1 − 85 = 0

2x

²

+ 2x − 84 = 0 x

²

+ x − 42 = 0 (x + 7)(x − 6) = 0

2

つの正の整数のうち

,

小さい方を

x

とすると

,

大きい方は

x+1

で ある。これら２数を２乗した和が

85

になるので

,

x

は正の整数だから は問題にあわない。

のとき

,2

数は

6,7

となる。よって

,2

つの整数は

6, 7

x = − 7 x = 6

x = − 7,6

例題 Step１基本問題

x+1

Step１説明

1

^日付( )

名前 ( ）

27

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

整数を求める問題①

〇 連続する

2

つの正の整数がある。それぞれを

2

乗した数の和 が

61

になるとき

,

この

2

つの整数を求めなさい。

x

²

+ (x + 1)

²

= 61 x

²

+ x

²

+ 2x + 1 − 61 = 0

2x

²

+ 2x − 60 = 0 x

²

+ x − 30 = 0 (x + 6)(x − 5) = 0

2

つの正の整数のうち

,

小さい方を

x

とすると

,

大きい方は

x+1

で ある。これら２数を２乗した和が

61

になるので

,

x

は正の整数だから は問題にあわない。 の とき

,2

数は

5,6

となる。よって

,2

つの整数は

5, 6

x = − 6 x = 5

x = − 6,5

〇 連続する

3

つの正の整数がある。もっとも小さい数ともっ とも大きい数の積が

,

真ん中の数の

6

倍よりも

26

大きくなると き

,

これらの

3

つの整数を求めなさい。

(x + 1)(x − 1) = 6x + 26 x

²

− 1 − 6x − 26 = 0

x

²

− 6x − 27 = 0 (x + 3)(x − 9) = 0

真ん中の数を

x

とすると

,

大きい数は

x+1,

小さい数は

x-1

であ る。 小さい数と大きい数の積が

,

真ん中の数の

6

倍よりも

26

大 きいので

,

x

は正の整数だから は問題にあわない。 のと き

,

連続する

3

つの正の整数は

8,9,10

である。

x = − 3 x = 9

x = − 3,9

Step１説明

2 整数を求める問題②

^日付( )

名前 ( ）

〇大小

2

つの数がある。その和が

10

で

,

積は

-24

となるとき

,

この

2

つの数を求めなさい。

x(10 − x) = − 24 10x − x

²

+ 24 = 0

− x

²

+ 10x + 24 = 0 x

²

− 10x − 24 = 0 (x − 12)(x + 2) = 0

x = − 2, 12

小さい方の数を

x

とすると

,

大きい方の数は

, 10−x

となり

,

積が

−24

だから

,

よって

, -2

と

12

〇大小

2

つの数がある。その和が

5

で

,

積は

-24

と なるとき

,

こ の

2

つの数を求めなさい。

x(5 − x) = − 24 5x − x

²

+ 24 = 0

− x

²

+ 5x + 24 = 0 x

²

− 5x − 24 = 0 (x + 3)(x − 8) = 0

x = − 3,8

小さい方の数を

x

とすると

,

大きい方の数は

, 5−x

となり

,

積が

−24

だから

,

よって

,−3

と

8

例題 Step１基本問題

Step１説明

2

^日付( )

名前 ( ）

29

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

〇大小

2

つの数がある。その和が

-14

で

,

積は

48

となるとき

,

この

2

つの数を求めなさい。

x(− 14 − x) = 48

− 14x − x

²

− 48 = 0 x

²

+ 14x + 48 = 0 (x + 6)(x + 8) = 0

x = − 6, − 8

小さい方の数を

x

とすると

,

大きい方の数は

, -14-x

となり

,

積が

48

だから

,

よって

,−6

とー

8

〇大小

2

つの自然数がある。その差が

6

で

,

積は

27

となるとき

,

この

2

つの数を求めなさい。

x(x + 6) = 27 x

²

+ 6x − 27 = 0 (x + 9)(x − 3) = 0

x = − 9,3

小さい方の数を

x

とすると

,

大きい方の数は

, x+6

となり

,

積が

27

だから

,

整数を求める問題②

x

は自然数だから は問題にあわない。 となり

,2

つの自然数は

3,9

である。

x = − 9 x = 3

Step１説明

3 直方体の問題

^日付( )

名前 ( ）

〇

横が縦より

4cm

長い長方形の厚紙があります。 この

4

す みから

1

辺が

3cm

の正方形を切り取り

,

ふたのない直方体の容 器をつくると

,

その容積は

420

㎤になりました。はじめの厚 紙の縦と横の長さを求めなさい。

もとの長方形の紙の縦の長さを

xcm

とする。 横の長さは

, x+4(cm)

長方形の紙の容器の底面の縦の長さ・・・

横の長さ・・・

x−3×2 =x−6(cm) (x+4)−3×2 =x−2(cm)

容器の高さは

3cm

で

,

容積は

420

㎤だから

,

x

²

− 8x + 12 = 140 (x − 6)(x − 2) = 140

3(x − 6)(x − 2) = 420 x

²

− 8x − 128 = 0 (x − 16)(x + 8) = 128

x = 16, − 8

3cm

xcm

x ＋ 4cm

例題

3cm

x-6cm

x−2cm

Step１説明

3 直方体の問題

^日付( )

名前 ( ）

31

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

〇

横が縦より

2cm

長い長方形の厚紙があります。 この

4

す みから

1

辺が

3cm

の正方形を切り取り

,

ふたのない直方体の容 器をつくると

,

その容積は

297

㎤になりました。はじめの厚 紙の縦と横の長さを求めなさい。

もとの長方形の紙の縦の長さを

xcm

とする。 横の長さは

, x+2(cm)

長方形の紙の容器の底面の縦の長さ・・・

横の長さ・・・

x−3×2 =x−6(cm) (x+2)−3×2 =x

ー

4(cm)

容器の高さは

3cm

で

,

容積は

297

㎤だから

,

x

²

− 10x + 24 = 99 (x − 6)(x − 4) = 99

3(x − 6)(x − 4) = 297 x

²

− 10x − 75 = 0 (x − 15)(x + 5) = 0

x = − 5,15

長さは正の数で

, x − 6 > 0

より

, x > 6

となるから

, x = 15 cm

Step１基本問題

3cm

xcm

x ＋ 2cm

3cm

x-6cm

x−4cm

Step１説明

3 直方体の問題

^日付( )

名前 ( ）

〇

正方形の厚紙の

4

すみから

,5cm

の正方形を切り取り

,

ふたのない箱をつ くると

,

その容積は

720

㎤になりました。厚紙の

1

辺の長さを求めなさい。

ただし

,

厚紙の厚さは考えないものとします。

正方形の紙の

1

辺の長さを

x(cm)

とする。

正方形の紙の底面の

1

辺の長さ・・・

x-5×2=x-10(cm)

容器の高さは

5cm

で

,

容積は

720

㎤だから

,

x

²

− 20x − 44 = 0 x

²

− 20x + 100 = 144

5(x − 10)

²

= 720

(x − 22)(x + 2) = 0,

5cm

xcm

xcm

Step２練習問題

5cm x-10cm

Step１説明

3 直方体の問題

^日付( )

名前 ( ）

33

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

〇

横が縦より

4cm

長い長方形の厚紙があります。 この

4

すみ から

1

辺が

3cm

の正方形を切り取り

,

ふたのない直方体の容器 をつくると

,

その容積は

96

㎤になりました。はじめの厚紙の 縦と横の長さを求めなさい。

Step３ 確認テスト

3cm

xcm

x+4cm

3cm x-6cm

x-2cm

A B

D C

もとの長方形の紙の縦の長さを

xcm

とする。 横の長さは

, x+4(cm)

長方形の紙の容器の底面の縦の長さ・・・

横の長さ・・・

x−6(cm)

(x+4)−3×2 =x

ー

2(cm)

容器の高さは

3cm

で

,

容積は

96

㎤だから

,

x

²

− 8x + 12 = 32

3(x − 6)(x − 2) = 96 x

²

− 8x − 20 = 0 (x − 10)(x + 2) = 0

x = 10, − 2

x=-2

は不敵なので

, x = 10 cm

(x − 6)(x − 2) = 32

Step１説明

4 道幅の問題

^日付( )

名前 ( ）

〇 右の図のように , 縦 40m, 横 30m の土地がある。そこに同じ道幅 の道路 ( 影をつけた部分 ) を作ったとき , 残りの面積が 875 m² になる ようにしたい。道路の幅を何 m にすればよいですか。

道路の幅を

x m

とする。

右下の図のように

,

移動して畑の部分を

1

つの長方形にまとめて面積を考える。

道路を除いた長方形の畑の縦は

(40−x)m

横は

(30−x)m

方程式は

1200 − 70x + x

²

= 875

x

²

− 70x + 325 = 0

^{道路の幅は長方形の横}

^{30 m}

^より短い

から

, x=5

(x − 5)(x − 65) = 0 (40 − x)(30 − x) = 875

40m

30m

xm

40−x m

例題

Step１説明

4 道幅の問題

^日付( )

名前 ( ）

35

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

右下の図のように

,

移動して

,

畑の部分を

1

つの長方形にまとめて面積を考える。

道路を除いた長方形の畑の縦は

(16−x)m

横は

(25−x)m

方程式は

400 − 41x + x

²

= 360

x

²

− 41x + 40 = 0

^{道路の幅は長方形の縦}

^{16 m}

^より短い

から

, x=1

x = 1,40 (x − 1)(x − 40) = 0 (16 − x)(25 − x) = 360

1m

16m

25m

xm

16−x m

25 ー x m

Step１基本問題

〇

右の図のように

,

縦

16m,

横

25m

の土地がある。そこに同じ道幅の道路

(

影 をつけた部分

)

を作ったとき

,

残りの面積が

360 m²

になるようにしたい。道 路の幅を何

m

にすればよいですか。

道路の幅を

x m

とする。

よって

,

Step１説明

4 道幅の問題

^日付( )

名前 ( ）

右下の図のように

,

移動して

,

畑の部分を

1

つの長方形にまとめて面積を考える。

道路を除いた長方形の畑の縦は

(18−x)m

横は

(30−x)m

方程式は

540 − 48x + x

²

= 405

x

²

− 48x + 135 = 0

^{道路の幅は長方形の縦}_から

^{18 m}

^より短い

, x=3

(x − 3)(x − 45) = 0 (18 − x)(30 − x) = 405

18m

30m

xm

18−x m

Step２練習問題

〇

右の図のように

,

縦

18m,

横

30m

の土地がある。そこに同じ道幅の道路

(

影 をつけた部分

)

を作ったとき

,

残りの面積が

405 m²

になるようにしたい。道 路の幅を何

m

にすればよいですか。

道路の幅を

x m

とする。

Step１説明

4 道幅の問題

^日付( )

名前 ( ）

37

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

右下の図のように

,

移動して

,

畑の部分を

1

つの長方形にまとめて面積を考える。

道路を除いた長方形の畑の縦は

(26−x)m

横は

(33−x)m

方程式は

858 − 59x + x

²

= 690

x

²

− 59x + 168 = 0

^{道路の幅は長方形の縦}

^{26 m}

^より短い

から

, x=3

x = 3,56 (x − 3)(x − 56) = 0 (26 − x)(33 − x) = 690

3m

26m

33m

xm

26−x m

33 ー x m

Step３ 確認テスト

〇

右の図のように

,

縦

26m,

横

33m

の土地がある。そこに同じ道幅の道路

(

影 をつけた部分

)

を作ったとき

,

残りの面積が

690 m²

になるようにしたい。道 路の幅を何

m

にすればよいですか。

道路の幅を

x m

とする。

よって

,

Step１説明

5 もう一つの解を求める問題

^日付( )

名前 ( ）

〇

二次方程式 の解の

1

つが

5

であるとき

,a

の値を求めなさい。また

,

もう一つの解を求めなさい。

x

²

− ax + 5 = 0

〇二次方程式 の解の

1

つが

2

であるとき

,a

の値を 求めなさい。また

,

もう一つの解を求めなさい。

x

²

− 6x + a = 0

x=5

を二次方程式に代入すると

,

a=6

を二次方程式に代入すると

,

5

²

− 5a + 5 = 0 25 − 5a + 5 = 0

− 5a = − 30 a = 6

x

²

− 6x + 5 = 0 (x − 1)(x − 5) = 0

x = 1,5

a=6, もう一つの解は ,1

x=2

を二次方程式に代入すると

,

a=8

を二次方程式に代入すると

,

x

²

− 6x + a = 0 4 − 12 + a = 0 a = 8

x

²

− 6x + 8 = 0 (x − 2)(x − 4) = 0

x = 2,4

a=8, もう一つの解は ,4

例題 Step１基本問題

Step１説明

5 もう一つの解を求める問題

^日付( )

名前 ( ）

39

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

〇二次方程式 の解の

1

つが

-3

であるとき

,a

の値を求めなさい。

x

²

− ax + a

²

− 7 = 0

x=-3

を二次方程式に代入すると

,

9 + 3a + a

²

− 7 = 0 a

²

+ 3a + 2 = 0

a = − 2, − 1

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

〇二次方程式 の解の

1

つが

3

であるとき

,a

の値 を求めなさい。また

,

もう一つの解を求めなさい。

x

²

+ ax − 12 = 0

x=3

を二次方程式に代入すると

,

a=1

を二次方程式に代入すると

,

9 + 3a − 12 = 0 3a = 3 a = 1

x

²

+ x − 12 = 0 (x − 3)(x + 4) = 0

x = − 4,3

a=1, もう一つの解は ,-4

(a + 2)(a + 1) = 0

Step１説明

6 動点の問題

^日付( )

名前 ( ）

〇下の図のような縦

10 cm,

横

20cm

の長方形

ABCD

で

,

点

P

は

A

を出発し

,

点

B

まで動く。

Q

は点

P

と同時に

A

を出発し

,P

の

2

倍 の速さで

AD

上を

D

まで動く。点

P

が

A

から何

cm

動いたとき

,

三角形△

APQ

の面積が８㎠になるか

,

求めなさい。

点

P

が

x(cm)

のとき点

Q

は

2x(cm)

進むことから

,

三角 形

APQ

の面積は

,

←x>0

x × 2x ÷ 2 = 8 x

²

= 8

x = 8 x = 2 2

P

Q

x cm

2x cm

〇

AB=6cm,BC=10cm

の長方形 がある。点

P

は

A

から

B

まで毎 秒

2cm

の速さで動く。点

Q

は

P

が

A

を出発するのと同時に

C

を 出発し

,B

に向かって毎秒

1cm

の 速さで動き

,P

が

B

に到着する のと同時に止まる。このとき△

PBQ

の面積が

18

㎠になるの は

,P,Q

が同時に出発してから何秒後か

,

求めなさい。

点

P

が

2x(cm)

のとき点

Q

は

x(cm)

進むことから

,

三角 形

APQ

の面積は

,

←3>x

より

(6 − 2x)(10 − x) ÷ 2 = 18 (2x

²

− 26x + 60) ÷ 2 = 18 x

²

− 13x + 12 = 0 (x − 12)(x − 1) = 0

P

Q 2x cm

A

B C

D

x cm

x = 12,1

1

秒後

A

B C

D

例題 Step１基本問題

10−x cm 6−2x

cm

Step１説明

6

^日付( )

名前 ( ）

41

3章 二次方程式 ２節 二次方程式の利用

Step２練習問題 Step３ 確認テスト

動点の問題

〇

下の図のような縦

10 cm,

横

20cm

の長方形

ABCD

で

,

点

P

は

A

を出発し

,

点

B

まで動く。

Q

は点

P

と同時に

A

を出発し

,P

の

2

倍の速さで

AD

上を

D

まで動く。点

P

が

A

から何

cm

動いたと き

,

三角形△

APQ

の面積が

16

㎠になるか

,

求めない。

点

P

が

x(cm)

のとき点

Q

は

2x(cm)

進むことから

,

三角 形

APQ

の面積は

,

←x>0

x × 2x ÷ 2 = 16 x

²

= 16

x = 4

P

Q

x cm

２

x cm

〇

AB=12cm,BC=24cm

の長方形がある。点

P

は

B

から

C

まで 毎秒

2cm

の速さで動く。点

Q

は

P

が

A

を出発するのと同時に

D

を出発し

,C

に向かって毎秒

1cm

の速さで動き

,P

が

C

に到着す るのと同時に止まる。このとき△

PCQ

の面積が

49

㎠になる のは

,P,Q

が同時に出発してから何秒後か

,

求めなさい。

点

P

が

2x(cm)

のとき点

Q

は

x(cm)

進むことから

,

三角 形

PCQ

の面積は

,

←10>x

より

(24 − 2x)(12 − x) ÷ 2 = 49 (2x

²

− 48x + 288) ÷ 2 = 49 x

²

− 24x + 95 = 0 (x − 5)(x − 19) = 0

P

Q x cm A

B C

D

2x cm

x = 5,19

5

秒後

A

B C

D

4cm _{24−2x cm}

12−x

cm